Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences / publiés... par MM. les secrétaires perpétuels
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Bachelier (Paris)
Éditeur : Gauthier-VillarsGauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1887-01-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 454219 Nombre total de vues : 454219
Description : 01 janvier 1887 01 janvier 1887
Description : 1887/01/01 (T104)-1887/06/30. 1887/01/01 (T104)-1887/06/30.
Description : Collection numérique : Originaux conservés aux... Collection numérique : Originaux conservés aux archives de l'Académie des sciences
Description : Collection numérique : Collections de l’École... Collection numérique : Collections de l’École nationale des ponts et chaussées
Description : Collection numérique : Thématique :... Collection numérique : Thématique : mathématiques, mécanique, sciences naturelles
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k30607
Source : Bibliothèque nationale de France
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. Sur le problème de la distribution électrique.
Note de M. H. Pouvcaré, présentée par M. Hermite.
« Le problème de la distribution électrique se ramène, comme on le sait,
au problème de Dirichlet qui consiste a déterminer une fonction V qui sa-
tisfasse à l'équation de Laplace AV = o à l'intérieur d'une certaine région
et qui prenne sur la surface qui limite cette région des valeurs données.
Riemann a donné de la possibilité de ce problème une démonstration
simple et élégante, mais peu rigoureuse. Depuis, MM. Neumann, Schwarz et
Harnaek ont imaginé plusieurs méthodes qui permettent, non seulement
d'établir l'existence de la solution, mais de la déterminer complètement.
Ces méthodes ont un double caractère ce sont à la fois des méthodes de
démonstration, destinées à montrer la possibilité du problème, et des mé-
thodes de calcul destinées à le résoudre effectivement. A ce second point
de vue, elles sont très imparfaites; car, si elles sont susceptibles théorique-
ment de donner une approximation indéfinie; si même elles conduisent
assez facilement à certaines inégalités auxquelles doit satisfaire la fonction
cherchée, elles ne permettraient pas, sans un labeur très pénible, de
pousser l'approximation un peu loin. Il n'est donc pas inutile d'en ima-
giner de nouvelles, quand même elles devraient avoir les mêmes inconvé-
nients, ce qu'il parait, d'ailleurs, impossible d'éviter. En effet, chaque
méthode nouvelle conduit facilement à des inégalités nouvelles qu'il peut
être intéressant de connaître. C'est ce qui m'engage à exposer ici un pro-
cédé qui n'a pas encore été proposé, du moins que je sache.
» Supposons, pour fixer les idées et simplifier l'exposé qui va suivre,
qu'il s'agisse de déterminer la distribution électrique sur un conducteur
unique (mais de forme, d'ailleurs, quelconque), chargé au potentiel inté-
rieur i. On peut imaginer un réseau formé d'une infinité de sphères S,,
Sa, S, qui sont toutes et tout entières extérieures au conducteur.
Je suppose, de plus, que tout point extérieur au conducteur soit intérieur,
au moins à l'une des sphères S,. J'envisage, enfin, une sphère Z dont le
rayon R soit assez grand pour que le conducteur y soit contenu tout entier.
» Imaginons maintenant une quantité R d'électricité positive répartie
sur S avec une densité uniforme Le potentiel de cette électricité sera
égal à i à l'intérieur de 2 et plus petit que "i, mais positif, à l'extérieur.
» Rappelons maintenant un résultat bien connu c'est qu'il est possible
Note de M. H. Pouvcaré, présentée par M. Hermite.
« Le problème de la distribution électrique se ramène, comme on le sait,
au problème de Dirichlet qui consiste a déterminer une fonction V qui sa-
tisfasse à l'équation de Laplace AV = o à l'intérieur d'une certaine région
et qui prenne sur la surface qui limite cette région des valeurs données.
Riemann a donné de la possibilité de ce problème une démonstration
simple et élégante, mais peu rigoureuse. Depuis, MM. Neumann, Schwarz et
Harnaek ont imaginé plusieurs méthodes qui permettent, non seulement
d'établir l'existence de la solution, mais de la déterminer complètement.
Ces méthodes ont un double caractère ce sont à la fois des méthodes de
démonstration, destinées à montrer la possibilité du problème, et des mé-
thodes de calcul destinées à le résoudre effectivement. A ce second point
de vue, elles sont très imparfaites; car, si elles sont susceptibles théorique-
ment de donner une approximation indéfinie; si même elles conduisent
assez facilement à certaines inégalités auxquelles doit satisfaire la fonction
cherchée, elles ne permettraient pas, sans un labeur très pénible, de
pousser l'approximation un peu loin. Il n'est donc pas inutile d'en ima-
giner de nouvelles, quand même elles devraient avoir les mêmes inconvé-
nients, ce qu'il parait, d'ailleurs, impossible d'éviter. En effet, chaque
méthode nouvelle conduit facilement à des inégalités nouvelles qu'il peut
être intéressant de connaître. C'est ce qui m'engage à exposer ici un pro-
cédé qui n'a pas encore été proposé, du moins que je sache.
» Supposons, pour fixer les idées et simplifier l'exposé qui va suivre,
qu'il s'agisse de déterminer la distribution électrique sur un conducteur
unique (mais de forme, d'ailleurs, quelconque), chargé au potentiel inté-
rieur i. On peut imaginer un réseau formé d'une infinité de sphères S,,
Sa, S, qui sont toutes et tout entières extérieures au conducteur.
Je suppose, de plus, que tout point extérieur au conducteur soit intérieur,
au moins à l'une des sphères S,. J'envisage, enfin, une sphère Z dont le
rayon R soit assez grand pour que le conducteur y soit contenu tout entier.
» Imaginons maintenant une quantité R d'électricité positive répartie
sur S avec une densité uniforme Le potentiel de cette électricité sera
égal à i à l'intérieur de 2 et plus petit que "i, mais positif, à l'extérieur.
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