Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
» On peut appliquer une méthode analogue aux équations homogènes du type rnM ®n(y, y')y" = wm(y, y).
$w et Wm désignant des fonctions homogènes de y et y' de degrés entiers positifs n et m, avec n < m i »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur les équations différentielles linéaires. Note de M. Paul Painlevé, présentée par M. Darboux.
« Comme je l'ai montré dans une Communication précédente (voir les Comptes rendus du 27 juin), on peut ramener une équation différentielle -linéaire et homogène du troisième ordre à la forme
et si l'intégrale d'une telle équation (où b et c sont rationnels) est algé- brique et correspond à un des groupes finis (oc) à deux variables, analo- gues aux groupes du dièdre, une intégrale y, est nécessairement de la forme
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où g(x) vérifie une relation f(g, x) = o, du troisième degré en g. Il s'en- suit que le produit des trois valeurs linéairement distinctes de y{, y2, r3 est de la forme
» Les zéros Xy de N(a?) sont nécessairement des points singuliers de l'équation (i); on connaît une limite supérieure de la somme 2vy, en même temps qu'une limite supérieure de la différence 2que le nombre des zéros xt de M(x), pour lesquels est entier, ne peut dépasser une certaine valeur m, et, en ajoutant à m le nombre des points singuliers de (1), on obtient une limite supérieure M du nombre des points pour lesquels l'intégrale y, est infinie ou nulle.
» Ceci posé, soit .2- = vj; vj satisfait à une équation différentielle du se- cond ordre, dont une intégrale rlt doit vérifier une relation j\(*o{, x) = o, du troisième degré en y),; d'autre part, les pôles de yj, sont tous du pre-
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