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Titre : Théorie des nombres : traité de l'analyse indéterminée du second degré à deux inconnues ; suivi de l'application de cette analyse à la recherche des racines primitives avec une table de ces racines pour tous les nombres premiers compris entre 1 et 10000 : mémoire présenté à l'Académie des sciences et inséré, après rapport, au recueil des savants étrangers / par E. Desmarets,...

Auteur : Desmarest, Eugène (1786-18..). Auteur du texte

Éditeur : L. Hachette (Paris)

Date d'édition : 1852

Sujet : Théorie des nombres

Sujet : Équations du second degré

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37383218v

Type : monographie imprimée

Langue : français

Format : 1 vol. (IX-312 p.) : tabl. ; 27 cm

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Description : Collection numérique : Originaux conservés à la Bibliothèque de l'École polytechnique

Droits : Consultable en ligne

Droits : Public domain

Identifiant : ark:/12148/bpt6k994948

Source : Bibliothèque de l'Ecole polytechnique, A2B 196

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 15/10/2007

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DESMAREST, E.

TY~H~ de /~M~~C

Ï~~FWMF~ du ~~Cû~~ ~~F*~ deux ~CCMMM~

Hachette

Paris 1852

R-~asr. M MUBUft

EMM.t()f<f'Mi =;. RC–NM––'

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LANALYSE INDËTERMtNËE DU SECOND DEGRÉ A DEUX mCONMES

Dt L'APPUCATtOt) Ot CETTB AKALYSB A LA BECHtMBB MS MACtNKS PMtMmVBS

AVEC UNE TAKLE DE CBS BACMBS POUK TOfS LES NOMBMS PMMUas COMPHtS BSTRB t BT tOOOO ~jfOME P~7~ t~~O~t' Mi. SC~WBS

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/~mËORtE DES- NOMBRES

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Ambroise LEFEVRE

47 Quai uuc ~fUi~s A's~ius t'.Uilâ.

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!HBRAtME ~E L. HACHETTE ET C' Mt'B P)Kt<RK-8AMNA!!).<t, N' )<

:t'rtsde)'~o)edeM<'<h!efne.

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ERRATA.

FAUTES ESSENTIELLES A COR&tGER.

Pagett,)igne84,<K'

i6, )ignes 4 et ca/'fM )e Cfjeftieient de r.

M, )igneS, 20'?a,/w:M77.

S7,)j~7.t8.+'.

32, lignes <i,i3,)!i7, <yo«~! A an coefSeient de

44, lignes 98 et 30, <M<t': –R au second membre de ta premtere egaiite. 46, ligne 10 =R, /MM –R.

S8, lignes S, 3, 4, S, M/Tf.: te coefficient de r.

S8, ligne 10, –~ et -)-&/<, /MM +2n et –

H6,)ignei2,X=.c–30,/MMX=.r+30.

188, ligne 27, n' 89, ~M n< 88.

189, ligne 2S, n' 89, /<M n° 88.

989, tigne~O, c'ett'a-dire, /M< est-ce dire

:E

THÉOME DES NOMBRES.

TRAITE

Dt

L'ANALYSE INDÉTERMINÉE Dt.'

SECOND DEGRÉ A DEUX INCONNUES.

INTRODUCTION.

i. L'analyse indéterminée du second degré est une science toute moderne. Euler parait en être te véritable créateur; on lui doit, du moins, les premières méthodes tentées sur cette partie, méthodes incomplètes, mais qui constituent les premiers enseignements réguliers sur la résolution, en nombres entiers, des équations du second degré à deux inconnues. Lagrange, Legendre, plus récemment Gauss, Poinsot, Cauchy,Jacobi, etc. ont ajouté à cette théorie des principes remarquables; les faits sont donc nombreux, mais épars, et dans la limite même de deux inconnues, cette analyse n'a pas été, ne pouvait pas être présentée en corps de science. Le traité que nous publions est le résultat de plusieurs années de travaux. Est-it un exposé méthodique et complet de cette théorie qu'Euler nommait épineuse? Prendra.t-i! la place que nous lui assignons? Le public jugera; mais nous croyons être dans le vrai en disant que cette place était libre. Ne parlons que des ouvrages les plus étendus et qui offrent un ensemble de principes sur le sujet qui nous occupe Essai ~M/' la théorie des w~M, par Legendre; DMy«w</o/!M <ï/'Mwc</cs, de Gauss. Malgré notre

protbnd respect pour ces maitres de la science, nous pensons que le premier est un simple recueil, et son titre l'indique, de principes déjà connus ou dus à l'auteur, sur la théorie des nombres, c'est-à-dire sur toute l'analyse indeter. tninee. Quant au second ouvrage, peut-être est-il permis de reprocher au savant allemand t'emptoi de notations particulières, de dénominations nouvelles qui ne paraissent pas indispensables. Remarquons, d'ailleurs, que le travail de Gauss, justement intitulé ~ec/cAf~ est purement théorique, ne donne aucun moyen pratique de résoudre en nombres entiers les équations du second degr~ à deux inconnues*. Ces remarques ne peuvent diminuer le mérite d'auteurs Cette opinion est le résultat d'une étude approfondie de l'ouvrage précité; néanmoins quelque!, développements peuvent être nécessaire)!, surtout pour ceux qui, consciencieusement sans doute, mais sur parole d'autrui, pensent que Gauss a complète cette partie de l'analyse des nombres.

Étant donné a résoudre, en nombres entiers, l'équation du second degré à deux inconnues AX'+2BXY+C~+8DX+aEY+F==0;

la méthode connue de résolution de cette équation suppose que l'on a calculé préalablement lesdiverses solutions, en nombres entiers, d'une première équation auxiliaire <M*-)-2&ty-~<y' = M, cette seconde recherche admet la connaissance des solutions entières d'une seconde équation auxi.liaire s'–A=M«; or, dans l'état actuel de cette partie des mathématiques, le dernier point qui est capital reste purement hypothétique; on n'a aucune méthode de résolution en nombres entiers, de t'équanon fondamentale z'–A=M«; Gauss perfectionné d'une manière admirable la méthode qui établit le passage des solutions supposées connues de l'équation ~*– A == M« aux solutions de t'équation <t~* + 8~ + <~ = M nous rendons justice pleine et entière à la ~acité du savant allemand sagacité à laquelle nous devons les principes essentiel qui consti. ment notre seconde partie; mais si, comme il est dit dans le texte, nous avons un profond respect pour ce maître de la science, le respect n'exclut pas l'examen, il nous est impossible d'admettre, non pas seulement comme méthode, mais même comme moyen quelquefois pratique, les diverses indications données par Gauss pour la résolution de ta congruence <* = A (module M/, congruence qui est bien l'équation z'– A = M«. L'auteur convient lui-même, n° <SS, que s<s indications ne sont pas générales et sont rarement utiles citons le paragraphe qui termine la section IV.

Jusqu'à présent nous n'avons traité que la congruence simple :'==A (module M); nous avons appris à reconnaitre les cas où elle est résoluble; par le numéro i08 la recherche des racines ettes-mémes est ramenée au cas où M est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier, et par le n" iOi ce dernier cas est ramené à celui où M est un nombre premier. Quant à celui-ci, en comprenant ce que nous avons dit n° 61 avec ce que nous enseignerons section V, on aura presque tout ce qui peut se faire par les méthodes générâtes; mais dans

pfaees avec raison parmi les analystes célèbres; eUes ex.pu<}uent la pensée qui a présida notre travail elles expliquent également les motits de la division de ce traité en trois parties: s

Première partie, résotution de l'équation

aX'+~-t-c=K.

Deuxième partie, resotution de l'équation

2~.t~{- c~" == M;

Troisième partie, résolution de l'équation

aX' 2AXY cY' + 2dX + 2eY +/== 0.

le cas où elles sont applicables, elles Mat infiniment plus longues que les méthodes indirectes que nous exposerons section VI et partant elles sont moins remarquables par leur utitité dans la pratique que par leur beauté. »

Faisons sur cette citation deux remarques

Les principes exposés par Gauss n° 04 et suivants et section V, ne peuvent donner que les racines de la congruence e* = 1 (modute M) qui est l'équation ï'–l==M<f, ces principes sont donc rarement utiles.

L'ensemMe indirect relaté section VI est un procédé ù l'aide duquel une persévérance opiniâtre peut, si les nombres A et M ne sont pas éieves, exclure tous les nombres entiers qui sont étrangers aux solutions de la congruence ~= A (module M).

Cette note est un peu longue, mais elle établit nettement la nature du fait hypothétique qui servait de base à toute cette analyse; la méthode indiquée ne pouvait donc présenter un caractère pratique, elle n'avait pas un caractère généra), puisque toutes les équations incomplètes échappaient à ses lois.

PREMIÈRE PARTIE.

RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION aX'X-~e==K.

3. Si l'on pose ~==~) l'équation proposée prend la forme

.c'-}-6.)-<K'=<ï.K.

Enfin, si l'on pose &===<y, <K;==~, Ka= P, cette seconde équation devient ~+~+/-==P.

la résolution proposée est donc subordonnée à celle de l'équation -~+7.c+~==P.y,

et celle-ci étant résolue on doit montrer le passage régulier de x a X, c'esta-dire indiquer, parmi les valeurs entières de x, les multiples exacts de M. 3. LBMMB. Si un nombre est représenté par la formule .t'r, les nombres q et r étant entiers, l'expression de la racine carrée de ce nombre offre quelques circonstances qui nous seront utiles.

<° Si le nombre q est impair,

La racine carrée par défaut étant H~=.c-}-~–i, le reste est H -t-~+'* 4 t

La racine carrée par excès étant H,=.)-2~,leresteest–Ht-}-~±~.

La lettre A représente le nombre entier 4<- – ~j ce nombre qui repara!tra fréquemment diU). toute cette partie sera invariablement représenté par la même lettre.

2" Si le nombre y est pair,

La racine carrée par défaut étfmt H, = x -{- te j'este est La racine carrer par excès étant H,==.t'-(-1, leresteest–2H,-}- I)e simples catc~h prouvent l'exactitude de ces propositions. it est d'ailleurs manifeste que les propositions réciproques sont exactes.

RtlSOMJTKM PH ÉQUATION ~+~+r=P.

4. Cette recherche peut ~tre énoncée de la manière suivante Les nombres P, y, étant entier~ trouva deux nombres entiers a, h, qui vérifient l'égalité a*H-}-==P./(. Ces deux nombres « et Il constituent une solution de l'équation proposée. Or, la connaissance d'un nombre a, applicable à l'inconnue amène immëdia~ment celle de deux autres nombres –(P–a) et -(P-a), applicables à la m~e incopnue. Si l'on désigne par /t-y-2< les valeurs de y correspondantes, et si l'on conserve dans le calcul la lettre générale x, on a les tro{~ égatité~ suivaftes

p.)-~)-)-~

P(A~(P–.c)(P-~–<y)+~,

~+~2<)===(P+.~)(P+~+y)+~

de ta on déduit ~-=%~–(!), <== 2~-{-< et par conséquent on a les deux égalités [B]~==:P, <A==4P/<, qui nous seront utiles dans ta suite.

Les nombres P et r donnent des produits qui doivent ctre représentés par la formule .K'-)-y.c-{. or, ces nombres obéissent, en général, à une loi ana.logue à celle qui caractérise les nombres dits figurés. Keprésentons, comme ci-dessus, par A, ~f- les trois premières solutions en y, et formons les deux pMMressions suivantes

j, 3.e, 5~ 7~ (2K– 2~), 2<(2), 2~(3), '~4; 2/(K).

Fonnons aussi

r régression /<+j ~+3-t-5+7.+(~-3)+(2P< ~+2+3+4.+(N-~+ -i- N )

fF==A+!~+~+~+~+~]

-~esno~s ¡ ~~+2+3.+(~~ j t~=~-t-! ~+3+5+7. ~(2N-<)] '~+2+3+4.+ + N ]

Chacun des nombres F et F', multiplié par le nombre P, donne un produit dont la forme est les nombres x, y, r, étant entiers. Calculons, en effet, chacune de ces valeurs, en remarquant que le nombre des termes multiples de t qui entrent dans F est inférieur d'une unité à celui des termes multiples de t qui entrent dans f, on a

F==A-t-~f'N–~)N,

?'==~+~(N-~).

Multiplions chacun de ces nombres par P, on a, en employant la première des équations [B],

F.P==(~)W-.<N(~)-t-(),

F'. P==(~)W- ~+~) -}-~+~).

L'égalité ~= 2~ + indiquée précédemment, montre que les nombres < et ? ont simultanément le même état, soit impair, soit pair; si dans l'un et dans l'autre cas, on extrait la racine carrée, si on note les restes, on a les résultats suivants. Les nombres t et y sont impairs dans le premier groupe et sont pairs dans le second.

Racine carrée de F.P == (j- f)N – '+~,

R~ ~+~+~+~1. i Racine carrée de f.P == (~-{- ~)N -t- i~-i

Reste =(.+~+~+~+~

On doit donc démontrer (LeMME n" S) I", dans le premier cas, l'exactitude après simplification de l'égalité

2% dans le second cas, l'exactitude de la même égalité

or, cette égalité unique est une conséquence des égalités [Bj. Il est donc démontré que les nombres entiers F et F' sont des solutions de à chacune de ces solutions correspondent deux valeurs de .r.

A l'hypothèse restreinte d'un nombre unique P, substituons une hypothèse plus large. Soit une suite de nombres entiers ,P, ,P, ,P, ,P, ,P. Si cettesuite n'est pas complétement arbitraire si, /w c;c., chacun des nombres qu i lui appartiennent réalise plus ou moins directement l'équation ;=P. les nombres x et/ étant entiers, on conçoit que les nombres, déduits par un procédé analogue à celui que nous avons présenté, obéiront à quelque loi plus ou moins régulière, et réaliseront d'une manière plus ou moins directe, la même équation. Remarquons, d'ailleurs, que dans la recherche actuelle, les nombres P et sont placés symétriquement, et qu'il nous est permis, pour faciliter l'explication, d'intervertir les rôles simultanés que ces nombres remplissent. Nous admettrons que chaque nombre de la suite ,P, ,P, ,P, ,P, etc., caractérisée précédemment, 4 ° ou présente la forme générale ?' -{- telle est la suite r, t+y+~ 4+2?+/ 9+3y+r, ~+~-)- 2" ou donne, chaque terme étant multiplié par le nombre invariable A, un produit

Racine carrée de F.P == (f + t)N –

Reste ==/(~-t-~– i

Racine carrée de F'.P == (~+ +

Reste ==~)–

ltrs t A dr-r/

~==~

~)-~==~ i

4 4- 4-

(tout ta (bnne est ~-{-{- telle est la suite ~-1, A-t-A-Ll~ r /,A+2~+~ .)A+.l~~±i, A~+A~+~. L'adoption de ces suites n'est pas faite au hasard, elle est uueconséttuence immédiate de toute recherche sur ta résolution, en nombres entiers, de t'équation .ï.( -)-== P. et nous démontrerons que l'on peut, par une tuéthode géncrate, déduire de cette adoption une solution de l'équation propusée;or, dans cette étude, comme dans plusieurs autres sur la théorie des nombres, dans la recherche des racines primitives par exemple, tu, et seulement là, refide ta duncutte sérieuse, les autres nombres inconnus étant liés au premier pardesretations extrêmement simples. Nous pourrions prolonger l'examen des principes généraux qnt appartiennent à la partie actuelle, et suivre les développements raisonnes offerts par les nombres déduits de la première suite, puisque cette suite laisse au nombre un caractère générât; néanmoins, nous avons cru devoir étaHir, dès à présent, la division exigée par l'état impair ou pair du même nombre y. Ce mode nous a paru ajouter quelques clartés à nos explications, et nous avons lieu d'espérer que cette opinion sera partagée par tous ceux qui liront l'ensemble de ce travail.

RÉS(MmON DE L'ÉQUATION + 7.r + <-= P .y. (Le nombre ctant impair.) (;. Cette résolution présente deux chapitres qui prennent leur point de partage dans la nature diverse des deux séries précédemment indiquées. CHAPtTBE PREMIER.

7. Considérons la première des deux séries'primitives,

~+7+~ 4+2<y- 9-~+~ t6-~+/

terme général /t'

série que nous représenterons par les lettres .P, ,P, ,P, ,P, “?. Si l'on dé.signe par /<, s, 2t les nombres relatifs à un terme de cette suite, c'est-à-dire Une simple transformation de calcul démontre regatite

~+A'.+~=(A.+~)'+,(~+~)+r.

les nombres qui ont, avec chaque terme de cette suite, les rotations indiquées n" 4, avec un sent nombre P; relations qui, dans le cas actuel, donnent les égalités P==~-)-~==~{-}- /<='), /}-A===4P. on aura, en faisant, par exempte, sur.,P les raisonnement!) faits dans les circonstances anaio.gués, x" 4

~=~~ 4 J

j

~+2~2 j l

p=/<+~+~+' 5

~2~+2 ]

p _+~+&+-); ~l j ]

"2~-t-2+3+. N ]

p -J- ~+3+7+7+.(~-t)+(2N+~]

"{-2+3+. ]

p -4'+3+5+.2N-~ +(2N+~] .+.- <-t-2+3+4+.N 1 ) + K-~ ]

De là on déduit

~==(~~+~+~

.~=~+~+~+~-+~)+4,

ou, par l'intermédiaire des égalités P==s-)-<===~ <)-4/'–y'==4P~ /<=')

~=(~+~+~+~-(2~+y,(N+~.+~

~+,=(~+~+~+~/+(2~+~+~+~.

Si nous substituons d'abord a N, et successivement, la suite naturelle 1, 2, 3, 4, etc.; si ensuite nous faisons la même substitution pour M, nous construirons ainsi une table analogue a celle que l'on désigne en arithmétique sous le nom de Table de Pyttiagore ta nouvelle table est sans limite, et, soit pour faire image, soit pour faciliter les explications ultérieures, nous appâterons ~.f colonne les divers nombres qui appartiennent il notre série primitive; 2° cc&7!/<cj' verticales la suite des nombres déduits de chacune de ces têtes de cotonne. Conséquemment, la position exacte de tout nombre faisant partie de la

table est caractérisée par ta grandeur des nombres entiers substitués a N et à /< la valeur assignée à K, ou la /Mo/~c.Ef<c~ </M /<~ <wHf/M< ou la /H<A/e WM'</« /v</<~ //</<)/c«/M/~w; ce rang étant compté, par exemple, sur la première colonne verticale, sera marqué par un indice placé f< <wf<?~ au ~M de la lettre principate P la valeur douoée ensuite à Il indiquera le rang borixontat compté de gauche à droite, et sera marque par un indice placé M~Mt~eet ~« de la lettre principale P.

8. ÏHKonHME. Chaque nombre de l'une des séries horixontates P, P~ c està-dire chaque nombre appartenant à la table précédente, donne, si on le ntuttiplie par sa tète de colonne un produit dont la forme est .c-{- le nombres étant entier. La tête de colonne soit de soit de P~ est manifestement le nombre/<<7/<-t- or on a

t'(~+~+~=[~+~+~+i)-]'+[(/<'+~-t-~(?!+t)–(~+~ ft.+~+'-)==[~'+~+/-XN+i)+/:]'-t-[(/<y/N+~+/~+~. 9. TKÉOR~ME. Si on extrait la racine carrée d'un nombre appartenant aux suites horizontales ?,“ P, la racine et le reste correspondant auront l'une des deux relations suivantes

1 Relation Reste de ?“ = Reste de P,,+,.

Ces restes sont indépendants de la lettre et par conséquent sont invariables au moins pour deux suites horizontales, ils sont tous représentés par la formule AQ', le nombre Q étant entier.

2" Relation. Reste -{- racine de P,, = Reste -racine de P~. Ces sommes sont indépendantes de la tettre et par conséquent sont invariables, au moins pour deux suites horizontales; toutes constituent des nombres appartenant à notre seconde série primitive; en d'autres termes, toutes sont représentées par la formule AK'AK-{-~1 ces diverses propositions sont démontrées par le calcul suivant

P.=(N+~[~N+1)'-2(N+~~+r(N-(-N+~,+t, f ca8.N==~ (N+-<)V-}-~K'+(8~–4)K+~–4]~4/-K'-)-(8/2~)K -t-4~-2~==K2K+2~+~+~+A(K+iy.

2' cas. N ==2h (~+~ //<'+[4~K'+(4~–4~–2~t+4/'K'-t-(4~-–2y)k+f -~)=j~K+~/<+~+'~j'+AK'+AK+~-[(2K+~K+~j. P~=:)~+~N~/+'2(N+~~+7.(~)'+<y(N+~+~ cas. ~==2K+1. rK~4'/K'~8y+4;K+/~+4]M+4/'K'8/t-2y;K -{-2y+1 == [(2K+2~+yK.+<y+~J'-{-A(K-t-1

cas. K==2K. (\-+-4)'~4~k'+(4'y+4)K+~2]M+4~K'+(4/-+2y)K-{- +~<='(2K+<~+yK+~]'+AK'+AK+~2K~)~K+~]. Ainsi 1" lorsque te nombre N est impair, l'extraction de ia taciue carrée de chacun des nombres ?“ P,,+, donne un reste égal a A(K-t)'; 2° lorsque !<; nombre N est pair, l'extraction de la racine carrée de chacun des nombres p 1> Pt-tl donne 1111 reste (jui t~ l'(~galité l'este + rae, = AK'+ AK + ~t! P. ?“+) donne un reste qui v~nfie J'cgaHte reste-)-)'ac.== AK~-t-AK-)- on a donc !e résume suivant

N-2K Reste + racine == AK* + AK + –~– q-1

\==2K Racine ==r2K+~<+yK+~

'\==2K-t-1 Reste =A(K+~

S = 1 Racine ==(2K+2)/K-)-y–~

Reste -{- racine == AK.' + AK +

<i)t l\este+racinc=AK'+AK+At1 + 3

Racine =(2K+1~+~+~.

N==2K4-'t Reste =A(R+1)'

Racine =(2K+2)M+<yK+~+1.

10. La table constituée est, avons-nous dit, sans timite, mais l'ascension des nombres qu'e!)e renferme est assez rapide, ces nombres ne sont qu'une partie très-mimme de ceux que peut, dansFéquation donnée, présenter !e coefficient dey; or, adoptons une des suites horixontates, ?“ par exemple, de ta table précédente que nous appe!)erons ~/c/~M<M'< donnons a chacun des nombres de cette suite te rote de tête de colonne et recherchons les propriétés que peuvent ourir les nombres déduits par la loi citée de cette eu)te ou séné

secondaire P, La table primaire peut être représentée de la manière suivante

/p p u p p p p

t'" )*') Tt ~< i'o "'o'.)

p p p p p p p

t't t't t') r) t't i~t "'x')

P P P P P P P

)t, ,t, ,r, )t~ ,r, ,r,

P P P P P P P

~H' a'!) t*~ t't t~t t't "'0')

[H]

P P P P P P P

~'f–t t'–) ft<–) ft<–t )*M–t )*o-*)'"n'<'–)

P P P P P P P

o't< t'M <*)-< t't< "'n'~

\0'tt+t )'f+t <*f+t ~t'+t t'f+t !+) <t*)-t

t-expo!ié suivant a pour but de démontrer que si l'on adopte un tertHC générât représentant une des suites horizontales du tableau {H}, cette suite représente une série de têtes de colonne, c'est-à-dire peut être t'origine d'une table immense comme la première, et dont chaque nombre soit isolé, soit lié a sa tête de colonne, présente exactement toutes les propriétés qui caractérisent les nombres appartenant a la table primaire. Remarquons d'abord qu'une suite horizontale du tableau (H) est formée par l'une ou par l'autre des deux lois suivantes qui sont voisines mais distinctes, cette suite peut être formée 1° par le même nombre de termes multiples de et multiples de t; 2" par un nombre de termes multiples de t inférieur d'une unité au nombre de termes multiples de s.

p ( ~)+~+~5).+.(2N--))+~N+1)) )2~)+2/(2).+2<(N) )' p -<-t-( -~)+~)+.(5)+.+~+~2IS+1) 1 l'a.t-f=o~o~1- { ,f(1)+J'(3)+J'(5)+.+s(2~-1)+s(2N+1) 1 .+,–.f. '~(2~)-)-2~2)-t-2/(3).+2~)+2~N+~~ 1 ou, voir n° 6 vers la fin,

P.=~=(~+~(~)'-(~+y)(N+1)-H,

~=~=(~+~+~(N+~+(2~(N+i)+L

Désignons par <, les nombres liés aux suites .ir, et par les retations

déjà indiquées pour la suite primitive P; on a

~==~

~==~+~-p.(N'+~+/<

~=~N'+<+~+~.

~.==?~'+<)'+~'+D+/<

Catcutons les vatem-s des nombres /<, Aj, /<, te nombre par iequei o)) doit multiplier chaque terme de la suite P,,==n. ou de la suite ?“+,== f. est représente par la {brmute M'-j-t'on a donc /<,==/<,==M'-}-~<-{-r; 2" le raisonnement fait dans les circonstances analogues n" 4 donne les égalités Pour

-t+<t==~.

f~-)-A==4~

~==2(~-t-~+r)(N+1)-(27!+y;,

ou ~=~+(~+7).

Pour <{'.

~+~.==~

(/,)'+A=~A,

~,=2(~+~+/-)(!+<)+(2~+~

ou ~==~-(~+~.

Si dans ~.+, ?t,. <)~.+, on remplace tr. ~A.par leurs valeurs respectives, on a

“ ==[(N+~'+~-1]V+!~[(N+~fN'+~)]'-8(N'+~[(\+~[N'+~-i]j.< +~(N+~)(K'+<)-(N'+~j?[(N+~(~+~(!<'+~

<=[(N+<)(N'+~)+~W+M(K+i)(N'+~+)]'-9(N'+~!K+i~+<)+~~ +~(N+~(N'+~+l]'-(K'+l))?[(N+<)(X'+i)+~-P<'+i)!,

=[(N+<)(N'+i)-+{?[(N-t-~(N'+~]'+2(N'+t)[(N+~(!+<)-<])~ +~N+()(ï<'+<)-]'+~'+lM(X+i)(X'+<)-~+(?:'+l)i,

~~==[(N+~N'+~+~'+t?t:(K+~'+~+~'+a(N'+~[(N+~(N'+<)+~)., +,t(?<i)(ï<ri)+4]'+(N'+~K?!-).t)(K'+<)+~+~'+')!

Ces quatre formules nous permettent d'établir deux théorèmes semblables a ceux (lui ont été enoHcé!. n"' 8 et 9.

11. Tt~oKJhtE. Chaque nombre appartenant aux suites horizontaies ~+t donne, si on te muttipiie par sa tête de co!onnf correspondante, )))) produit dont ta (orme est .t' -)- << -t- le nombre .t étant entier, nous indiquerons seulement les principales circonstances que présente le catcut C~. ~.=~-S'+ ~(X'+/

~=(~+~+~+i)'-(~+?)(N+i)+i, r

21T0-2

''==~+~+?.

~.(~=~+t)'+~+~K'+l)+~'+~-}-.), )r ~(~==~+i)' (~+,,+~ ~'+-')'+~(N'+~+i~+~+~ La racine carrée de ce dernier produit est ~(N'-t- ~)– (~ -r'~ '?) <

le reste est ~(N'+i)- ~+~'+~ ou la racine carrée est T~' -}- d) –(/ 7')(N -)-<)-(-/),

le resteest ~[~(-~–(/j-r)(T!]~

< = ~-t-1)' +~ + + A,,

~.=(~+~+~+~-(a~?)(N~)+~

t i1f0-2 -+-gn..+- g,

~'='~T+~+?'

~(~==~'+i)'+ [~+~+?~](N'+ ~+~'+~<+~, ~.(~=(~'(N'+~'+2~(~+~(N'+~)+~(N'+~+~'+~+.). La racine carrée de ce dernier produit est ~~(N'-t- ~)-)- (~'T– +") <

le reste est ~(N'+i)-+~

ou la racine carrée est )r,(N' -}-i)~- (/ ~)(N -i)–(/

ie resteest ?[~(N'+<)+(~+~+~-)(N+~+?)]+<

:<. (: <~== ~N'+~+ 1)+A,

~.==~!<'+i)'p~-(~+V)](N+<)+.'+~+~,

~J=(~' +i)' ~– ") (K'+i)+?~"+-')+~'+~+~, la racine carrée de ce dernier produit est «~{-<;– ("j~ – ')

'm la racinc caft'ee est ~C<' -t-~– ~+~?+~)(~+~–+?j.

te )-Mtp f".t V[?(.~+ <)–("'+ ~+~+<)–(~ +?;]+~

t' CAS. ~,=-~K'+~'+~N'+1)+~,

~,==~+~+[~(~+?)]~+<)+~+~+.,

~?J=(pJ'+~'+S~f%+'/)]('<'+~+~!<'+~+~'+~+'-). r) n

La racine carrée de ce dernier produit est ~(K' <)+ S–– (~

ou la racine carrée est ~(K'-}-<)-t-(/t-/t?-t-)(N-~)-)-

leresteest '/[~'+~+~'+~+'-)(K+4)+/<]+~.

Ainsi, dans les quatre cas ou a reste = (~X''aci)]e)-{- le théorème est donc démontré.

i2. Ta~oRÈME. Si on extrait la racine carrée de tout nombre qui entre dans les suites horizontales on aura, entre les racines et les restes correspondants, l'une des deux relations suivantes

Relation reste de w,=== reste de ~j.,

~Relation reste de <p~ = reste de <

(~es restes, indépendants de la lettre n, et par conséquent invariables, au moins pour deux suites horizontales, sont tous représentés par la formule A.Q*, le nombre Q étant entier.

Relation reste + racine de == reste + racine de t?,+,

2 Ketatton reste-(-raone de == reste- raone de

Ces sommes, indépendantes de la lettre n, et par conséquent invariables, au

moins pour deux suites horizontales, sont toutes égates a un nombre apparte. nant :< ta seconde série primitive, c'est-à-dire sont représentées par ta (ormutf \K'K-)-–~–. indiquons seulement les principaux points du calcul.

)"C~ ~.=~+'+'+( ?[~+t~'+t)-t? 1.+~~+t~.+))-,)] J Cu, "h'- L-+'<+'+U-<]j -(?i'+~+<)~"+t)-ti-(~~<)~

Soit N'=XK-l, si après substitution, on extrait ta racine can'ëe du resu).tat, on a

Racine carMe == [(3N+2)K+9?f+<~+(~-)-s;K.+~+<

Reste =-~+a)K.+~ +1]~ +A(?!+ t)'K'+AH2~+3K + ~)-+~-2J]~

+A(?(+~)'<+~l2\

Racine can-ée == ['3N+Z)K+a!<+<]/<+(~+~–a)K~!t+~–

RMte+Mcine==A [(N+t)K.+N]'+A[(N+t)K.+N')+~+~.

Soit N'==2K, te résuttat varie selon t'état [~] pair[y] impair du nombre ~"1 Racine carrée == [(2!{-2)K~-N~+(~t-~–2)K~–'t.

Reste ==A[(N+1)K+~]'.

[2°] Racine carrée == [(2N+2)K-{-N]7!+(~-)-~–2)K-t-~i.

Reste+racine=A[(K+~K+~T+J(!S+1)K+~1~±i.

-C*s~ J~+~+')+~~+f~+~+')+~' ("+~+~N'+i)+~ ;.l' (-8(N'+<)[(N+~N'+<)+~ -(N'+1)!KN+~)+~(N'+<)i. Soit ~'==2K- si, après substitution, on extrait ta racine carrée du résut. tat, on a

Racine carrée = [!2N+S)K.+2N +3~ +(?N+ y– 2)K. +~ + 3(~

Reste =-[(S!N+2)K.+ 2N+3'+A(K+~'K'+[A(2N'-{-SN+3)–(~+~-a)1K. +A(N'+3N+~)-~+~Y

+A(N'+3N+tJ- 4 )*

Racmecan-ce = [(2N+a)K.+2N+3~+(?N+v–8)K.+?N-t-3(~Y

Reste+facme==A[(N+i;&+N+~]'+A[(N+<)K+N+~+~-+-l.

Soit ~==2K je résultat varie seion t'état [1°J pair, [2°] impair du nombre ffj Hacine carrée = [~'S+~h-+2j/+~–2)K-}-$-t-y–'). h<'stc =A[~-}--).R-}-}-1]'.

~J haci.~ carret. = ~~+~ K+ \~J/~(~y-2; K+~' heste+racine=A ~+~K+~]'+AJ(.\+~K+~ _[~+~iS'+~V+ (~j/.v+ij-~]' .t/]. (+i!~+~~+~+~J~ +~-+~;y[(X+~(.+i)-j]+(.N'+~ Soit ~'== 2K si, après cette substitution, on extrait ia racine carrée du résultat, on a

Kacinecat-ree =–[f2X+~K~K+~+(<~+y+2)K+~<+~,

ft~te ==-[(~+~K+~+~.<+A~+~K'+[A~+3N+~-(~+?+2)]K +~+~(~+~).

Restf+faeme== A[(K+ijK+~+A[~+~K+K]+.i~l ,.t.su)tat donné par Soit K'==2K. te résultat varie selon i'état ~"] pair, [2°] impair du nombre N. [f] Racinecarrëe = K~+2)K+N]M-{-(~+y-(-2)K+~+~

Reste ==Ar(.(-1)K-)-)' résultat donné par

[2°] Racine carrp<-== p2K+2)K-t-(~(-y–2)K-)-

Reste+racine =A[~+4)K+~]'+A[(N+~K+~]+~, résuttat donné par

4.CA. ,== ~+~+~+~~+ ~~+~'+i)+i]' +~~)(N'+<)+t]' U. ~"+I- ~!N'+~[(?!+~(N'+~+~+~~(N+~(N'+i)-)-~+~'+i)t.

Soit N'==2K- Si, après substitution, on extrait !a racine carrée du résuttat, on a:

Racine carrée = [(M + 2)K + M + + f~+ ~+ 2)K. + + ~+~, Reste ==- [(8N+2)K+2K+3~ +A(N+i)'H'+ [A(2K'+SK +3)-(~+<y+~]K. +A[?i'+3~+~+M~.

~tc+rac.M= A [(N+~K+N+~'+A[~+~+M+j]+~uhat donne par Soit N'=2K, te résultat varie selon l'état [1'] pai. [2"] impair du nombre N. ~] Racine carrée == [(2N+2)K+K-t-2~+(~'+y~-2)K+~ Reste ==A[(N+~)K -] luttât donné par ~.+,.

[2"] Racine carrée == [(2!<+2)K+N-}-2~+(~+y+2)K+~+y. Reste+racine=A[(K+l)K+~]'+Ar(N+~K+!~1+~ résultat donné par

Le théorème est donc démontré, et le résumé générât des faits que nouséta. blissons est consigné dans les deux tableaux suivants.

N'K+t j~~+~-==A[(N+~K+N]'+AKN+~K+N]+~±l,

t RaciM ==AK~+2)K.+:N+~N+?-S]K+?N+~.

x Reste-A N+I)K+

~{ 1 ~==~[~+<~+~

pair Racine= lN

\N'=2K P~ RaciM== [(2N+3)K+N~+bN+~-g]K~ N (Reste+rac.=Af(N~)K+~T+AF(N+~K+~1+~+l, nombre < 'JL ~J*

""P~' ( Racine = [(~+2)K+~+[(~+?-a~4-~–i.

X

Reste + rac.=A [(Iq+I)Y, +N+IP+A[(N + I)K+ N + 1] A+!

N'=:K.-t-i <RMte+rac.==A[(N+<)K+N+i]'+A);(N+~K+N+<]+~+i, -1 Raeme== [(2N+2)K+SN+3~+[?N+~-2]K+?N+3(~).

N Reste==A[(N+i)K+~-t.

nombre ileste=À[(lq + i)K + N

pair Racine== 9 ~N'==SK ~N+2)K.+N+~+bN+?-2]K+~+~-i. N t Re~.+ra..=Ar(N+i)K+ !'±iT+ Ar~~+~l +~+i, nombre L J L z j 4 \P<"rf RaciM= [(9N+8)K.+N+2~+bN+9-2]K.+~L~i

Re5te+rac.==A[(N+~K+K]'+Ar(K+i)K+H]+~.i,

N'K-1 1 Reste-f.rac,~Aj(N-)K-f-N]'-E.At(h.f.t)K-t~-f- ~=SK+< hacine= [(2N+!)K.+2N+<].<+[~+<y+S]K.+./N+~. ( Rest<'=Af~+~+~)',

i. N 2

nombre~ i Racine=

\M'==8K ( R.ciM=~ ):'2N+9)K.+~+bK+?+8]K+~+~. N'=2K

K (R~e+~=A~N+<)K+~t'+Af(N+~+~f+~ 11 ( Reste-f-rac.=A I !N·]-~)K-f-N -I,-A~'(N-9)K-~ft 1\1 J' -f-A h a,

if. nombre Je Resle+rac.=A IN+1)K+T 2 1 +A (N+1)K+7 + 1 4 nombre~ J J :+ impair Racine = [!2N+S)K+N]/<+~N+~2]K+~–. &

N'=2K+1 Reste+rM.=A[~+~K+K+<]'+A[(N+~K+K+<]+~. K'==SK+) g,,j.s ( Racine== [(8N+9)K+2N+3]7!+bN+?+2]K+?N+-

\i. N ( Reste ==A[~-+~+~+~,

nombre Reste N f

nombre R~~ine` N N'=2K pair ( Racines [(2N+~K+N+8)/!+[?N+?+2]K+~+?+~

N'=2K

N' ~K .Reste+rac.==A~+~K+'J+A[(N+~K+~]+~,

aonthre oN-<-3 impair ( Racines [(SN+%K+K+a]/!+bN+?+2]K+y+2– impair Racine= [(2N +2;K+N 2 Ajoutons à ce tableau les formules suivantes liées à la table primaire, c'est-àdire le résumé partiel du n" 9.

N-2K Reste+ racine == AK' -{- AK -)-

N==2K Racine ==(2K-}.(-K-t-i.

N=2K+~ 1 Reste ==A(K-t-

Racine =(2K+2)/:+yK+y–~

N 2K Reste + Racine= AK'+AK + ~J,

~=2K ,,<, 3

N.·-2K Racine ==(2K+4)~+yK+~.

N==2K+) 1 Reste ==A(K+~,

Racine ==(2K+2~+~K+y+<.

i 3. \ous n'avons exposé qu'une partie du chapitre actm'i, il ne uou~ est donc pas permisd'établir une conclusion générate; néaumoins, .si noscxptications ont été daires, on peut déjà entrevoit-ta suite de la route <)uc nous nous proposent; de parcourir, Faisons sur t'enscmbb précédent quetqut'st-ftnarqufs. anHopéex, il est vrai, par suite incomplètes, mais utiles et peut.t'tre iudispt-nsables pour t'inteitigencc du tableau numérique suivant.

Si, dans tes suites générâtes t' et i~ (n~ 6, vers la fin ou rentptacc successivement paries nombres naturels: 0, 1, 2, 4, etc., chaque sub.stitution créera deux suites horixontatesqui, dans les apptications, ser'.n) des functions de la seu!e lettre M; le résultat de ces substitutions sera la tabte que nous avons appelée ?~/<; /~wM~-c, et chaque suite, qui est alors coupos~. de tennes dénommes eo~w«-, sera t'o-igine d'une seconde table or. si, dans chaque suite générale donnée précédemment par le remptacement de on substitue successivement a K', cest.u-dire a k, les nombres naturels 0, ), 2, etc., le résultat final sera une série de tables dites yM/M~fWM/w'c.i.- et dans l'état actuel de cette théorie, 1° la première série primitive /<}-{- contient un nombre indéuni de termes et est Foraine de la table inhérente a cette série 2" chaque suite horixontate de la table primaire présente, a son tour, un nombre indéfini de termes, est l'origine d'une table secondaire, et chacun des termes ou nombres entiers de la suite génératrice est tête de colonne; 3° chaque terme ou nombre entier appartenant a l'une des tables précédentes présente, si on extrait la racine carrée qui est une fonction de/<, une des deux relatious

Reste = A Q', Reste racine = A. ? -)-. AH -{-

les nombres Q et H étant entiers ces quantités sont, d'ailleurs, représentées fréquemment par le même nombre, car elles sont invariables, au moins pour deux, et en générât pour plusieurs suites horizontales; 4° chaque terme ou nombre appartenant à l'une des tables donne, si on le multiplie par sa tête de colonne, un produit représenté par la formule le nombre vêtant entier.

Nous avons donc partagé tous les nombres en deux grandes catégories, selon que ces nombres appartiennent ou sont étrangers a nos tables; de ta Ce partage provisoire devra être modifié comme il sera dit à )a fin du second chapitre.

ou peut déduire un prcmipt mode de résotution de l'équation ~-t-'F+~-=='~

dans tes conditions précitée.

Etant donnée a résoudre en nombres entiers l'équation

,.<-{-+,.==P.~

le nomtx'e impair; si t équation proposée est résotubte, le nombre P occupe, en généra), une place dans les tables si donc, dans ce dernier cas, ou extrait la racine carrée de ce nombre si on désigne cette racine par R, et le reste par h,, ou a l'une des deux égalités

n,==A.Q', R-t-R,=A.H'-(-A.H+~±~.

La position, jusqu'ators inconnue, du nombre P est conaptetcment déterminée a t'egatite caractéristique donnée correspondra, en général, une racine fonction de /< cette racine, égalée il R, donnera à M l'état de nombre entier, et la substitution de ce dernier nombre dans la tête de colonne inhérente a P donnera le facteur T, capable de créer le produit dont la forme est ;E*y.<-}- c est.a-dh'e fera connaître une solution de~

Ce premier et bref aperçu laisse de coté toutes les conditions, soit detitnite dans les essais, soit de possibUite de résolution de t'équation proposée ces recherches nécessaires suivront l'examen des faits relatifs au second chapitre de cette partie remarquons seulement que, dans l'explication actuelle, nous avons admis comme effectués les remplacements successifs de ~i, et ensuite de ou de K, par la suite naturelle 0,1,2,3, etc. Si, dans te résumé général qui termine le numéro précédent, on opère ces substitutions, le résultat est, comme il a été dit, une représentation de toutes les tables liées a la première gérie pri mitive l'ensemble régularisé donne le tableau suivant

t'

's==0 K'==:o N==~~

TABLEAL p p Ps i TABLEAU TITS DIL P. COtON11IL Till 1 Pt COLO-~init I*TR I)lt :~Oto»NX i! t. TtTtMCOMttNt Tt.MBitCOt.MSR ttfDtMCOMSX)! correspondante f la valeur eorr~pondantc à la valeur correspondante à la vatew

de Il donMe par la ra- de n donnée par la ra. de a donnée par la n.

cine, cine. i. â.

~+~+'~ ,.+t,+,).+,+<+.. ~+y~ h

nt+9"+:r, n\+(,+1)1I+'1+1 +r, +1 4r. ")'

1I.4C\U, a.u:¡,(U. 114C1'U, 1'1

HI '1-1 9+3 9+~ '1-1 r ~+~.= I '.+~ .+2±!i 8 .+~ ,1 Z = 3,+~ 5 ~+~±! ~N~ 3 )' y =. 1 1 1 2 2 2 = "±ii ~~±± I ~+~~ $ = f~ ~+~ 7.+~' 8 ~+~ ,.+~ T 4 2 1 Iii 2 1 lAii ~~±. 8 -¡- 2 1 4 i 1 2

=!~ ~+i±=i«,+i'~ ~+~~+~ H.+i~~+~; i 1 14r-2 2 t i 2 S ~+I~i~+"~ ~+~~+~! ,3.+i~~+i~ v ` i- 1 ~8n. i 2 19n+ Q 13n~ = "~ii .+i'~i ~+~? ,~i~ <+~ ,<+~" ~±1 n.+'~i < <~i~ ~.+~' 2 1 1 1 2 l, ='A±i <+~~+"~ ~+~ ~+!+1~ ="~±1 ~+~=i~+~ ~~d±, 4 2 + S' -2 't 2 y Q

==* '+?-' .+?+< ~~< <,+ y+9 3 = A. 2' ,+ .+ ~+< 4 9 .+ ~+ 6 = A. 9' ),+ 9~ .+ ~+< ,+ ~+ 7

A. t' ,+ 4~-) 1 .+ 4~+< 0

= A. S' .+ t~-) 1 .+ ~+< 4 = A. 0' .+ 0~-) .+ ~+) ==A.7' 73 4+7?-< n+7~+< <+~+<S .+7<+<6 J a =: 8 11+ 7q-1 n.l. 8q.1.~ n'i" 7'1+13 "+ ''1+45 '1 A. ,+ ~-< .+ ~+<

t = A. O' n+ !)~-< ~+ 9~, f “ .“ 1

= A.<0' ,+t<< .+<~+< .+<~<, .+<~+!)< ¡

~––––––––––– !N===< N=2 K===3 3 P, 4 P. P, T~D! 0)! COMXKf: M)M!"« T~Tt OK HOLOXS)! Tt.T!! M COt.UKKt! Ttïti Of! COtOXM correspondante à la valeur con'espondattte a la correspondante & la correspondante ù )a correspondante a la de /< donnM par la ra- vateur de /< donnée vafem de /< donnée valeur de n donnée valeur de /< donnée ciné. par la racine, parfat'acine. par la racine. par la racine. 'r' «,'+~+<)n+!!y c~+~-e). ~'+(~+~ «)'+(<6~-)))« <e<'+«a./+))j<, +<+t' +<+< +<+9f. -<?+<+t0r. ~.4~.).)~ MCMM. )t*OMU. MO)tM. tttcnoa. fncfo.

j~ ~+~ G ~~I ~+~? 3 G j s ,.+~ 7.+~ 7.~ G ~+~ ,.+~ G ~.+!? ,.+!i ,.+~ ~+! ?li+-, s 2 2 ,+i~ a <+i~ .«+~ <~+i~ ~+i! .+i±tl .i~ ~+~ .+~ -7 ~+~ .+I~ ,~i~±,~i&HI ~+1~ ~+i~ <+~ n~i~ n.+~ n.+~ <~+~=I .+~ s a s $ s a .i"~ .+~ <~+~ii .+~

j' ~+~ ,+~

:o+ )-< ~+ ?+<

<t+<~–) <t+:y+<

8<t+<~–3 80+4~+3

)0a+e~–3 <0o+~+a

<4)t+~–6 <t)t+7?+6

<0a+9~–6 <6t+~+6

t.t'nsembip <te ce traite est terminé par divers exemptes numémmes: unr suite de ces exemptes Mtappticabteal'éqttation

.t'}-3t.t--)-24t=P

'toc autre suite est applicable al'équation

.t.r~9 =?.

i.e nombre est toujours premier absolu et donne, dans les deux suites, des équations résolubles eu nombres entiers ce nombre P est limité, dans la première suite, par 1 et )000; dans la seconde suite, par ~OUO et 2000; on doit donc, dans le tableau précèdent, et ù A, y, substituer, dans la première suite, les nombres 3, 3~ 24<; dans la seconde suite, les nombres –H, 59, 8C9. Ces substitutions donnent les résultats consignes dans les tableaux [H] et [H 6~.

Toute équation ~=P. le nombre impair, peut être transformée en une autre dans laquelle le coefncient de l'inconnue qui remplace x, est l'unité positive; te désir de conserver à la théorie précédente toute généralité, a dû nous faire éviter cette transformation dont l'examen aura d'ailleurs lieu dans le second chapitre; mais il peut être actuellement utile de montrer que le changement précité 1 ° ne complique pas la recherche de l'inconnue 2' permet toujours de soumettre le terme connu r aux conditions, r nombre positif et inférieur à P, conditions essentielles dans la limitation des essais. Soit l'équation

.t-'±:(2~f~-±r==P

si l'on pose.r=M±/t, le résultat est

«'±M–.A'–~±:=P.

)" Le changement du signe de l'inconnue nouvelle; 2° la diminution d'une unité ou de plusieurs unités dans la valeur de~ de ces modifications em.ployées convenablement, on déduira l'équation finale X'X-)-~==P. par conséquent, si on opère ces transformations, on devra ensuite et dans le tableau précédent, poser l'égalité <y=-)-l ce changement est si simple que la consignation des résultats nous a paru inutile.

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14. !\ous avons expose tes principales t'irconstances que présente t'étudc des retatiotts qui existent entre les nombres déduits de la première série primitive et l'équation .)-{-==: Les relations, avec la même équation, des nombres déduits de la seconde série, sont analogues. Considérons la seconde des deux séries primitives

4~-rt'-+. i 4r-rh i 3r-,rr tr~il, ~y. 4(4.+2(4/–~+~ Terme généra! /(4/' – ~') ~(4/' –/)-)-

série que nous représenterons par ,P, ,P, ,P, ,P; etsinousdesi. gnoHspar 2/des nombres dont les relations avec chaque terme de cette suite sont actuettement bieu connues, ou a

p./<=~-+~+~

P(~)==(P-)(P~~–~+~

P(~~)==(P+~+~-+y)+~

de ta on déduit

~==P, /==2~+y, ~-)-4/-–~==4PA,

ou si, comme précédemment, on pose 4/'–==A, etpar conséquent ~==A, la suite primitive qui nous occupe prend la forme

A+< 9A+i 3SA+< 49A+< (2~+~'A+~

–~–, "T"' l –4––' – 4 et les suites horizontales de la nouvelle table primaire sont représentées par les formules

P.==(A~+A~+~)(N+~A(2~)(N-H)+A, P~==(A~+A~+~±J)(N+~'+A(~+~)(N+~)+A. !?. TH~oa~ME. Chaque nombre de l'une des suites horizontales P. et P,

c'est-à-dire tout nombre appartenant a la table primaire, donne, si un le multiptie par sa ~c <&' w/w</<c, un produit dont la forme est <y < -}- le nombre r tétant entier. La tête de colonne est A~ A/ï -}- –' un a donc P~.P=t~'+~+'+</–A(~+t;(K+t)+A)~'+A/<+~'), ~=~(~'+~+~~+t/+A(~+<)~-+<)+Al~+~+~); i ou

~.p=~~+A.+~)(.+~j+~~+A.+~)(N+~A.) J ('fv·P~t~/f'-+-A/r- ~t~(Y..l-9rAtr-A~,t.~+L\~t'+Au-l-A~ (N+1)-AII-T t I '+~. 11

~P==~A~+A~+~(N+~+~j+f~+A~+~)(K+<)+A.<+~J L A+<

-t--y-.

\tasi, dans les deux cas, le reste est égal à la racine augmentée de~-i, par conséquent (Lemme n" 5) le théorème énoncé est exact.

16. Tt~oRKME. Si, après l'addition d'un nombre entier convenable ±:G, nombre qui peut être nul, c'est-à-dire si, après avoir rendu exactement divisible, et après avoir divisé par A, un nombre quelconque de la table primaire, on extrait la racine carrée du quotient exact entier obtenu, cette racine et le reste présenteront l'une des deux relations suivantes

1 relation Reste donné par P~ == reste donné par P~ Ces restes, indépendants de la lettre A<, par conséquent invariables, au moins pour deux suites horizontales consécutives, sont représentés par la formule

La notation Pf.P~t évite l'emploi d'une périphrase, mais il est essentiel de rappeler que les «ombres représentés parP~ et par P.~ doivent, avant l'extraction de la racine carrée, ~tre moditiés comme il est dit dans l'énoncé du théorème cette modification devra tonjouTs avoir lieu de la même manière; en d'autres termes, le signe du nombre G est d'abord arbitraire, mais le choix fait sera maintenu dans l'ensemble des essais pratiques indiqués plus loin. Cette note régularise la notation adoptée dans le résumé partiel qui termine le numéro actuel du texte.

'–~–, c'est-à-dire par le carré exact entier qui était donné dan« le cas analogue du chapitre précédent mais dans le chapitre actuel ce carré Q' est non multiplié; il est rendu divisible et est divisé par le nombre A. 2° relation Reste + racine de ?“ = reste -(- racine de ?“+,. Ces sommes, indépendantes de la lettre /<, par conséquent invariables, au moins pour deux suites horizontales consécutives, sont toutes représentées par l' la formule -?.– c'est-à-dire par un nombre appartenant a la première A

série primitive, ce nombre étant toutefois /WM&( ~M7M? et <~M~ <wc par A. Nous donnerons les points principaux du calcul.

~==(A~'+A~+~)(N+~-A(2~)(N-H)+A. Si après l'addition d'un nombre entier convenable G, on divise par A: si on ordonne le quotient selon la lettre on a

A+~(N-)-<)'-LArN4-2)±G

(N+~'+(N'+-'–––––~––––––.

Or,

1 CAS. Si N = 2K -{-1, le nombre est égat à

[(2K + 2)n+ K] + ~±~.

2' CAS. Si N==2K, le nombre est éga! à

~K+~+K+2]-[(2K+~~+K]+~+' P~=(A~'+A7!+~)(N~)'+A(2~)(N-H)+A.

Si, après l'addition d'un nombre entier convenable G, on divise par A si on ordonne le quotient selon la lettre ?, on a

~(N-~)'-(-A(N+2)±C

(N+~'+(N'+4N+3)~+-~––––~–––––;

')):

<" CAS. Si N ==2h-)- <, ic nombre est égal n

~~+2~+K+2]+~+.~±C.

2' C~s. Si K==2K, )e nombre est égal à

~+~.M+K+2j-[(2K+~/<+K+2J+~+~'+~+~ Les cas premiers n'ont pas besoin d'explications; dans les cas seconds, l'exa.men des restes prouve l'exactitude de l'égalité

l~eSte -+-1'aClne (K-–')'+y(K-~)+.±C

Reste + i-acine: = q(K i- --t- G -7

Reste + racine = ~–––2 A s ;-r

Le théorème est donc démontré, et on a le résume partiel suivant ==2K ~+~ == ~)' +~) +~ N=2K Racine =(2K.-{-1)~+K;

N=2K4~ 1 Reste=(K+~,

Racine=(2K+2)n+K;

N=2K ~+––––(~)'+~)+~ N=2K Racine==(2K~-<)/t-K+2;

N==2K+4 4 ~ste=(K+~)',

Racine==(2K+2)~+K+2.

i7. Les observations que nous avons faites dans la partie analogue du chapitre précédent, sont applicables notre étude actuelle les nombres qui constituent la nouvelle table primaire sont des coefficients de dans l'équation -~+?-c+~=P. Cette table est sans limite; néanmoins l'ascension des nombres qu'elle contient est assez rapide; ces nombres ne sont que des cas particuliers dans cet ensemble de coefficients, qui sont, sauf les impossibilités, complétement arbitraires. Est-il nécessaire de remarquer que notre route est tracée? Les séries horizontales qui constituent la nouvelle table primaire peu-

veut-ettes avoir le rote de têtes de colonnes, et créer ainsi des tables secon.daires? examinons. Les suites)' et P, constituant deux nouvettes séries pr<tniéres, séries que nous désignerons par~ et '? si on désigne par .t,, /< pom'w; 't! par~ pour <j), des nombres dont les relations avec et 'f ont f~te indi<~uees n" 4, ou a

~.==~+~+1)+/<

~=~+~+~H)+~.

~.===~'+~+i)+/<

~~==~+i)'+~'+i;+/<

Le nombre par lequel 00 doit multiplier chaque terme, soit de la suite t'~==~, soit de la suite ?“+,==<!)., est représenté par la {bnmue AK'+A~+~.

Les raisonnements faits dans les circonstances analogues (n° 4) donnent les relations qui existent entre t, et s, d'une part, <, et de l'autre; on a ainsi tes égalités

/<,==/~AM'-(-An+~,

~+~==~

(~'+A==W<

~.+~==?.. e

(<,)'+A==4?A.

Si de ces dernières égalités on déduit les valeurs de << les résultats sont ~=2A(N+~'+2A~+~(N-~)-A,

/.=2A(N+~'+2A(N+2~+~(K+~-)-A.

On a ainsi tous les éléments nécessaires pour le calcul des formules qui re. présentent les suites ~t,). ~'t ~+t-

Cestb)'mutesso))t:

==~A.<'+A/<+~')(?i+i)'-A(~+i)(N+i)+Al(N'+))' -[i!A(N+~<'+2A~+~(?<+~-A];N'+~-)-A~+A~+i±-

~~=!+A~+i±l)(!<+~A~+~(?<+~+Al(~+~' +[2A(!<+t)~-)-SA~+~i(N+~-A')(N'+i)+A~'+A/.+~. ~.=~+A~+~±-')(N+i)'+A(a7<+i)(N+i)+A](N'+~ -[2A(N+<~+2A(N+2~+~(N+1)+A](N'+~+A~+A~+~. .==~+A~+~)(N+<)+A(~+i)(N+i)+A](N'+~ +[aA~+~+9A(N+~+~(N+d)+A](N'+4)+A~+A~ Ces <brmutes ordonnées selon la teMre sont

~==A[!.?!+l)(?t'+l)–t]~'+[A(N'<XN'+~-A(~(N'+l)~ +~[P'+~'+~A(N'+~[(!t+~(N'+i)-(N'+8)], 1~~= A[(t< +i)(N'+~+~+[A(N'-l)(N'+i)'-}-Af2ï<)(N'+<)]/? +~[(N+~)(N'+<)+<]'-A(N'+i)[(N+l)(N'+i)-

t. =A[(N+<)(?+<)–l'iW+[A(îP+4N-}-3XN'+<)'–A(2N+4)(N'+<)]<) +~-[(N+~+~+A(N'+~[(N+1)()!<'+1)+~,

~.=A[(N+i)(N'+l)-)-<]'~+[A(N'+4N+3)(N'+<)'+A(3N+4)(N'+i~ +~+<)(N'+i)+iT+A(N'+4)[(N+t)(N'+~+(N'+Z)]. i$. TaÉoKÈm. Chaque nombre appartenant aux suites horizontales :!r,

TT, ~+,, donne, si on le multiplie par la tête de colonne correspondante un produit dont Ja forme est ~-}- le nombre étant entier. Dounons seulement les principaux points d'un calcul plus !ong que diPficile.

Racine = )A[(N+~(!<'+ ~–<](N+~+[A(!<'–');S"+~–AK]/)

Xt.it, donne ¡ +~i(N+d)[(K+~(~+~]-A~"+))-~i(N-<)-). i Re<te==)A[(.\+<X?''+~](K+<+[A(?!(N'+~-AK~ f + (N+<)[(N+iX!<'+~]-AN(N'+~(K-t)-< + ~1. /NMine=jA[(N+</?)'+~+<](N+<+[A("('<'+~+A~ + i±l (N~i~(N+~(N'-)-~] AN(K'+ + (K <),

donne Reste IA[(N IXN' 1) + 1](N + I)Iàe + 4 + 1) (ri Abla Reste = fA[(N + ~N' + +<](!<+ <))~' + [A(N' + + AN]<, + (N+~[(N+<);N'+<)]-AN(N'+~+~(?!+~.

Racine = fA[(K+<)(N'+i)-i](K+~+[A(N'+~+3)(K'+~-A(K+2J].< +~(N+~[(N+~(K'+<)-<]+A(N+~+~

donne Reste = {A[(N+1)(N'+<)-<]P<+~)~+ t:A(N*+4N+3XK'+l)-A(ï<+2j]~ + ~[N+~(N+~+~]+A(N+2)(N'+<)- ~i +

Racines )A[(N+~(N'+~+i];N+~+[A(K'+4N+3j(K~~+A(K+S)]~ +~(N+~[(N+~'+~+~+A(N+~N'+<)+~,

Reste == )A(N+<)(N'+~+<](N+~+ [:A(N'+4N+3)(K'+~+A(N+a)]7. + (N+<)KN+~'+~+i]+A(N+2)(N'+~+ +

Dans chacune de ces extractions de racines carrées, le reste diffère de la racine; la différence est i donc (lernme n" S), le théorème énoncé est exact.

i9. Tt~o~ME. Si, après l'addition d'un nombre convenaMe :±G, c'est'a<;

dite si, après avoir rendu divisible et après avoir divisé par A un nomixe appartenant u 1 une des séries it, ~+t, on extrait la racine corrée du ()uotient exact entier obtenu, cette racine et le reste précèdent présentent tune des retations suivantes

Reste donne par w~.== Reste (tonné par ~+,,

i relation Reste donne par ~.== Reste donne par ~+,.

(.t's restes, indépendants de la lettre n, et par suite invariabtes, au moins pour deux suites horizontales, sont tous représentés par la formule ––' c est-a'dire par le carré exact entier qui était dans le cas analogue du chapitre précédent; mais dans le chapitre actuel, ce carré est non ntuhip)ié; il est rendu divisible et il est divisé par le nombre A.

2° i Reste racine de === Reste-{-racine de

re a Reste racine de = Reste-)-racine de

Ces nombres, indépendants de la lettre M, par suite invariables, au moins pour deux suites horizontales consécutives, sont tous représentés par la formule ~:L~+''=~ c'est-à-dire par un nombre de la première série primitive, ce nombre étant rendu divisible et étant divisé par A. Dans le calcul suivant, qui prouve l'exactitude du théorème énoncé, l'addition du nombre G n'étant pas essentielle au début, cette lettre supprimée d'abord, doit être remise vers la nn; en d'autres termes, on devra rendre divisible et diviser par A le premier reste final obtenu.

CAS. La formule qui représente 1~ (n" 17, vers la fin) donne, si on la divise par A

5~'=[(N+i)(N'+i)-~<'+[(N'-t~'+')'-a?!(K'+<)+~ i+'.[~+<+~-i]'-A(?!'+))[(?<+<)(X'+i)-(!<'+S)] 2)]. +––––––––––T-––––––––––-

Soit K'==SK+< Mta Hacine<.wee==[(2K-)-~K+M+~~+(!<–)R+K–<, ttMt.'+Mcin<'=[K~+~+.'S- !'+? K~+~+K- t+~

Suit K'==2h,)c )'<"i())ti~ VMt'ic -.eton f'ctat pair, ~"impair du nombt'M X t" hacinera)T.'<- ~+2,K+~+~-))K+~-i t

hcst~JK~+~+~J'.

a" Rac)M-<tfn-t-==[(2!<+~K.+K~< +(X–~K+~

Reste + nciM== ) K~+<) +~' t'+y K(N+<)+~] +

2' (:As. La (bt'muie qui représente ~+) donne, s! on ia divise par A !==[(?f+~(X'+<)+i]'+[W--i)~'+~'+3N(N'+i)+i]~ A

~'[~'+~'+i)+~A(N'+~[(K+~/N'+~-N']

+-'–––––––––––––A––––––––––––––

Soit N'=2K+),on Racine Mn'ee = [(SN+2)K+aN+3]~-(-(N–OK+N, R<-ste+ r.dM= fK(K+ ~+N+~]'+? rK.(K+i)+N+~] +7-. Soit N'== 2K. !e imitât varie selon t'etat <* pau', S" impair du nombre N <' RaciMearree == [(!N + 2)K.+ N+2~ + (N-i)K-j-

Reste =[K[N+))+~+<]'.

Racine carrée == [(2N + 8)K-(- N + 2]/! + (N–~K + ~-1, R.st.+racin.=~+~)+~±~]'+~K(N+i)+~2'I+,. Les nombres, reste, racine + reste doivent être rendus divisibles et être divisés par A.

3' CAS. La formule qui repfétente adonne, &t on la divise par A: a, d-G ==[~-T~(t<'+i)-+KN'+4?)+3/?)'+t)'2;?)+S~'+i)+)~ ~'[~+~P''+<)-<]'+A(!<'+<)[(N+<;(N'+~+K']

+–––––––––––––––~––––––––––––––.

Soit?<'==~K+l ona, Ra<;ineearrM=:~r<+2;K-}-<+i~+(!'<a)K-+N+:i, 1 Reste+Mcine= L~+t)+N-~)'-)-JK(?!+t)+!?-–)+~. Reste+ racine '-1]' [ N --g 1 '-1\ Soit N' -= 3&, te rétuttat varie ~!on t'etat i' p<m', 2' impair du nombre N Racine carrée=[(2?<+2)K+~+(N-t.3)K+"-(-i,

RMte=~(N+~+~

f Racine can-ee=[(9N+2)K+N]7t+(?!-)-3)K+!

RMte+MciM==fK(N+~-)-T+JK(N+~)+~. 4' CAS. La formule qut représente donne, si on la divise par A ~~=[(N+i)(N'+<)+~+~'+<N+3X~+i)'+!(N+8)(N'+i)+~ A

~KN+<)(N'+i)+~'+A(N'+~(N+~'+l)+N'+S]

+-"–––––––––––––––A––––––––––––––––' SoitN'==2K+<, ona Racmeearree=[(!N+8)K+2N+3]/)+(N+3)K+N+~ R<ate+ Mcine= ~K.(N +i)+N+~T+~rK(N+~+N+~-2l +,.

Les nombres Reste + racine et Reste donnés dans les deux derniers cas, sont égaux & ceux qui ont été donnés dans les circonstances analogues liées aux deux premiers cas.

Soit N' == SK, le fMuitat varie selon l'état <' pair, a" impair du nombre K

i' Racine carrée == [(2N + !)K + N + 2]/< + [N + 3) K + +

RMte=[K(N+~+~+<r.

Racine carrée = [(8K + 2)& + N + 2]/' + (N + 3JK. + –p-, 1

R~.+,~e== + rK(N+~+~~]'+'/[K[X+~+~J!j +,

Le f~sutné général relatif aux principes actuels est consigne dans le tableau suivant

/r< ==!!&t ~+~=f~+~ L J !'+J~-H)+~ L -J ( Racine = [(8N+ 2~ +2N + +(K–~K. +1< ).

“ ~=[K(N+<)+~]',

k noobtt < f Reste= KCN+1J+¡ 1

( Rac:ne=[(2N+2)K+N]~+(N-<)K.+~-1.

~N'=2K 1 P'lr, n r K– ) `N' .K ~Restc+~me=[K(K+<)+'~]+?jK(K+~+-J+. nemhtt~ M_~ a? )) "( Racme==[(SN+~K.+~+(!<K+- J N'aQK-f 1 R~te+racine=['K(N+i)+N+M'+7)K(?f+~+K+~'t+'. /N =:ie)\-(-t L j t- j Racine ==K2N+a)K+M!+3~+(K-~K.+N.

3 N Reste==[K(N+i)+~+~,

)? ~nt)BbM< 2 ` Racine=~Mf+~K.+N+~+(!<-<)K.

(~e+~=[~+~+~]'+.[K(.+~+~~]~ nombre) N4-d ( Raciae=[(9N+2)K+X+2~+(N-~K+-

:Kr-) ( Kt-ste-t- racine t ). K(N+i)+N-J–i ~J i'~t ). K~+~+K-X– *J t Racine = ['3X -}-2;K + SK + <]/< + (?! + 3;K + N + 3

'K ( R<te===tK~+~+~)', 3iK+N+ 3

,5. Hutttbf'x Resle: 1. K~i +

pair. Ilncine ((E\ -B;TC-f-]n-+-(Y -f-3)K-f- -f- t

~'===2K ( Hacine==[~'+3;K+?!~+(~+S)K.+"+i. N t N'

t H~te + Mcin<. == ~(~+~ ;+~ t'+J K.:K+1 )+~ t + [-) non)).r~ J L J R.n.=[(M+8)K+K]~+(N+3)K+~. "i Ral'Íne f f(~2K.+ ) j + '°'' [~~+~+~~]'+?[~~+~+~+~] +~ f t RaciBe==[~+2jK+SJ<-}-3]/t+(N+3)K+N+<. J N ( R~=:[K'.K+~+~+iy,

1 N ( Rhte=[KI.N+l}+¡+-1]I,

nombte nombre' 2.

( Racine ==[(a!!+2)K+N+2]<!+(!!+3)K.+"-)-3.

!<'=2K. ( Reste + rac~. == FK(?)+t)+~~2't+9r&(N+i)+~~1+., ncmbM J L /S J impair. I Racine-=[(2!!+8)K+N+2~+(N+3)K.+–

Ajoutons à ce tableau les formules suivantes, liées à la table primaire, c'està-dire le résume partiel n" i6.

(Reste + racine = rK–l'+JK –1 + r

N~2K 1 2

{ Racine=(2K+1)~+K;

N=2K+l Reste=(K+<)'

( Racine= (2K -{-2~-{- K

N.= 2K Reste-t- racine=t'K–i–JTj-orK – 1–i N==2K L s J "). 8 j N-2K ( Racine==(2K-t-K-)-2;

N==2K-t-J Reste=(K+~)'

Racme=(2K+2)~+K-)-2.

Nos remarques sur ie tableau qui termine le chapitre précédent sont apptica-

btes au tableau actuel. Substituons d'abord, et successivement, u N les nombres 1 2, 4, etc.; taisons ensuite la même substitution pour les r~suttats ntunériquessont consignes dans le tableau Ht suivant; or, ces r~uttats montrent que les racines carrées fonctions de sont iudépendautL's des lettres y et cette circonstance nous a permis de réunir en un seul tableau les trois r~snnx~ relatifs aux équations

~+~-=='~

.r'+.+/'=P,~

~+3~+24<=P.

c'est-à-dire les tabteaux Ill, tV, V.

OBSERVATtox. La fin du paragraphe précédent constate que les racines cart'éet. sont des fonctions de ? et sont indépendantes des tettres~et r, mais il est certain que cette indépendance pouvait être indiquée dans les premiers dévetoppements du chapitre actuel remarquons, en enet, que dans les expressions )" principales P~, P~, 2° secondaires 1?~ ~) ?.<'+« ~s coefïicients des lettres /<'et /tsont des fonctions de <y et de mais (onctions telles, que les nombres y et r entrent exclusivement sous )a(brnte4/'–<y'==~, tequeinambre A est multiplicateur dans les deux circonstances; multiplicateur d un carre exact entier H' pour le terme fonction de 2° d'uu nombre entier L pour le terme fonction de ?; or les nombres P~ )' doivent, avant toute extraction de racine carrée, être rendus divisibtes.et (''tre divisés par A t'n" i6 et n" i9~ par conséquent les résultats, qui subissent ensuite l'extraction précitée, ont la forme générale HV-{-L/<-}-M, les termes H" et I. étant indépendants des lettres q et la racine carrée de ces résultats, aura donc la forme Hn-}- V, le nombre étant le quotient exact entier donné par t'expresL

sinn~

~=="

rtT)tOECOM!t<t.

TABLKAU Ut. Equation gën~raie .)-<y~4-==:P.r 'fABLI!:Al; III. Équation générale 1 At'+At+:'±'

TABLEAU IV. Équatton ~-)-~+/.==P.~ o==t 1 T~ ('<'+(<)~+,.

TABLEAU V. Équation .c'+3~~24~==P~~==24~y=3~A=3 ~'+a4+)

Cmg*Mm) ?=:9) f=~t) y=?9t A=9

MMtdtYit.o.pMA. MMtdhM.npMA..p~diTMooptfA. "MX)! l

~+~ = (~)'+~)+, = ("?)'+?(~)+~ ~+. ~+, /6–M\t ,t-a\ + r a*r a sn+z = ~T~+~-r;+' '+'' = (~)*+?(~) +'' <"+'' 7'.+3 ~+~ r = ("?)'+?(''?)+~ M+, 7 ~+t x (~?~~(~F)'~ ~+' ""+'. s (~)'+?(~)+'- M+~ <& ,~+t ~+, · /<S–e\ /<6–o\ 6E*.r 19 tan-~T 16n+9

= ~-T-+?~+'- M~ ~+, ~+, (~F)'+''(~')+'' '+'- M t~+B <?.+'< v (~F)'+?(~)+" '"+'- 9' <~+9 ).)“+)) ~= < r <"+' "+' s r '"+' ""+' 8t+3 0)t+t < «)0+4 <(«+< · <9<t+6 <~+! v «'.+< )4H+< «<t+7 )<)).+< s <ao+e < · '< M M~t 90.+U 11

<~==0 ~!===< !==2 ) P P t t.lJf"J~'U;. '1 P P c..OJ..U'(" s Tt-:¡"f. p t t j T<Tt M< mM'!<Nt ““ ,“ ~M~ft. M 'M'- T'" "t cut~t. x A~'+NAa+L.~ <Ao'+< tA~'+Mo+iA+t xA~+!iAyt+~ a "A~t6~+' 1 T<()! Nf cuH't. ,j;~ ut eoM~tt. '~M' T<Tt f)t mM.t!«;. ttït )j): mM)t!(t. <;tf-+~'– ..r- 1 t~–t.')'+ttr-),<t o~f–t~'+~r–t)~ ))'tf–<<t'+)~)f–)A +~!t 1 + +)Cf-.it +f+!) +ii5r-< T~rt M MtOMt. Tht M CMA)!<M. T~T)i M 0)M)!t!t[. Tttn! M CMMXitt. T~. M COMtXt. 9<'+~+? «<)'+) <+t<n+<3 !7/t'+0a+a N7<t'+<6o+!i) 0

l 1 ttcc<u. ttctitts ttMC<u. tMcaoa. KtOitm. _1

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'1 ~t+« ~+U 8),+) <M,+7 'Ca+tt <Ct+tt «)<,+S <~+< «<+n <~+<j) a

«<t+4o <4o+99 )4a+S )<n+<9 ""+t9 «o+t~ ~H+a «)a+<3 3 I 'B«+M «<.+9<

1 M)t+M 9(M+at

.(_t_

) .e partage en deux catégories de tous les ttomtx es entiers, partage provisoire indique n" S, doit donc être modifié tous te. nombres appartiendront nu seront étrangers a toutes les tables précédentes. Ou peut doue établir une règle générale applicable a toute équation dont la forme est ~{-y.t-)-=P. le notnbre y étattt impair.

20 hÈuni GE.\jÉHAt.Ë. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers et dans les conditions précitées, l'équation possible .t'-)-{-== P. le nombre P occupe, en générât, une place dans une des tables catcutees; cette place sera caractérisée par i'une des épreuves suivantes

~'° ÉfBEUvE. L'extraction de la racine carrée, R, du nombre P, extraction qui aura lieu par excès ou par défaut, donnera un résuhat qui vérinera une des conditions

Reste-)-raeine==A.H'+A..H-(- Reste=A.Q';

ou, en remarquant que l'expression A. H'A. H-)- peut être écrite A~H4-t/+~

–––- on aura i une des deux égalités

P-+~=R(R-1) P-.A.<y==R'.

Ainsi, pour opérer les essais indiqués dans cette première épreuve, on devra retrancher du nombre P les divers nombres entiers dont la forme est soit ––~ soit A.Q'; examiner les résultats donnés par ces !;oustrac* tions; et même en laissant de coté les conditions de limite dans ces essais, con*ditions dont l'étude sera iaite plus loin, il est manifeste que la nature du chiffre des unités, soit du produit R(R–1), soit du carré R', donne une grande rapidite a ces essais successifs.

i" Si le nombre P vérifie l'égalité P–~L+~JL~==R(R– on recherchera, tableau ligne horizontale dont le titre à gauche est A(2H + 1)' + 1

Reste+racine=~

la fonction de /< (pi, égalée au nombre entier connu R, donne a /< t'état de

nombre entier; ce dernier nombre sera substitue a ? dans le facteur correspon* dant, tête de colonne de ta fonction de et le résultat sera une solution entière de~ pourt'équation proposée.

2" Si te nombre P vétifie l'égalité P– A. Q'== R% on rectjerchera, tableau i, tigne horizontale dont ie titre a gauche est Reste==A. la (onction de rr (lui, égalée au nombre entier connu R, donne à n l'état de nombre entier; la règle sera ensuite celle qui est indiquée dans le paragraphe précèdent. 1"ExfMt't.B.)-3~-{-241==20M~ î<t première épreuve donne 2053-–33<= (42~41; l'examen du tableau relatif' it l'equatinn actuelle, tableau auxiliaire (H), donne, 1" partie, 3' colonne 2~<<5==42; de là n===–~3; ce dernier nombre, substitué à dans la tête de colonne 4~20/<-{-903, donne I'ega)ité~=~, et par suite .c==:182*. 2* EXEMPLE. ï* -}- 31 .f -t- 241 == 20< La première épreuve donne 20~–3(5') ==44'; l'examen du tableau auxiliaire (H) donne, 2' partie, colonne, 10~-}-154==44; de là /ï==–.4< ce dernier nombre, substitué à dans la tête de colonne correspondante ~3<)-24'), donne y-21, et par suite <F==~ 90.

2° ÉPREUVE. L'extraction de la racine carrée du nombre entier –– extraction par excès ou par défaut, présentera un reste qui vérifiera une des deux égantés

Reste+racine=''+~+~ Reste=~.

Ainsi, désignant par R la racine carrée, on aura l'une des égalités P~_B.+~+G~ !~0'~=~.

A A ( A A

On devra donc, pour opérer les essais indiqués dans cette seconde épreuve, h 1 b P + G 1 d, b BI+qB+ r+ G retrancher du nombre entier ––~ les divers nombres entiers .L~t 5 examiner la nature des restes donnés par ces soustractions la règle est alors cette qui est tracée dans le paragraphe précédent.

Deux valeurs de x correspondent à une valeur dey, mais dans cet exemple et dans tous ceux qui suivent, la consignation de la seconde valeur de x nous a paru inutile.

ExMtfm..t')-2=)0')6. Les hypothèses sont <y==t, /-=2, A ==7, et, par suite, ries ttombres /~?c-{-«c//«', désignés, tableau tV, pat les expressions 2+/ 6- etc., sont, aprescomptément par f. et division par A 2, 2, etc.; les nombres, restes, désignés, même taMeau, par les expressions F, 2', 3', 4', etc., sont, après complément par (. etdivisioHparA <, t, 2, 3,etc.;onaabrs;i-~==~7==~t'2, et division par A 1 1 2, etc,; on a alors 1U~JU y .-1- 3 Í) ~13'-1`Z, et par conséquent oo a: reste-(-racme=t le tableau IV présente une ligne horizontale dont le titre à gauche est2-t- lequel titre est, dans le cas actuel, ~– ==~ on aura dune, même ligne horizontale, 3' colonne, t'égaiite ~-)-~ :==~; de là ~=4; ce dernier nombre 4, substitué a dans la tête de colonne correspondante 4(4/- – ;M'1, donne ~-=449, et par suite .r=7(M Ainsi le système ~-==449, ~==70~ constitue une solution de l'équation proposée ~+~-{-2=1096~. n est d'ailleurs évident que les tableaux peuvent offrir plusieurs fonctions de M qui vérifient les conditions exigées; ainsi, parexempte, si le nombre 4 est substitué u M dans la tête de colonne (4/-–'))~(4/-–~+/

ou obtient le système-solution ~-==~42, ~'==394. Constatons aussi que l'exposé actuel est un premier aperçu de l'ensemble méthodique que nous cherchons à établir le mode d'épreuves présente encore quelques complications que les théorèmes sur les limites feront disparaître, et toutes ces épreuves se réduiront alors a l'examen de deux termes.

21. THÉORÈME. Étant donnée à résoudre en nombres entiers l'équation -~+~+~==~)y nombre impair. Si les tables indiquées présentent un muttipteP.~ du nombre P; si l'égalité correspondante fonction de/!== racine carréH==R, du nombre P.m, donnea l'état de nombreentier, ces deux conditions donnent, en général, une solution de l'équation proposée. Admettons l'exactitude de l'une des couples d'égalités

f~j P.~==R'-)-A.H'+A.H-)- ./Y~)=R; (-21 P.~==R'+A.Q', /'(n)=R;

~=R.+~~+~

H ~±C==R.+9'±i,~=R.

A -1' .mA

On a démontré, n° 20, que, l'une de ces couples d égalités étant exacte, <nt peutcalcujer, en général, un système-solution de l'équation proposéf .r* -{- y == (P. /)J.

Soit ce système représenté par .c=~, ==/ il est alors évident que .< == =A./y< est uu système-solution de l'équation ~{-y.(-==P l~s taits indiqués dans les deux numéros qui précèdent, établissent que la présence dans les tables d'un nombre entier P. constitue un caractère t'n générât sunisant pour résoudre l'équation ;c'y.e-==:P. les considérations suivantes prouvent que le caractère cité apparait toujours, et donne une solution de l'équation proposée lorsque celle-ci est résoluble en nombres entiers. 1° nombre P./y<, la lettre pouvant être l'unité, a une place dans les tables; 2" la connaissance de cette place amène toujours une solution de t'équation proposée; examinons successivement les deux parties de ce principe.

1. Si t'équation .e'yr-f==P. nombre impair, est résoluble en nombres entiers, ces tables présentent une infinité de multiples du nombre P; chacun de ces multiples a par conséquent une tête de colonne correspondante désignons en effet par et par~' un systéme.soiution de l'équation possible proposée, on a donc t'égatité /)-yM-}-==P. Reprenons actuellement les formules indiquées n° 10

~-==~Hy-~(ï<'+<)+~

~~=~}-+<.(N'+~+/<

t.=?<(N'-t-1)'+1)+/<

~+.=?.(N'-+-+~'+~+/4,

formules qui représentent des nombres entiers placés dans les tables; rappelons que la lettre N' a été remplacée successivement par tous les nombres entiers; rappelons aussi que les têtes de colonne correspondantes aux nombres entiers w, w, y, sont toutes représentées pas l'expression ~,==~,==M'<jM-(- nombre entier qui, dans les conditions de possibilité de résolution de l'équation, est un multiple de P; si donc, on donne à N'-}-t i l'état de multiple deP; il est évident que les nombres w, ?:“.+,, <?“ seront des multiples de P, et auront place dans les tables.

2" Rappelons que tout nombre placé dans les tables vérifie l'une des couples

de propriétés désignées ct.de~us, n" 20, par les é~tih'-s~], ~j,[~],~J; ainsi ta secundo partie du principe qui nous occupe présentera quatre cas auxquels nous pouvons donner les noms de /(y~.)/~t//M /'M't<yMcj nous indiquerons les principaux résuttats donnés par te catcui.

~2. ~ew/e/-e/)7<Kw /'A-w. Soit l'équation proposée <y.c -}-==: nombre impair,

nous admettons que ia racine carrée du produit ?.< étant représentée par un nombre entier R, te reste donné dans cette extraction vérifie ta couple h j d'égalité du numéro précédent, on a

P.~==R'+A.H'+A.H-(-~==R. Racine==R==/-(~. Cette fonction de n, !e nombre étant entier, est correspondante au nombre Reste-}-Rac:==A.H'-(-A.H-{-~+i;

eite aura donc une tête de colonne, et cetie'ci sera, disons.nous, une solution entière de appticabte à t'équation ~(-==(P. Supposons, par exemple, en eftët que ta tête de colonne soit P~, nombre dont la valeur rejatée n° i0 est

P,.+.==(~+~+r)(N+~t-(2~+~(N+~)+~

ou P~=(N+1 )~N+~+2(N+< )]~+MN+~ )'+~(N+1 (~ j 2° que te nombre reste + racine, soit caractérisé par l'état impair 2K + 1 du nombre N' si alors on consulte te résumé général qui précède le tableau 1, on a Reste +racine= A[(N+~)K-t-N]'+A[(N+1)K-)-N]+~±i, ou Reste=A[(N~)K+N]'+A[~+1)K+N]+~i -racine, et racine=R=[(2N+2)K+2N+1~+(~-}-~2)K+~+~. L'hypothèse particulière au cas actuel est P. ~!= R'-j- reste,

< (P. ~)P.+.= R'(P~ ) + reste

Si dansle second membre de cette dernière égalité et aux quantités R, P, /M<f, ot) substitue les valeurs indiquées; si on extrait la racine carrée du résukat, on a

(t't~,=j~+~[~+~K+2K~<]~~(~4-~+8]K+~~3\+~+~'+Hi~ +2[~'+~'+V'N+~+)]K+~'<'+HX+< .+~+~+2

+?j(~+~K~+~~+~+<]"'+!~K+~[y~+~+~K+v'+3K+~+4~ +2[~'+i/+~-+i)+i]K+~+~+~~(S!+~+2J4-r

proposition réciproque est donc exacte, et dans les conditions précitées, le système-solution de l'équation est x- X, ~==~(P,,+, en désignant par X la racine carrée du premier terme, carré exact, qui appartient au second membre de i'egatite précédente.

23. /~M.ïw/M~ /<o~oj/&bM /'<'4'<o~«c. Soit l'équation proposée ~{-y~-t-==P. y nombre impair,

nous admettons que la racine carrée du produit P. /K étant désignée par H, tf reste donné dans cette extraction vérifie la couple [2] d'égaiités du n° 2i, on a P.w==R'-}-A.Q' racine==R==/'(M), la fonction de correspondante au nombre reste = A..Q', présente une tête de colonne, et celle-ci est, disons-nous, une solution de appticabte à t'equation ~-}-j-==(?. En efîe', sup. posons, par exempte, que la tête de colonne soit

P~,=(!<+1~'+~N+1)'+2fN+~~+/N+1)'+~+~-(-i; 2° que le nombre reste soit caractérisé par les égalités ]\== nombre pair, ~'==nombre pair, hypothèses qui donnent au nombre reste et H/' /:) les valeurs Res<e=A[N-~)K+~]',

Rac.==R=[2(N+2)K+K+2~+(~+y+2iK+~+~~ or, t'hypothese inhérente au cas actuel, est P.==R'-(-rps<e, ou (P. ~)P~, = R'( P~) + reste < P~)

si dans le second membre de cette égalité et aux quantités R, P~, resle, on

substitue tes valeurs indiquées, si on extrait la racine carrée, 00 a P.~t' ~+);[~+i!)K+-\+2~+!2fN+t)[v('<+t)-(-a]+~'<'+:<\+~+8<<+3]~ +2~+))'+y(\+t;+t]K+~+:+8)+~+~ )+t 1

+y S ~+t)[~+S;K+N+!+:S!(?i+i~N +l)+2]+v(~+~-+2;+3?<+3!~ +~M'S+<.<'+./<S+t)+~K.+~3-)+~!<-t-))+i{-

La seconde proposition réciproque est donc exacte et dans les conditions précitées, le système.solution de l'équation est ;e== X, ~-== w. P~ en désignant par X la racine carrée du premier terme, carré exact qui appartient au second membre de l'égalité précédente. Dans les deux démonstrations qui suivent, l'équation proposée est ~+.t-t-=P. l'hypothèse y==< n'altère pas la généralité, et diminue la longueur des calculs.

!i4. yrowc~e /~(M~o/: y~'t~'o~Mc. Soit l'équation proposée .r'+~+r=P.

nous admettons que la racine carrée du produit ?- étant désignée par R, le reste vérifie la couple [3] d'égaUtés n° 2i, on a

P.~+G_B'+B+~+&

–~––––t, R ractne==n ==/(/:);

A A racme = = n;

cette fonction de n correspondante au nombre reste+ racine, préseate une tête de colonne, et celle-ci est une solution entière de j: applicable à l'équation ~c-r=P. /K. z; supposons que cette tête de colonne soit P., dont la valeur est, n" i4:

?“== (A~-t-A~+~i) (N+~-A(2~)(N-~)+A,

ou P.=A(N+1)'7:t-A(N')~(N-~)'N. Si a cette hypothèse on réunit, par exemple les conditions N == nombre im.pair, N'== nombre pair, et si on consulte le résumé général n" i9, on reconnaitra que les quantités données dans la question, sont

R.~ [K(N+~+~)+~(N+1)+~' +.+G e Reste-)- ractne== =–––––J–'– ~-––

Racine ==R==[(2N+2)K+N+2]~+(N~<)K+!'+i;

d'aitte'n's, t'hypothese tiée an cas actuel, est

!~+~==R'+reste,

A

j 'L"d~' p~R.. P~(,.estc) P~

nu,enfin, l'

)'J~==.4.R'.P.,+ H K(X+~+-~j +tK'\+'t;+-~Lj~jP,A.R.P, si dans le second metnbt'e de cette égalité et a H, P,, on substitue les vateut's indiquées, si on extrait la racine carrée du résultat, on a

P.t~=fA(X+~[(2N+2)K.+?!+2]/<'+Ap(?)'K.+N'+.)') i +~?f--)/+;<]K.+~t)+Xi',

+jA(X+<;[(2'<+2;K.-)-+2]~+A[2(K'K.+N'-(-K-<]

+8[~–+K]K+'-X(N–~+Kj+~.

t~ troisième proposition réciproque est exacte et dans les conditions précitées, le système-solution appticaMe à t'équation est .==X,=~.P~ en désignant par X la racine carrée du premier terme qui appartient au second membre de l'égalité précédente.

2S. (~M</?c//?e /.vo/MM7'&'o/< /)/'o<yue. Soit l'équation proposée ;C't'-}-==P.

la couple [4] d'égalité n" 2jt étant exacte, on a

~±~=a'+~, racine==R=/(.); i

cette fonction de M correspondante au nombre entier présente une tête de colonne, et celle-ci est une solution entière de z applicable à t'equation .c* J- .t -j- === P. //<. supposons que la tête de colonne soit

P~==A(K+~'+A(~+~))'+K;

si a cette hypothèse on réunit, par exemple, N== nombre pair, K'== nombre

pair; et si on consulte te résumé général 0° i 9, ou a [K(N+~+1]'+G

Reste ==––––––-–––––,

Rae.==R=[(2K-t-2)K-)-N-}.2~-{-(N-1)K+~' !'hypothèse tiée au cas actuel, est

'+G~D,.Q'+c

–==R-(-–

A T p

ou P. M. P~ = A.P.R.' + P~K(N ) -)- Si, dans cette dernière égalité et à R à ?“ on substitue les valeurs indiquées, si on extrait la racine carrée du résultat, on a

P.P~.== (A(N +~[(M +2)K+N +2~'+A~ j;K.+~+\-i],< +2[~-<)'+?f]K.(N-!)+?<)',

+{A(N+i)[(2K+î)K+N-t-3]~+A[a(K'K.+K'+X-

+2j'~f–+N]K.+~(N-ij+Kj+~

La quatrième proposition est donc exacte et dans les conditions précitées; le système solution, applicable à !'équation proposée, est ;t- == X, f== rit. P en désignant par X la racine carrée du premier terme qui appartient au second membre de l'égalité précédente; constatons d'ailleurs que le calcul relatif aux deux dernières propositions admet comme condition essentielle que le nombre (; a, au commencement du calcul, la grandeur et le signe que l'on donnera ensuite au nombre dont l'addition est nécessaire à la fin de ce même calcul. 26. Reprenons l'équation primitive proposée ;c'-}-.y;}-=P.jr, le nombre y étant impair, reprenons aussi les deux suites liées à cette équation, c'est-à-dire [M.] r, ~-t-~+r, 4+2y-(- 9-(-3y-t- terme général M'+~-t- r~l A-t-A 9A+~ SSA-)-< 49A+1 t .~4-i)'A4-t [N.J –j~–. -T–' –4–' –~–~ terme général Ces deux suites n'ont pas été, avons-nous dit, adoptées au hasard; en effet, toute autre suite serait inadmissible, ou du moins serait la reproduction avec

lacunes de l'une des suites précitées; examinons, en effet, quelles sont les conditions imposées aux suites possibles Je terme généra! de la suite doit, lemme n" 5, présenter l'une des deux propriétés suivantes 1° Ce terme, s'il est isolé, doit, après extraction de la racine carrée par défaut R, donner un reste égal R-+; 2" le produit de ce terme par un facteur invariable doit donner, après extraction de la racine carrée par défaut R,, un reste égal à H,-)- or, toute série de nombres entiers, série réellement étrangère aux séries adoptées [MJ, [!\], ne peut vérifier ces conditions 1 soit une série [M,] anatogue, mais non pareille à la série [Mj cette nouvelle suite étant d'ailleurs convenable pour l'équatiutt proposée, c'est-à-dire étant réductible au terme connu lorsque l'on annule la lettre générale ces diverses demandes donnent au terme général de cette série [M,] la forme /t'(y±:2~~ -t- ou en isolant les deux variétés

~+(~+2~+/,

la rac. carrée par défaut est /<–{-~

le reste est (~1~)+~+'+~,

n'+(y-2~+~

la rac. carrée par défaut est -(- ~– –

le reste est (.+~+~~+~

rappelant l'égalité Af–=A, on reconnaît alors que les conditions primitives imposées donnent ~==0 ou $===p~ or ces égalités donnent à la série [M.] la forme de la série fM.]; 2° soit une série [NJ analogue à la série [NJ, la nou.vette série sera

(A±:2~+(A±2~+~ 1

ou après isolement de chacune de ces suites et après multiplication par tu (acteur A±~.

(A + ~<t-. A + 2~< + 'A+~j'~+M+t)~ r

ia raciue carrée par défaut est !A-}-2~<i~

le reste est A -)- !~)/< + ~+~ -)- i±-'

4 A

~-M~'+(A-2~+~+'\

la racine carrée par défaut est (A–2~4-Lhi~

le reste est (A – 2~ + ~+~ -}. ~±i – 1

de ta l'égalité ==o, et par conséquent la suite devient la suite [\]. 27. ~b/nM~c/'M/M' /< ~OMr/~MNh'<w x*-)-qx4-r-=P.y, les divers ~j'o/««b/u' /<<M' ia M/< /)/-c/HW ~M'~e x,, y,. Si le produit P. r est représenté par le nombre (.rj'-)-~c,-)- et si l'on désigne par .t, des nombres entiers dont les relations avec P ont été caractérisées n° 4, on aura tes égalités j--}-~=P, /==2~<jf, ~,=/ si l'on désigne par Y les valeurs <t)tières de liées à la valeur on a

Y- 3, 5, 7. 2N+1)

~(2~, 2, 3, 4. N.N-~]'

et par suite deux formules, l'une en adoptant un nombre égal de termes multiples de s et multiples de t, l'autre en adoptant un nombre de termes multiples de < inférieur d'une unité au nombre de termes multiples de ~=~+P(N+~-(2~.+~)(N+1),

Y.==/,+P(N+~+(2~+y)(N-H);

ainsi, en désignant par X., X, les systèmes pour x correspondants aux VMteursY~Y~ona a

X.=P(\+~(~+y,,

~=~+~+~-(~+'y.~+~.

x,==p\-)-~+~

Y,==~+P~+~+(2.~+~~+~; i

ces formules sont générales, le nombre <y reste complétement arbitraire. 28. THKORKMï. Étant donnée à résoudre en nombres entiers l'équation possible ~-{-~t'-{-==P. nous admettrons, ce qui est permis, 1" l'état positif soit du nombre P, soit du nombre <y, soit du nombre 2" l'exactitude de l'inégalité /'<?; on peut alors toujours supposer .f)<;P, ~<P-}- en effet, toute solution relative à x peut perdre un mu)tip<e de I'; or, des conditions ~,<P, ~<P) on déduit ~<;P-{-y-}-1.

29. THÉOM!:ME. Étant donnée a résoudre en nombres entiers J'équation possible ;c'-j-y.r-== P. si le nombre P est premier absolu, tout système .f,, connu et constituant une solution de l'équation proposée, donne, en eH)pto\ ant les formules générales n" 27, tous les systèmes-solutions de Féquation. Du système .c,, acquis, on déduit l'égalité (.c,)'-}-}-== P. si l'on d~signf par .E,±~ une valeur entière applicable a l'inconnue y, on aura régatit~ (~,db~)-=h~)-t-==P. et si de cette dernière égalité on retranchft'égaHté précédente, te résuttat est ~±:2.i-,d:~)==P.~ ')" Si le nombre est un multiple exact de P, les nombres ~.±§ applicables à l'inconnue sont c<~))pris dans le second groupe des formules générales n° 27 2° si le nombre n est pas un multiple exact du nombre P, les deux nombres P et sont premier'' entre eux, et de l'égalité dernière précédente on déduit ~±2.<±<y==r. ou .r,-}-~=P.–(A')-y) et.t.–~=–P.V–(.t't-y, cesnombres. et.i'–~ sont compris dans le premier groupe des formules n° 27 ainsi étant donnéearésoudre, en nombres entiers, l'équation .y.y-==B.s, )e nont!)re B étant égal au produit P.T, dans lequel P est un nombre premier absolu; l'égalité T.==~ transforme l'équation proposée en une autre .<(-}-==t\) et cette dernière équation, si elle est résoluble en nombres entiers, aura la propriété indiquée dans le théorème précédent; un système-solution A~,

donnera, en employant les formules générales n" 27, tous les systèmes .r, on devra ensuite établir te passage de a < or, r si l'équation t'<y.i- ==B.= est possible, il existe au moins une valeur de z oui est int'é. t'ieut'e u B-t n" 28*; 2° les valeurs de z sont les quotients exacts entiers de l'expression par conséquent cette circonstance d'un quotient exact entier se présente au moins une fois tors(nje l'on substitue u toutes les valeurs entières relatives a cette lettre et comprises entre les nombres 1 et T(b4-y4-t). 30. OBSMVATto~r CABALE. Si l'équation proposée ~-}-t'-{-~==p. est possible, le nombre q impair et le nombre P premier absolu les principes démontres dans les deux chapitres précédents établissent, <" que tous les systèmes-solutions sont déduits d'un premier système .T,, 2* que le nombre P occupe en générai une place dans les tables préparées, place caractérisée par une extraction, quelquefois par deux extractions de racines carrées, place enfin qui donne immédiatement une solution de l'équation proposée; le problème théorique est donc résotu, mais la question pratique est pleine, entière, et dans lesconditions établies par les faits qui précèdent; cette question peut être énoncée dans les termes suivants Étant donnée à résoudre en nombres entiers l'équation .c'-)-}.=P. le nombre y étant impair, est-il possible de caractériser la place que tient dans les tables le multiple P. m, le nombre m étant intérieur à P-<y-{- ou plus nettement parmi les couples J~), [2], [3], [4] d'égalités du n° 2i, est-il possible d'indiquer celle qui donne Il la plus petite valeur l'indication d'une valeur minimum de donnerait évidemment le caractère pratique qui manque encore à cette partie de l'analyse, nous devrions donc l'exposer actuellement d'une manière complète, mais nous avons cru que, présentée en ce moment, cette recherche n'aurait pas toute la clarté nécessaire, elle devrait d'ailleurs être reproduite plus loin avec quelques modifications; dans l'examen de l'équation .t'-]-y.c-}-=P. le nombre q étant pair; remarquons aussi que la recherche de la limite actuelle n'est pas indispensable,

Nous admettons que t'équadon ;E* -)- -{-<-= B-: serine les conditions premières indiquées n" N8; est-il nécessaire de remarquer que dans le cas contraire un changement de signe dans les lettres et la diminution de quelques unités dans cette dernière, amènerait l'effet exige. f/exposéde la résolution directe de t'equation.t'-}-)-r==B.z, lorsque le nombre B n'est pas premier, eût donné ptu! de régalante à cet ensemble théorique, mais rappelons que notre étude spéciale est la résolution pratique des équations du second degré à deux inconnues.

puisque, et nous l'avons dit précédemment, toute équation <Q.(-B=-=P.~ z dans laquelle le nombre Q est impair, peut être transformée en une autre dont la forme est «*-{-M-R==P.V, et celle-ci peut, u son tour, être transformée en une autre dont la forme est ~==P. or, s'il est vrai de dire que lesétudes mathématiques restent en général dans le domaine spéculatif, cette vérité ne peut impliquer l'idée de faire les recherches qu'une tégere déviation 't une méthode peut rendre inutile; or, tel serait l'examen actuel et cette inutilité est prouvée par les faits suivants

Soit l'équation [t] X'yX-{-=P. fonction de deux inconnues X et Y, et dans laquelle le nombre y est égal à posons X==M– l'équation [1] J devient [2J M*-}- M -{- B – A*== P. z; et si le changement de quelques unités dans la valeurde z est nécessaire, ce changement efïectué transforme l'équation [2] en une autre [3] «'-}-M-~R==P.V, dans laquelle le nombre R est positif, et est inférieur à P; dans cette dernière équation, la limite du nombre M lié au multiple P. m, limite indiquée précédemment, est?-}-2; il y avait donc excès manifeste dans la limite P-}- relatée ci-dessus, au moins lorsque le nombre y est supérieure l'unité; si on multiplie l'équation [3] par le nombre 4, et si l'on pose les égalités 2«-}-!==.c, 4K==/, l'équation ~3] devient [4] ~=P. équation dans laquelle on peut toujours supposer le nombre r positif et inférieur a P; or, l'examen complet de cette dernière équation, est compris dans l'étude suivante

RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION X*+<yX+R=P./ (le nombre étant pair). 5i. Étant donnée à résoudre en nombres entiers et dans les conditions précitées l'équation X'X-)-R==P. on peut donner à cette équation la forme x'+~-+~+R-~=P~

ou si l'on pose X-(-~==.r, R–~==y,ona~==P. 'L'expose de la resotution de l'équation .r*-t-7-==P.~ présentera tous tes dcvctoppement~ nécessaires pour la fixation des limites Inhérentes à cette dernière équation, les considérations qui amènent cette fixation facilitent les recherches que l'on peut faire sur le point anatogue relatil' à t'équation .K*-)-<jf.c-}-r==P.y, le nombre impair, par conséquent nous consignerons MMuit<; les principes qui pourront guider ceux qui voudront faire une étude plus approfondie de cette partie moins essentielle, mais curieuse, de la théorie anatytique qui nous occupe.

MÉSOU'TKM DK t.'KQLATtUN X'+.f

5~. L'équation .)-==?.)- r

csL un cas particulier de l'équation .t'-(-{-== P. cas particulier donné par l'hypothèse y==f; un pourrait donc, dans l'étude actuelle, employer les principes étabfis précédemment, et qui sont indépendants de ccttfhypothesf y==~; recherche)'ensuite les modifications que doivent éprouver les principes pour iestjuets cette même hypothèse <y==M est inadmissible; mais comme nous l'avons dit dans la note qui accompagne l'introduction, la méthode générale de résolution de l'équation ~-{-2&r~-f~=M, méthode consignée dans la seconde partie de ce traité, est basée sur la connaissance des racines entières de i équation .D==M.S; remarquons aussi que la t'ésotution de cette dernière équation a une autre utilité, nous lui avons subordonné, partiellement du moins, celle de l'équation .<{-y.t:==P. le nombre y étant impah': nous avons donc cru devoir, reprenant une partie des idées et des notations précédentes, faire l'examen d'une manière directe. Dans les raisonnements qui suivent, nous supposerons que le nombre r est positif, et est inférieur au nombre P. Cette condition, si elle n'a pas lieu « /ww/, peut être réalisée par le changement d'une ou de plusieurs unités dans la valeur du nombre inconnu r, elle n'est pas indispensable pour nos premiers développements, mais elle facilitera ensuite l'exposé des principes de limitation qui terminent notre étude actuelle. La série primitive applicable à l'équation .E*-}-== P. est

r ~t-j-r 4-}- 9+/ /)-

elle est seule admissible, et la théorie de cette série unique contient tous les éléments nécessaires à la résolution de l'équation proposée appelons j, l, les nombres dont la relation avec la série indiquée sont actuellement bien connus, on aura j-}-~==P, ~==2/ ~==1, et tes deux suites horizontales con. sécutives sont représentées par les formules

P,,==(~+~+~-2~(N+1)-

P~=(~-)(N-H)'+~(N-~).

55. THKORÈME. Chaque nombre appartenant à l'une des suites P~. et P~ donne, si on le multiplie par sa tête de colonne /)- un produit représenté

par ta touMttte ~t ic nombre entier, ou a

S4. TtfMRMME. Si on extrait les racines carrées des divers nombres qui constituent les suites P,,et P~, on a la relation reste de P~,== reste de P~ c<'s restes, indépendants de la lettre M, par suite invariables au moins pour deux suites horizontates consécutives, sont tous représentes par la fbrmule ~.Q'.

constituons les tables secondaires, c'est-à-dire les tables dont les suites P,,et P~, sont tétesde colonne, on a Pa=~< Pt+t==<fo! désignons par les nombres liés aux nouvelles suites par la loi connue, on aura les égalités j,==~,

P~)-)=[~(-+~{-~]'+~

P,=~+1-t]/ +~'+~

~==[~'+~~+~~ +~+~7;

on a donc le résumé partiel suivant

,< (Racine==(N+1)K–1

Reste==/4-~ ,~<

este-I (.Racme==(N-}-1)/<-t-1 1

~)-~==~, t

~=2(K+1~2~+2~(N+<),

~,==2(N+1)/+2M+2/-(N+~,

A,==R'r,

~===~'+A-,

de là on déduit, par les raisonnements connus

~==~W-+<)+~

~==~(N'-H)'+<,(N'+4)-H. r

~.=~(N'+1)'+~+/< f

~==<P~'+~+~+~+~.

~'t)

~yy~/+~v+~r\~r-)~ -=--t~).r'j-r'j'h- ~r'<i-+'t''it~)'. ~~L~+'A~-i-r\-r'T~t'J-)-'A ~t~-t-t,(.+t)-)-)J~.+-(+~);A-r')'(~. 't~ ')-) (~+' 5t!. TmiOM~tK. ChtKjnu uun)t)t'eappa<tct)antau\ suite-. '.T, '“, 'ionu~,sion)emuttiptit'pat')atét(.'dt;cutuntt('ct))i't'spt)[)Ltat)tt.t)nprudmtt'cpréseutf'' paria t'urmute ')- le nutt~x'L' ctaut ~uUc'); si ot) dottuc aux valeurs et les fbt'tnes

~– ,).).

)'"–– ~––L.j 'T'

si u)) remplace f, et par ces valeurs dans tes exprc'sxions jjt'ftnicrcs )'ept'(~sentant 1?, enfin si on tnuitipiic h's )'esu)tats obtenus paries têtes de cotonne correspondantes !r,. et < on a

~==(~(?<'+t)'[~t-~(~'+);+-~+~, .=(~(y+~ )'+~ ~+~ '~+ ) +~t- ?~?..='?~+')'['+) +~r+~,

~+..?..==(?~(IS'+~)'+'2?.)(\'+))+ ~+~ f ou, après transformation,

~=j[(/)(N-~ -~N-(-+t]~+~–~<'+~ ~) )-“] j'-)- ~,+, == [(~+/-) (N+ ) /-2~+-t )~) )(.+< ;+[ +) '-t-r, ?. == L' ~+~ ~+ /+~+ /'+) ]~'+-' ~-i.;(~+~ ~+ ,+~ '+~ ?,t-== K~-) c''+~ )'+2~'+~ ~+~ ](~'+~ .-K~+~ ( ~+' j+~ r+~ le théorème est donc démontré.

5M. '(w:otu:Mt; St ou cx))':nt ):! nx'tw catTf~d'on rxjfnhx; apparte)):)))) n' sttitt'.sf~rixootah' r, ~““ on aun<

)~stf(jf~ --h<st<.df- H<-st~(je~=-h<'st<-d< ï

<;t". '(;s)c's,it)(i~j('))<)ants<i<Jaf~tn'f/<, par suite iuvariabies au nminsp'jtu d<-t)\ suites hot-iy.t~ntaics cons~uutivcs, sonttou.s <ep)'Met)~s pat- lu formuh' ~.Q ic nombre (~~aut<-))U<-r On peut donne)'aux vakurs de- J('.sfu<'n)cs!iui\a))t'"):

~=~~+':(~'+' –)J/<–}-}-'),)-~–<)', ~+.==:i~+~+',+~(~+~i-+~+'+')+')J~ ~=<'K~+~+~ .~+~,j'-t-~ ~+~+~fJ', ~.+,== ![(~+~ .+< ~(-~ ,j~~ ~~i r\ Ces c~atitesdthnontt-ent le t)jM~'p<ne cnonc~, et dunnent le resuntK suivant anatoguc a cf'nx qui ont ct~ pr~entcs n°' i2 et 19.

j Restes/-[~-p~-(-~–-)J

p=. (~=f~+~

Œeste==/-f(.\+~/K'-t-J;1),

"+' (Hac:= [~+l)~)~)j,,–

(Hest<==~(N+1)(-+t)-i]< J.

P =~ i (Rac:=f(N+~)-+.)

j~.ste==~(.\+~.V+4)+t~

"+' ~:tc:== j(N-y\1)-(.{-J).

Ajoutons à ce tahteau les fot'niuies tiees a la tai)ie primaire, c est-a.dit'c ic rpsutm' nartie) du n" 34, on a

(t~acine==(!4-t~-

Heste==/4- ( ftacine i n 'y

(Kacinc==(\-}-)~)

Si connnu nous )'a\'ons fait <)ans tes circnnstancesanato~ues (lui pt'f'cedettt, nt) donuf; successivHmcnt a t-t!) V les \a)ft))'s n, t, 2, etc.. un am-a h tahteau nmnt'Titjuc suivant:

-L" g" *1'. +S i 9 r + + + + + j S 8 t-t-S <!? a it a <- t! r: <t s 3 <~ -'o <* Il ¡ J t 1 T "ia E 'i 3~ c-t- î aa et a S* 4 c <'

<" <~ "'3' +2 .a ci + + + =t -)- =< + + S t) II ––––––––––––––––––––––––––––––––– .ï! S 5 1 1 ? ? S f 1 t 9 s '¡¡. J)

–––~

11 ~?. 3 J M ~.S" –––r'–––––––––––– Il ¡ r t i ri ?3 1 'S ° *ië~ 'ftK-~ P 4S5t~ 1~ ++++++

Ss ?- t ~S~~ .r~.

s~ y, t -+ + t1 :¡. M .EN 4- j!);–Tti~t?~

SS t ~+-t.++++

t! II -T~= &j* s s g ? 1: .Sa !3 3 t â Se~o~r'

M, a § 'il 3 8

.M ~~$t~ 9tT"$5~ TtM lit) S +++++++~

§ + t~S~

C C'lo:tM"4!"J'C""W;~O"1~ .~r L'

0 e S < )) N jit:s~C*S– ct0 1n1 A" >x ~( L, 'Ÿ i- LI ri i- i- 'vf -i- C h Y 'i 'f' O -I- C_1 r! J' Ë A +++++++++~-++?- a~§~ 4 0 ++++++++++++++ tt B~S~g~ 1t -J g '& )! f )))))))) i

-g "SS~~ ·f 1! 'h%<&t,9.&;î.&% Ÿ < k L 1. L L L i t. O V L L L L 3 !iit!) H!i!i!i~iti!i ii!i)'i !i CO tj II II ll Il II II Il II II II II il

<< )..=.< n

L'extension donnée a ce tableau est une preuve et de la régularité des résultats obtenus et de la facilité que présentent les substitutions indiquées; cette extension est d'ailleurs peu utile, nous prouverons que les trois premieret lignes horixontales, lignes caractérisas par les titres :) gauche /)', sont seules indispensables, néanmoins conservons encore cet état gênera), et rappelons seulement que si l'équation ~-{-== P. est possible, il existe toujours un système-solution qui vérifie les conditions

~P ~.P )

Z'i ``~, y 3 i ` "i" r'·

~.<g. ~<~+~-

Étunt donnée arésoudre en nombres entierst'étjuatiun possible ;f*-}-=P. admettons, ce qui est permis, que le nombre soit entier, positif et inférieur a P le nombre P occupe en générât une place dans les tables précédentes cette ptace, si elle existe, est indiquée par une extraction de racine carrée de ce nombre, extraction donnant pour reste un nombre représente par r.Q', on doit donc retrancher toujours du nombre primitif P, et successivement, les nombres r. ~2', r.3', y. 4', etc.; et le résultat de l'une de ces soustractions sera un carré exact entier; on reconnaît priori que ces essais sont peu nombreux, ils sont manifestement limites, ~° parla nature du nombre P; 2° par la nature du chiffre des unités inhérent à tout carré exact entier. Laissaut de côté toute étude, et sur la limitation de ces essais et sur les moyens que l'on doit employer pour rendre plus rapides les essais reconnus indispensables, étude qui termine cette partie; supposons que l'on ait constaté l'exactitude de l'égalité P–(N-)-==R', on recherchera, dans le tableau précédent et sur la ligne horizontale dont le titre à gauche est/)-~)', la racine fonction </e n, qui vérifie l'égalité /?M)=R, le nombre n étant entier, ce nombre entier sera substitué a n dans la tête de colonne correspondante, et le résultat final sera une valeur de applicable à l'équation proposée; de cette solution de y on déduira les deux valeurs entières de x.

Les raisonnements mathématiques doivent être indépendants de la grandeur des quantités données dans la question, par conséquent les exemples numériques ne peuvent rien ajouter à l'exactitude de ces raisonnements, mais ces exemples peuvent donner de la clarté aux explications

~32) =9565~

9565–(32~)2'==91',

t.t:'btea)t\t,d<'u\i('n)~)ignehorii!ot)tate,prt'tnit')e(.otonnt',prt-.scntt' 'J//–)==-<<), dcta ~t(i;

~)''tituaut:t/<tt:t)t)ni)))-t.'4udanstatetedecotonn<<4-ona 11 ;==-~4:{7, pt par suite <=r=48'28,

a

~-t-'254 ==~89),

'<;?)–4)4'=-2y,

f~ tableau \). (juatxt'mf ii~ne horixontaie, première cotomx'. pn~sexte ~<-}-~==25, de ta ~==6;

substituant a M ie nombre 6 dans la tête de entonne (n'-t-), un K ~==290, et par suite .t-===~<j6.

!.ct)ombr('des!uncti'x)S()e// qui sont utifes, n'est pas d'ailleurs limité; si, dans le prt-mif-r exemple précédent, on emploie l'egatite 2~-)-') =:'H, liée a ia première colonne du tableau, le systeme-sotutmn appliquée a t'Mjnatton proposée est ~'= 2~40. ==4T37 si, dans le second exemple, on emploie t'cgalité 4M-(-1=='25 tiee a la sixième cotonne; le système-solution est ~=2647, .r==352:<.

57. T~OM'ME. Siiaresoiution de t'équatton ;t-==P.r est possibte, ta constatation, )"deta présence dans les tables d'un multiple quelconque P.w; 2" de 1 exactitude de )'égaute/'(/<)= Racine carrée de P.w )e nombre ~< étant entier; cette constatation fait connaitre eu gênera) une valeur de admettons l'exactitude des egatites t'<–==R', /'(~==H; de ces egautesou déduit le système-solution .~==/==y, applicable à l'équation .r-}-==?. w. ou a donc le système .r==~, ~-==<y.w, appMcabie a l'équation proposée. Nous devons compietef l'étude actuelle par l'examen d'un principe analogue a celui qui a étf~ etabii n° 2i principe composé (le (feux parties, )" retatiou intime entre la possibilité de résoudre en nombres entiers t'equation .r'r==P.~ et la présence dans les tables d'un multiple P. /M du nombre )', '2° déduction

'.ubseqnented une solution apptkable il t'equati'jn proposa, solution ti<?<- tu punition occup<e dans les taises pat- temuttipte P.w. Les raisunnements qui j~rouvcnt l'exactitude de la première partie du principe énonce sont setnbtat)tes il cfuxfjuiottt ctt~mtsdaos (f 2i pt~cite, et leur reptudttction it'.us a paru inutile la sccuttdc partie du pntjcipt.'est t-iietucot m)L- jx'oposition t~ciprotjUt.<)')<' nous d~)t)f)))tt'oi)s de la mmuo~ suivante

38. PtU)W)!.)T)U\ )U:;C)Ht.JQt't:. Si t'MjUatioU .<)-===P. ) VM-ific la CUU)~t' d'~atit~s f.m–M'==~, /==K, Jp'.notnhtfs P, w, h, ~tan) <;ntiers, et si l'expression /(/:j (jui t-ept'esente la racine carrée de P w est j)iacefdans le tableau \i su)' la ligne horizontale dont le titre à jonche est .~r; nn peot toujours de ces t)\potttesps déduire un systeme-sotution appti(-a))t<at'M~uation .f'==P. Nous supposerons, pour fixer tes idées, que la fonction de /< représentant la racinf carrée donnée par Il. /H, est la racine carree déduite de n" 56; en d'autres termes nous admettons, r t'e~tit~ P.w==~+,, 5

et par suite /'(/<) == [(N )

que le reste obtenu après cette extraction est par conséquent d~H)~'+i)+~

3" que la tête de colonne est alors évidemment

~+.==(~-) (~ /+2,~ “" 32,

on a ainsi les égalités

!==!+~+~+~7<+(!+1)!'+~~+~+~+'~ == f'~ ;-{- 2~(N -(-1 ) -)-1. 1

Si, après avoir pose pour abréger J\<==~, )\==~ on multiplie terme terme les deux égalités précédentes, et si on extrait ta racine carrée du pro. 'fuit, le rehuttat est

t\<J~(~(2~-t-1/1 ,)=-)-

ainsi le systeme-solution

.t==~-)- < ~(~ ~-)-

~'==m[(~)<)-'<!«/ï- ],

est applicable a l'équation proposée.

39. ~b/'wM/c~' r<K'/</<~ ~«j' les ~WM' X) «~ ~Mc X, y~ .m/M~oM de /a~M x'-}-t'==P.y. Si dans les formules relatées n'' 27 on admet l'hypothèse <y==c', on aura les résultats suivants applicables a l'équatiot) proposée.

X.=P(K+1)-<

Y.==P~-t-f/-2~(N+~+~,

X.=P(N+<)+.r,,

Y.=P(N-~)'+2~,(K-~)-

40. Tn~on~ME. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, l'équation .c' == P. si le nombre P est premier absolu, te système-solution .y, dans lequel le nombre x, est inférieur à p est seul admissible comme solution inférieure a p et applicable à l'équation proposée; admettons en effet la possibilité d'une seconde solution .c, ± et~, dans les conditions précitées on aurait les deux. égalités

(.c,)'+~=P. (~±~)'=P.

ou, après soustraction,

±~,±~==P.H,;

or, le nombre P est premier absolu et est supérieur à on doit donc avoir l'égalité 2.c,±:~==P, et par suite ~,±:~==P–donc,Ie nombre x étant infép p

rieur a x, la nouvelle valeur de x ne peut être inférieure a remarquons aussi que cette seconde solution relative à x est déjà classée, formule n* 39, parmi les valeurs X, liées à la première solution par conséquent si le nombre P est premier absolu, et si on connait le nombre x, inférieur à p et solution de x, les

formules générâtes du u" S9 donnent toutes les solutions de applicables it t'équatioo proposée; on peut concture des faits précédents que si dans t'équation .t' + == P. le nombre P n'est pas premier absolu, et si l'on veut acquérir la certitude que toutes les solutions seront déduites d'une seule, it sera nécessaire de changer, pa.- une transfot'matioMconvenab~J'eq.jatioM proposée en une autre (}ui pr~entera la circonstaHœ essentiette indiquée, cette modification aura un autre avautage (jue te théorème qui commence l'étude suivante montre mieux <)ue toute expticatiot).

ttKCHKRCHK ))'L-NK SOUJTtU?. UH t.LATtOf ~+,=p, ).i..it.t:o..d..se~. 4i. T)~oftht!! c~tRAL. Si la résolution det'euuation -<{- est possible te nombre r étant positif et inférieur a P, on peut toujours réaiiser l'égahte P.~=R'-}-a', les nombres /'étant entiers, /e/~M!w~w~/M/< P

/?<'«/' -}-3~ ~cw<f//<a/< ~we«/' au /w/c3. Ce théorème a une grande importance; réuni au tableau numérique précèdent et a la prop. rec. n*' 38, t'ensembte donne un moyen pratique de résolution de toutes les équations dont la forme cst.= P. la démonstration que nous présen. tons est longue, pénibte, et cependant nous t'atons abrégée de moitié sans altérer son caractère généra) en admettant l'état impair du nombre P. ~CAS. p~

42. L~utR. Si l'équation .~+/-==(4y+~ est possible; si la solution hypothétiquement connue est désignée par le système .c, on peut toujours admettre que les nombres-ï-, ne sont pas supérieurs, le premier à 2y, le second a <y la première partie de cette conclusion est évidente, et de i'inégatité ~-(-~+1 > (4y+~ on déduit l'inégalité~, <;y-t-~+~ qui démontre la seconde partie du principe énoncé.

43. LM.MB. Si l'équation ~+/-=(4y-~)) est possible: si ton pose ~-==4< ou y'==2~ )e nombre entier k n'étant pas supérieur a 3, si t'en s'est assuré que les essais successif, 2, 3,4 ~-i~- 3 tentés pour ne peuvent donner une solution de cette inconnue; on est alors assuré, lemme

t~cede~t, ~ue cette soimiott ~tattvc à est un des tennea de la smte uatmetk ~– <r/–/ ~t t. 4*tt < ~tt +4, +. ~t. L~<–'), f.<c. f,e dernier uotubre de cette suite étant inférieur a si pour faeititer t'pxptication on ajoute aux essais indiquas pour~ ceux des nombres décroissants ~–t .</ – A, au plus trois essais, on pourra attinïter que dans les conditions précitées le nombre M qui vérifie t'egalite certaine suivante,

JÂ) ~,(~~)==R.

est un des nombres entiers de la suite naturette 4,5,6. – – or, le dernier nombre de cette suite est égal a 3 (~––). Ainsi, dans les conditions établies, il existe un nombre entier utmte par les notnbrcs entiers 4 et 3 (~––) qui vérifie t'egatité certaine [A].

44. L.EM.UE. Si les conditions précédentes subsistent, le nombre entier H qui vérité t'ëgatitH doit être représenté par l'expression ~-}-2M– le nomt~'e entier étant positif et non supérieur a n.

)" L'égalité évidente

(~+~(~+")=(7+~+(~+~7~'+'~) est telle, que le second terme du second membre croit avec le nombre et dans le cas le plus défavorable, c'cst-n-dire dans les conditions /<==4, ~'==3, ce second terme est .s nombre supérieur a 4y, et p ar suite supérieur a y. si toutefois on admet l'inégalité [f]y;> 10; ces conditions admises, on a donc l'inégalité R > <y- et par suite < Nous ferons une remarque générate sur l'inégalité [e] et sur les inégalités analogues qui se présenteront par la suite ces limites relatives à y n'ont pas une grande importance, parce qu'elles prennent en général leurs causes dans ces raisonnements a ~</on, qui amènent un énoncé final simple et rapide; n'est-il pas d'ailleurs évident que toute cette analyse est surtout applicable aux équations dans lesquelles le nombre P, et par suite le n~bre sont assez élevés dans l'échelle numérique.

2" L égalité évidente

'4y+~(~+.<)===~+2~+1)'-(~+~+4.'+3~+~l), égalité dans laquelle le second terme du second membre est négatif, prouve l'exactitude de l'inégalité R<;y-2/<-(-<.

4~! Étant donnée à résoudre en nombres entiers et dans les conditions citées, t'équation possible .{-=?. l'ensemble des trois numérosqui pré.cèdent établit qu'une solution est toujours donnée par l'égalité certaine. [Bj ~y+l ) (~-(-~=(~2~+1 '[~+~). ')* !\ous admettons que les nombres entiers

-), -(~-2),3,-2,-1, 0, t, 2, 3 -¡--1 -¡--2 ,3, -2, -1, 0, 1, 2, a substitues a n'ont pu réaliser l'égatité [B], et par confiequent les limites de ce nombre ? sont 4 et 3 (~–~) ) 2° le nombre entier est non supérieur a n; 3° le second terme du second membre de l'égatité [B] est égal a r ces faits préliminaires constatés, on peut prouver que si t'en multiplie t'egatité [B] par l'un des deux carrés 2', 3', l'une décès multiplications transforme l'égalité [B] en une autre, dans laquelle le coefRcient nouveau de 4~ ==P sera non supérieur à ?1'3; et par suite l'exactitude de ce premier cas du théorème énoncé n° 4i, sera démontrée.

Le produit de [B] par 2' est

(~4M)==(2~+4M-.2~'+2'~2S-~)+~ +~-(2~ -§)'], ou, après soustraction des multiples de 4~ communs aux deux membres, M (~+<)[?- (~-4.]==[~- (2.+2<y+~r+2'b(2S-~+ +/<-(2«- Ainsi l'égatité certaine [B] dans laquelle le coemcient de 4~ était supérieur à 2-1~3 est transformée en une autre égalité [C] a laquelle est applicable la

seconde ligne horizontale du tableau Vt en outre, le nouveau cuenicient de 4<y-)-<== P, peut ne pas être supérieur u 'L'.–3; et cette circonstance, qui est pouf nous essentielle, est subordonnée a la possibilité de la condition y––(4~–4~–t :==<––-{-3, condition que l'on peut œrirc [D] ~)=>

Le produit de [B] par 3' est

(~+~(~).9~=(3~+6~-3!)'+3'[~+ï-~+~-(~]. ou, après la suppression des multiptes de 4~ communs aux deux membres.

[E] f~+~t ~+6~-3~2~+l1=[6~-3~<]'+3'MM-/)+~±:+/<-(~] L utititë de cette nouvelle transformation est subordonnée n ta possibitite de la condition

~3~-2~+1 ==<~+3,

ou .f.

ou ~<~+~.

ou,ennn,[F] ~=<

Les autres transformations de l'égalité première [BJ, c'est-à-dire les transfurmations auxquelles seraient applicables les lignes 4, 5, etc., du tableau \'t, ont certes leur utilité, mais elles ne présentent aucun caractère général; et le lecteur verra lui-même dans quelle circonstance cette utilité pourrait compenser les calculs que ces transformations exigent.

Il est démontré que, dans l'état actuel de cette analyse, l'exactitude de l'une des conditions hypothétiques

[D] 4(~)==>3(~)-2.

M ~=<~+~

indiquerait la posoibinté de réaliser l'une des égalités correspondantes [Cj et [KJ, avec la condition essentielle, le facteur de 4<y-}-1 non supérieur a -3; admettons l'inexactitude de la condition [F], c'est-à-dire admettons l'inégatité M ~>~+~

'je Jaquette ou déduit 2~ – < – et examinons t'influence de cette hypothèse sur la condition désignée [D]; à cet effet reprenons r~gaiitë première [B]. [B] (~+ <)(~L~+~ =~+~+i'~$--A)+L~ Uans les hypothèses générales précitées, puisque la racine carrée est ~-}-2/<– cette racine est inférieure y- et si l'on pose [K] 2~–~== – cette même racine peut être représentée par l'expression y-}–'– les limites de /< étant 1 et exclusivement !a substitution de cette racine dans t'égalité [B], donne

M (~+<)(ï-~+~== (~+ ~<)'+<+~+.<+~ (~)'j Le second terme du second membre, c'est-à-dire le reste obtenu dans cette Ie extraction d'une racine carrée, est égal au nombre r de l'équation proposée; ce second membre est donc inférieur à (4y-)-<); nous faciliterons la suite du raisonnement en égalant provisoirement ce second terme ou ce reste il zéro la vateur de A déduite de cette supposition erronée sera peu différente de la valeur exacte obtenue en égalant ce même second terme au nombre r, on a donc ~+2~+~+~-(~==0.

de là /~+7-+~+~+~r' l'état négatif du radical étant seul admissible par suite des limites imposées au nombre A, cette valeurde~fait connaitre celle de 4(/:– en effet, de !'éga)ité fK] 2~

un déduit 4(M–)==~–-4/ etenHn

/==-.4('?+M)-}-\1~}-C4~<+16/<+4(<K)–t6./K Notre étude actuelle est l'examen des modifications <}ue t'inegatité hypothétique !<] peut amener dans la condition [D] nous devons donc comparer les deux grandeurs qui expriment 4(~–~), c'est-à-dire comparer ~j –4(~)-{-+ti4~ + ~/< -t- 4(<y–~) – 16~ et ~('~)–~ or, pour toutes les valeurs de M, depuis/t== 3 (~L–j–3 jusqu'au maximum ~== ~'LH~) admissible pour cette lettre, ta premieredes deux quantités~] est supérieure il la seconde, cette conclusion sera incontestable si nous prouvons Le raisonnement fait dans le texte admet l'exactitude de la valeur de déduite du reste cMM pat' M et egato à xffu ainsi ta valeur exacte de c'est-à-dire la valeur de h donnée par l'équation obligée

~+~'+~–~+~~–(~'–~) ==~

été remplacée par la valeur de hi déduite de l'équation 'n

~+2~,+«–~+~ =<

nous représentons par quantité~+~–~+~–––, les deux équations préccttentes seront

/+3/!A–/t'=r, /-}-2?A,+3/<A.–)'=.,

de là on déduit par soustraction

M (A-A,)[2</+3«-(A+A,)]=~

les quantités h et /<< sont certes peu différentes, puisque le nombre h n'est pas supérieur a g, la quantité /'+A, sera peu différente de n alors l'équation [«] prouve, en rappelant t'inégalitc -1, que la différence de h à est inférieure au nombre 2 ou que le nombre A est supérieur au nombre d'une quantité inférieure à 2 si dans l'égalité [K] du texte, égalité dans laquelle le nombre a pris la place du nombre h, si on substitue au nombre h le nombre /<-)-&, cette égalité deviendra 4(/!–S)==~–4A–8 et le changement n'altérerait pas d'une unitf la limite finate assignée dans le texte au nombre

que, depuis /!=3(~)–3 jusqu'à ~==3~~J'adoption du polynôme +4(y+~+3(~)-2,

comme étant la racine carrée de la (juantite placée sous le tadical, donnerait un reste essentiellement positif: ce reste u examiner est

~;j 26~+(32+C~+~23-~) -7/ (Preste, s'il est positif pour une certaine valeur de n, augmente ensuite avec M, pourvu que ces valeurs <ie ra restent intérieures a-)-~ -)- or, si l'on pose n === 3 ~–~) –3, la substitution dans[Lj de cette valeur pour donne 'y (~-+7) (- +73~-t- 244), et, si l'on admet le cas le plus dér D on iSy'+682?-8380 ou ~~–68~-8380. or, suttat est positif si t'en admet ~>55 ainsi, dans les cas les plus dé!avorabtes pour toutes les équations dont la forme est .t-=P.;r, pourvu que l'on ait, r P=4<y- 2° le nombre ~'positif et inférieur à P, 3" le nombre non intérieur à 3(~–~) –3 si t'oo ne peut admettre la condition [F], c'est-àdire si l'on ne peut admettre la possibilité de l'égalité [E] avec la condition essentielle, le facteur de 4y-}-~ intérieur à ~––-(-3, cette impossibilité même amène )a possibilité de la condition [D], et, par suite, assure l'exactitude de iegatitéjC] avec la condition [D], le facteur de 4~-}~ intérieur a ~–+3. Les limites générales assignées au nombre sont 4 et 3~–), nous devons donc compléter cette étude par l'examen de l'influence de /< sur les conditions }t)] et [F], lorsque le nombre/< est limité par4et3~4. Or,te nombres ainsi limité vérifie la condition [F]; en d'autres termes, les conditions == 3 (~)–/sont contradictoires, la variation du nombre ayant lieu depuis 4 jusqu'à 3(~~)–4, ou, plus simplement, ayant lieu depuis 0 jusqu'à 3(~––) –4.

t" de > ou déduit 2/<–~ < ou y-}- i~ -$ <t- – t, ou, si :) /< un substitue la valeur 3(~–') –~ on a

~+~-t<+<)- 31

() 2n-d < ~a -t~ 1 -0:

Le produit (4'y-)-l ifL~–-)- devient, si à /< on substitue la valeur~(~") le "s °

pj S~(S~)_ 1

Or, ce nombre contient te carré (<y-t-2/!–~)*,et, diminué de ce carré, il doit douner te reste r, c'est-à-dire le terme connu de l'équation proposée si donc, dans cette soustraction, le carré (y-{-2/:–~)' est remplacé parla quantité plus grande r2Nv 9/ 3n' “

C$ 9~' --1 le reste de cette nouvelle soustraction sera, soit un nfT – ïo – ? nouvette soustracttou sera, son un nombre négatif, soit un nombre positif, mais inférieur à r, et, par suite, infe.rieur à 4~ ainsi.. du nombre [S] retranchons le nombre

as? /'9K 3/

'i0')0+~r

le reste est alors

r-) ~?'-L. !3 ~)~9//li?.-aM–04 ~+~)-8S6+T-+~+-4~-–-M–––T cherchons les limites relatives à et capables de donner à ce reste t'état positif et supérieur à 4y; ce reste présente deux parties la première, qui est Inde. pendante de la lettre l, est, dans le cas le plus défavorable, et si l'on a y> 45, positive et supérieure à 4y, maximum admissible pour le nombre r; la seconde partie du reste est dépendante de est positive et croissante depuis /==0 0 jusqu'à /== ainsi, le nombre tant limité provisoirement par les termes 0 et –2–~––, on est assuré que le reste [T] est positif et supérieur a 4y; par suite, ce reste est supérieur à r, et, par conséquent, dans ces conditions, l'inégalité > est inadmissible, et l'exactitude de l'égalité [Ej avec la condition essentielle F est alors incontestable.

limite supérieure provisoire ~–~– relative à la lettre n'est pas supérieure a la limite 3(~–4, maximum admissible pour cette même lettre or, reprenant l'examen du reste [Tj, on peut remarquer, ~'que depuis ~== jusqu'à /===3f~–)–4, la partie dépendante de prend = 36 Jusqu Il ~-8-) -4, a parhe pen aote de' prend t'état négatif, et, par conséquent, diminue d'autant, dans le reste T, la partie invariable positive qui la précède; 2* que, dans les conditions imposées, le maximum négatif de cette partie dépendante de correspond exactement au maximum 3~–4, admissible pour la lettre 1; si donc, a la lettre 1 et dans ~S4_~ on /=3(~) 4, te résultat final ans '4 30 ) on su >stltue = -¡- 1., e rt'su tat ma, après substitution el après réduction générale, est

[U] ,(~)+'~9,

[U) 4 T J 4

résultat qui est, en général, positif, et l'examen de sa grandeur, comparée a celle de 4y, donne les états suivants t° si ~==0, on a [U] >4y si l'on a y > 8; 2" si ~==-<, on a [U] ;>4~ si l'on a y > 12; 3" si /=2, on a [U] >4y si l'on a y > 50 4° enfin, lorsque le nombre est 3, le nombre [U] n'est pas supérieur à 4~, mais constatons que notre raisonnement admet la supériorité de ce nombre sur le terme connu r; le nombre [U] serait d'ailleurs supérieur a 4y si l'on diminuait d'une seule unité le maximum 3(~––) –4 assigné à 2" CM. P=4y+3.

La démonstration est semblable à celle qui précède, et nous indiquerons les points principaux du raisonnement

t" Si l'équation /'===(4y-{-3~ est possible, on peut toujours admettre que la solution x, hypotbétiquement connue, vérifie les inégalités ~,<2~+<, ~<y+<;

2" Si l'équation .r*-t-== (4~3)~ est possible, si les essais successifs,y = 4, ~-==2, /==3.==~–3 ne peuvent faire connattre une valeur dejr, on est assuré qu'un nombre entier n vérine l'égalité

[A.] (4~3)(~+~)==R'+~!

UM est également certain que le nombre M, en admettant la nun-reumtc pour des essais <– est un des termes de la suite naturelle 4, 5, 6, 7.–~–~ ~–~–

La racine R qui vérifie l'égalité [A,] est y-2~– le nombre étant positif et non supérieur à M; ces faits établis, on sait qu'une sulution est toujours donnée par t'égalité certaine suivante

M .~+3~L~+~ =(~+2.<)'+i'[~+~+3(~) -(~J; de cette égalité on déduit après multiplication par 2' et par 3' I'

[C,] (.t</+ 3 (v–~+i3–4'<+3)=~–2~–a?–3j'+2'[~–~+3/3('~–(~–~j, ['] !+3) (~ +6~–3/<-2/ + 3~ =(C~-3S-?-3)'+ 3'M8~–~ + 37! + 3 ~–~ -(9/<] q des raisonnemens analogues n ceux qui ont été faits dans le cas précédent prouvent que la transformation de l'égalité [B,] en l'une des égalités [C,] et [D,], le multiplicateur de 4~-3 n'étant pas supérieur à X–– -3, est subordonné aux conditions hypothétiques

M 4(~)==>

[F,] ~==<

Admettons l'inexactitude de la seconde condition, c'est-a-dit soit M ~+~

de là on déduit 2~–~<~–~ et en employant la lettre A comme dans le cas précédent, ou a

~K,j ] 4(~–~==2/<4/<;

si, à ta racine <y-)-2K–~ et dans l'égalité [B,], on substitue la vateu) ~-t-~–

qui représente alors la valeur inhérente a cette racine, le résultat est [M.t (~+3)(~+.<)=(v+~~)'+<+3.<+2?/.+3(~-(~)'j. I si, en rappelant les considérations présentées dans le cas procèdent, ou égale a xéro le second terme du second membre de cette égalité, et si on déduit de cette équation l'égalité suivante, c'est-it-dire la vatcm'

/<=~+y-~+4~ + 3~+3(2~),

enfin, si on substitue cette valeur dans {'égalité [K,], on a

4(/:–~==–4~+~+\16/+6~+48~+~2(y–Kj–')6~; alors l'examen comparatif des deux grandeurs suivantes

M –4(~+~)+~6~+ 64~(+48n-(-~–<-)-. tC~ et 3(~) indiquera l'état admissible ou non admissible de la condition [DJ toutes les fois que l'inégalité [G,] sera exacte; si de la quantité placée sous le signe radical on retranche J4(y-)~-3~Z–), te résultat est

~] 26~+~48+6~+~2-~) <M-. (~e reste, s'il est positif pour une certaine valeur de /<, augmente ensuite avec n, pourvu que toutes ces valeurs de restent inférieures a -{-g-)- donc, si ce dernier nombre est limité par fes termes 3 (~-––3 et 3~–V ce reste est positif; si effectivement on substitue à /ï le nombre 3(~––~ –3, le résultat est ~–(-~–84~+288), ) et dans te cas te plus défavorable donné par l'hypothèse A =3, ce résultat devient 38~ 936?

TtT 8 <6

Or, ce dernier résultat est positif, si l'on admet y ;> 6<, et par conséquent notre conclusion sera encore celle que présente !a partie analogue du cas précédent.

Les modifications apportées par la valeur de /<, depuis le nombre 4 jusqu'au nombre 3~– dans les conditions hypothétiques [H,] et jr'~ seront semb lables à celles qu'éprouvent, dans les métues circonstances, les conditions [D] et [F] du cas précèdent; si les limites de sont 4 et 3~ –~ la condition [F,] est réalisée; admettons, en effet, l'exactitude des deux hypothèses suivantes ~>)-~ ~=3(2-~–~ hypothèses que nous disons être incompatibles, si la variation de test limitée par les nombres 4 et 3(~– ou, plus simplement, est limitée par les termes 0 et 3(~–!) –4. ~De~>ondéduit2/t-~<~–tet~2M–$<<;ou, si à n on substitue la vateur3(~––~ on a

~(S+')-s. ~l'

2" Le produit (4~+3)(~ si à on substitue la valeur 3(~) – devient

[S.] 1 ~(~")~3,.

Le nombt'e[Sj contient le carré (~2~– par conséquent ce nombre, diminué de ce carré, doit donner un reste égal à si donc, dans cette soustraction, le nombre trop élevé [~- ~-{-T prend la place de ce carré, le reste sera un nombre négatif, ou ce reste, s'il est positif, sera inférieur à r, et, par conséquent, à 4~-}-3; or, ce reste est

N ~+~-g)-(~+M+<)+~<). La partie indépendante de est positive et supérieure a 4~+3 lorsque t on a A==3, y>29; la partie indépendante de croit depuis /=0 jusqu'à ,_H~–87/–96 L

<––––~––, le nombre étant plus étevé donne à cette partie l'état positif décroissant, puis t'etat négatif, et si, a ta partie indépendante de un

téunH la partie négative donnée par i'egaMté /==:3(~–J–4, le résultat final est

[".) ~-<)-M-

Ce résultat est positif, et l'examen comparatif de ~U,] et de 4~-2 donne tesétats suivants ~Si A==0, on a [U,] >4y-2, si y;>5; 2" si ~==~ on a [C,] >4~+2, si ~>9)3"si~==2, on a [C,] >4y-}-2, siy>22;4''si~==3,tenombre [U,] n'est pas supérieur ù 4y-)-2; mais le raisonnement admet seulement la supériorité de ce nombre sur le nombre et nous pourrions reproduire ici l'observation faite dans la partie analogue du cas précèdent.

CofCî.usMtt GÉNÉRALE. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, une équation .f*-{-== P. admettons, ce qui est permis, l'état positif des nombres P et r, l'exactitude de l'égalité r < P si l'équation proposée est possible, les raisonnements qui précèdent constateM l'existence d'un nombre p

entier P. m, le facteur m inférieur a .}-3 qui vérine l'une des trois égalités suivantes

[<] P./K–==R*

[2J P.w–2'==R'

[3] P./K–3'==R',

le nombre R étant entier, la proposition réciproque est également vraie. Les tables précédentes, applicables a t'équation ;t*-{-== P. ont été calculées en employant la relation unique, qui a lieu entre une solution certaine et toutes les solutions liées à cette première solution de i'équation proposée, en substituant successivement à N et à N' la suite naturelle 0, 1,2, 3, 4, etc.; tes expressions littérales w, <?,+, (expressions relatées n" 54) représentent, dans les conditions actuelles, tous les nombres entiers qui peuvent, après extraction de la racine carrée, donner un reste caractérisé par la formule y.Q*, le nombre Q étant entier, par conséquent si une des égalités précédentes [< ]. [2j, [3], l'égalité [3], par exemple, est exacte, on est certain que le nombre P. m occupe une place dans tes tables et par suite la fonction de ? correspondante, fonction qui représente la racine carrée de P. m, doit, si elle est égalée au nombre entier R, donner à n i'état de nombre entier, cette circon-

sttMKW tera connattre ta tête de colonne correspondante et ~r suite, tt" 38, donnera une valeur de)' applicable à l'équation proposée.

46. La conclusion générale qui précède donne un caractère pratique incontestable à la méthode de résolution de l'équation ~==P. mais cette ntéthude, applicable d'ailleurs à l'équation plus générale ~-}-<t'-)-f==P. exige l'emploi du tableau VI plus ou moins étendu or, ce tableau lui-même n est pas indispensable ou du moins une simple remarque prouve que sa partie i-éellemeiit essentielle est limitée aux trois racines fonction de /<, qui occupent les rangs 2 et 3 de la première colonne verticale; en d'autres termes, le tableau peut être complétement remplacé par le tableau VII suivant r ïh-B NB COLtMtM.

TtBMAU VII. P.= n'+r.

Racines.

Reste==2'.r, 2/<-)-1.

Reste = 3'. r, 3/<–i 3/<+1.

En effet, étant donnée à résoudre, en nombres entiers, l'équation possible .==P.~ on a, dans ces conditions, acquis la certitude que l'on peut satisfaire à l'une des égalités

~] P./?:==R' r

[A] [2] P.w=R'-t-2'

[3~ P.~=R'-t-3'

Or, si le nombre P est impair, circonstance qui, dans l'étude actuelle, conserve à ce nombre toute la généralité nécessaire on peut affirmer que la vérification de l'une des égalités [A] et l'emploi du tableau VI! amènent toujours une solution de l'équation proposée.

Si l'égalité exacte est

[1] P.~=R'+1'

*8it'onaP=~ t'égaMté -:==)' transforme l'équation ;<=P./ en une autre ;)-=/?, dans laquelle te nombre p est impair.

cette égalité donne le système .r==R, ~==M applicable a l'équation propos~ 2* Si l'égalité exacte est

[2] P./M==R'-t-2'

)c nombre K est impair ou pair; dans le premier cas, l'égalité 2M-~==K donue le système A'==2M'-(-2/ ~'==/M(/t') applicable à l'équatiot) proposée; dans le second cas, on déduit de l'égalité P.w==R'-}-2~.r, t'égalité P./M,==(P–R)'2*. dans laquelle le nombre P–R est impair et ta question appartient au premier cas.

3' Si l'égalité exacte est

P./H=R'-t-3'

Je nombre R a l'une des trois formes 3~– 3~-(-1, 3~; dans les deux premiers cas, l'emploi convenable de l'une des égalités 3~–~==R, 3M-==~ tableau VM, donne à n l'état de nombre entier, et par suite donne un svstème-solution applicable à l'équation; dans le troisième cas, tous les termes de l'égalité [3] sont divisibles par le nombre 9, et cette égalité devient M ~==~+~;

si le nombre P est premier absolu ou si ce nombre est premier à 9, l'égalité [B j i prend la forme P. ~,==y'1'. et parsuite le système j-=~, ~==~, est applicable à l'équation proposée si le nombre ? n'est pas un multiple exact de U, alors P est exactement divisible, soit par 3, soit par 9, et l'égalité fB! prend l'une des formes g.~==y*r, n.==~)-< c'est-à-dire M ~==~

[5J /~==?'-H'

le raisonnement étant le même dans ces deux égalités, nous admettrons que [4j est l'égalité finale obtenue on est assuré que le système ;t==û, ~-==[~ est une solution applicable à l'équation ~==~ et puisque l'on a g==~, il est évident que parmi les valeurs j4, f~ etc. de l'inconnu y, relatives à l'équation .t'r==~ on doit rechercher celles qui sont exactement divisibles par le nombre 3, soit ji. cette valeur et y, la valeur dexcorrespondante,

ou aura tes égales, ==(~{- < f, 3. ===(~y+1' P. = (yj' < ainsi le système ;t;==~==~ est applicable M l'équation primitive proposée: la recherche du nombre aura tien en employant les formules générâtes n* 59, elle demande quelques essais dont le nombre est très-limité, en effet, si l'équation primitive proposée-)-= P.est possible, cette équation doit présenter pour~ uue valeur intérieure a -{-1, et par conséquent le nombre doit être inférieur à 3~+t).

Le raisonnement qui termine le paragraphe précédent, admet l'état premier absolu du nombre /~= g ce raisonnement admet, en effet, qu'un seul système ~==?) /==)~ solution de l'équation .c'=P. donnera, à l'aide des formules générâtes n" 59, toutes les solutions de cette même équation; or, on a vu, n" 40, que cette seconde propriété est complétement subordonnée à la première si le nombre~ n'est pas premier absolu, t'état premier à 3 des diverses valeurs j* jt,, j~, etc. n'est pas une preuve de la non-existence d'une valeur de ~applicable à l'équation primitive proposée~-}-== P. on reprendra alors l'équation auxiliaire ~-}-y==~ et désignant paru- le plus grand facteur premierde p puis, posant y==~.K, K.==~, l'équation .r'-{-==~deviendra ~t-=~.f, soit .~==~, /=<,un système-sotution de cette dernière équation, avec la condition .c.< le nombre étant premier absolu, la suite <“ t, 1 etc. donnée par l'emploi des formules générales n" 39, renferme toutes les valeurs applicables à l'inconnue t, et par conséquent si on choisit parmi ces valeurs les multiples exacts du nombre K; ces multiples donnent, après division par K, une nouvelle suite $“ 9,, $“ etc. dont les termes sont toutes les valeurs applicables à l'inconnue~ relative à l'équation ;E*==~, cette nouvelle suite, dont un terme au moins doit être inférieur à 3(~-)-lY renferme évidemment les nombres jt,, [t,, jjt,, etc. donnés dans le calcul qui a précédé le calcul actuel, si parmi les nombres <“ 9,, $,, etc. on adopte ceux qui sont inférieurs ~(4"~) si ces nombres ainsi choisis sont tous premiers à 3, on aura la certitude qu'il y a impossibilité de résoudre, en nombres entiers, l'équation primitive -)- ~== P .y.

La réunion des hypothèses R=3q, P. ~==R'-}-3*. r est extrêmement rare, la

difliculté qu'elle présente est essemicllement théorique, plutôt apparente qu<réelle un peut d'ailleurs toujours l'éviter eu opérant, s'il y a lieu, la transformation de l'équation proposa, c'est-à-dire en changeant cette équation et) une autre, dans laquelle le coeHicient de l'inconnue auxiliaire est un nombre premier absolu la dernière partie de l'explication précédente donne tous les éléments nécessaires pour opérer cette transformation cette dernière partie donne aussi, connaissant un système-solution de l'équation transformée, le moyen de constater la possibilité ou l'impossibilité de résoudre, en nombres entiers, l'équation proposée.

L'emploi du tableau VII amène donc toujours une solution de l'équation pos.sible ;f'4-==P. or, cette circonstance même indique, entre les nombres x, qui constituent une solution, une, relation dont l'élégance et la simplicité nous paraissent remarquables, tout système.solution vérifie l'égalité .<)-r== P./H(/) en d'autres termes, dans les conditions précitées, le pré.tnier membre de l'équation résolue présente la forme .c*-)- et ce nombre est égal au produit d'un multiple exact de P, par un nombre dont la forme est exactement celte que présentait le nombre entier .c'-}-y.

47. La recherche des solutions, en nombres entiers, de l'équation ~-(-=P. est donc remplacée par cette autre recherche constater la possibilité ou l'impossibilité de l'une des trois égalités [Aj

[~ P./M–<=R'

[2] P.M–2'==R'

[3] P./H–3'=R',

parmi les procédés que le lecteur peut employer, nous indiquerons le procédé suivant, qui nous a paru réunir les conditions de célérité et de certitude pratiques que l'on demande à ce genre de calcul; remarquons 1" que le chiffre des unités d'un carré exact entier est <), 4, 6, 9, 5, 0; 2" que le chiffre des unités d'un carré exact entier étant 0 ou 5, le chiffre des dizaines de ce même p

carré est 0 ou 2; 3° que le nombre entier m est inférieur à ~3. Essai relatif à l'une des égalités [AJ, par exemple à la première de ces égatités;

)e nombre P. /M – doit être un carré exact entier; posons la série suivante de nombres entier!.

[8) ).P–1' 2.P–r. 3.P-t' 4.P- 1., 5.P–1' U.P– 7.P-.t' 8.P-t' 9.P–< IO.P–4' ou devra exclure de cette série tous les nombres dont le chiffre des unités sera 2, 3, 7,8, et cette exclusion sera définitive, c'est-à-dire aura lieu pour tout l'essai actuel; en effet, si l'on est certain que le chinre des unités du nombre P– par exemple, ne peut se concilier avec l'état de carré exact entier, le fait de non-concordance est également certain pour tes nombres <2.P–< 22.P–.r. 32.P–r, etc. la série [H] est donc réduite a six termes et une remarque assez simple détermine l'exclusion immédiate des termes dont le chiffre des unités est 0 ou 5; supposons, par exemple, que le nombre 7.P–r. présente le chiffre des unités égal à 5, le chiffre des dizaines de ce nombre est ou n'est pas 2, dans le premier cas on examinera à l'instant si ce nombre est un carré, soit lorsqu'il est isolé, soit après l'addition de 100P, de 200P, de 300P, etc., le coefficient actuel de P étant limité par la condition <–}-3; dans le second cas on reconnaitra immédiatement quel est le multiple exact 1 OP, '20P,30P, etc., que l'on doit ajouter au nombre primitif 7P– pour donner au résultat le chiffre des dizaines 2, et on soumettra ce résultat aux essais indiqués pour le premier cas; il est évident qu'une opération analogue aura lieu pour le terme dont le chifire des unités est 0 la série [B] présente finalement quatre termes dont le chiffre des unités est 1, 4, 6, 9; or, si l'on remarque que tout carré exact entier 1° dont le chiffre des unités est H a un chinre impair comme dizaines; 2° dont le chiffre des unités est 1, 4, 9 a un chiffre pair comme dizaines, on reconnaitra facilement que les quatre termes qui constituent alors la série [B] seront alors, le nombre P étant impair, soumis aux essais, en augmentant le coefficient de P, soit des nombres 1 OP, 30P, 50P, etc., soit des nombres 20P, 40P, 60P, etc., un seul de ces modes est nécessaire et est caractérisé par l'état du nombre primitif de la série finale [B]. EXEMPLE. ~-{-<71==1559~, les essais amènent, s'il y a lieu, la vérification de l'une des égalités [A]; or, dans l'exemple actuel, 1 le quotient entier donné par~-t-3, c'est-à-dire 100 est le nombre maximum afïëcté à la lettre M; 2° les essais relatifs aux deux premières égalités [A], essais limités par le maximum

admissible pour ne présentent aucun résultat utile; 3" les essais relatifs a la troisième égalité [A] donnent les six égalités

15MJ–3'J7<==20, 1559.2–3'.17t==1579, 1559.5 –3'.171==625C, 15M.G–3'm==78<5, 1559.7–y.~1==9374, 1559.')0–3'.17~==14051; 4" quelques essais relatifs à la première et à la quatrième égalité déterminent la suppression de ces égalités, on a donc finalement

1559.2–3'.171==1579, 1559.5–3'.171= 6256,

) 559.7–3'.171 ==9374, 1559.10–3'.171=14051;

5" les essais liés aux deux premières égalités ne donnent aucun résultat utile; 6" le second membre de h troisième égalité n'est pas un can'é, mais le premift membre augmenté de 10P donne l'égalité 1559.17–3'.171 ==158', de là tableau ~n,/(~)==3/ï–1==158, n==53, tête de colonne ~-}-==2980, (~-}-)17==50660, donc te système'solution est ~-==50660, ~-=8887. 48. L'exposé théorique qui précède fait connattre soit l'ensemble, soit la nonexistence de solutions entières de Féquation ~}-==P. nous avons d'ailleurs indiqué n" SO et n" Si les deux transformations simples qui permettent de subordonner la résolution de l'équation X'+QX+R=K.Y a celle de l'équation ~{-r== P. on a donc ainsi un procédé de résolution, en nombres entiers, de ce genre d'équations or, sans vouloir donner au traité actuel une direction pratique étroite que nous avons éditée parce que toute direction dp cette nature brise les méthodes, ferme, en général, la route à toute recherche ultérieure, il nous est sans doute permis de compléter, par quelques mots, le mode de transformations que nous venons de caractériser. Reprenons l'équation générale de cette première partie

[A] ~X'+~X+c==P.Y,

Le second membre du paragraphe du texte admet, à la vente, t'ctat premier absotu du nombre Pi cet état nous t'admetton!! d'ailleurs dans le raisonnement qui suit; son absence n'altère pa~. la genératite du procède pratique, ou du moins n'amené que des modification!! tcgercs dont nous laissons t'examen au iecteur; constatons aussi que le nombre <t (coefficient de X' dans l'équation relatée plus bas) est premier au nombre P; en effet, le nombre «, multiple de P, abaisse le degré de cette équation, laquelle appartient alors à l'analyse indéterminée du premier degré.

laquelle rept-Mcnte toutes tes équations incomplètes du second degré a deux inconnues qui ne rentennent que le carré d'une variable. Posons les fautes X==~, 4~-=.;

~a

(équation [A] devient

[B] ~+(4<~c-~==P.x.

Nous avons, dans les n" qui procèdent, tous les éléments nécessaires pour répondre à ces deux questions la résolution, en nombres entiers, de i'équation [B] est-elle possible? Et si la réponse est affirmative, quels sont les nombres entiers 1 et z qui donnent un système-solution de cette même équation? Enfin rappelons que le premier système-solution connu étant t et z, les formules [H] T==P(N-)-~)-~ t

? J Z=P(N-(-2~-+1)+~ z

représentent, a" 59, tous les systèmes-solutions applicables à l'équation [B]. Les égalités [M] montrent que l'état entier attribué à chaque partie du système X, Y de l'équation primitive proposée donne le même état entier à chaque partie du système correspondant T, Z; mais, et pour nous ce point est capital, les réciproques sont, en général, inexactes, et il faut rechercher parmi les systèmes-solutions T et Z ceux qui donnent l'état entier, à à X, 2° à Y la première recherche ne présente aucune dimcutté, elle est liée à une équation d'analyse indéterminée du premier degré obtenue en remplaçant dans la première des égalités [M] la lettre t par la valeur générale T=P(N-~)-.<; en d'autres termes, cette recherche est la résolution, en nombres entiers, de l'équation [C] 2aX=P(N-j-1)–A.

Si on désigne par X et N un système-solution de cette équation, la seconde recherche est le résultat de la substitution de N dans l'égalité [K]; ce résultat entier numérique, représenté par Z, est toujours un multiple de 4a, et, par suite, donne le nombre entier Y==~. lequel complète le système-solution X, Y de l'équation primitive proposée; cette dernière proposition est manifestement une conséquence des transformations opérées; elle peut néanmoins être démontrée

directement reprenons, en effet, les trois égalités

[B] /t-(4a6-–~) ==?.

[C] 2aX==P(N-}-'))–~–

[KJ x=p~2~+~+~

Les lettres, t et z, relatives à [B], 2° X, N, relatives u fC], représeutent un systéme-sotution; par conséquent, les égalités

.=''+~ N+~==~

z- p m~' p

démontrent que les nombres <{-4<!c– 2aX-<-{-~ sont respectivement des multiples de P; substituant les nombres et K -)- dans t'égattté [K], on a ? /2<'X+~+~' /2<.X.+<+~\ + (4~ f).

!=C~'aX-1-t-+-G\l~2t'~aX.-f-t.-1-G` tr-f-(4ac-r~).

~––p––~ – ~~––p––~ -––p.-

chacune des trois parties du second membre est un nombre entier; la somme présente ce même état, et est, après réductions, le second membre de légalité /aX'+AX+~

~==~(–––P-––)-

Le nombre P, premier absolu, est premier à 4a; par suite, le nombre est multiple de 4~; par conséquent, les deux recherches précitées se réduisent a une seule, laquelle est toujours possible, le nombre P est premier absolu, cette recherche appartient à l'analyse indéterminée du premier degré à deux inconnues. Concluons Si on connait un système-solution de l'équation [Bj, ce système amène l'équation [C]; le système-solution X, K de cette dernière équation, donne, après substitution de N dans l'égalité [K], un nombre entier Z multiple de 4<it, et, finalement, on obtient les nombres entiers X, ==~ qui constituent une solution de l'équation proposée.

49. Nous avons, dans la note du n° 30, pris l'engagement d examiner les limites que l'on peut assigner à dans les équations dont la forme est .f*-}-{-== P. le nombre q impair, c'est-à-dire d'étudier quelques faits analogues à ceux que présente, n° 4i et suivants, l'équation .r'-)-== P. ) ;cct

examen direct. de l'équation précitée ~-{-t-f==P. peut être utile, au tMons comme exercice intellectuel nous indiquerons les points principaux qui ont t~té l'objet de notre étude.

Etant donnée à résoudre en nombres entiers t'équation

X'-)-~X+~==P.Y,

te nombre y étant impair et représenté par 2~-1, on a vu, n" 2i et suivants, (lue la connaissance des solutions entières était tiée a cette de deux séries primitives, et que chacune de ces séries créait deux espèces de résultats. ~S~iE. y, 1-}-</+.<, 4-}-2y+~ 9-)-3y+~

Terme général M* -{- M~ y.

Résultats [CJ P./n==R'+(AH'-t-AH-t-)–R,

[D~ P.~==R'-(-A.Q'.

yS~E. A+A+~-1, 1 4A+2A+~

ERIE, 4 --¡-, -¡-

Terme général A/ï'+A~+~-i.

4

Résultats [E] '~==R'+~+~~+~-R, R

rpi ~+~ – R'j. Q'+s

L't A –n-t-–––.

De là deux épreuves à faire sur l'équation proposée et la limite première évidente du nombre m est n° 28, P -}- or, nous admettons dans l'exposé général suivant, que Féquation proposée X'X-}-~==PYa a été transformée en l'équation ;c'e-{-== P. le nombre r étant positif et inférieur à P, cette transformation n'altère pas la généralité du raisonnement puisqu'elle est opérée 1° par le changement de X en .c±~; 2' par le changement, s'il y a lieu de quelques unités dans la valeur de Y, dans ces nouvelles conditions o<:

a A==4f– et si l'on adopte le nombre G positif, note du n" i<t, les égalités ~], [!)], ~], [F] deviennent

)C,J P~==R'+(2H-t-~–H(H-~)-K,

~] P.~==R'+(4/–~)Q',

M ~+'~±~-h, I"i

1 dr.4 4r_.9

r<t 1 P.~+G_n,, Q'+G

L'f) 1 –"T'4~–1'

t~ résotution en nombres entiers de l'équation proposée étant possible ~"S) « est une valeur de ;c, le nombre (a -P) est une valeur applicable a la moue lettre, et par suite, il existe poury une solution qui est non supérieure à p -t- ) tes nombres P et vérifient l'une des quatre égalités [C], [D], [Ej, ~-j i admettons que la vérification ait lieu pour l'une des ~gatit~s [C~ et [n'J, l'équation est alors liée au tableau J, n' i3.

1 CAS. Les nombres P et r vérifient l'égalité [Cj, la resolution de l'équation est alors liée à la première partie du tableau ou en d'autres termes, les nombres P et r vérifient l'une des lignes horizontales qui constituent cette partie du tableau; nous prouverons ci-après que cette vérification d'une des lignes précitées amène nécessairement la vérification de la première de ces mêmes lignes, par conséquent, le calcul conservera un caractère générât, et sera plus simple en introduisant dans t'égafuté [C,] l'hypothèse H 0, le résultat est P. w:==R'r–R, et si l'on admet, pour fixer les idées, les hypothèses P=4<–~==V, le nombre k étant non supérieur a 3. L'égalité précédente peut prendre la forme

M (4~)(~+~=(y+~+.(y+2~ le facteur ~–* n'est pas supérieur à y -}- <, et 1 si le nombre est positif, 2° si l'inégalité r<P est exacte, on peut démontrer, comme il a été tait n° 44, que les limites du nombre sont 0 et ~-}-1 inctusivempnt; nmlti-

plions toute l'égalité [L.,] par 9, un a, par réductions successives, les résultats t,)~ '– l ~(i~Mj~~ ~+~/<–M] <+~ ')-~< ==[~+)-t-(!/<-3~-t]'+9~ –[ U<(-i8/<-9!j ~)-)j '~L -{-9~–(~+~–2(0/<-3.–~1 = [ (i/<–3t-<')'-t-9~-2-[t)</+~09-2] .'{.~1~ Z-s~~oS+l !=.=[ ( 6/<-3~-?-~]'+9~-2-~+i8~-9~-9~ <V+')t –3~–2/+8~< == [ 6/!–3<–</–+9<-–2–[6H-3~)~+t ] M'/+t~3<t-M+0~4 1=:[ ( 6H-3!+9~–[C/!–3S- ?-2] [L,1 (~~r~-3~M.+-a(2- 1=[ [ C~-3~-2]'+9~-2-[6~-3~- ~-2]. Le nombre 9/'–2 représente, dans les condtttoospt'ecttees, te nombre ~-i-1, par conséquent la vérification par les nombres P et r de la première ligne horizontale de ta première partie du tableau amène !a vérincation, par les mêmes nombres, de ta seconde ligne horizontale de ta première partie du même tableau.

Reprenons et multiplions par 25 !'égalité [~, le résultat final, après réductions successives, est

M (~+l))i~- +2?–(3/<-4~+2(7-3/-) =[3?+S.–iO/<+5]'+SS~6-[3y+SS-+S]; te nombre 25/'–6 représente, dans les conditions précitées, l'expression –~–qui constitueletermeantérieur delà troisième ligne horizontale de ta première partie du tableau i ainsi, ta vérification par les nombres P et r de ta première ligne indiquée, amène ta vérincation par les mêmes nombres P et r de ta troisième ligne; on préparerait de la même manière les égalités L,, L,, L, L,. 2' C~s. La relation qui existe entre les diverses lignes horizontales de la première partie du tableau 1 se retrouve entre les deux genres de lignes horizontales, en d'autres termes étant donné à résoudre en nombres entiers l'équation ~-}-.f-~==P~ les deux nombres P et s'ils vériHent la pre-

mière partie du tableau, vériuent l'ensemble du même tableau, c'est-à-dire vérifient l'égalité )D,j, reprenons en en'et, et multiplions par 4 l'égalité [t,j, on a, après réductions successives,

(4~–(-~ ]==[~+4/<–2S ]'-)-4~ -[<M/<-4~J (4~+~b–~+~-t-l J==[~+4/!–M ]'4,t–[8/)–4S–2 ] (4y~~[~)..< ]==[~–(a~4,if~[8,–2 J (-~+~[V-+~+S] = [!<y–4/<+2!+< ]'-}-4, -[8/<–4!9 ] (4y~[~––3]== [~–4~-)-a~~ ]'4~–[8/<–4e–2 ] [S,] (4.y+~–4(/<+3] = [~–4~+~+B ]'+~-<.

Ainsi, étant donnée à résoudre en nombres entiers l'équation ~-}-.r-==P. si, dans les conditions précitées la résolution est liée à la première partie du tableau t, cette résolution sera liée à la première ligne horizontale de la seconde partie du même tableau. La transformation de l'égalité [Sj en [S,], en {S,J a lieu en multipliant cette égalité, dans le premier cas par 2', dans le deuxième cas par 3', les résultats sont après réductions

~S,] (4~+1 )[ 8~5–4~]= [ 87:–3]'+2'(4r– [SJ (4~ )~–~–12(K-2~)–8(~–2)]==['~–~ 2~+M+5]'-)-3~1 ). On obtiendrait d'ailleurs, par des calculs analogues aux précédents, les égalités 8,, S,, S, S,.

CoKCUfsiojr. Étant donnée à résoudre, en nombres entiers, l'équation .E*-{-;<)-r= P. on a démontré, n" 22 et 25, que la connaissance d'un système solution de l'équation, aurait lieu en employant le tableau 1, lorsque l'un des groupes P./K, ~"+~ et P. M, Q'(4r–'t) vérifierait l'une des conditions que nous avons caractérisées par les mots lignes horizontales de ce même tableau; l'exposé précédent prouve qu'il existe entre ces conditions une relation intime; en d'autres termes la vérification faite pour une de ces lignes amène la vérification de toutes les autres, en établissant des modifications convenables dans la grandeur des nombres entiers w, 2H 1 et /M, Q.

Recherchons pour le tableau IV, n° i9, les faits analogues à ceux que nous avons établis pour le tableau i cet exposé aura deux cas déterminés par les égalités [E,],[~.

1 CAS. Examen de t'cgalM

!)-' t'+<u, &'+[<+,.+(; R;

~.t –r–~Ti–

(" Supposons que t'équation possible donnée .f*-}-.<-}-== P. vérifie la prt'tnicre ti~ne hunxontate de la prpmit't'e partie du tabteautV; on a h==U, et le ))utnbre(< ajoute a/' devant donner un terme exactement dtvisibte pa<'4r–1, on aC' ==3r– t et t'égatttt! ~H,j prend la forme

lKJ t~.m-l-3r-) â~ £.~

'~Ë~=(~+~

le premier membre de cette égalité doit être entier, par conséquent désignant par M,, une sotution de t'equation posstbte (4r–'<)M–P.w==4 le nombre «,, 1 étant inferiem' n P; les sotuttons générâtes de l'équation .4/-–~M–P./n==3/'–< sont M==(3/-–1)«,-}-P~, ~==(3/'–)w,-{-(4/'– et puisque la solution /? doit vérifier t'ega)ité [E,] on a

p[(3~+«r-t)/<.1-t-3~t_ 1-}\

–––––~iTi––––––e/*t'' –"t

o" N P.+(3~==(R,)'+~R.;

2° Supposons que réquatioo possiMe donnée ~-{-{-==P. vérifie la seconde ligne horizontale de la première partie du tableau !V on a B== <, G == 3/-– 3, et t'égatité [E,] prend la forme

rp'l ~+~–/R~_L..t R. i

L~J "~r-)– = + – R,}

enfin les lettres M, et w, désignant les nombres entiers calculés dans le paragraphe précédent, le résultat est

[/.] ,j P./<.+(3.–3)«,==(R.)'-H-R,;

U est manifeste que la vateur convenable pour m est la solution m =~(3r–))w, -(4~– t~j, dit))int)ée, s'i) y a lieu, d'un n)t))tip)e de P; une otMervatton anab~ue est appticabte aux vateurs de M relatives aux équations [Et], [E~, etc., eh'.

les raisonnements précédents !petes pour ta troisième iignehonxontate donnent f + (3~- 7)«, == (R./+1 H,, r

et genératement on aura pour la (/<-}-1/" ligne borizontate de la prt'n)iete partie du taMeau

M P. ~-}-[:t)-~M,==(t~'+1 -.R..

On peut démontrer que la possibilité de résoudre, en nombres entiers, les egantes est subordonnée à la possibitite de résoudre, en nombres entiers, l'égalité [/.]. Soit en effet t'egaiite exacte

f~ f~+(3~-<)«,==(~+1-.R.

les nombres «,, R. étant entiers; cette égaiité, multipliée par le nombre 4 donne

4;RJ- 4R,+4==(<2/–4)M,-)-P. 4~

ou, si l'on pose2R.–~===~, on a

M'+3-(<2/4)~=P.4~;

or, la condition (4/-–t)«,==1-P. donne

'~2/4)M,==3+P.3/n,–M,;

substituant dans l'éga!ite fonction de t et posant 3/Kj-4/t,==~ le r~suttat final est

M M'+M,=P.

Soit, eu second lieu t'egatité exacte

M PA,=(3r-3)«,==(R,)'+< -R,,

multiplions par le nombre 4, posons 2R,– =< 3~4~==~, le résultat finat est

M (~+y.~=p.

L'égalité ~J donne l'égalité finale

~j (~-{-5'«.==P.

et plus généralement l'égalité finale ~} donne l'égalité finale

f~) (~+(2~)'~?.

U est évident que la possibilité de résoudre, en nombres entiers, tes équatifms~ est subordonnée n la pûsstbititc de résoudre, dans les mêmes conditions, t'equatton [\], le principe est donc démontre; il y un<: retatic!) directe entre les vérifications par les nombres P et r des diverses lignes horim~ntates de la première partie du tableau !V.

H" (;As. Examen de l'égalité

n.- ) 1 P.~+G_~ Q'+G

!) 4/–i "–t' 1

1° Supposons que l'équation possible ~t'==P. vériue la premicre ligne horizontale de la seconde partie du tableau IV, on a alors Q==:i, G==4/–2, et t'égatité [F,j prend la forme

r.) J p M~–2_fn~t/t.

t.~J ~–– =(~'+~

le premier membre de cette égalité doit être entier, par conséquent désignant par U,, mi les nombres exprimes dans le cas précédent par ces tnétnes lettres, les solutions générâtes de l'équation

(4/.–1)M–p.=:4/.–2

seront M==(4r–2)M, P. M==(4r–~)M:(4r–~y< et puisque la solution ln doit wriner [F,], on a

P[(~-2~,+(4r-~)A,]+<2_~

–––––4~r-i–––––w-t-

M P.(4/–2)M,=(R.)'+1.

2" Supposons que l'équation possible .t*j:r==P. vériHela seconde ligne horizontale de la seconde partie du tableau IV, on a Q==2, G==4r–5, et l'égalité [Fj prend la forme

~1 ~T~==~+~

3 6r. t Il'

uu, enGn, puisque ?.{-< ==(4f-–<)«,, on a

~) 1 P.(-5~==(R.)'-t.<

3' Les raisonnements précédents, répétés pour la troisième ligne hot'ixot)tale de la seconde partie du taUeau iV, doHMCHt

kj P./<,+(4/–40)M,=(~+~

et généralement ou aura 'pour la (~1)'°* ligne horizontale de la seconde partie du taMeau !V

M p.1-~+<)']t<,=(~)'+~

On peut démontrer que les verincations, en nombres entiers, des cga)it<~ sont subordonnées à la \'erificatiou de l'égalité [j.]; soit en efïft I'ega!it<?

M P.~+(4r-2)M,==(~+<, e

la condition (4/'–~)M,– /??,==< prouve que i'cgatité exacte précitée j.<.J peut prendre la forme (R,«,==P(~-{-M,) ou, si l'on pose /{- /K,===~ on a M ()~+~==p. i

iesegantés f,,j, transformées, puis simplifiées par tes égalités ~t-<,==~: /<)-/Kt==~<w,=~, donnent les résultats suivants

r

(~+2'==P.

M (R~3'.«.==P.

M fRJ+~-)-«,=P.

'L'adoption des!ettre'i~<“/<A,, R.,R,,R,R,, ~adonne plus de re~))arit<a ta notation générale mais il est manifeste quf ces lettres représentent, dans )et deux dernier!' cas, des nombres non cgaux à ceuxque ces mêmes tettt'M représentaient dans tes deux urMnios cette remarque n'est pas applicable aux lettres M), m,, qui, dans toute cette ctude <'t si ffouation propt's''e reste )a'n<mc, constituent une solution, en nombres entier: de i'cnuation t)ossi)))c (~p.m~l.

Le principe uctuet est dune démontré, la pussibUKu de tésoudre, en nombres entiers, l'otite ).y,J amené la possibilité de résoudrf, dans les mêmes conditions, tes entités. y,j,. mais en outre l'examen des égatités ~,). ?.. prouve que te principe doit recevoir une pins grande extension; la possibilité de vérifier toutes ces (~aiitcs, en nf)fnh,.es entiers, est n)anUt".tement suburdonnee a la possibilité de vérifier l'égalité A.; notre conctusion sera donc, pour tes deux cas actuels, analogue a ceHe qui termine t'expose retatif au tableau I.

Coxcn.s)0!i. Étant donnée a résoudre, en nombres entiers, l'équation r-~ -}.==?. ou a dcmuntre n~ ~4 et que la connaissance d'un sys. «-.ne .r,, solution entière de l'équation proposée, aurait lieu par t'intet'me.diaire du tabteau iV, lorsque l'un des deux groupes B'+B+r+c el P.~+-& Q'+& ° ~–~ > et 'TT-TT' ~7~t~era)t tune des conditions posées par Je même tableau, l'exposé précédent prouve qu'it existe, entre toutes ces vérifications, un lien anabgue a celui qui unit les conditions posées pat- le tableau t; en d'autres termes, la vérification faite sur t'une des lignes horizontales du tableau iV, amène la vérification de toutes les autres lignes du même taHeau; remarquons d'ailleurs que les deux séries primitives générau-ices des tableaux 1 et f\- sont essentiellement distinctes et qu'aucune relation directe ne parait réunir les deux groupes de lignes horizontales précitées.

Etudions actuellement les limites que l'on peut assigner aux essais à faire par emploi des tableaux t et tV, dans la recherche des solutions entières de t'équa. tion.}-.c-{-== p.)-.

CAS. Limite relative au tableau 1 conservant l'hypothèse P==~H, on a les égalités déjà indiquées

(M (~+~ ]==[?+~-s ].+. -[~-s ] M (~+~[~+3(2~)+9(2-K)]==p(S~S)-(~2)]'+&[3(~)-)] M (~+~3 ]==[!2(a~2]'+4~-d.

Si la résolution, en nombres entiers, de l'équation ~-{-}-==P.~ est pos. sihie par t'emptoi du tableau 1, le notnbre étant positif et inférieur a P t'é~a.lité 't~ est évidemment satisfaite et par conséquent il existe un nomt~-e en)i(') ~– -j-K int~rieut' :')'}-~ qui est une solution entiers appticithte a t, pa)'suite la limite supérieure du nombre /<, est ~(~–) et le nombre ~–/ représente nti premier maximum des essais exigés pour la résolution de t'~quation pt'oposHe; «, orta démonstration suivante prouve que ce nombre <y–~ est trop élevé, et doit faire place au nombre ~––, cette recherche un peu longue sera divisée en plusieurs paragraphes ~a), (t' ~< 'c)

/<; La résolution, en nombres entiers, de l'équation ~-)-j -)-==P.~ étant possible par t'empfoi du tableau t ou t'égatité [t~ étant satis!aite, on n'attérc pas le nombre qui exprime le maximum d'essais n faire en admettant i'byputhèse K==() alors les égatités [L.], [L,], ~] deviennent

LM (~+<)~+" t==~+~ y+~ [7+2~-$ j [,L,J (4~~+3(2.+4') = [3(S~)-(y+~]'+~-2-[3(~<–;r-?v+s';] [A] (4y+~4(/<-3) +3] == [8?-~ + 2]'+~ J.

(~ Supposons que la plus faiblc valeur entière convenable pour soit supérieure a cette valeur est représentée dans l'égalité par l'expression -t-~ ) ainsi dans les recherches dont le but est la vérincation de cette égalité, nous admettons l'inutilité des essais faits en substituant à la suite naturelle des nombres entiers–~–(~–1) –'(~–2 ).0,1, 2. 3. la continuation 1

La comparaison de cette limite avec celle qui été assignée pom f'fquaticn .r* -(-== P. donne lieu à une remarque; on a constaté précédemment, i que t'Mjuatinn .<)- ;r =)'. ) p

peuttot~our!. être transformée en une autre ;<)-==P.et quête nombre ,+~ représente le maximum d'essais exigés pour la résolution de cette denw't't' cquatinn ta tran&tonnatin)) précitée est donc toujours avantageuse, ft t'f'tttdc de la nouvftte [imite indiqm'f da))t )<- texte est purement théorique.

<i~ essais serait donc indispensable; la lettre ta étant remplacée par les entiers~+1 ~+2. examinons les circonstances que présente.ruut ces opérations le nombre est positif et est inférieur a 4~ donc te nombre r--(~-2H- second terme du second membre de l'égalité ~) satisfaite, est positif ou est négatif dans les conditions actuelles, ce terme, s'il est positif, est inférieur à 4y-~ s'il est négatif, il a une valeur absolue non supérieure a 2~; de ta on déduit les trois faits suivants Si du produit ~+~+~ on retranche lecarré (y+2~, le reste négatifa une valeur absolue ~–~– cette valeur qui croit avec /< est manifestement supérieure 2< donc le nombre est positif; 2° si du produit (~+<)(~ + on retranche le carré ~+/<)', le reste est positif et est /<(2~–ï)-t-Z-L~ t dans les conditions précitées, ce reste est supérieur à 4?- donc le nombre positif $ est inférieur à /<; 3° les nouveaux essais successifs faits pour vérifier l'égalité auraient lieu par les extractions des racines carrées des divers produits (4? + + /<) obtenus en substituant à M les nombres entiers ~2. or, les racines carrées croitront en général d'une unité et l'on peut anirmer que pendant une partie notable d'essais successifs, si l'on considère la différence entre le nombre constant r et la racine inhérente à chaque essai, le signe de cette différence sera invariable, et par suite on doit, pendant cette permanence de signe; maintenir le mode d'extraction, soit par excès, soit par défaut, suivi jusqu'alors dans l'extraction des racines carrées. ic) Parmi les nouveaux essais qui doivent amener la vérification de l'égalité M (~+~)(~+~) =(?+2M-{-(~-{-2~ si on note deux essais consécutifs, sien désigne par N et K', & et& ~-)-2N–& et y-~2K'– les deux systèmes particutiers correspondants au système général /<, ~– et si on extrait les racines carrées des produits (W)~+N) et (4?+<)(~N');

en admettant, pour fixer les idées, que chaque racine carrée entière soit maxi-

tïtum, le mode d'extraction ayant lieu /w défaut, ou peut cutMtate) t exactitude des égalités suivantes

(Aj ~+~(~M')==~+~(~K)+4?+<, y~.2N'+~==~+2N+~+1.

K'–A'==N–A,

la premit're égalité est évidente; les limites du nombre sont et donc le produit générât (4~-{-1) (~'t*~) est inférieur à 4~{-y, donc les racines carrées de tous les produits représentés par ce produit générât ne sont pas supérieures :) 2q; et par suite lorsque le nombre générât M augmentera d'une unité, c'est-à-dire lorsque le produit (4~-t-<) (~) croîtra du nomb e 4~-}-), )a racine carrée du nouveau produit sera, dans les conditions précitées, supérieure d'une unité à la racine immédiatement précédente, ce qui constate l'exac- titude des deux dernières égalités du groupe [A]; la conclusion indiquée serait encore celle que présente le raisonnement qui précède, si le mode d'extraction par défaut, mode adopté ci-dessus comme exemple, était remplacé par le mode également invariable d'extraction par excès; mais la conclusion éprouve quelque modification, torsque après un certain nombre d'essais, la différence entre le nombre constant r et les diverses racines présentant jusqu'alors le signe positif, tes accroissements successifs apportés aux racines amèneront la différence précitée à l'état négatif; il est évident que dans cette nouvelle condition le mode d'extraction de la racine carrée du produit (4y-~) (~-}-~) mode qui avait lieu jusqu'alors par défaut, devra à cet instant faire place au mode d'extraction par excès; remarquons aussi que le signe de la racine carrée étant arbitraire, on doit, d'une manière plus générale, concevoir le mode de changement (tans l'extraction, c'est-a-dirc étudier l'influence de ces variations, rares, il est vrai, mais quelquefois nécessaires; or, dans ces circonstances, la première des égalités ~A] est encore exacte, la seconde égalité prend l'une des formes ~2N'–A'=~-)-2N–A, ~-2K'–~==<{-2N–A-2. et par suite la troisième égalité présente l'un des deux états correspondants ~A'===N_A_< N'–-A'==N–&-t-~ nous pouvons donc établir te fait

suivant qui est le point {nndamentat de ta démonstration qui nous occupe. Htant donnéeu résoudre, en nombres cutters et dans les conditions indiquées i équation .E*<=P. )" si cette équation est résoluble par t'intertnédiait'e du tableau en d'autres termes si la vériHcation de t'égatitc J~, est certaine, les limites du nombre M étant et -}- 2" si les remplacements suctessi~ de par les nombres entiers

-~8-~)-(~)"2,3.4,

<t ont pas amené cette ver~cation, on est alors assure que dans les essais a taire en substituant les nombres (~-H) (~+2) l'accroissement du nombre /t amènerait cetm du nombre et M'ce t~fWf; de tette sorte que le nombre M– partie constituante de la racine carrée (o-t-2/<–S), est en générât stationnaire et oscitte d'une unité, soit en plus soit en moins dans les circonstances assez rares qui exigent le changement du mode d'extraction de la racine carrée du produit (4~ ) ~-t- on peut donc en6n affirmer, que si la lettre~ désigne la valeur de n, qui, après les essais

~-H, ~+2,==~,

amène la vérincation de t'égatité 2° que si les nombres N–A et K'–&' désignent les systèmes relatifs à ?–~correspondants aux valeurs ~=4, K=y; la di~rence entre les deux nombres ?–&' et N–& sera bien inférieure au nombre même des essais, c'est-à-dire au nombre~–

W) Les essais qui doivent amener la vérification certaine de t'égatité [.L.] pré. sentent deux séries distinctes selon que le nombre M a pour limites – et 4- X ou et S or, si la première série de tentatives a été intructneuse, on devra alors supprimer tout essai sur t'égatité [.L.] à cette égalité substituer ~t(~+~[~+3~t-4']==[3(2R-+2)]'+~– -[3(2~)-(~2)],

et la vérification de cette dernière aura lieu eu généra! pour une vatcurdu facteur de Ay-t-<, c'eat-a-dire pour une valeur de ~-)-3(~–)-4, inférieure a ta seute condition nécessaire est alors caractérisée par t'inéga!ité §<t-~< et cette condition sera en générât remplie, puisque dans t'enscmbte des essais te nombre est limité par les termes 0 et /< (paragraphe ~); en effet, de l'inégalité ~~v on déduit 3(2~–~)< etrexamen de t'egatité~L,] montre que, dans ces conditions, une solution de l'équation a-{-{-===P.~ est donnée en soumettant les termes connus de cette équation aux essais indiqués pour )egaHté[L,], tanmite du nombre n étant ~+3.

'c) L'équation proposée ;t-.r==P. étant toujours soumise aux hii. primitives indiquées, admettons l'inutilité des essais caractérisés~ soit par t'égalité [.L.], soit par t'ëgatité [,L,]; le facteur de 4y-)-1, cest.a.dire le nombre étant dans chacune de ces suites de tentatives limité par le nombre le paragraphe précédent prouve que, dans ces conditions, le nombre n'est pas inférieur à --j- on peut alors amrmer qu'une solution de l'équation proposée sera donnée par i'égatité

fAj (4y+~[y–+3] ==[2y-2~+2]'+4r-'); admettons l'hypothèse ~==~+~ et rechercttons le résultat que donne cette hypothèse introduite dans l'égatité de ~== ~+ on déduit & S3w

9+~2T+T'

et si du produit (4y-H)(~+~) on relranche le carré (~+~)' le reste de cette soustraction est ~+~+~on a donc t'cgalité 0?"_L,, ~'J-?––t-~

'Sîf3+ 8 'Îlr- ^r·(ld~ R)~

~+~+~––i-+~+ 2~

égalité de laquelle on déduit

-)- 20 ± 1 28' + ) OM~ MU – ~7ti/-

––––––––––36––––––––––'

!.e nombre M doit être supérieur u donc le radical positif est seul admis. sible et la valeur de rt peut être représentée, l'erreur étant de quelques unités, par l'expression ~=~-+-ll?±~ou/:==~, de cette dernière valeur assignée à /<, de la valeur ~-)-~ assignée à on déduit /ï–~==~ou 4 M –~== si actuellement on reprend régauté

[AJ ~+1)~-4(~+3]=[2~-?(2/+2]'+4/<, 1 un reconnaît que dans cette égalité le {acteury–4(M–~)-3, appartenant au premier membre, est inférieur à examinons actuellement l'état que prendra ce même facteur lorsque le nombre reçoit les accroissements nécessaires pour amener la vérification certaine de t'égatité on a démontré, paragraphe (~), que dans cette circonstance, la valeur /<–~ était sensiblement stationnaire, oscillait d'une unité, soit en plus soit en moins, lorsque l'on faisait varier le mode d'extraction de la racine carrée du produit (~-}-1)(~-}-~ or, en admettant même un état très-dé(avorab)e, en admettant, par exemple, que la diminution constante et successive <«/«' unité dans la valeur de /<–~ corresponde à toute augmentation de ~«j; unités dans la valeur attribuée a M, la variation ascensionnelle de cette dernière lettre ayant lieu, dans les conditions actuelles, depuis jusqu'à le nombre (~ – ~) = exprimerait toute la diminution subie par la valeur primitive indiquée ci-dessus pour le nombres– la valeur finale minimum de cette dernière expression serait donc ~==~;de lit on déduira 4~–~)=~, et le {acteur<y–4(M–t-3, soumis à l'examen est encore inférieur à 2; le principe général posé précé.demment est donc démontré; étant donnée à résoudre, en nombres entiers, l'équation ~)-==P. la résolution de cette équation étant possible par

t'intennédiatre du tableau i, J'emploi des égalités [,t~,j, {,L,}, [,S,j (imite i<; p

nombre des essais, et cette limite est ~==g.

2" C~s. Limite relative au tableau !V, si la résolution de l'équation .==.?. est possible par Fintertuediaire du tableau <V: 1" la pt-e. mière partie d'essais liés à ce tableau doit vérifier l'egatite

~J P.~+~«,==-R./+~

égalité qui peut être remplacée par

M (~-)-«,==P.~

2" La seconde suite d'essais liés au même tableau doit wrifter l'égalité j~j P./<.+~7–2~=~7+~, >

~ga!ité (lui peut être remplacée par

M (R.y+~==p.

Il est donc évident que dans le cas actuel, le nombre d'essais (lui indiquera la possibilité de résoudre l'équation sera celui qui a été donné n° 41 pour l'équation F~==P.

La conclusion relative au premier cas de ces limites peut laisser dans l'esprit quelque incet-

titude due à l'erreur volontaire dans la valeur approximative et par défaut attnbuce au t-adica) de la valeur de n; or, remarquons que l'inégalité /-> < montre que le nombre placé sous le radical précité est inférieur à <88y'OS6<y, la racine carrée de ce nombre est timitée pari et ~? donc le nombre n est liniité par et –, le texte présente le rcsuttat final donné par la limite et on peut reconnaître que l'emploi de la seconde limite amènerait un second résultat analogue au premier.

Si toute l'étude actuelle avait un caractère pratique, on pourrait diminuer la longueur des essais par un déplacement convenable des termes qui constituent les <-ga!itM f [4]. ?]. M Hée~ au tableau 1; 2" [~], [tLt],[<S~ liées au tahleau IV, cedf'ptacentent serait analogue M celui que présente le n° 47; les égalités pr~citt-es et transformées présenteraient t" un premier membre P.H–F(<-); 8' un second membre ayant l'une des formes R(R–<), K', tes nombres K et K étant entiers cet aperçu pratique est suffisant et peut d'ai))eu)~ être <-on)p)et<' par cetui qui veut approfondir cette étude.

<M~. Reprenons actuellement 1 ét{uation primittve, indiquée n* 2. ~X'-}-AX+c=KY.

Ktaut donnée à résoudre et) nombres entiers t'équatiou

t.Aj (t\t-&X+c==KY,

nous avons indiqué la relation qui existe entre cette équation et l'équation ~c-==p. nous ajouterons une seule remarque, l'égalité X==~ ~` transforme l'équation proposée, et le résultat est

tb] ~+~-+ac=~.K.Y; 3

admettons que le nombre P soit le plus grand facteur premier absolu contenu dans le produit a.K, et posons a.K=P.H, l'égalité H.Y==~ transforme réquation [B], et le résultat est ~-)-&c-j-ac=P. enfin le changement, si cette opération est nécessaire, de quelques unités dans la valeur de Finconnue~ transforme le terme connu <K- en un autre r qui est positif et qui est inférieur à P, on doit donc finalement résoudre en nombres entiers t'équation .r'r==P. si les systèmes applicables à cette équation sont -c.) etc. 4° On recherchera parmi les valeurs de x celles qui sont des multiples exacts du nombre H et remarquons bien que chacune de ces recherches est limitée; en effet, l'équation primitive proposée [A] doit présenter une valeur de X intérieur au nombre et si l'on admet, ce qui est permis, que le nombre c est positif et e~t inférieur au nombre K, cette équation [A] doit avoir une solution de Y inférieure au nombre "–4-1. A

Si. Les divers principes établis dans toute cette partie de notre traité donnent les moyens de résoudre en nombres entiers toute équation dont la forme est ~M-)-c==P. ces principes peuvent être simplifiés, ou du moins modifiés par quelques considérations, lorsque l'on descend à des cas particuliers certains états numériques des nombres a, b, c, donnent lieu a des recherches qui ont leur intérêt; nous relaterons plusieurs faits qui nous seront utiles dans la suite.

t~t-ATtON. -}- < == P.

LtiMMB. Si le nombre P est pair, la résolution en nomtjres entiers de F équation proposée est impossible; ce lemme est réellement un axiome, le produit .cC~-t-l) est entier et pair, donc Je nombre ~c-~4 est impair. LBMMB. Le produit P.j~, c'est-à-dire le nombre entier qui constitue le second membre de l'équation ~t-1 ==P.;r, ne peut présenter la Ibrme 3y-)- en effet, le produit .~+~, le nombre x entier, est représenté par l'une des tbrmes 3~ et 3~+2, donc le nombre .E'-}-t est représenté par l'une des formes 3y- 3(~-H).

L)!mtB. Le chiffre des unités du nombre ~-t- est 3, 7. LEMMB. Si le chiare des unités du nombre P est 5, la résolution en nombres entiers de l'équation proposée est impossible, aucun nombre multiplié par P ne peut alors donner un produit dont le chiffre des unités soit <, 3 ou 7. Tm~oR~MB. Si le nombre P premier absolu est représenté par la forme 3y- la résolution en nombres entiers de l'équation proposée est toujours possible. Désignons par « un nombre entier inférieur à P et tel que dans la série a', a', < le nombre < soit le premier terme qui, divisé par P, donne le reste 1 on aura l'égalité

~–<==P. ou (a–<)(a'-{-<ï-{-<)==P.

ou, enfin, a'-}-a-~==P.

égalité qui démontre le principe énoncé.

TaEO~MB. Si le nombre P premier absolu est représenté par la forme 3Q-J-2, que l'on peut écrire 6~–<, la résolution proposée est impossible; soit, en eftët, un nombre « qui vérine l'égalité

[B] ~-(-~=P.

le nombre étant entier, on peut admettre l'exactitude de t'inégatité < P Ce choix est possible, le nombre P étant un multiple de 3 (quatrième partie, n° HK;

or <'égalité JB} peut prendre !a forme

fq ~)==p.

ou la forme

[D] (~1)'=P.+~

or, si le nombre R désigne une racine primitive de P, on peut considérer le nombre <t-{-t comme étant un des restes obtenus en divisant par P les termes de la série R", R', R', R' R" R' admettons l'exactitude de l'égalité reste de -p==ft-}-t, on a par suite reste ~==(a-~)', ou à cause de~DJ reste -p- ==a, et par conséquent reste de ==f<(~t), ou en tenant compte de [C] reste de -p- == P –. t, ou enfin, reste 1; conclusion inadmissible, puisque le nombre R est une racine primitive de P avec la condition P==6<?_1. CoROLLAtM. Si le nombre P entier quelconque contient un (acteur premier dont la forme est 3Q-}-2, c'est-à-dire dont la forme est 6~– la résolution en nombres entiers de l'équation .c*-}-.c-}-1 ==P.est impossible. Admettons, en enet, l'exactitude de l'égalité <{-a-~==P.A, les nombres « et A étant entiers, cette égalité peut, dans les conditions indiquées, prendre la forme <ï'-)-«-4 ==(3~-{-2)M; or, le théorème précédent prouve que cette dernière égatité est inadmissible.

t"' OBS]:RVAT!0!t. On peut, sans augmenter le nombre des exemples numériques placés à ta fin de ce traité, vérifier l'exactitude des deux théorèmes précédents l'équation X'3!X-}-24~==P.Y, est, par l'hypothèse X==;c–18, transformée en cette autre ~<}-1==P. or, le théorème qui précède prouve l'impossibilité de résoudre en nombres entiers cette dernière équation lorsque le nombre P premier absolu est représenté par la formule 3Q 2 la même impossibilité a donc tieu pourt'équation X'-)~X-)-24't ==P.Y; or, si l'on examine la série d'exemples numériques qui terminent ce traité, on reconnaît que toutes les équations impossibles X'X-}-24t =P.Y vérifient l'égalité P==3Q-}-2.

Tout nombre premier a des racines primitives (quatrième partie, n' iiK).

2' OttSHtVAHOx. Si ton pose 2-c-{-< ==«, 4~~=~, t équation ~-t-.f-{-~ ==P~ prend la fonne «'-{-3==?. les deux théorèmes précédents sont doncupj~ticables à cette dernière équation, le nombre « pouvait toujours être il t'état impair, les théorèmes précités constatent, ta possi))itité, 2" t'impossibitité de résoudre eu nombres entiers l'équation M'-t-3=P. set")) que le nombre P a tâtonne, r 3Q-1, 2" 3Q-J-2; en d'autres termesces tbéorcmes constatent Fêtât du nombre –3 comme étant, l'e~c, 2° w~7c d'un carre exact entier K', divisé par le nombre P, selon que ce dernier nombre a la Rn'me, 1" 3y- 2" ~+2.

Nous démontrerons ci-apres (équation .c'–'t ==P. transtbrmée en l'équation «'–5 ==?./) les deux faits suivants:

1° SetoH qu'un nombre /? est reste ou est non-reste d un carré exact entier M* divisé par un nombre premier P, le nombre entier–7K est dans le même ordre reste ou non-reste d'un carre exact entier (M;)*, pourvu que le nombre premier P, soumis d'ailleurs aux conditions pt'emicres exigées, présente la (brnte 4y-~ 2° Selon qu'un nombre /y? est reste ou est ~w~e d'un carre exact entier M' divisé par P, nombre premier absolu, le nombre -–/?! est dans l'ordre inverse, c'est-à-dire est /KW-<' ou est reste d'un autre carré exact entier («,)* divisé par P, pourvu que le nombre Il, soumis d'ailleurs aux conditions premières exigées, présente la forme 4'y-3; si à ces deux principes, dont nous donnons par anticipation les énoncés, on unit ceux qui ont été indiqués dans les tbéot'emes .précités, on a le résumé suivant

~° Le nombre -{-3 est reste d'un carré exact entier divisé par P; en d'autres termes t'equation M* –3 == P. t est réso!ubte en nombres entiers si le nombre P premier a simultanément les formes 3~ 4~-)- c'est-à-dire si ce nombre a la forme ~2y-~

2° Le nombre-3 est non-restede M', ou l'équation M*–3=P./ est non résoluble eu nombres entiers lorsque le nombre P a simultanément les formes 3y-)-2, 4y- c'est-à-dire a la forme 12'y-

3" Le nombre-{-3 est non-reste de M* ou l'équation M*–3==P.~ est non t'ésotubte en nombres entiers si le nombre P a simultanément les formes 3~ 4y-{-3, c'est-à-dire si ce nombre a la forme 12q + 7;

4" Le nnmbre-t-3 est reste de ou t'equation M*– 3 == Il. t est résotubte en nombres entiers si le nombre P a simultanément les formes 3~-)-2,4~3, c'est-à-dire si ce nombre a la forme ')'2y-{-

ÉQUATKMf. C* t – t == P.

t'HKon~Mt.Si le ootnbt'eP est pair, ht tTSututionfu nombres entiers de ['équation proposée est impossible; en e(!et, le nombre ~(~' -1 ) est pair, donc le nombre .t't–~ est impair.

t'HKOttKMK. Le produit P.~ ue peut être représenta par 3/<; eu euet, te nombre .< -)-1 ) présente l'une des formes 3~, 3f-2; donc le nombre .f'-{-.T–1 a l'une des formes 3V.2, SV+'t.

i'H)!ot~ME. Le chiffre des unités du nombre ~-{-~–t est 1, 5 ou 9. LEMMB. Si ou a entre des nombres entiers l'égalité H~H–1)==P.V, f les (actem"; P et V sont inégaux; 2" le plus faible de ces deux facteurs est inférieur au nombre H – 3" si on diminue chacun des nombres H et H – du plus faible des deux~ facteurs P et V, de V par exemple, la nouvelle égalité sera diHerente, mais conservera et le facteur V et la forme de l'égalité précédente; un simple calcul démontre la vérité de ces propositions.

TmktRhtE. Si le nombre P contient te facteur 5', la résolution eu nombres entiers de l'équation proposée -r'-)-.e–< =P./ est impossible. Nous démontrons qu'un nombre entier multiple de 5' ne peut être représenté par la forme a(~–~)–1 admettons l'exactitude de l'hypothèse problématique, on aurait alors, en désignant par A5 un nombre entier dont 5 est le chiffre des unités, 5(A5~==a(M–~–t; cette forme 5(A5) est, dans les conditions établies, seule admissible, puisque le nombre a(a–1)–~ est impair, diminuons de 5 unités chacun des nombres N–~ et a, on a, lemme précédent, 5.X==(<!–5)(M–1–5)–~ ou 5.~==[a(a–t)–~–~–:i.. Ainsi le facteur nouveau X doit être le facteur A5 diminué d'un nombre exact de dizaines, on aura donc, en rappelant le lemme qui précède, 1 ;)(A,5)==a,(a,–1)–~ une diminution pareille réalisée un certain nombre de fois, donnera au premier membre l'une des formes 5.~8, 5.25, etc., le second membre conservant la forme M(M–'1)–~ or, le fait démontre que cette dernière circonstance est inadmissible, on ne peut donc pas vérifier cette égalité .}-.r–~ ==5.A5, puisque le changement de signe de ;r donnerait t'égatité ~–'t)–i=5(B.5).