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68 LEÇONS SUR LE CALCUL
LEÇONS HUITIÈME.
DU DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS LORSQU'ON DONNE A LA VARIABLE UNE VALEUR
DÉTERMINÉE. CAS DANS LESQUELS LA RÈGLE GÉNÉRALE EST EN DÉFAUT. ANALYSE
DE CES CAS. DES VALEURS DES FRACTIONS DOVT LE NUMÉRATEUR ET LE DÉNO-
MINUTEUR S'ÉVANOUISSENT A LA FOIS.
La théorie des fonctions dérivées est fondée sur le développement
des fonctions lorsqu'on attribue à une variable un accroissement indé-
terminé. Nous avons montré dans la Leçon II que ce développement ne
peut contenir que des puissances entières et positives de la quantité
dont la variable est augmentée, tant que cette variable demeure indé-
terminée, et nous avons ensuite déduit de cette forme les lois de la
dérivation des fonctions. Il est donc nécessaire, avant d'aller plus loin,
d'examiner les cas où elle pourrait se trouver en défaut, et les consé-
quences qui en résulteraient relativement aux fonctions dérivées.
Nous avons vu, dans la même Leçon, que la série du développement
de f(x+i) ne peut contenir de puissances négatives de i, à moins que
l'on ait f(x) = à l'infini, parce que, en supposant i=o, les termes qui
contiendraient de pareilles puissances deviendraient infinis. On peut
prouver de la même manière que la série ne pourra contenir aucun
terme multiplié par log i ou par une puissance positive quelconque de
logi, si la même condition n'a lieu, ces sortes de termes devenant éga-
lement infinis lorsque i = o. Or cette condition exige que la variable x
ait une valeur déterminée, qu'on trouvera par la résolution de l'équa-
tion
LEÇONS HUITIÈME.
DU DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS LORSQU'ON DONNE A LA VARIABLE UNE VALEUR
DÉTERMINÉE. CAS DANS LESQUELS LA RÈGLE GÉNÉRALE EST EN DÉFAUT. ANALYSE
DE CES CAS. DES VALEURS DES FRACTIONS DOVT LE NUMÉRATEUR ET LE DÉNO-
MINUTEUR S'ÉVANOUISSENT A LA FOIS.
La théorie des fonctions dérivées est fondée sur le développement
des fonctions lorsqu'on attribue à une variable un accroissement indé-
terminé. Nous avons montré dans la Leçon II que ce développement ne
peut contenir que des puissances entières et positives de la quantité
dont la variable est augmentée, tant que cette variable demeure indé-
terminée, et nous avons ensuite déduit de cette forme les lois de la
dérivation des fonctions. Il est donc nécessaire, avant d'aller plus loin,
d'examiner les cas où elle pourrait se trouver en défaut, et les consé-
quences qui en résulteraient relativement aux fonctions dérivées.
Nous avons vu, dans la même Leçon, que la série du développement
de f(x+i) ne peut contenir de puissances négatives de i, à moins que
l'on ait f(x) = à l'infini, parce que, en supposant i=o, les termes qui
contiendraient de pareilles puissances deviendraient infinis. On peut
prouver de la même manière que la série ne pourra contenir aucun
terme multiplié par log i ou par une puissance positive quelconque de
logi, si la même condition n'a lieu, ces sortes de termes devenant éga-
lement infinis lorsque i = o. Or cette condition exige que la variable x
ait une valeur déterminée, qu'on trouvera par la résolution de l'équa-
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