Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur les singularités essentielles des équations différentielles d'ordre supérieur. Note de M. PAUL PAINLEVÉ, présentée par M. Picard.
« Je distinguerai, dans cette Note, les points singuliers non algébriques x0 d'une fonction analytique y(x) en points transcendants et en points essentiels, suivant que y tend ou non vers une valeur déterminée quand x vient en xo sur un chemin quelconque à l'intérieur du domaine où y existe, mais sans tourner autour d'aucun point critique de y. » Ceci posé, soit une équation du second ordre algébrique eny",y',y, x
est vérifiée (s étant choisi aussi petit qu'on veut).
A l'inverse de ce qui se passe, comme je l'ai montré, pour le premier ordre, l'intégrale d'une telle équation admet, en général, des points transcen- dants mobiles (qu'on sait d'ailleurs étudier) mais c'est la présence pos- sible de points essentiels mobiles, que rien ne met en évidence, qui a arrêté jusqu'ici l'étude des fonctions définies par les équations d'ordre supérieur. Des équations (i) très simples offrent l'exemple de cette singularité. Mais on peut montrer, et c'est là un fait assez inattendu, que, pour une équa- tion (i) prise au hasard, il n'existe pas de points essentiels.
» En généralisant la méthode que j'ai développée dans le cas beaucoup plus simple du premier ordre, on parvient, en effet, au théorème suivant (que j'énonce en supposant qu'on a remplacé y par pour que y = oo soit sûrement une valeur ordinaire)
» Théorème A. Soit $(x,y,y) = o la condition pour qu'une valeur de y" soit infinie ou pour que deux valeurs dey" se permutent. Si l'intégrale de (i) a des points essentiels mobiles,
» I. Le polynôme S contient un facteur de la forme S, (x, y), où y figure; » II. L'équation (i), où l'on regarde x comme la fonction, admet, quel que soit x0, l'intégrale « = «“;
» III. Si le point arbitraire xQ est un point essentiel de y(x), en tout point x voisin de xo, une au moins des inégalités
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