Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur la structure des groupes finis et continus. Note de M. Cartas, présentée par M. Picard.
« J'ai exposé, dans une précédente Note, les résultats remarquables auxquels est arrivé M. Killing, relativement à la structure des groupes simples, en indiquant les principaux points de son travail qui me paraissent insuffisants. Je m'occuperai, dans cette Note, de la structure des groupes en général.
» M. Lie a depuis longtemps (Archiv for Math, og Nat., B. III.) partagé les groupes en deux grandes classes les groupes intégrables et les groupes non intégrables. On dit qu'un groupe d'ordre r est intégrable lorsqu'il admet un sous-groupe invariant d'ordre r i, celui-ci un sous-groupe invariant d'ordre r– 2, et ainsi de suite. Les groupes intégrables sont encore caractérisés par ce fait que, si l'on prend leurs groupes dérivés suc- cessifs, on finit par arriver à la transformation identique. Cette classifica- tion des groupes joue un grand rôle, non seulement au point de vue spécial de la structure, mais encore au point de vue de l'intégration des équations différentielles.
M. Killing introduit une autre classification des groupes qui, au fond, en la modifiant un peu, concorde avec la précédente. Il appelle rang d'un groupe le nombre des coefficients indépendants de l'équation caractéristique de ce groupe. En réalité, ce n'est pas le rang d'un groupe qui est intéressant, mais le rang de son groupe dérivé; en effet, le rang peut s'abaisser en pas- sant au groupe dérivé, mais, pour tous les groupes dérivés successifs, il est le même. Or, comme cela a été démontré par M. Engel ( voir Umlatjf, thèse, Leipzig), les groupes de rang zéro sont intégrables et, réciproquement, les groupes intégrables ont pour groupes dérivés des groupes de rang zéro. Nous retombons ainsi sur la classification de M. Lie.
» M. Killing ne donne que des indications incomplètes sur les groupes de rang zéro. Pour étudier le cas général, il donne au groupe une certaine forme réduite très remarquable basée sur la nature des racines de l'é- quation caractéristique. Il fait correspondre à une transformation géné- rale du groupe G un sous-groupe y de rang zéro, et dont l'ordre est égal au nombre des racines identiquement nulles de l'équation caractéris- tique. Si l'on suppose que X, X^/sont les transformations de ce sous- groupe, et si, dans l'équation caractéristique on annule em+i, e., le pre-
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