Presse et revues
1170 pages
Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences / publiés... par MM. les secrétaires perpétuels
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Bachelier (Paris)
Éditeur : Gauthier-VillarsGauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1884-07-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 454219 Nombre total de vues : 454219
Description : 01 juillet 1884 01 juillet 1884
Description : 1884/07/01 (T99)-1884/12/31. 1884/07/01 (T99)-1884/12/31.
Description : Collection numérique : Originaux conservés aux... Collection numérique : Originaux conservés aux archives de l'Académie des sciences
Description : Collection numérique : Collections de l’École... Collection numérique : Collections de l’École nationale des ponts et chaussées
Description : Collection numérique : Thématique :... Collection numérique : Thématique : mathématiques, mécanique, sciences naturelles
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k3055h
Source : Bibliothèque nationale de France
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
ALGÈBRE. Examen de deux points de doctrine relatifs à la Règle de Newlon.
Çonclllsions; par M. E. DE Joxquières.
« I. Afin que rien de vague ne subsiste sur ce sujet, il convient d'exa-
miner s'il est vrai, comme paraît l'avoir cru Newton, que sa Règle manque
rarement à indiquer le nombre total des racines imaginaires d'une équation
numérique donnée.
» Soit
l'équation proposée, où tous les coefficients Ar sont des nombres réeJs
donnés, à l'exception du dernier Am que, pour le moment, nous laisse-
rons indéterminé. Désignons, en les rangeant selon l'ordre de grandeur
numérique, par + l, + -+-L les valeurs positives, et par –X,
X', A les valeurs négatives que prend la fonction /(a:), lorsqu'on
y remplace x par les valeurs des racines réelles de la dérivée f (x) = o.
L'équation (E) acquerra ou perdra deux racines réelles, chaque fois que
le terme Am dépassera, positivement ou négativement, les valeurs succes-
sives X, X', Enfin, si Am> + L ou < A, elle n'aura plus,
pour m impair, qu'une seule racine réelle; pour m pair, que deux racines
réelles dans le premier cas et aucune dans le second.
La supposition de Newton ne se confirmerait donc que si sa Règle pou-
vait se plier à toutes ces variations successives, produites par celle du seul
terme Am. Or on comprend a priori qu'elle ne saurait, en général, posséder
une telle flexibilité, puisque, dans les conditions précitées, elle ne dispose
à cet effet que de deux éléments variables pouvant influencer le signe de
la pénultième fonction quadratique de la suite (Go), savoir le signe et la
valeur numérique de Am. Au reste, j'en vais donner une démonstration fort
simple, suivie d'exemples qui la rendront aussi claire qu'il est possible.
» II. Théorème. Quel que soit le nombre exact 2k des racines imagi-
naires de l'équation proposée, si la Règle de Newton en indique a pour cette
même équation, lorsqu'on laisse Am indéterminé, donc aussi l'avant-dernier signe
de la suite (Go), elle en indiquera 2 p au moins, et 2 p 4- 2 au plus, lorsqu'on attri-
buera au dernier terme Am des valeurs comprises entre (A + s) e< (L +• s),
s étant une quantité positive, aussi petite ou aussi grande qu'on voudra. En
d'autres termes, ses indications varieront, au plus, de deux unités, quelle que soit
la valeur de Am.
Çonclllsions; par M. E. DE Joxquières.
« I. Afin que rien de vague ne subsiste sur ce sujet, il convient d'exa-
miner s'il est vrai, comme paraît l'avoir cru Newton, que sa Règle manque
rarement à indiquer le nombre total des racines imaginaires d'une équation
numérique donnée.
» Soit
l'équation proposée, où tous les coefficients Ar sont des nombres réeJs
donnés, à l'exception du dernier Am que, pour le moment, nous laisse-
rons indéterminé. Désignons, en les rangeant selon l'ordre de grandeur
numérique, par + l, + -+-L les valeurs positives, et par –X,
X', A les valeurs négatives que prend la fonction /(a:), lorsqu'on
y remplace x par les valeurs des racines réelles de la dérivée f (x) = o.
L'équation (E) acquerra ou perdra deux racines réelles, chaque fois que
le terme Am dépassera, positivement ou négativement, les valeurs succes-
sives X, X', Enfin, si Am> + L ou < A, elle n'aura plus,
pour m impair, qu'une seule racine réelle; pour m pair, que deux racines
réelles dans le premier cas et aucune dans le second.
La supposition de Newton ne se confirmerait donc que si sa Règle pou-
vait se plier à toutes ces variations successives, produites par celle du seul
terme Am. Or on comprend a priori qu'elle ne saurait, en général, posséder
une telle flexibilité, puisque, dans les conditions précitées, elle ne dispose
à cet effet que de deux éléments variables pouvant influencer le signe de
la pénultième fonction quadratique de la suite (Go), savoir le signe et la
valeur numérique de Am. Au reste, j'en vais donner une démonstration fort
simple, suivie d'exemples qui la rendront aussi claire qu'il est possible.
» II. Théorème. Quel que soit le nombre exact 2k des racines imagi-
naires de l'équation proposée, si la Règle de Newton en indique a pour cette
même équation, lorsqu'on laisse Am indéterminé, donc aussi l'avant-dernier signe
de la suite (Go), elle en indiquera 2 p au moins, et 2 p 4- 2 au plus, lorsqu'on attri-
buera au dernier terme Am des valeurs comprises entre (A + s) e< (L +• s),
s étant une quantité positive, aussi petite ou aussi grande qu'on voudra. En
d'autres termes, ses indications varieront, au plus, de deux unités, quelle que soit
la valeur de Am.
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