Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
» Si <7 = i, on obtient par une simple quadrature un multiplicateur de (i). Quand l'intégrale de (i) est bien de l'espèce étudiée, on a, dans ce cas, ur = i.
» Quand x ne figure pas dans F, on voit aisément que les xs multiplica-
p
teurs de la forme ™- doivent être indépendants de x. Si u est supposé plus
F'y"
grand que i, l'équation se ramène algébriquement à l'équation classique G (y, y) = o. Quand xz i, comme une intégrale première est de la forme G = x +/(y, y'), l'expression r–- (y"dy y' dy') est une différentielle
y
exacte.
» C'est là un résultat obtenu différemment par M. Picard dans le cas où l'intégrale est uniforme. Sur la théorie qu'a donnée M. Picard des inté- grales uniformes, on peut d'ailleurs, même dans le cas où xs est nul, cal- quer une théorie des intégrales à n valeurs.
» Quand F dépend de x, l'hypothèse u = o échappe complètement à la méthode. Mais, dans tous les cas, on sait reconnaître si V intégrale de (j) ne prend qu un nombre donné n de valeurs autour-des points critiques mobiles (et dépend algébriquement des constantes) l'équation se ramène alors, dans l'hypothèse la plus défavorable, aux équations linéaires. C'est ce que je montrerai ultérieurement. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur les équations différentielles linéaires à coefficients rationnels. Note de M. Helge von Koch, présentée par M. Poincaré.
« II y a, dans la théorie des équations différentielles linéaires, des ques- tions importantes dont on ne connaît pas encore la solution générale. Citons-en, par exemple, les suivantes
» Quelles sont les conditions pour qu'une équation linéaire et homogène, à coefficients rationnels, admette des intégrales uniformes dans le voisinage d'un point singulier donné?
» Quelles sont les conditions pour qu'elle admette des intégrales régulières dans le voisinage d'un point singulier donné ?
» En étudiant ces questions à l'aide de déterminants infinis, j'ai été conduit aux résultats que voici.
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