Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur les équations différentielles d: 'ordre supérieur dont V intégrale n'admet qusun nombre donné de déterminations. Note de M. Paul Paistlevé, présentée par M. Picard.
« Je me propose, dans cette Note, de résoudre le problème suivant » Étant donnée une équation du second ordre
mais les équations (4) et (5) peuvent définir une transformation de Cre-. mona quelconque du plan y, z dans le plan y0, z0.
a ses points critiques fixes. La même question, pour les équations du pre- mier ordre y' 9 [y, (x)], se résout facilement y doit être une fonction uniforme de y0 et réciproquement; on en conclut que y et y, sont liées linéairement et que l'équation est une équation de Riccati. Dans le cas actuel, les résultats sont bien différents; on a à la fois,
» Pour plus de clarté, traitons d'abord la question dans le cas particu- lier où cp et <|/ sont rationnels en y, z et où n = 1. Nous supposons qu'on ait fait subir aux variables y, z la transformation homographique la plus géné- rale de façon à supprimer toute difficulté relative aux points à l'infini. Il nous faut reconnaître si l'intégrale du système
où 9 et désignent des fonctions rationnelles des variables y, z, t liées par la relation algébrique r
algébrique en y", y', y, reconnaître si l'intégrale générale y {x) de cette équa- tion ne prend qu'un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mo- biles (en admettant essentiellement que cette intégrale dépende algébri- quement des constantes yo, y'o).
» Au lieu de l'équation (1), on peut aussi bien considérer le système
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