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- - M. S. Lovén fait hommage à l'Académie d'un ouvrage portant pour titre: "Études sur les Échinoïdes".......... Page(s) .......... 507
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« M. LE Veebieu regrette qu'un incident l'ait empêché d'être présent
quand M. Fizeau a déposé le travail de M. Cornu, et qu'ainsi il n'ait pas
pu rendre hommage à l'important travail de photographie astronomique
exécuté par l'auteur à l'Observatoire. »
ANALYSE. Sur les équations différentielles linéaires du second ordre.
Note de M'. Fpsch, présentée par M. Hermite.
« Nous venons de voir (i) que, dans notre cas, une forme primaire,
comme je l'ai définie dans mon Mémoire, est d'un degré plus élevé que le
deuxième. Il suit alors du même Mémoire que le moindre degré N d'une
telle forme ne pourrait avoir qu'une des valeurs 4* 5, 8, 10, 12. Nous allons
faire voir que, dans notre cas, N est égal à 12; car, en soumettant une
forme binaire composée de/ j2 et du degré N, où N a une des valeurs
que nous venons d'indiquer, aux conditions i° d'être invariable par une
circulation de z autour du point z = î, à des racines de i'nnité comme fac-
teur près; 2° que ni la forme même, ni sa covariante hessienne ne con-
tienne des facteurs quadratiques (voir p. n4 et l 16 de mon Mémoire), on
déduit qu'une telle forme ne peut être d'un degré moindre que le douzième et
qu'elle est composée semblablenaent à la forme (5).
» Soity une intégrale quelconque de l'équation (1) et soit l'équation
algébrique à laquelle satisfait t^r du nième degré. D'après un théorème
d'Abel {Journal de Crelle, t. VI, p. 77 voir aussi le Mémoire de M. Liouville
dans le Journal de l'Ecole Polft., Cah. XXIII), iog y a la forme À \ogu,uètant
une fonction rationnelle de s etds Cet A eu notrecasun sombre rationnel.
Donc une certaine puissance de j, soit y'1, est une fonction rationnelle de
z et Ç, et satisfait par conséquent aussi, comme l'on sait, à une équation
dont le degré ne surpasse pas le nombre n. D'après le théorème du P. Pépin
cité ci-dessus, pour une certaine intégrale, n ne surpasserait pas le nombre 4-
Par conséquent, on pourrait, pour cette intégrale, trouver un nombre en-
tier [x tel que y'-L satisfasse à une équation dont le degré ne surpasserait pas
le nombre 4? c'est-à-dire que y ne pourrait acquérir par les chemins divers
de z plus de quatre valeurs dont !es quotients ne soient pas racines de
l'unité. Le système réduit (voir mon Mémoire, p. 3) de cette équation,
n'ayant plus ainsi que quatre termes, offrirait une forme primaire, dont le
degré ne surpasserait pas le nombre &. Or nous avons démontré ci-dessus
(ij Comptes rendus, séance du 26 juin 1876, t. LXXXII, p. i4g4*
quand M. Fizeau a déposé le travail de M. Cornu, et qu'ainsi il n'ait pas
pu rendre hommage à l'important travail de photographie astronomique
exécuté par l'auteur à l'Observatoire. »
ANALYSE. Sur les équations différentielles linéaires du second ordre.
Note de M'. Fpsch, présentée par M. Hermite.
« Nous venons de voir (i) que, dans notre cas, une forme primaire,
comme je l'ai définie dans mon Mémoire, est d'un degré plus élevé que le
deuxième. Il suit alors du même Mémoire que le moindre degré N d'une
telle forme ne pourrait avoir qu'une des valeurs 4* 5, 8, 10, 12. Nous allons
faire voir que, dans notre cas, N est égal à 12; car, en soumettant une
forme binaire composée de/ j2 et du degré N, où N a une des valeurs
que nous venons d'indiquer, aux conditions i° d'être invariable par une
circulation de z autour du point z = î, à des racines de i'nnité comme fac-
teur près; 2° que ni la forme même, ni sa covariante hessienne ne con-
tienne des facteurs quadratiques (voir p. n4 et l 16 de mon Mémoire), on
déduit qu'une telle forme ne peut être d'un degré moindre que le douzième et
qu'elle est composée semblablenaent à la forme (5).
» Soity une intégrale quelconque de l'équation (1) et soit l'équation
algébrique à laquelle satisfait t^r du nième degré. D'après un théorème
d'Abel {Journal de Crelle, t. VI, p. 77 voir aussi le Mémoire de M. Liouville
dans le Journal de l'Ecole Polft., Cah. XXIII), iog y a la forme À \ogu,uètant
une fonction rationnelle de s etds Cet A eu notrecasun sombre rationnel.
Donc une certaine puissance de j, soit y'1, est une fonction rationnelle de
z et Ç, et satisfait par conséquent aussi, comme l'on sait, à une équation
dont le degré ne surpasse pas le nombre n. D'après le théorème du P. Pépin
cité ci-dessus, pour une certaine intégrale, n ne surpasserait pas le nombre 4-
Par conséquent, on pourrait, pour cette intégrale, trouver un nombre en-
tier [x tel que y'-L satisfasse à une équation dont le degré ne surpasserait pas
le nombre 4? c'est-à-dire que y ne pourrait acquérir par les chemins divers
de z plus de quatre valeurs dont !es quotients ne soient pas racines de
l'unité. Le système réduit (voir mon Mémoire, p. 3) de cette équation,
n'ayant plus ainsi que quatre termes, offrirait une forme primaire, dont le
degré ne surpasserait pas le nombre &. Or nous avons démontré ci-dessus
(ij Comptes rendus, séance du 26 juin 1876, t. LXXXII, p. i4g4*
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