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Title : Journal de l'École polytechnique / publié par le Conseil d'instruction de cet établissement

Author : École polytechnique (Palaiseau, Essonne). Auteur du texte

Publisher : (Paris)

Publisher : Imprimerie impériale (Paris)

Publisher : Imprimerie royale (Paris)

Publisher : Bachelier (Paris)

Publisher : Mallet-Bachelier (Paris)

Publisher : Gauthier-Villars (Paris)

Publication date : 1937-04

Type : text

Type : printed serial

Language : french

Language : français

Format : Nombre total de vues : 25874

Description : avril 1937

Description : 1937/04 (A143,SER3,N2).

Rights : public domain

Identifier : ark:/12148/bpt6k5734537h

Source : Bibliothèque de l'Ecole polytechnique

Relationship : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34378280v

Provenance : Bibliothèque nationale de France

Date of online availability : 27/12/2010

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14B 6 Année

Trimestriel

Avril 1937

JOURNAL

IIK

ECOLE POLYTECHNIQUE

(FONDÉ KN 1795)

PUBLIÉ

PAR LE CONSEIL D'INSTRUCTION

DE CET ÉTABLISSEMENT

III* SÉHIË. — N° 2

PARIS

GAUTH1EK-V1LLARS-, ÉDITEUR

LIBRAIRE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES

55, Quai des Grands-Augustins, 55

1937

(Cette publication parait tous les trois mois)


^ïâ«E^'MeiI^lEllS

Sur les congruences de cercles qui ont deux diamètres focaux, par M. René LAGRAKGH (à suivre) .' , ]OI

Contribution à Pélude des phénomènes de cémentation, par M. .1. COUKKOT {suite et fin) 113

Sur l'évolution de la Mécanique des quanta, par M. René DUGAS (à'suivre). i/|3

Sur un théorème fondamental du calcul des probabilités, par M. Jacques CrriPELON.. 161

Sur les systèmes mécaniques dans lesquels figurent des paramètres fonctions du temps, par M. Henri Mimunt (à suivre) 173


SUR

LES C0N6RUENGES DE CEÉCtËS

.QUI ONT BEUX. DIAMÈTRES FOCAUX PAR M. BENÉ LAGRAIW3É,.

:, , (Dijon). '

{suite)

CHAPITRE V.

LES CONGRUENCES G> DONT LA CONGRUENÇE DES AXES EST DONNÉE,

21. Lorsqu'on se donne la congruençe des axes A d'une congruençe de cercles, on peut choisir le trièdre de référence T associé 'à chacun de ces axes, et, par suite, supposer que l'on connaît le tenseur ^ et les rotations y*, en fonction des deux paramètres de la congruençe (A). Les congruences CQ associées ne contiennent plus que deux inconnues, l'abscisse A du centre G et le rayon p du cercle F. La recherche de ces congruences revient donc à déterminer ces deux fondions de façon que H = K = o. Nous poserons X2 + p2 = R2 = 2v, dasorte que R est le rayon de la sphère S centrée au sommet B de T et passant par le cercle F; H = o et KL =-o s'expriment alors uniquement à l'aide des inconuesX et v„ sous la forme

vi et v2 désignant les dérivées de v par rapport àw 1 et co 2.

Lorsque le déterminant des coefficients 7^7', — y^Tai n'est pas nul, autrement dit, lorsque l'axe A n'a pas de point focal à l'infini, ces deux équations peuvent être résolues par rapport aux dérivées v( et v2, et le système (1) est : J.Ê.V., 3es.(n°2.) 14


102 BËNE LAGItANGE.

équivalent à un système de la forme

où les huit coefficients P, Q, . .., S' au second membre sont des fonctions connues des deux variables indépendantes. La condition d'intégrabilité se traduit par une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre de l'inconnue X. À chaque intégrale X de cette dernière équation, les équations (2) font correspondre uneinfinité de valeurs de v, doncde p 2, à l'aide d'une simple quadrature; ces valeurs ne diffèrent que par l'addition d'une constante arbitraire, et correspondent à des congruences 6i concentriques et coplanairés, suivant une loi déjà obtenue au paragraphe 20.

Quand A possède un point focal à l'infini, ce qui se traduit par. la condition (i3) Chap. IV, plaçons-nous dans les mêmes conditions que dans le paragraphe précédent, avec, par exemple, y^^o. Le système (1) est alors équivalent à

On est ainsi conduit à résoudre une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre de X, ne contenant pas l'inconnue elle-même; et les valeurs de v associées à chaque intégrale X sont fournies pas une quadrature comportant une fonction additive arbitraire du même paramètre essentiel que e3, comme nous l'apprenait déjà le théorème du paragraphe 20.

Ces conclusions se simplifient encore lorsque la congruençe (A) est plane, comme nous allons le voir immédiatement.

22. Examinons maintenant en détail ce que l'on obtient quand on applique les généralités qui précèdent aux différentes catégories de congruences (A). Supposons d'abord que cette congruençe soit plane, et désignons par la notation û?0, pour simplifier le langage, les congruences -Ûi dont les axes sont ainsi dans un même plan. De même que pour les congruences de droites de la première catégorie, on peut supposer ici que e, et es ne sont fonctions que de oV-, et que e2 est constant; on peut en outre identifier rfco 1 avec la différentielle de l'angle 8 que fait e3 avec un axe fixe du plan. Dans ces conditions les rotations jlr sont nulles et la seule rotation non nulle -/^ peut être supposée égale à 1 en


LES CONGKTJENCES DE CERCLES. Io3

choisissant convenablement le sens positif des 0; les composantes E2 sont également nulles et le système (i) se réduit à sa première équation.

Oii conclut de là qu'on peut se donner ici les centres C des cercles T, en ne conservant que l'inconnue p ou v. Il est alors avantageux de placer le sommet B du trièdre T au centre Ç choisi sur A, ce qui revient à annulerX, et l'on obtient ainsi l'équation

Les centres des cercles r ne peuvent être confondus en un seul point puisque A ne peut avoir un point focal double fixe. S'ils appartiennent à une même

courbe, on peut choisir dxo 2 de façon que ~ soit nul; (4) se réduit à ^-^ = o,

qui exprime qu'il faut et il suffît que p soit une fonction, d'ailleurs arbitraire, deQ:

Enfin, supposons que les centres G dépendent des deux paramètres de (A). Associons, à .chaque point G du plan, l'axe A du cercle F centré en ce.point. On peut se donner arbitrairement cette correspondance, et rechercher le rayon p à l'aide de l'équation (4). On peut déduire de ce champ d'axes liés (C, A) deux familles de courbes. L'une est constituée par les lieux des points G qui sont tangents, en chaque point, à l'axe associé à ce point, et s'obtient en résolvant une équation différentielle du premier ordre. L'autre famille est formée par les lieux des points C associés à une même direction de A. La donnée du champ (C, A) est d'ailleurs équivalente à celle de là première famille de courbes\ à chacune desquelles on associera une valeur constante d'un paramètre v, et l'on prendra d(x> 2 — dv. Il vient ainsi ^==o, etdC = dB est de la forme

L'équation (4) devient alors

Or le second membre de (6), aussi bien d'ailleurs que celui de (4), est égal au produit mixte

et représente le quotient, par Û?0 d<>:, ou do) 1 do>-, de l'aire du parallélogramme


1 04 RENÉ LAGRANGE.

infinitésimal construit sur les deux vecteurs y-j<ico 1, -T-J<£CO2S affectée du signe

correspondant au sens de parcours amorcé par le premier de ces vecteurs ('). Dans ces conditions, choisissons dans le plan une courbe Q = Q0, et une deuxième courbe fixe (E) quelconque, différant cependant d'une courbe 6 = const. Sur la courbe variable G = const., considérons l'arc EC limité à la courbe (E) en E et à la courbe de paramètre v en C. Quand 6 varie de 0o à G, cet arc balaie une aire O, fonction des deux paramètres G et t>, définie algébriquement

algébriquement il vient d'être précisé. La dérivée seconde ■„„ , représente le même produit mixte (7), et l'équation (6), qui s'écrit

où $(Q) désigne une fonction arbitraire de G. Il revient au même de changer $(6) ou la courbe origine (E); on peut donc annuler #(6) dans cette équation (8), et l'écrire encore :.'

en mettant en évidence l'aire de T.

Le cas où ces cercles sont centrés sur une courbe peut être considéré comme un cas limite où toutes les courbes G = const. seraient confondues, puisque û est alors nul et que (8), fournitibien la solution connue. Cette équation permet donc de construire toutes les congruences <5305 et l'on peut même dire, en interprétant (8'), qu''il suffit de prendre l'aire du cercle de centre G égale à Paire que balaierait un arc EC, si la variation de cette aire devenait uniforme dans Pintervalle total de variation (G, G + 2 TI). Cet énoncé est tout à fait général, puisque rien n'empêche, dans le cas limite, de supposer que l'arc de courbe G = const. varie dans une bande limitée par deux courbes fixes (E) et (E,), tout en restant fixe au voisinage de C.

25; La construction des congruencesL01 est également simple. Repoïtons(

Repoïtons( Seules les courbes 8= const. jouent un rôle essentiel dans cette question, et l'on peut choisir autrement les courbes Jcoî=o; par contre, les courbes p = çonst. sont celles qui représentent le mieux le champ (C, A).


LES CONGRUENCES DE CERCLES. IOO

nous, en effet, au choix du trièdre T et des disf effectué au paragraphe 4, et aux équations (<£>t ) que nous en avons déduites. Les inconnues X et v sont simplement assujetties à vérifier les deux dernières équations de ce système, c'est-à-dire

En désignant par d(x>' — du l'élément d'arc de la courbe (A), X est donc une fonction arbitraire de u, qu'il est commode d'écrire

L'autre équation (g) devient alors

et donné l'intégrale générale

UA est une autre fonction arbitraire de u, puisque y*f n'est fonction que de u. Ces équations (10) et (n), qui résolvent entièrement la question, s'interprètent géométriquement de façon bien remarquable. (10) exprime tout d'abord que les cercles T orthogonaux à un même plan osculateur de la courbe (A) sont dans un même plan nr perpendiculaire à la tangente de (A). Ce plan, défini par la fonction arbitraire U, admet l'équation vectorielle

et enveloppe, quand u varie, une surface développable (a). (<r) ne peut être cylindrique,, puisque (A) est gauche; elle peut encore être définie comme la surface développable la plus générale dont le cône directeur est supplémentaire de celui de (A). La génératrice rectiligne a de (a) est définie par (12) et l'équation dérivée

normale au plan osculateur de (A), elle le perce en un point E situé sur l'intersection t de ce plan avec xs. t est le lieu des centres C des cercles F situés dans ce plan ts, et l'on a


IOÔ ■■'.. RENÉ LAGRANGE.

tandis aue

par conséquent,

et (n) s écrit

Cette équation exprime que les extrémités des diamètres de ces cercles, qui sont parallèles à u, sont elles-mêmes sur celui de ces cercles dont le centre, est E, et dont le rayon varie d'ailleurs de manière quelconque avec le plan w. Nous pouvons donc énoncer le

THÉORÈME. — On obtient la congruençe CD, la plus générale en construisant dans chaque plan tangent m à une surface développable {G), non cylindrique, tous les cercles T qui ont pour diamètres les cordes, parallèles à la génératrice rectiligne a de (a), d'un cercle Vvr centré'tangentiellement sur■'■a.

Pour que les axes de cette congruençe constituent une congruençe donnée (A), il faut et il suffit que les cônes directeurs de Ça) et de (A) soient supplémentaires et que W soit centré sur le plan focal de (A) qui correspond à la génératrice O".

L'arête de rebroussement (S) de Çà) est une courbe gauche dont les points correspondent biunivoquement à (A) de manière que'le plan osculateur en un point de l'une quelconque de ces courbes soit perpendiculaire à la tangente au point homologue de l'autre. Si S désigne le point de contact de a avec (S), (i 4) est équivalent à

qui expi'ime que les diamètres des cercles F, qui sont perpendiculaires à SG, sont des cordes d'un même cercle de centre S. On peut donc substituer à la considération de la surface (cr) celle d'une courbe (S) correspondant à (A) par orthogonalité des tangente et plan osculateur, et construire, dans chaque plan osculateur xs de (S), un cercle W centré au point de contact S, ainsi que la parabole P de foyer S dont le sommet est le pied de la tangente à (S), sur le plan osculateur correspondant de (A). Les cercles F du plan trr, dont les dia^- mètres sont les cordes de W qui enveloppent P, engendrent la congruençe -CD-, la plus générale dont la congruençe des axes est caTactérisée par (A).


;; LES iCONGRtfENCES DE CERCLES. lÔ^

24. Lorsque la congruençe (A) possède l'un des caractères que nous avons désignés par les numéros 2, 2', 3, 3', replaçons-nous dans les conditions réalisées aux paragraphes 5 et 7, le sommet B du trièdre T étant en un point focal A de A. ■ i . '..■;..., • " '..,.'■'

Si ce point focal est double, (A) satisfait donc aux conditions (II), et la congruençe (F) associée est caractérisée par les équations (CD^), que l'introduction de Finconnuev à la place de p: permet d'écrire

Lorsque ç* diffère de zéro, on peut éliminer X entre ces deux équations, au lieu d'écrire là condition d'intégrabilité en v. On obtient ainsi une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre, dont la résolution fournit la sphère S de centre A qui passe par le cercle F associé à A. La première équation (i5) fait ensuite connaître X, et s'interprète géométriquement de manière bien remarquable. En effet, l'équation de E

dérivée par rapport à <o 1, donné

la première équation (15) est donc équivalente à

qui exprime que le plan représenté par l'équation (16) coupe l'axe A au centre de F. Autrement dit, quand A engendre sa développable, le plan caractéristique de la sphèrefL passe par le centre de Y.

C'est ce qui a lieu quand (A) est une surface. Rappelons que les conditions

(II) supposent que Ae, ez soit le plan tangent à (A), et que dio 2 = o corresponde

à la direction es: Sur cette surface, les lignes <fo) 2 —o sont asymptotiques;

choisissons, pour les courbes du>' = o, leurs trajectoires orthogonales. Il vient

'■.alors ■':.. ?- ' ' ■ ' ' .'

c'est-à-dire que, en outre des conditions (II), tous les 'E'r sont nuls à l'exception de P et £' qui sont tous les deux égaux à 1. Grâce à cette simplification, la


I 00 RENE LAGRANGE.

première équation (i5) donne X =■—-v,, et la substitution de cette valeur de X dans l'autre équation (i5) fournit l'équation en v

D'ailleurs la condition d'intégrabilité

définit y' par

tandis que (4) Chapitre I donne

L'inégalité y,, y^o que contiennent les conditions (II) paragraphe S exprime donc que d(ûA ne peut être une différentielle totale exacte, ce qui est naturel, sans quoi les lignes asymptotiques Jco2=o seraient également géodésiques, donc rectilignes, et ne donneraient pas naissance à une vraie congruençe (A). Supposons maintenant que la variété focale (A) soit une courbe. Replaçonsnous dans les conditions déjà réalisées au paragraphe 15, en changeant simplement a en — -+- a. Il vient

2 " ■ ■ ■ .

de sorte que les seuls coefficients 'ij'- non nuls sont \\== — sina, H^^cosa, et que d(x>- est la différentielle de l'arcv de (A). Les axes A issus d'un même point A devant être dans un plan tangent à (A), a ne peut être constant, et l'on peut prendre sa différentielle pour base d^ du calcul; dans ces conditions, on voit tout de suite que y^ =1, ce que confirme d'ailleurs la condition d'intégrabilité E^/iEJ/2 =-o. Ceci posé, la première équation (i5) s'écrit

Vl=0,

et exprime que les cercles Y dont les axes passent par A appartiennent à une même sphère"L centrée en A. En désignant par V une fonction arbitraire de v, on peut poser

et la deuxième équation (i5) s'écrit


LES CONGRUENCES DE CERCLES. IOg

on en déduit que ;

est une fonction, d'ailleurs quelconque, de p. Cette équation est l'équation polaire du lieu des centres des cercles T qui sont situésdans le plan Ae3ej, l'axe polaire étant la tangente dè(A), et l'angle polaire a étant compté positivement de e-j, vers e\. Celte courbe comprend une infinité de branches, déduites de la

branche obtenue en faisant varier a de 0 à 2TÏ par les translations de mesure

dV ■2K-jj, perpendiculaires à la tangente de (A). Observons que cette longueur

égale la circonférence du cercle de centre A, tangent au plan caractéristique

de S.- .' ■ - • ■■

En résumé, on obtient la congruençe (D la plus générale dont les axes constituent

une congruençe (A) de la catégorie 2, en décrivant, du point focal A comme centre,

une sphère 2, et, dans le plan focal correspondant, une courbe d'équation (20), où

-T- est la distance algébrique à A du plan caractéristique de S, et en faisant

varier arbitrairementTi et la constante V, quand A décrit la courbe focale (A).

25. Il ne nous reste plus qu'à traiter le cas où le point focal A est simple, en supposant que soient réalisées les conditions exprimées par les formules (III) du paragraphe S. Les deux développablcs engendrées par A correspondent aux déplacements d(Mr= o, elles équations (<®3) du paragraphe T, que nous reproduisons sous la forme

résolvent le problème posé. En raisonnant comme plus haut, on peut éliminerX entre ces deux équations, pourvu que \\ diffère de zéro, v est alors assujetti à vérifier une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre; la résolution de cette équation fait ainsi connaître la sphère E de centre A qui passe par le cercle F tandis que la première équation (21) détermine le centre de ce cercle. On voit, comme pour les équations (i5), que ce centre est dans le plan caractéristique de S relatif au déplacement du 1 = 0, c'est-à-dire à la développable dont l'arête de rebroussement est décritepar l'autre point focal A'.

Précisons la solution en supposant d'abord que (A) soit une courbe, représentée par (19), avec 'dta? = dp-. £" n'est identiquement nul que si (A) est la congruençe des normales de cette courbe. En introduisant l'expression (25) /. É.P., 3« s. (ri 0 2.) •' ■ ' i5


I I O RENE LAGRANGE.

Chapitre I de la distance focale f = AA', (21) se réduit ici à

/étant fini ou non.

Si cosa n'est pas nul, posons rfco' = du ; l'équation en v est alors l'équation de Laplace

La résolution en est immédiate quand A' est à l'infini, c'est-à-dire quand les cônes formés par les axes A de sommet A sont parallèles. D'ailleurs on voit alors que X est une fonction arbitraire V de v, v étant lui-même donné par la auadrature

où U désigne une fonction arbitraire de u.

Si les axes A sont normaux à (A), a — ■—- et V2 = 1. Prenons pour rfco 1 la différentielle de l'angle u que fait e3 avec la normale principale de (A), de sorte que/est le quotient du rayon de courbure R de (A) par cos u-. D'une manière précise, posons

(21) s écrit alors

et s'intègre immédiatement. On voit sans difficulté que l'intégrale générale peut s'écrire, sans signe de quadrature ,

où U et V sont deux fonctions arbitraires de u et v; R est lui-même une fonction connue de v.

Lorsque la variété focale (A) est une surface, les conditions (III) du paragraphe 5 montrent que son élément d'arc est de la forme


\ LES CONGRUENCES DE CERCLES. III

tandis que les équations (21) peuvent toujours s'écrire

où f= AA' est fini ou non, mais différent de zéro. Si A'est à l'infini, il vient donc

dont l'intégration s'effectue par deux quadratures.

Ici, l'hypothèse £iJ = o signifie que les deux directions <iw';=o, Jco 2 = o, a prioi-i conjuguées sur (A), sont en outre rectangulaires; autrement dit, que les axes A sont une famille de tangentes principales de la surface (A). L'intégration de (21-) s'effectue alors par deux quadratures; en posant dw^^du et <fto2==; dv, la première de ces équations s'intégre en effet en prenant pour v une fonction arbitraire U de u, tandis que l'autre équation définit ensuite ,X par l'équation différentielle linéaire du premier ordre

En résumant les résultats de cette discussion, nous voyons que la détermination des congruences CD dont la congruençe des axes A est donnée s- 1 effectue au plus par quadratures lorsque (A) est plane, ou possède un point focal double décrivant une courbe, ou un point focal simple à l'infini, ou lorsque ces axes sont les normales d'une courbe ou une famille de tangentes principales d'une surface. Dans les autres cas, le carré du rayon de là sphèreU, centrée en un point focal A et contenant le cercle Y, est solution d'une équation aux dérivées partielles du second ordre, du type parabolique

quand (A) est une congruençe de tangentes asymptotiques, ou du type hyperbolique

le centre de ce ■cercle étant lui-même dans le plan caractéristique de S qui correspond à l'autre point focal A', distinct ou non de A.

(A suivre.)



CONTRIBUTION

A

L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION

PAR M. J. COURNOT.

(suite et fin)

-LK NlTB.TJRi.TION.

La nitruration est une cémentation de certains aciers spéciaux par l'azote ; on fait agir l'ammoniaque qui donne directement, par diffusion à une température de l'ordre de 5oo° seulement, une couche superficielle de dureté très élevée, et ceci sans aucun traitement thermique ultérieur.

Ce procédé a été découvert et mis au point à la suite de recherches efîectuées par Fry dans les laboratoires de Krupp à Essen.

Le diagramme fer-azote, d'une détermination des plus complexes en raison de multiples difficultés expérimentales, est représenté figure i3; il faut bien dire qu'il est encore très imprécis; on suppose qu'il existe au moins quatre solutions solides :

Au voisinage de fer pur, une solution solide de Az dans le fer a, la solubilité à température ordinaire étant extrêmement faible;

2° Au-dessus d'un eutectoïde situé à 58o°, une solution solide de Az dans le fer y;

3° Plus à droite, une solution solide issue de la combinaison Fe4N;

4° Puis, plus loin encore, une solution solide issue de la combinaison Fe2N.

Les divers domaines sont séparés par des zones où les deux solutions solides latérales sont stables.

Il y a d'autre part lieu de noter que :

En raison de cette température relativement basse de 58o°? la solution


Il4 J. COUBHOT.

solide stable à chaud peut se maintenir partiellement à l'état labile, à la tempé• rature ordinaire ;

2° La saturation en Az de la solution dans le fer a est beaucoup plus élevée à 58o° qu'à température ordinaire; donc, lors d'un refroidissement à partir de

Fig. i3. ■— Diagramme fer-azote; région de la nitruration.

58o°, cette solution donne naissance à des éléments de solution solide Fc'N qui s'isolent sous forme d'aiguilles.

On observe donc dans les couches nitrurées les solutions solides pures et les mélanges de solutions solides, depuis lemélange solution Fe" 1 N-f- solution Fe2N, jusqu'au fer pur; la région eutectoïde, qui se colore très fortement sous l'action des réactifs, a reçu le nom de braunite.

Les aciers de nitruration. — Si l'on essaie de nitrurer de l'acier doux ordinaire, la pénétration est extrêmement rapide et profonde et donne des aiguilles de la solution solide Fe4N avec production d'une grande fragilité.

Une étude très complète et scientifique de l'influence de nombreuses additions, a montré que la présence simultanée d'aluminium, de chrome et de molybdène était indispensable dans les aciers de nitruration.

Ces trois éléments coopèrent à la formation de nitrures qui réalisent un véritable barrage à la diffusion de l'azote, empêchent la nitruration profonde génératrice de fragilité, et permettent de ce fait le freinage et par suite le réglage


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DÉ CÉMENTATION. I 10

de la pénétration; de ces trois éléments, c'est d'ailleurs l'aluminium qui produit, dans ce but, l'effet maximum.

Le chrome intervient en outre pour l'obtention des caractéristiques optima à coeur; le carbone permet aussi l'ajustage des propriétés souhaitées; d'autre part, carbone et chrome élèvent la dureté superficielle de la couche nitrurée.

Enfin, le molybdène améliore la filiation de la couche nitrurée vers l'âme de la pièce, et surtout supprime la fragilité de revenu (maladie de Krupp) laquelle, sans molybdène, se produirait justement au maximum avec les caractéristiques thermiques (durée et température de chauffage) du traitement de nitruration.

Pratiquement, les aciers de nitruration renferment à peu près tous i,/j à 2,0 pour 100 de chrome, et 0,20 à o,35 pour 100 de molybdène; ils se divisent en deux catégories :

— la première, à 1 pour 100 d'aluminium, qui permet les plus grandes duretés superficielles;

— la seconde, à o,35 pour 100 d'aluminium, qui donne des couches nitrurées un peu moins dures, mais sont exemptes de fragilité.

Dans chacune de ces catégories, on envisage généralement trois nuances possibles suivant la teneur en carbone: 0,20, o,4o et o,5o pour 100, qui permettent de répondre à toutes les applications.

Le cément. — On emploie seulement le gaz ammoniac, le débit gazeux étant soigneusement réglé suivant les modalités du traitement et la dimension des cuves; ce débit est en moyenne de iIi£ pour 10 heures dans une cuve de 25o litres.

Température et temps de nitruration. — La température est maintenue entre 5oo et 520°; on ne l'élève pas davantage de crainte d'une dissociation possible des nitrures et d'une décomposition trop active de l'ammoniaque; une élévation de la température provoquerait également une décarburation superficielle et une coalescence des constituants de la couche nitrurée, coalescence entraînant un abaissement de la dureté.

On remarque facilement sur le diagramme que si l'on approche trop la température de 58o°, la quantité de solution solide de Fe*N se séparant au refroidissement sous forme d'aiguilles augmente très vite en produisant de la fifgi-


I l6 J. COURNOT. '

lité. Il faut noter d'ailleurs que l'addition des éléments spéciaux relève la température de l'eutectoïde d'une quarantaine de degrés. Pratiquement, on se maintient vers 510°.

Le temps de nitruration évolue autour de soixante heures, suivant le genre de pièces traitées; pour soixante heures, la pénétration est de omm,5 sur les aciers à i pour 100 d'aluminium; elle est naturellement un peu plus forte sur ceux à o,35 pour ioo d'aluminium, et la dureté superficielle est moindre.

Traitements thermiques. — Etant donné les deux nécessités : de nitrurer à 5io°; 2° de ne plus chauffer le métal, après nitruration, au-dessus de 4oo°, de crainte d'altération de la couche superficielle, on déduit immédiatement l'obligation d'exécuter avant la nitruration les traitements thermiques indispensables à l'obtention à coeur des qualités d'emploi; on effectue le plus souvent une trempe suivie d'un revenu prolongera température de trempe doit être relevée de 3o à 5o° en raison de la présence de l'aluminium dans le métal.

Cet ordre d'exécution des opérations élimine ce gros défaut déjà signalé pour la cémentation ordinaire par le carbone, à savoir les risques de déformation au cours des traitements thermiques réalisés après cémentation.

Autres précautions à prendre avant nitruration. — La surface du métal ne devra présenter aucune zone décarburée, de crainte de transformation en une zone très fragile; elle ne devra non plus être nulle part oxydée, de crainte de défauts de la couche nitrurée.

Il faut donc, à ce double point de vue, prendre des précautions spéciales au cours du forgeage et des traitements initiaux, par exemple en ménageant une surépaisseur que l'on fait disparaître avant la nitruration.

Lorsque des cotes très précises doivent être obtenues, il faut tenir compte :

Du fait qu'un gonflement est provoqué par la nitruration;

2° De la nécessité d'une rectification après nitruration, la courbe de dureté en fonction de la profondeur présentant toujours un maximum, correspondant probablement à une décomposition déterminée de la solution solide de Fe''N, pour une profondeur, très faible d'ailleurs, à partir de la surface.

Ces deux phénomènes sont très réguliers, de sorte qu'il est facile d'en tenir compte dans les cotes d'usinage.

Si l'on veut effectuer des réserves, le mieux est d'employer l'étain, imper-


L'ETUDE DES PHENOMENES DE CEMENTATION. I I J

méable à l'azote, déposé au trempé, avec un fer à souder, ou sous forme de pâte; on peut également utiliser un alliage plomb-étain.

Appareillage de nitruration. — La température doit être très homogène dans tout l'appareil; on opère presque toujours dans des fours électriques à régulation automatique de la température grâce auxquels on obtient facilement ± 3°.

Le four et les supports de pièces sont en alliage nickel-chrome réfraclaire à la nitruration ; des dispositifs simples permettent la bonne circulation du gaz autour de toutes les pièces traitées.

Contrôle de la nitruration. — Nous noterons seulement le mode de contrôle de la dureté et de la non-fragilité de la couche superficielle; on opère le plus souvent avec une pointe de diamant; la mesure des dimensions de l'empreinte donne la dureté; son examen au microscope révèle la fragilité.

Avantages de la nitruration. — L'avantage essentiel est la dureté superficielle considérable, la plus élevée que l'on connaisse dans les produits métallurgiques; cette dureté se conserve jusqu'à 5oo°; elle est très homogène sur toute l'étendue dès surfaces traitées. On a ensuite tous les avantages du traitement final à 5oo°, sans traitement thermique ultérieur. A noter également une bonne tenue des surfaces nitrurées à certaines corrosions. La figure i4 donne la micrographie d'une couche nitrurée sur acier à o,4 pour 100 de carbone, i,5 pour ioo de chrome et 1,0 pour ioo d'aluminium (nitruration de 65heures à 5io°).

Nitruration des fontes. — La mise au point de la nitruration des fontes a été longue et délicate, la présence de graphite en lamelles provoquant des fissurations et des ruptures. U semble bien que le problème soit résolu dans les conditions suivantes :

Elaboration de fontes à bas carbone au chrome-aluminium-molybdène ou chrome-aluminium-vanadium;

2° Réalisation d'une structure blanche, eu égard à la teneur et aux conditions de coulée ;

3° Graphitisation en fins nodules par un recuit prolongé;

4° Trempe d'affinage du grain ;

5° Usinage convenable;

j. É. P., y s. (n- 2.) î6


118 J. cotraHOT.

6° Nitruration dans des conditions sensiblement identiques à celles de l'acier.

Certaines applications comme la fabrication des chemises de cylindres de

Fig. i/j. — Aspect micrographique d'une nitruration d'acier (x ioo).

moteurs, se développent de plus en plus. La figure i5 donne la micrographie d'une couche nitrurée sur fonte à 2,6 pour 100 de carbone total, 2,5 pour 100 de silicium, o,5 pour 100 de manganèse, i,5 pour 100 de chrome et 1,0 pour 100 d'aluminium (nitruration de 65 heures à 525°).

CÉMENTATION DES ALLIAGES FERREUX PAR L'ALUMINIUM.

La cémentation des aciers par l'aluminium, parfois appelée calarisation, vise l'obtention de pièces très peu altérables à température élevée, même en atmosphère oxydante (pièces de fours).


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION. I Ip,

Le diagramme sur lequel se base le procédé est encore ici assez imprécis; les auteurs ne sont pas d'accord sur le nombre et la nature des combinaisons et

Fig.;i5. — Aspect micrographique d'une nitruration de fonte (xioo).

des solutions solides auxquelles elles donnent naissance. La figure 16 reproduit le diagramme le plus récent et indique les zones obtenues par divers auteurs, à température ordinaire.

De toutes façons, il est certain qu'il existe du côté du fer une large bande de solution solide allant de 100 pour ioo à 65 à ^5 pour ioo de fer (en poids); puis entre 4o et 5o pour ioo se situe une solution solide issue de la combinaison Al'Fe; certains auteurs croient à l'existence d'une autre solution solide issue deAPFeou Al3Fea (?).

Lorsqu'on effectue la cémentation d'un acier doux par l'aluminium, on


120 ...':.■*. .-.■.. . J..COURNOT. -■.■::

observe, du moins au début, deux couches Çjig. 17) : en surface, une solution solide issue de combinaison, formant une couche dure et friable, assez poreuse, peu adhérente; 20 une solution solide bien opaque et résistante, parfois très épaisse, montrant d'abord une solution de continuité bien nette avec

Fig. 16. —Diagramme fer-aluminium.

l'acier {fig.- 17); lorsque le chauffage est maintenu un temps suffisant, la diffusion devient totale et l'on atteint la filiation de solution solide jusqu'à 100 pour 100 de fer; « l'accrochage » devient optimum Çfig. 18).

Si l'on se trouve en présence de deux solutions solides superposées, que l'on arrête l'apport d'aluminium et continue à chauffer, la couche extérieure dure et fragile disparaît peu à peu en nourrissant la solution solide intérieure qui se développe; c'est cette dernière qui est intéressante en raison de sa solidité ; elle permet, grâce à la teneur élevée en aluminium de sa surface extérieure, la


L'ETUDE DES PHENOMENES DE CEMENTATION.

12 1

bonne tenue à l'oxydation à chaud ; il se forme une pellicule protectrice d'oxyde.

On voit que l'on trouve ici, très nettement la mise en pratique des théories de diffusion précédemment énoncées.

Fig. 17. — Aspect micrographique d'une cémentation limitée d'acier par l'aluminium (x 200).

Les alliages ferreux de base. — On utilise le plus souvent un acier ordinaire doux; l'élévation de la teneur en carbone abaisse très rapidement le pouvoir de diffusion de l'aluminium. Si l'on veut cémenter des fontes, il faut ou les décarburer superficiellement, ou leur faire subir un traitement, analogue à celui nécessaire à la nitruration, isolant la ferrite dans laquelle l'aluminium viendra diffuser.

Le cément. — Il existe plusieurs procédés; les plus efficaces utilisent :

— un cément solide, mélange d'aluminium en grains, d'alumine et de chlorure d'aluminium ;


122 J. C0URN0T.

— un cément solide obtenu par pulvérisation de l'une des combinaisons fragiles aluminium-fer (généralement AFFe) ce qui permet en même temps de diminuer sur les pièces l'importance de la couche de solution solide issue de

Fig. 18. — Aspect micrograpliique d'une cémentation entièrement diffusée d'acier par l'aluminium (xaoo).

cette combinaison; cette poudre de ferro-aluminium est additionnée de chlorure d'ammonium ;

— l'aluminium liquide ou un alliage liquide riche en aluminium dans lequel on trempe les pièces; puis on les retire et les chauffe en vue d'améliorer la diffusion ; le bain s'altère assez rapidement par entrée de fer en solution ; la couche obtenue dans le bain est surtout formée de solution solide de combinaison; la fragilité entraîne souvent une diffusion irrégulière;

— un cément gazeux à base de chlorure d'aluminium.


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION. 123

Nous donnerons ci-après des compléments sur le traitement avec céments solides, de beaucoup les plus employés.

Ces céments doivent être périodiquement régénérés.

Température et temps de nitruration. Appareillages. — Cette cémentation est réalisée absolument comme celle de l'acier doux par le cément de Caron. Température : 900 à iooo°; durée 4 à 10 heures, suivant le résultat cherché. On peut effectuer le traitement en deux temps, suivant le principe déjà indiqué; cela dépend de la protection recherchée, de la solidité exigée à la mise en service, des possibilités d'autodiffusion après cette mise en service.

Résultats — Si l'on compare la tenue à chaud en atmosphère oxydante d'un acier cémenté par l'aluminium et du même acier nu, on peut dire que le coefficient d'amélioration est de l'ordre de 100 à 8oo°; il s'abaisse très rapidement avec la température et tombe aux environs de 5 à 10 à i ioo°.

CEMENTATION DES ALLIAGES DE FER PAR LE ZINC

Le diagramme fer-zinc {fig. 19) indique là encore la présence d'une bande assez large de solution solide côté fer (o à 18 pour 100 de zinc) puis une combinaison isolée (FeZn 3 ou Fe3Zn10), enfin une bande assez mince de solution solide de la combinaison FeZn 7; on se trouve donc dans un cas un peu analogue à celui de la cémentation par l'aluminium; les domaines de solution solide sont toutefois moins étendus.

Les alliages ferreux de base n'ont rien de particulier.

Cément et mode opératoire. — Le cément est à l'état solide ou à l'étal liquide :

État solide : poussière de zinc (provenant des allonges des fours d'élaboration de ce métal) contenant 75 à 90 pour 100 de zinc métallique, 4 à 20 pour 100 d'oxyde de zinc et quelques impuretés ; on additionne jusqu'à 5 volumes de sable fin pour 1 volume de poussière de zinc; on utilise aussi parfois, après pulvérisation, les alliages fer-zinc que l'on trouve dans le fond des cuves de galvanisation; la régénération du cément est assurée par addition périodique de zinc métal en poudre.


124 ' J. COURNOT. ./.".'•

On Opère en four cylindrique tournant, à une température de 35o à 4oo°; la durée de l'opération varie entre 2 et 4 heures.

Fig. 19. — Diagramme fer-zinc.

20 État liquide : c'est la galvanisation, méthode trop ancienne et trop connue pour qu'il soit utile de la décrire; on trouve là encore les constituants indiques par le diagramme; les couches superficielles et les diffusions sont naturellement réalisées avec une rapidité très considérable, comparativement à l'action des céments solides; mais d'une part la pénétration est moins régulière, d'autre part l'importance des divers éléments du revêlement est assez différente. Il faut en outre noter la grande influence de certaines additions au bain (par exemple l'aluminium, en proportion même très faible, de l'ordre de 0,2 pour 100) au point de vue du processus de la cémentation.

ÉTAMAGE.

L'étamage, immersion dans un bain d'étain liquide, produit, comme la galvanisation, une véritable cémentation ; la pénétration est là aussi rapide,


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION. 125

en raison de l'état liquide du cément et du grand pouvoir de diffusion de l'étain.

Le diagramme fer-étain, encore insuffisamment précisé, indique la présence d'une solution solide côté fer (o à 10 pour 100 d'étain) de deux combinaisons FeSn et FeSn 2, né donnant pas de solution solide,, et d'une troisième combinaison Fe2Sn, seulement stable au-dessus de 7600.

En pratique, dans l'étamage, la réaction initiale entre le fer et l'étain donne la combinaison FeSn 2 et c'est au travers de cette combinaison que l'étain Continue à diffuser afin de donner directement la solution solide côté fer; aux basses températures d'étamage, la combinaison FeSn ne se forme pas, et non plus, a fortiori, Fe 2 Sn.

Une remarque curieuse est la suivante : lorsqu'on étame un cuivre oxydulé, le revêtement est poreux et irrégulier sur les plages d'oxydule ; pour obtenir a compacité et la régularité, il suffit de réduire, avant ëtamage, par un traitement chimique convenable, les oxydes de surface.

LA FONTE MALLÉABLE.

Il existe deux procédés bien distincts de malléabilisation delà fonte ; dans les deux cas, on part de fonte blanche (dans laquelle le carbone est totalement à l'état de cémentite Fe 3 G):

La méthode moderne, méthode américaine, qui consiste en une simple transformation physicochimique, sans apport extérieur ni perte d'aucun élément; un chauffage très prolongé et conduit de manière bien déterminée et précise, permet la transformation totale de la cémentite en l'état stable fer -fgrâphite; tout le carbone passe donc à l'état de graphite se présentant sous forme de fins nodules éparpillés dans une matrice de ferrite; l'ensemble est malléable; cela nJa rien d'une cémentation.

2° La méthode ancienne — complètement abandonnée aujourd'hui— ou méthode européenne, donnant la fonte de Réaumûr, était au contraire une sorte de cémentation négative; nous en rappellerons donc ici le principe pour mémoire : les pièces, en fonte blanche, étaient placées, en caisses lutées, au milieu d'un mélange d'oxyde Fe 2 O3 (hématite rouge) neuf et d'oxyde usagé ou de chaux (pour en atténuer l'activité); on maintenait pendant une soixantaine d'heures une température de 9800 environ ; le carbone des régions superficielles de la fonte diffusait alors vers la surface où il était brûlé par le cément /. É. P., 3« s. (n° 2.) 17


I2Ô J. C0URN0T.

oxydant; (la fonte doit être initialement blanche parce que, lors de la montée à température, la mise en solution de la cémentite dans le fer y est plus facile que celle du graphite, d'où indirectement une migration plus aisée du carbone vers la surface); la surface de la fonte passait ainsi à l'état ferritique; à une plus grande profondeur, on observait un peu de perlite, puis à coeur, une sorte de fontemalléable américaine assez grossière en raison du peu de soin apporté au réglage des variations thermiques. Le cément non eii service était partiellement régénéré par des arrosages quotidiens à l'aide d'une solution de chlorure, d'ammonium.

On voit que cette fonte malléable européenne, ou fonte de Réaumur, se préparait par une sorte d'anticémentation, le carbone superficiel étant diffusé hors de la surface vers une réaction extérieure.

LES SOUDURES.

Les soudures oxy-acétyléniques ou à l'arc électrique, les brasures comportent des effets d'auto-cémentation. Pour qu'une brasure ou une soudure soit bonne, il faut que les éléments assemblés, avec ou sans apport, aient diffusé l'un dans l'autre, sans quoi il y a simplement, suivant le terme de métier^ collage; il faut une interpénétration mutuelle afin d'obtenir une réelle solidité de l'assemblage.

Il est curieux à ce sujet de constater qu'une soudure avec apport relève de deux techniques bien définies :

La fusion de l'apport dans le joint est une petite fonderie en miniature, dans laquelle on retrouve toute la technique de grande fonderie, en particulier les flux de fusion, les éléments d'affinage, etc.; l'étude de la technique de l'enrobage des baguettes d'apport reproduit celle des procédés d'épuration des grosses masses liquides ;

2° la cémentation, pour obtenir le phénomène bilatéral de diffusion évoqué ci-dessus.

Nous nous bornerons à citer le fait; le développement d'un tel sujet nous entraînerait trop au delà du cadre normal de ce mémoire. Il existe encore d'autres traitements (coulée double ou triple, placage, bimétal) qui font eux aussi intervenir les actions de cémentation.


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION.

III. — LA CEMENTATION RU CUIVRE PAR L'ALUMINIUM.

Ce cas de cémentation a déjà fait l'objet, en 1924, d'études de laboratoire, sous la direction de M. Léon Guillet à Paris et de M. E. D. Martin à Nancy; M. Léon Guillet a pris comme cément l'alliage AlCu à 20 pour 100 d'aluminium additionné de 5 pour 100 de son poids de chlorure d'ammonium ('^ila obtenu, dans des traitements à 7000 et 8oo°, des couches superficielles de la solution K ou des solutions « + 0, la pénétration atteignant omm,6 pour un maintien de 24 heures à 86o°; l'étude plus particulière de l'action du chlorure d'aluminium gazeux avait donné des résultats contradictoires. M. E. D. Martin ( 2) a cémenté par le chlorure d'aluminium gazeux ; la couche superficielle, d'une profondeur de omni,45 après 1 heure et demie de traitement à 900°, paraît comporter à son extérieur une teneur de 11 pour 100 d'aluminium (en poids).

Nous avons cherché à préciser ces phénomènes par quelques essais systématiques, non encore publiés en dehors d'une courte Note à l'Académie des Sciences (3), ces expériences nous ont d'autre part conduit à quelques résultats connexes assez curieux qui seront également décrits.

Diagramme. — Le diagramme cuivre-aluminium {fig. 20), comporte dans son état actuel, quatre combinaisons : Cu3Al, Cu2Al, CuAl, CuAP ; il existe certainement côté cuivre quatre domaines de solutions solides :

— le domaine oc, allant à température ordinaire de 0 à 8 pour 100 d'aluminium en poids ;

— le domaine 0 (solution issue indirectement de combinaison), allant à température ordinaire de 16 à 26 pour 100 environ d'aluminium ;

— les domaines (3 et y, solutions issues des combinaisons Cu3Al et Gu2Al, stables seulement à température élevée.

On admet généralement que les combinaisons CuAl et CuAl 2 ne donnent pas de solutions. Toutefois, certains auteurs croient que la première de ces combinaisons,

(1); C. R. Àcàd. Se., 182, p. 1447.

(s) Thèse de doctorat, Faculté de Nancy, 1924.

( 3) C. R, Acad. Sci, 2 janvier io,35.


12$ J. CÔURNOT. " ■ •

CuAl, forme une solution Y] qui s'étalerait, à température ordinaire, sur quelques pour 100 autour de 28 pour 100 d'aluminium.

Exécution des essais. -— Les traitements ont été. réalisés en four fixe, les éprbuvettes étant placées dans des cassettes métalliques, au contact de la poudre déjà utilisée pour la cémentation des alliages ferreux par l'aluminium (1); celte poudre est obtenue par broyage de la combinaison AFFe; une addition de

Fig. 20. ■—Diagramme cuivre-aluminium.

5 pour 100 de chlorure d'ammonium est réalisée avant traitement; notons dès maintenant qu'il n'a pas été trouvé trace de fer dans les couches superficielles; le cément agit uniquement par l'aluminium contenu.

Cémentation du cuivre électroly tique ; influence de la température. —- Nous avons d'abord opéré à partir de cuivre électrolytique ; des éléments de cathode, de 10™ d'épaisseur, ont été traités, pendant 9 heures, aux températures de 6oo°, 7000, 8oo° et 9000. Voici ce que nous avons observé :

— à 6oo° {fig. 21), couche de 8/ioomm formée de a-f- éutectoïde et d'une très mince bande de a côté cuivre; par endroits une zone extérieure très mihcé apparaît, sa grande fragilité rendant très difficile son maintien au cours du polissage;

(1)'Ges chauffages ont été exécutés, dans ses fours de laboratoire, par M. Méker, que nous remercions très sincèrement.


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION.

129

— à 7O00 {fig. 22), on trouve de l'intérieur à l'extérieur : une mince bande de a, puis une large zone a -f- eutectoïde, enfin une région extérieure qui s'effrite facilement; l'épaisseur totale est de 34/ioon,m environ ;

Fig. 21. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre clectrolytique par l'aluminium;

traitement de 9 heures à 600» (x 5o).

— à 8oo° {ftg. 23), mêmes observations, les zones étant plus étendues, et la région a-f-eutectoïde arrivant jusqu'à l'eutectoïde lui-même; l'épaisseur totale se situe autour de gojioomm;

— à 9000 {fig. 24), on trouve la zone a pure, puis à peu près toute la filiation de a à S en passant par l'eutectoïde, les cristaux primaires de la solution o apparaissant enfoncé sous l'attaque micrographique ; à l'extérieur, par endroits, zone friable, probablement de o pure; l'épaisseur totale atteint i8o/ioonim.

Le processus est donc bien net : il se forme, pendant le traitement, les solu-


i3o

J. COURNOT.

tions a et P et, suivant les températures, y ou § ou les deux; au refroidissement, on obtient a, a -f- S avec eutectoïde, et 8. On voit également que la solution (3 est de beaucoup la plus développée pendant la cémentation.

Les résultats en fonction de la température varient d'ailleurs non seulement

Fig. 22. — Aspect micrograpliique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium; traitement de g heures à 7000 ( x 5o).

Fig. 23. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium ; traitement de 9 heures à 8oo° (x 5o).

du fait des modifications des solutions solides et de leur vitesse de diffusion, mais aussi de l'étendue de leur zone de stabilité; le fait est particulièrement valable pour la solution (3; l'aspect de la diffusion varie aussi avec la forme de l'échantillon, forme qui peut influer sur l'afflux de l'apport par unité de surface cémentée; les figures 25 et 26 montrent ainsi la cémentation de deux régions différentes — une partie lisse {fig. 25) et un coin {fig. 26) — d'un échantillon de cuivre électrolytique traité deux heures à g5o° dans le cément


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION. l3l

précédemment défini; on remarquera dans la micrographie figure 26 de très beaux et larges cristaux de 8 primaire dans le coin de l'échantillon.

Le chauffage à nu, sans la présence de cément, d'un échantillon ainsi

Fig. 24. — Aspect micrograpliique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium;

traitement de 9 heures à 9000 (x 5o).

cémenté initialement, provoque naturellement une extension de la zone a jusqu'au cuivre pur, par diffusion interne d'aluminium au détriment de a -+- 8

Nous avons également étudié une diffusion à 10600, c'est-à-dire à une température où l'horizontale intercepte seulement dans le diagramme un court seg-


[32

J. C0URN0T.

ment de a solide, limité par l'intervalle solidus-liquidus ; la pénétration est alors des plus rapides, la figure 27 montre une surface contenant très peu

Fig. 25. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium; traitement de 2 heures à g5o 0; partie lisse de l'échantillon (x 5o).

d'eutectoïde et, en deçà, du a pur; en quatre heures sur un échantillon de io""° d'épaisseur, on obtient la solution jusqu'à coeur, la dureté superficielle passant de 58 à ioo unités Brinell. La surface de l'échantillon, au lieu de présenter cet aspect rugueux caractéristique des traitements à plus basse température en présence de poudre solide, montre une peau brillante lisse d'une belle couleur or dénotant la fusion commençante.

20 Action des gaz dans cette cémentation. — Nous avons, dans un traitement


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION.

.33

de 7 heures et demie à 85o°, protégé l'une des faces d'un échantillon de cuivre électrolytique par une feuille de papier filtre simplement appliquée sur elle, le

Fig. 26. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium; traitement de 2 heures à 95o°; coin de l'échantillon (x 5o).

cément en poudre enveloppant le tout; le papier est rapidement brûlé dans le traitement; les résultats sont assez différents :

— d'abord, l'extérieur de la face protégée, au lieu de présenter l'aspect rugueux déjà noté, présente un aspect lisse, ce fait est intéressant pour certaines applications exigeant un état de surface assez net;

— ensuite, la diffusion est modifiée, les figures 28 (face protégée)et29 (face non protégée) le montrent bien ; la pénétration est plus régulière et plus faible

/. È. P., 3's. (n*2.) 18


I 34 •»• COUBNOT.

dans le premier cas (88/100 au lieu de 100 à i3o/ioomra), l'aspectde la diffusion est assez différent, dénotant une action nettement retardatrice de la protection.

Une autre expérience a consisté à mettre dans le fond d'une cassette une faible épaisseur de cément et à placer dans ce cément seulement la base d'une éprouvette de 5omra de hauteur totale; 15°"" plongent dans le cément,

Fig. 27. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium; traitement de 2 heures à 1060° (x 5o).

les 35 autres millimètres étant complètement extérieurs; un chauffage de 7 heures et demie à 85o° donne :

— Une surface lisse dans la partie émergée, rugueuse dans la partie enfoncée dans le cément;


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION.

i35

— Une profondeur de pénétration de ioô/ioo""" à la base, 84/ioomm à l'affleurement, tombant rapidement à 2o/ioomm à io""" au-dessus de l'affleurement puis à io/ioomm à iS""" et sur tout le haut de l'éprouvette.

On voit donc que l'action des gaz est indéniable, mais que le contact du cément solide provoque seul une diffusion rapide en raison de l'intensité supérieure et du renouvellement de l'effet gazeux.

Fig. 28. — Aspect micrograpliique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium; traitement de 7h3o à 85o°; région initialement protégée de l'échantillon (x 5o).

3° Cémentation d'un cuivre oxydulé. — On sait que le cuivre commercial, obtenu par fusion directe, contient généralement, entre autres impuretés, de


i36

J. COURNOT.

l'oxyde de cuivre qui forme un eutectique avec le cuivre pur dans le voisinage de celui-ci. L'aspect de la cémentation par l'aluminium devient alors assez différent de celui initialement décrit du cuivre électrolytique. La figure 3o

Fig. 29. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre électrolytique par l'aluminium; traitement de 7h3o à 85o°; région non protégée (x 5o).

donne cet aspect d'un cuivre oxydulé cémenté 4 heures à 960° en présence du cément en poudre; la pénétration est de i3o/ioomm, les régions extérieures sont très poreuses et effritées. En cémentant dans des conditions identiques du cuivre électrolytique et du cuivre oxydulé, on constate de plus que la diffusion est un peu ralentie (environ 5 pour 100) dans le second cas.

4° Action de la diffusion d'aluminium sur l'oxydule. — Cette action a été


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION.

i3r

découverte à la suite d'une de ces obseivations accidentelles (() qui parfois mettent l'expérimentateur sur la piste d'un phénomène intéressant.

En découpant au tour des barreaux-cylindriques de cuivre oxydulé cémenté,

Fig. 3o. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre oxydulé par l'aluminium; traitement de 4 heures à 95o° (x 5o).

M. Méker avait observé que la couche superficielle passée, le travail à l'outil était plus facile dans les zones suivantes et redevenait plus difficile à coeur. L'étude micrographique décèle les observations suivantes :

— l'oxydule est, d'une manière générale coalescé dans tout l'échantillon par le chauffage de cémentation ;

(') HBNRT LE CHATBLIBR, De la méthode dans les sciences expérimentales, p. 60.


i38

J. COURNOT.

— les premiers éléments d'aluminium diffusent très rapidement, bien plus loin que ne peut l'indiquer l'aspect micrographique, et réduisent les grains d'oxydule en donnant de l'alumine.

Soit par exemple un barreau cylindrique de 25mm de diamètre, de cuivre

Fig. 3t. — Aspect micrographique d'une cémentation de cuivre oxydulé par l'aluminium;

couche diffusée (x 5o).

oxydulé {fig. 3i), dans lequel la diffusion a été conduite jusqu'au cuivre; l'épaisseur de cémentation, décelable au microscope, est de iram environ. La micrographie {fig. 32) montre, à un grossissement supérieur, au centre de l'échantillon où l'effet de l'aluminium n'a pu encore se faire sentir, l'oxydule coalescé sous forme de petits grains de i/ioomm à 2/ioomm de diamètre; au contraire sur une profondeur de 4ram environ de profondeur à partir de la surface,


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION. l3o,

on note l'aspect de la figure 33 : les grains d'oxydule ont fait place à de petites cavités d'où l'alumine a été éjectée par le polissage.

Le phénomène est aisément contrôlé par la variation de la dureté Brinell; en opérant avec une très petite bille, de imm,2 de diamètre sous une charge de

Fig. 32. — Même échantillon que celui de la figure 3ij globules d'oxydule visibles à coeur (x 200).

iookf?, on trouve des nombres Brinell de 68 dans la région oxydulée de coeur et de 58 dans la zone annulaire désoxydulée par l'aluminium; cette dureté de 58 est d'ailleurs exactement celle du cuivre électrolytique pris à l'état recuit; la diffusion de l'aluminium, qui n'est décelable ni au microscope ni par un changement de coloration, est donc très faible, sans quoi elle serait révélée par une élévation de dureté, la solution a devenant rapidement plus dure avec l'augmentation de la teneur en aluminium; néanmoins, cette très faible diffusion


>4o

J. COURNOT.

est suffisante pour la réduction de l'oxydule. Et elle explique la plus grande facilité de travail à l'outil.

Cette cémentation du cuivre par l'aluminium est utilisée depuis peu de temps pour le traitement préliminaire des blocs utilisés dans l'industrie pour le

Fig. 33. — Même échantillon que celui des figures 3i et 32; cavités d'alumine dans la région extérieure (x 200).

chauffage avant traitement thermique de certaines pièces de tôles fines : bandes de mitrailleuses, profilés et emboutis de construction aéronautique, etc.; ces pièces minces ne peuvent être chauffées dans une atmosphère normale de four sans crainte de détériorations superficielles; on les chauffe donc après insertion dans des blocs qui les protègent; ces blocs, s'ils sont en fonte, sont mauvais conducteurs de la chaleur; en cuivre non cémenté, ils s'altèrent vite en surface;


L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE CÉMENTATION. I 4 I

la solution de ce problème a donc consisté à adopter un cuivre (métal très conducteur) cémenté par l'aluminium (la surface devenant ainsi très inaltérable à chaud). Les essais ci-dessus ont permis de mettre au point les modalités et de déceler les particularités du traitement de ces blocs.

CONCLUSION. -

Nous avons cherché à montrer comment un traitement particulier — le durcissement de l'acier par le carbone — avait peu à peu fait place à toute une théorie générale du phénomène de cémentation. Une étude approfondie de cette théorie permet d'étudier à l'avance lés possibilités d'un traitement particulier, de préciser les conditions et les zones optima de traitement; puis l'expérience fixe les caractéristiques de la diffusion.

L'exemple le plus récent de la cémentation du cuivre par l'aluminium., en vue d'une application bien définie, illustre cet exposé.

7. É. P., 3e s. (n" 2.)- 19



SUR L'ÉVOLUTION

DE LA

■.■..MECANIQUE -DES QUANTA

PAR -M. RENÉ DUGAS, ■

(suite)

11. Représentation des états et des observables. — Passons maintenant à la représentation, à l'aide de nombres ordinaires des symboles de Dirac.

Si <!),, est le terme général d'un système complet d'états indépendants, tout état <l> peut être représenté par :

d'une manière univoque, les typ sont dits états fondamentaux du système.

La représentation de chaque état est donc donnée par une série de nombres ap, coefficients des ty,,.

Pour représenter une observable a, on développe en série le symbole a<hq {<\>g étant l'un des états fondamentaux)

chaque observable esl ainsi représentée par une matrice à deux indices.

Si a est représentée par cr.pq et |3 par 8/;y a -f- fi est représentée par apq -f- G/>?, eu. par ca.pq et enfin, par définition,


144 RENÉ DUGAS. .''.-■[

On retombe sur la règle d'Heisenberg :

U n nombre ordinaire c est représenté par

c'est-à-dire par une matrice diagonale,

Enfin, la loi de multiplication des représentations d'une observable et d'un élat s'obtient par :

Toute relation entre éléments abstraits de l'algèbre symbolique de Dirac peut ainsi se traduire dans une relation entre les nombres représentatifs de ces éléments.

On peut opérer de même sur les <D en écrivant :

Si l'on désire que les <E> et t|; fondamentaux (qui ne sont plus dorénavant, en général, imaginaires conjugués) donnent la même représentation, il faut que a' = a • alors,


. ' SUR L'ÉVOLUTION DÉ LA MÉCANIQUE DES QUANTA.. , 1.45

pouf que ceci soit vrai quelle que soit l'observable, il faut :

on peut prendre c= i et écrire :

à celte condition, les $ et <l> donnent une seule et même représentation. On a alors :

On appelle représentation orthogonale celle dans laquelle les $ et d* de même indice, et donnant la même représentation sont imaginaires conjugués. Si oc est réelle, on a :

les matrices dans une représentation orthogonale sont donc hefmitiquës (c'est le cas des matrices d'Heisenberg).

Casdes états fondamentaux formant une suite continue. — Alors

Pour représenter ainsi un état fondamental <|/fy Dirac a recours à la fonction 8 définie par :


l46 RENÉ DUGAS.

Un des <l> fondamentaux, soit dv, s'écrit alors :

On peut encore dériver un cLv par la formule

Avec ces notations, on peut représenter états et observables lorsque les états fondamentaux forment une suite continue. On a ainsi :

Dans une représentation orthogonale : .

dans le cas général où les états fondamentaux forment une suite continué dans une multiplicité d'un nombre quelconque de dimensions, on aura :

la matrice unité o{p — q) est remplacée par : o{ph—q,)o{p.1-—q„)..., la dérivée 8' {p — q ) par 8 {p,q, ) o(p.3 -—q2)...o' {p,„ — qm) o {pm+, — qm •+ i ).

Des représentations particulières consli-uites à l'aide des valeurs propres simultanées d'un groupe complet d'observables qui commutent.

Chaque état fondamental, orthogonal aux autres, est défini par un système de valeurs propres £',...£'„ de n observables ^E2...E„ qui commutent et forment un groupe complet. Au lieu de d»,, on écrit ']>{£', £'„. . .E'„) ou i(H') et au lieu de <bq, &{£"), etc. ..


SUR L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE DES QUANTA. 147

Une matrice s'écrira (£' | a ] £") le symbole de l'observable étant encadré par ceux des deux états fondamentaux conjugués. On écrit ainsi, pour Û> = ( aptyp dp,

On démontre facilement, en s'appuyant sur le fait que tyÇE') est un état propre d'une des variables fondamentales £m(m = 1, 2... ou n) appartenant à la valeur propre Z'm que l'une quelconque de ces observables est représentée par une matrice « diagonale »

en désignant par o(£'— £") le produit P;8(£. — £") (i == 1, 2, . . ., n).

Si, au lieu de prendre des valeurs continues, les Em n'ont que des valeurs discrètes, on a

en désignant par o^» le produit P,:8^^'Çî=i} 2, . . ., n); plus généralement, et, par exemple, dans l'hypothèse de valeurs propres continues,

Il est évident que les phases de la représentation sont arbitraires, chaque symbole <b{£') d'état fondamental pouvant être multiplié, sans altérer la normalisation par e~'f&] auquel cas chaque élément représentatif (£' | k) de l'état k est multiplié par eif{-V) et chaque élément représentatif (ij'la|ij") d'une observable a par eV&'ïifX"\ Les éléments diagonaux (£' | a | £') ne sont pas modifiés, ce qui est conforme à leur signification physique de moyenne.

Dirac étudie encore les transformations canoniques en considérant deux représentations CE' |) et (Y)' |) d'un même symbole ty en fonction de deux groupes d'observables £m et rim.


]48 EËNÉ DUGAS.

On a alors en désignant par (£']'?]') là représentation i d'un état fondamental à{-t]') de la seconde représentation

seules relations que doivent satisfaire les fonctions de transformation'(|'|YI') et (■/]' j H') et qui ont le caractère de conditions de normalisation.

Enfin, l'interprétation physique des fonctions de transformation est la suivante :

K^'l7]')!" donne la probabilité pour que les H aient les valeurs E' lorsqu'on, sait avec certitude que les r\ ont les valeurs t]' (et inversement).

Nous avons dû nous étendre peut être outre mesure sûr l'axiomatiqué de Dirac, et sur Ges conséquences, mais, nous le répétons, l'original est déjà si concis et si lumineux qu'il est presque impossible d'en donner un aperçu sans le répéter sensiblement.

Ce serait une grave erreur de croire que l'algèbre symbolique de .Dirac constitue une digression sur la théorie des quanta. Certes beaucoup d'ouvrages ont pu exprimer lés faits de Cette théorie sans y avoir recours, mais à la réflexion il apparaît que seule l'axiomatiqUé de Diraç est susceptible d'éclairer la mécanique quantique. L'effort d'abstraction de cette axiomatique est l'un des plus remarquables qui ait jamais été conçu et si les principes de l'algèbre symbolique ont été notoirement établis de manière à englober là mécanique des matrices d'Heisenberg (première forniê intuitive dé la mécanique quantique), ils la dépassent nettement en portée. Il semblé qu'à là faveur de l'axiômatique de Dirac il soit désormais possible d'étendre le langage mathématique à des phénomènes qiii, précisément, eii raison de l'interaction entre le système observé et l'instrument de mesure, en raison également de la relative indétermination des résultats, paraissaient jusqu'ici exclus d'une interprétation mécanique.


SUR L'ÉVOLUTION DÉ LA MÉCANIQUE DES QUANTA. J4Q

12. Retour aux conditions des quanta. — Reprenons maintenant l'étude des conséquences de l'équation -:

par laquelle s'expriment les conditions des quanta dans là mécanique d'Heisenberg-Dirac. Une démonstration purement algébrique, dans le cas où/ est une fonction des qk développable en série dé puissances donne :

D'autre part, en considérant un symbole d> quelconque représentant un étal au sens de Dirac, il est possible de donner un sens à l'opérateur y- appliqué à ce symbole.

Pour cela, on part d'une représentation dans laquelle l'observable q,. — en particulier — est diagonale. L'élément représentatif Çqr j) de <\> est une fonction de q'r (valeur propre de l'observable qr qui peut être dérivée et l'on pOSë par définition :

le symbole -z— (J> est déterminé à une phase près égale à i-f— d* où F est une

fonction arbitraire dés qk ainsi qu'il résulté de l'indétermination générale des représentations où les q,. sont diagonales.

L'opérateur -r— linéaire et applicable à tout <b à ainsi, d'après l'axiomâtiqûe

de Dirac, le caractère d'une observable. Il est à noter que l'on a fait usage des opérateurs en mécanique ondulatoire avant l'apparition de la théorie de Dirac, mais nous ne pensons pas que cette introduction ait été rationnellement justifiée et c'est la raison pour laquelle nous l'avons jusqu'ici réservée.

Schrôdinger a démontré qu'en choisissant convenablement la phase de la représentation, on pouvait écrire :

pr étant le moment conjugué de q,..

C'est cette équation qui soude la mécanique ondulatoire de Schrôdinger à la mécanique quantique de Dirac-Heisenberg.

J. É. P., 3e s. (n° 2.) . 20


130 RENE DUGAS.

En effet, toute fonction fÇpia qk) lorsqu'il exisle des variables pk canoniquement conjuguées aux qk peut s'écrire f(q/;, —— y- )■ Si l'on applique cet opérateur au représentatif symbole <b. dans une représentation où les qk sont diagonales, on obtient, en écrivant l'équation aux valeurs propres de f<b, c'est-à-dire f{qk)ty = f'ty,

siy= H cette équation est celle de Schrôdinger. Si, en outre, l'hamiltonien H ne dépend pas explicitement du temps, l'équation ci-dessus donne les valeurs propres W de l'énergie. Ce résultat est une conséquence de l'équation :

à la faveur de l'introduction d'opérateurs convenables, introduction dont la justification, on doit le répéter, est fournie par l'axiomatique de Dirac et par l'algèbre des valeurs propres.

Par une analyse analogue, lorsque les q sont les coordonnées cartésiennes d'une particule, ou du centre de gravité d'un système'de particules, on peut définir les opérateurs déplacement dans l'espace et dans le temps :

Le dernier opérateur, appliqué à un d» arbitraire, donne :

équation équivalente (en l'appliquant à l'état E<1> ou E est une observable arbitraire ne dépendant pas explicitement du temps) à :

c'est-à-dire aux équations de Dirac du mouvement du système. On peut écrire {a) en fonction des représentatifs, ce qui donne :

~ ~Â~, Wt 1 ) = ^ la'i> ■—~ ~ti ) (q'i I ) (q'h valeur au temps t de l'observable q),


SUR L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE DES QUANTA. I 51

ou plus généralement s'il n'existe pas depk canoniquemenl conjuguées aux qk

en écrivant alors la matrice représentant H et conjuguée aux deux groupes de valeurs propres q't et q"t des qt

Si H ne renferme pas explicitement le temps, on a :

£5. Identité de la mécanique ondulatoire de Schrôdinger et de la mécanique des matrices d'Heisenberg : passage d'une représentation à l'autre. -— La mécanique ondulatoire de Schrôdinger et la mécanique des matrices d'Heisenberg ne sont que deux cas particuliers de la mécanique quantique, correspondant à des représentations dont les phases vérifient certaines conditions.

Il nous faut d'abord, avec Dirac, préciser dans quelles limites on peut attribuer un sens précis à l'équation symbolique :

qui fait de t et de l'hamiltonien deux variables canoniquemenl conjuguées, conformément d'ailleurs à la théorie classique de Jacobi.

Pour pouvoir, sans ambiguïté, appliquer l'opérateur au symbole d d'un état arbitraire, on choisit une représentation (de Schrôdinger) dans laquelle sont représentées.par des matrices diagonales des observables qui commutent et qui forment un système complet et sont les valeurs à l'instant t de variables dynamiques qi{i=i7 2,. . ., n) n'ayant pas nécessairement de moments conjugués. L'élément représentatif d'un symbole <b quelconque sera alors :

on aura alors par définition :

Si les phases de la représentation ne dépendent pas explicitement de t on


102 RENE DUGAS.

aura :

avec la même fonction <p. C'est dans ces conditions que l'on peut parler sans ambiguïté de l'opérateur -y-- La même restriction valant pour les Observables, la forme de la fonction {q',t\'it\q,t) ne doit pas dépendre dé t quelle soit la variable E, à l'instant /.

Au contraire, les matrices d'Heisenberg correspondant à une représentation fondée sur un système complet d'observables a qui commutent et qui sont des constantes du mouvement. Heisenberg se borne au cas ou H ne dépend pas explicitement de t. En ce cas, Ii égal à l'énergie totale du système commute avec les a ; il sera donc représenté par une matrice diagonale :

Les a étant des constantes, on a

où E£ est la valeur à l'instant t d'une observation arbitraire. L'équation du mouvement

s'écrit en tenant compte de ce qui précède.

immédiatement intégrable par :

dans le second membre apparaît la fréquence ——-. = —r— régie par la loi

de Planck.

Un élément diagonal (a'|E|a') ne dépend pas de t ce qui montre que la valeur moyenne d'une observable arbitraire E est constante pour un état fondamental de la représentation.

Les phases d'une représentation d'Heisenberg étant totalement indépen-


SUR L'ÉVOLUTION DE. LA MÉCANIQUE DES QUANTA. îpo

dantes du temps et, par suite, arbitrairement modifiables, on rappelle qu'en vertu d'une proposition générale rencontrée plus haut, chaque symbole d'état fondamental d/(a') peut y être multiplié, sans altérer la normalisation par (ï_'/(a/), fonction arbitraire de module unité, auquel cas tout élément représentatif d'observable {a' | E | a") se trouve lui-même multiplié par :

Il est évident, sur l'équation {a), que pour rendre l'élément (a' | E | «") indépendant de t et retomber ainsi sur une représentation Schrôdinger, il suffit de

fnïri»

t peut en effet jouer le rôle d'un simple paramètre au regard des symboles d'états fondamentaux d/(a')-

Les phases relatives d'une représentation d'Heisenberg par rapport à une représentation de Schrôdinger construite avec les mêmes observables a et où, par suite, l'hamiltonien H est représentable par une matrice diagonale sont

27îlH'<

donc e~ ll ' .

Ce changement de phase suffit donc à passer de l'une à l'autre représentation et il est ainsi démontré d'une manière rigoureuse que la mécanique ondulatoire et la mécanique des matrices sont équivalentes.

14. Transformations de contact. L'a fonction de Schrôdinger comme amplitude de probabilité. ^- a étant une observable quelconque et S une autre observable, telle que son inverse S- 1 existe, le produit S a S- 1 a les mêmes valeurs propres que a.

Celte proposition se démontre à partir de l'équation aux valeurs propres

donc Sd>,. est un état propre de S a S- 1 appartenant à la valeur propre a, quelle que goit celle=ci.

Si « est une observable réelle, on doit avoir, en supposant S a S- 1 réelle en même temps que a


JO4 RENÉ DUGAS. "''':■

donc :

La transformation SaS- 1 est appelée transformation de contact. Ces transformations forment un groupe. On a évidemment les mêmes propriétés pour la transformation d'une fonction ç(a,-) de a,-(i = 1,2 . . ., n) observables.

Considérons avec Heisenberg, une telle transformation appliquée à l'hamiltonien H d'un système mécanique et supposons qu'une telle transformation b -h a permette de passer d'une représentation à une représentation où l'énergie du système soit représentable par une matrice diagonale. On aura (')

en écrivant le relation de transformation entre matrices, d'où

d'où enfin, si dans le système (a) atteint par la transformation b -*~ a de matrice S4„, W„„r.==-H„n>==W„„ (en supposant que l'hamiltonien ne dépende pas explicitement du temps)

Cette équation représente une infinité d'équations linéaires par rapport aux inconnues Sia, éléments de la matrice de transformation.

Pour interpréter physiquement ce résultat, on admet que, d'une manière générale, j Sa-b- |2 représente la probabilité pour que a ait la valeur a' (à supposer qu'il existe une expérience susceptible de donner ce résultat) lorsque b a certainement la valeur b'. Ceci admis, la règle du produit des matrices

montre que, quel que soit c, Snc est une fonction linéaire des éléments de la transformation S„&. Ceci permet de définir ] S„| 2 comme une amplitude de probabilité en choisissant convenablement la transformation a —v b. On peut poser en particulier

a-H^ w étant la transformation qui rend diagonale l'énergie du système, et c„, étant des constantes arbitraires. Cette amplitude de probabilité satisfait alors

C) Sommation des indices muets dans tout ce paragraphe.


SUR L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE DES QUANTA. I 55

à l'éauation

démontrée plus haut soit, moyennant un échange convenable de notations

Si l'on fait alors a = q et que l'on se place dans une représentation dont les phases permettent de poser

équation qui n'est autre que celle de Schrôdinger. On est amené ainsi à considérer la fonction d'onde dj de l'équation de Schrôdinger comme ayant la signification d'une .amplitude de probabilité, en renonçant à tout autre image physique.

Il convient d'ajouter que l'on a été conduit au postulat sur la signification des | Sab |2 par l'étude de la résonance entre deux atomes ayant une fréquence commune, pouvant alors échanger de l'énergie et effectuant de ce fait des transitions d'états stationnaires,

15. — Principes de l'étude des perturbations en mécanique quantique, — La mécanique quantique à étudié en premier lieu des problèmes simples, dérivant immédiatement de problèmes de mécanique ordinaire grâce à l'introduction d'une définition convenable des crochets de Poisson.

Les problèmes plus généraux exigent l'étude des perturbations d'un système, l'hamiltonien étant développable en série de puissances d'une variable E dont on peut négliger les termes supérieurs.

Deux méthodes de perturbation s'offrent en mécanique quantique :

La première, déduite de la méthode classique, consiste à considérer la perturbation comme modifiant les états (au sens de Dirac) du système non perturbé. ' ' .

Sans insister sur les détails, cette méthode se résume dans la formule suivante :

H' désigne une valeur propre de l'hamiltonien du système perturbé.


I g(> PBNÉ DUGAS, ; -,-.-•..

H'0 la valeur propre de l'hamiltonien: du système non perturbé (il s'agit d'une valeur très voisine de la première).

Le second membre représente la valeur moyenne (pour l'état supposé stationnaire du système non perturbé) de l'énergie perturbatrice V. Ni H0 ni V ne dépendent explicitement.du temps.

Cette formule suppose V petit et le système (non perturbé) npn dégénéré. Si cette dernière hypothèse n'est pas vérifiée, on démontre que H'—rH'0 est alors une valeur propre de la matrice (H'0 E' ] V | H'0 E") la représentation E étant fondée sur un système d'observables commutant avec H'0 et formant avec celle-ci un système complet.

La seconde méthode de. perturbation est au contraire propre à la mécanique quantique. Ici, au contraire de H0, V peut être une fonction du temps.

En partant d'une représentation d'Heisenberg convenablement choisie, pn arrive à établir que la probabilité P (<*'«") pour qug le système effectue une transition pendant le temps T de l'étal défini par les valeurs propres a'jusqu'à l'état défini par les valeurs a" sous l'effet de l'énergie perturbatrice V est donnée par

l'intégrale (pour V petit) est sensiblement égale à / V dt.

Dans cette seconde méthode, on postule, que les états du système non perturbé ne sont pas modifiés mais que, sous l'influence de la, perturbation, le système, au Heu de demeurer dans un seul état, effectue des transitions d'état à état.

16. Un exemple élémentaire d'application : l'oscillateur linéaire. — Bien que nous ne puissions ici nous soucier des applications, il semble utile, ne serait-ce que pour concrétiser ce qui précède, d'étudier un exemple élémentaire en utilisant successivement le modèle de Bohr-Sonimerfeld, l'équation des ondes de Schrôdinger et la mécanique quantique d'Heisenberg-Dirac. Nous choisirons l'exemple très simple de l'oscillateur linéaire.

a. Traitement par la méthode de Bo/ir^Sopipierfeld. ^- Désignons par w la pulsation de l'oscillateur. On a


SUR L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE DES QuANTAi 107

L'intégrale de phase (h pdq s'écrit alors

Or, l'énergie du système, qu'il est aisé de calculer par exemple pour t = o,<se réduit à

donc la Condition des quanta, pour l'état stationnaire d'ordre n, peut s'écrire

v étant la fréquence mécanique de l'oscillateur, donc

b. Traitement par la méthode de Schrôdinger. ■— La fonction des forces est ici U =— mo) ? et l'équation de Schrôdinger s'écrit

Cette équation est de la forme connue

elle ri'a de solutions régulières et «'annulant à l'infini que si

Ces solutions s'écrivent

où H„ est un polynôme d'Hermite. Donc, on doit poser

7. #. P. 3e s. (n° 2.) 21


158 RENÉ DUGAS. ' ' . ' ■ ' ' ■

d'où

Les valeurs propres de l'énergie ne coïncident donc pas avec celles que prévoit la théorie de Bohr. Il y a en dehors des quanta de Sommerfeld, des demiquanta.

Les fonctions propres de l'équation de Schrôdinger qui sont de la forme -21 Ce ~ H„(^) forment un système orthogonal aisé à normaliser,

■■-."■ I . :

c. Traitementpar la mécanique quantique d'Iieisenberg-Dirac. — En mécanique

quantique, on dispose à la fois de l'hamiltonien classique (symétrisé ici sans

ambiguïté)

et de la condition des quanta

Il est aisé de voir que les équations du mouvement quantique

sont ici équivalentes aux équations classiques

Pour le démontrer, il suffit de faire état de l'équation générale rencontrée plus haut

qui s'en déduit par échange de p et q, eu égard aux signes,

Cette identité des équations du mouvement classiques etquantiques est donc une circonstance générale lorsqu'on dispose de variables canoniques au sens d'Hamilton.

Le problème quantique consiste à trouver les valeurs propres de H compté tenu de la condition des quanta.


SUR L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE DES QUANTA. I 5 g

Posons :

Il est évident qu'à l'exemple de 3t, A ne peut prendre que des valeurs discrètes. Ecrivant la dernière équation dans une représentation où A est diagonale, il vient, en désignant par A', A", ... les valeurs propres de A,

Doncj ou bien A" = A' — 2, ou bien (A' | P + i.Q | A") — o.

D'autre part, en appliquant la règle de multiplication des matrices, avec convention de sommation pour les indices muets,

donc enfin, ou bien A" = A' — 2 n'est pas une valeur propre de A et alors A'=o du fait de (A'|P -f-i'Q | A")^o ou bien A"==A'—2 est une valeur propre de A quel que soit A'. C'est évidemment la seconde hypothèse qui est acceptable.

Si l'on veut que P et Q soient réels comme l'exige leur signification physique, P2 + Q2 est nécessairement ^> o et alors A est supérieur à —1. Donc, en définitive, les valeurs propres de A sont o, 2, 4, 6, .. ., + 00 et celles de 3C sont 1, 3, 5, 7, . . ., +00.

On a d'autre part, à l'aide de la formule générale

applicable aux observables réelles, le trait désignant des quantités complexes conjuguées, et de la définition de A


IÔO RENÉ DUGAS. — SUR L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE DES QUANTA.

les deux facteurs du second membre étant complexes conjugués. Donc

(F 7 fonction arbitraire réelle de A'), donc enfin

donnant les éléments des matrices P et Q.

En revenant au problème de l'oscillateur linéaire, on a pour les valeurs propres de l'hamiltonien la série

identique à celle que donne la méthode de Schrôdinger, et pour les variables p et q en écrivant la fonction de phase F' = <o£ +Y comme il y a lieu dans une représentation d'Heisenberg, dont la représentation H' vérifie les conditions

dont la correspondance est immédiate pour h = o avec les développements en série de Fourier de p et q de la mécanique classique

(A suivre.)


SUR UN'THÉORÈME FONDAMENTAL

DU

CALCUL DES PROBABILITÉS

PAR M. JACQUES CHAJ'ELON.

i. M. Paul Lévy a démontré deux théorèmes fondamentaux du Calcul des Probabilités (1 ) :

Si une loi de probabilité L tend vers la loi £, la fonction caractéristique de laloi L tend vers la fonction caractéristique de la loi G, uniformément dans tout intervalle fini, et :

Pour que la loi h tende vers la loi £, il suffit que la fonction caractéristique de L tende vers la fonction caractéristique de £, uniformément dans tout intervalle fini.

Gomme il s'agit là, en réalité, de théorèmes sur les fonctions à variation bornée, il m'a paru intéressant de rechercher une démonstration n'impliquant aucune considération empruntée au Calcul des Probabilités.

La démonstration donnée plus loin de la première proposition est en partie une variante de celle due à M. Paul Lévy, mais l'idée directrice de la démonstration de la seconde proposition diffère de celle qu'a utilisée M. Paul Lévy. Je forme, en effet, une combinaison d'intégrales de Dirichlet où le coefficient

de ' est une fonction continue de la variable d'intégration, uniformément

u

par rapport à un paramètre k. Je peux alors utiliser la théorie des intégrales (') PAUL LÉVV, Calcul des Probabilités, 1925, p. 192 à 200. '. - "


)6a JACQUES CHAPELON.

de Dirichlet beaucoup plus commodément que si cette continuité uniforme n'existait pas. Je me place dans les hypothèses mêmes faites par M. Paul Lévy : la fonction caractéristisque de L tend vers une fonction <p, uniformément dans tout intervalle fini, et cette fonction <p est la fonction caractéristique d'une loi £ qu'on montre être la limite dé L (' ).

2. Considérons une fonction F (a;), monotone, non décroissante, bornée inférieurement et supérieurement pour toute valeur de x, finie ou non. On sait que l'associée dé FôUfiër dé F{x) est la fonction

Elle est définie et continue pour toute valeur finie, réelle de x. L'intégrale étant uniformément convergente, on peut intégrer sous le signe d'intégration,

rlonc.

A cette formule, on peut associer la relation ( 2) :

On peut, sans difficulté, intégrer indéfiniment les deux membres de la formulé (2) en intégrant le second membre sous le signe d'intégration* Il en est de même pour la formule (3) et On va le démontrer.

On rappelle que la solution, nulle ainsi que ses n — i premières dérivées pour x = x,, de l'équation différentielle

(') M. Gli'vènkd â d'ailleurs montré que là deuxième proposition peut être établie sans supposer l'uniformité de la convergence de la fonction caractéristique; mais en supposant toutefois que sa limite est la fonction caractéristique d'une loi J?- qui est alors la limite dé L. Voir V. GLIVENKO, Giorndle deW ïst. It. degli Alt., ig36.

Enfin, après que ce travail a été rédigé, M. Paul Lë'vy à bien voulu me communiquer qu'en supposant que l'a fonction caractéristique de L tend vers une fonction o, uniformément au voisinage de l'origine, il a démontré que celte fonction © est la fonction caractéristique d'une loi de probabilité i? et que cette loi de probabilité £ est la limite de L.

{-) G'estj précisée; la formule (2-3)-, p-. iGj-, lieu ciléj de M-. Paul Lévy-. On ne démontrera pas la formule (3) : elle résulte de la démonstration même de M. Paul Lévy.


CALCUL DES PROBABILITÉS. 1 63

est

On va appliquer ce résultat à l'équation (3) en intégrant 77 — 1 fois les deux

membres. Si donc on pose

g(x) = e~ivy, en intégrant n fois. on.obtient

d'où, en appelant S„(c) la somme des n premiers termes du développement en série de Maclaurin de l'exponentielle ë' :

et en appliquant la règle générale d'intégration par parties :

et par conséquent, rc-^i intégrations des deux membres de la formule (3) donnent :

La formule (4) est vraie pour n = i. Admettons-la : on va prouver qu'elle reste vraie quand on change n en n. +1. Or

car les deux membres sont nuls pour a?, = x2 et la dérivée des deux membres par rapport à x2 est la niêihè. Ensuite

Substituant alors cette expression dans le premier membre de l'équation (5),


164 JACQUES CHAPELON. ' ' : ;

puis multipliant membre à membre cette même équation par.

et enfin, intégrant de — N à + N, on obtient

Le premier membre de l'équation (6) est une intégrale absolument convergente, on peut donc opérer les intégrations dans l'ordre que l'on veut. Or, en intervertissant l'ordre des intégrations, on a :

Donc le premier membre de l'équation (6) s'écrit successivement :

d'où, en posant y = « +p, prenant pour nouvelles variables y et c et intervertissant encore l'ordre des intégrations :

dont la limite, quand N augmente indéfiniment, est en vertu du théorème sur l'intégrale de Dirichlet :

ce qui établit la formule (4).


CALCUL DES PROBABILITÉS. l65

5. On va former une combinaison des formules (4) telle que le coefficient

de . dans l'intégrale de Dirichlet correspondante soit une fonction

continue de v. . Si l'on reprend l'intégrale qui figure dans l'expression (7)

une intégration par parties donne :

d'où, pour 77. = 1 et pour n = 2 :

On voit qu'on élimine la fonction discontinue F(p + a7,) en multipliant la

première expression par — -et en retranchant de la seconde.

Si l'on effectue les mêmes opérations pour l'expression (7), on obtient :

Or, l'expression (7) est égale au second membre de l'équation (6). En faisant 71 = 1, puis 71 = 2 dans ce second membre, multipliant le premier résultat

par.— et retranchant du second, on obtient en définitive la relation

et on voit bien que W{v) est une fonction continue de c.

/. É. P., 3e s. ( n° 2.) ,22


iQQ JACQUES CHAPELON. ' '

4. Dans ce qui suit, on étudiera une fonction monotone bornée dépendant d'un paramètre X : soit F{x, X). On supposera que cette fonction a une borne inférieure et une borne supérieure indépendantes de X. 11 en résulté qu'en substituant à la fonction F{x, X) la nouvelle fonction CF(;r, X)-f- G', On pouffa toujours déterminer les constantes C et G' de telle manière que le minimum soit nul et le maximum égal à i.

Considérons donc la fonction F{x, h), monotone, bornée supérieurement par i, inférieurement par o. On dira que F{x, X) tend vers F{x, l) quand X tend vers Isi z étant donné, positif, on peut déterminer V) tel que |X — ! j <^'ïj entraîne

La fonction F{x, l) est monotone, supposée bornée par o et i.

L'inégalité (9) pourra d'ailleurs n'être vérifiée que pouf les valeurs de x rendant F{x, l) continue. On exclut ainsi l'ensemble dénombrable des valeurs de x pour lesquelles F{x, l) est discontinue.

Plus généralement, il pourra arriver que quand X varie, F{x, X) ne reste pas monotone, mais que, cependant il existe une succession de Valeurs X,, X2,..., X/f,... ayant la limite l et telles que F{x, X/;) soit toutes monotones bornées par o et 1. On posera F{x, \k) = Fk{x) et F{x, l) = FÇx). Alors les fonctions monotones Fk{x), bornées par o et 1 ont pour limite la fonction monotone F{x), bornée par o et 1 si k peut être pris assez grand pour que

sauf peut-être aux points de discontinuité de F{x).

5. Premier théorème. — Si k augmentant indéfiniment, la fonction monotone Fk{x), bornée par o et 1, tend vers la fonction monotone F{x), bornée par o et 1, son associée deFourier ®k{x) tend vers ®{x), associée de Fourier de F{x), et cela uniformément dans tout intervalle fini pour x.

On peut supposer FkÇx) monotone non décroissante. Alors


CALCUL DES PROBABILITÉS. j 67

d'où

En prenant la décomposition (— oc, xv, x.2, 4- oc ), x.\ et x2 n'étant pas des valeurs de discontinuité de F{x), on a

De même

On peut alors, £ étant donné, arbitrairement petit et positif, tfoùvef pouf | a?., j et x^ des valeurs assez grandes pour qtiè les derniers membres de ces inégaliiês soient inférieurs à i. Ainsi x, eix2 sont déterminés par s., indépendamment de k. Prenons en effet le terme 1 — Fk{x.2) par exemple. Si l'on considère l'équation 1 — F(x) — y> et qu'on appelle x.2 une racine (^) de .cette

équation, on pourra toujours trouver un nombre kj assez grand pour que si k~^>k\, on ait

et par conséquent le dernier membre de l'inégalité (I2) est inférieur à E.

(\) On a une première difficulté provenant de ce que la droite y = 1 — y pourra ne pas

4

rencontrer la courbe d'équation y = F(x), ce qui arrivera si la droite passe entre deux

branches de la courbe séparées par un point dé discontinuité delà fonction F(x) : dans ce

cas, en diminuant e, on arrivera nécessairement à une droite coupant la courbe puisque 1

est le maximum de F(x). Une deuxième difficulté pourrait résulter de ce que la droite

contiendrait toute une partie de la conrbe y — F(x) : ce serait le cas si une portion de

s cette courbe était constitué par un segment d'ordonnée y = 1— j-, on prendra alors pour a;'.,

A

l'abscisse dé n'importe quel point du sègmenU


l68 " JACQUES CHAPEL0N.

On déterminerait d'une manière analogue une abscisse xt et un nombre k, tels que si k > k3, le dernier membre de l'inégalité (I., ) soit inférieur à t. Ayant ainsi fixé x{ et x.2, on aura

D'ailleurs, une intégration par parties donne comme valeur de l'inégrale

de sorte que

en appelant X la borne supérieure de [ x .

Ceci posé, soit t\ un nombre arbitrairement petit, inférieur à -■ Si l'on trace les droites^ =/>Y] (p entier), elles coupent ( 1) les branches de la courbe y = F{x) en un nombre fini de points : A,-. Mais certaines de ces droites peuvent ne pas couper la courbe : c'est le cas si elles passent deux branches consécutives de la courbe, séparées par un point de discontinuité de F{x); si x- est l'abscisse d'un pareil point de discontinuité, on introduit deux points By, By sur la courbe y = F{x), d'abscisses respectives a/y-+ £ et x'j -— 'C,'C étant un nombre arbitrairement petit, positif (2). Enfin, on classe par ordre de grandeur croissante les abscisses, en nombre fini, des points A,-, By, By, comprises entre xK eta;2, ce qui définit une décomposition (a^, x\, x'„, . . ., x'n_i, x2).

Si x's et oe's+i sont les abscisses respectives, soit d'un point By et d'un point A,-, soit de deux points A,-, soit d'un point A; et d'un point By, k3 étant un entier convenablement choisi, on a, si k~^> k:i :

puis les fonctions considérées étant monotones non décroissantes :

( 1) Si la courbe y = F(x) comportait un segment d'ordonnée j' = pv), on prendrait comme point d'intersection un point unique de ce segment.

(-) On peut toujours s'arranger pour qu'il n'y ail pas de point A,- entre By et B'.-.


'■;■-" CALCUL DES PROBABILITÉS. ' 169

Dans ces conditions, la portion de l'intégrale relative aux segments de cette catégorie sera inférieure.à 2 r\{x2 — x,).

20 Si a/ , x'n1 sont les abscisses respectives d'un point B'-et-d'un point By, on a

de telle sorte que les paires de points By, B',- étant tout au plus en nombre -,

la somme des intégrales relative aux segments de cette deuxième catégorie

sera inférieure à — •

v #

Alors, en tenant compte des inégalités

Ceci établi, £ est arbitrairement petit, positif et donné. Il déterminer., etx2. Si X est fini, on peut choisir pour rj le plus petit des nombres définis par les

inégalités rj <^ r> 2T](a;2 — a?4)X<[e, de sorte que le deuxième terme du

second membre sera inférieur à t. Puis, n étant ainsi fixé, on peut choisir £

t assez petit pour que 4 7 X <^ s.

Alors, tétant supérieur au plus grand des nombres k,,, k2, k:i choisis indépendamment de x, et si | x | <^ X, on a

qui est donc arbitrairement petit, ce qui établit le théorème.


j r70 JACQUES CHAPEL0N.

y

Q. Deuxième théorème. — Soit <ok{x) l'associée de Fourier d'une fonction monotone Fk{x), bornée par o et i et telle que si k augmente indéfiniment, <Dk{x) tende vers ®{x) uniformément dans tout intervalle fini, on peut affirmer que Fk{x) tend vers F{x), fonction monotone bornée par o et i dont ©(a;) est l'associée de Fourier.

On supposera Fk{x) et F (a;) non décroissantes.

Reportons-nous à la relation (8) où on remplace f{y) par <p/.(y) et F {y) par F,,.( y) :

A cause de l'hypothèse sur la fonction ®k{y), l'intégrale du second membre de la formule (10) tend vers l'intégrale du second membre de la formule (8) quand k augmente indéfiniment. Il faut montrer que cette propriété subsiste quand N augmente indéfiniment, ou en d'autres termes que l'on peut intervenir le passage à la limite pour les nombres N et k.

Pour cela, on va montrer que la convergence est uniforme par rapport à k lorsque N augmente indéfiniment. Or, en vertu d'un théorème de Jordan ('), il suffit de montrer que Wk{v) est une fonction continue de v, uniformément par rapport à k.

Si l'on change v en v-\- Av, en tenant compte de l'expression de T/,(<'), on voit que l'accroissement de la première intégrale figurant dans celle expression est inférieure à 2 Av. De même l'accroissement de la seconde est inférieure k Av{x,-\-x.2-\-2v-\-o.Av), Donc la continuité de W,,{v) est uniforme par rapport à k et, par suite, l'intégrale de Dirichlet converge, uniformément par rapport à k, vers sa limite Wk{o),

D'ailleurs

Quand N, puis k, augmentent indéfiniment, le second membre tend vers zéro. Donc le premier membre tend aussi vers zéro, donc

( 3) C. JORDAN, Cours d*Analyse de VÉcole Polytechnique, t. II; 1-894, p. a3o^ n° 222,


CALCUL DES PROBABILITÉS. , 171

et par suite

Mais si l'on a

gifx) est une fonction à variation bornée, pour toutes valeurs bornées de.#.| et de x«, c'est que le centre d'inertie d'une portion quelconque de l'axe des x, chargé d'une distribution de masses de densité gk{x), tend vers le milieu de {xA.-,, x2) quand k augmente indéfiniment, et par suite, la fonction gj;{x) diffère peu d'une constante Ck. La grandeur de cette constante peut d'ailleurs varier avec l'indice k de telle sorte qu'il n'y ait pas délimite pour Gk, ni par suite pour gk{x). Mais, dans le cas actuel, les fonctions FkÇx) et FÇx) étant bornées par o et par i, les constantes Ck doivent lendre vers o et par suite

Plus précisément, écrivons l'intégrale de la formule (n) pour l'intervalle oeA 4-8, x., — 8 où 8 est positif et inférieur à — - • En la retranchant de l'intégrale., dé l'expression ,(i 1) et en appliquant le théorème de la moyenne on obtient:

[j., et y.., sont respectivement des valeurs moyennes de gk{x) dans les intervalles {x.t, x.)H-8), {x.2 — 8, x.f).

Or '■'" - ''■' ■ ' ! '


\*% JACQUES CHAPËLON. — CALCUL DES PROBABILITES. ]

Si donc À-est assez grand, on aura

Si alors o et n' sont donnés, arbitraires, on déterminera t de telle manière que £<C 7 f\o{x2 — x,) et on pourra donc trouver kt tel que si k^k^, on ait

Donc gk{x,) — gk{x2) tend vers zéro quand k augmente indéfiniment et cela, pour toutes valeurs finies de xf et x2.

En fixant x, et remplaçant aJ2 par x:, on voit qu'il existe un ensemble de constantes Ck tel que

Soit alors G une valeur d'accumulation de l'ensemble Ck. On peut extraire de cet ensemble une suite partielle tendant vers G. On en déduira une suite de fonctions gkÇx) tendant également vers C et donc une suite de fonctions F7l(a;) tendant vers F{x) +- C. Mais i et o étant respectivement le maximum et le minimum commun à toutes les fonctions F/f(a?) et F (a;), ceci est impossible à moins que C ne soit nul.

Donc l'ensemble Ck n'admet qu'une seule valeur d'accumulation qui est o, donc les constantes Ck ont une limite qui est o, donc les fonctions gk{x) initiales tendent vers o et par suite enfin les fonctions F,((;r) ont pour limite F(aO. ,


SUR

LES: SYSTÈMES MÉCANIQUES

. DANS LESQUELS FIGURENT : DES PARAMÈTRES FONCTIONS DU TEMPS

ETUDE DES SYSTEMES ADMETTANT n INTEGRALES PREMIÈRES UNIFORMES

EN INVOLUTION. EXTENSION A CES SYSTÈMES

DES CONDITIONS DE QUANTIFICATION DE BOHR-SOMMERFELD

PAR M< HHNRI MINEUR.. ...

Résumé.

Je considère un système mécanique à n degrés de liberté dans lequel figurent des paramètres a,, a2 ; . ., a,.. Je suppose connues un certain nombre de propriétés du mouvement, appelé mouvement élémentaire, lorsque ces paramètres sont constants. Je me propose de trouver des propriétés du mouvement, appelé mouvement varié, lorsque ces paramètres sont des fonctions données du temps. '

Ce travail comprend huit Parties :

I. J'expose dans la première Partie l'intérêt de ce problème pour l'astronomie (mécanique des masses variables, étude de l'évolution des amas d'étoiles, cosmogonie) et pour la physique (quantification des systèmes par la méthode de Bohf-Sommerfeld).

IL Dans la deuxième Partie, je mets le problème en équation par la méthode J. É.P., 3e s. (n° 2.) 23


174 HENRI MINEUR.

de la variation des constantes. On introduit ainsi de nouveaux crochets de Lagrange qui dépendent du temps. Je fais ensuite une convention relative à certaines constantes d'intégration appelées longitudes moyennes de l'époque zéro. Cette convention consiste à modifier l'expression de ces constantes dans le mouvement varié; elle permet de simplifier les équations du problème.

III. Celle partie comprend deux applications de la méthode exposée dans la deuxième Partie. La première est relative au problème de l'escarpolette, c'està-dire du pendule de longueur variable, la seconde à celui du gyroscope. J'obtiens le mouvement du gyroscope lorsque les moments d'inertie varient d'une manière quelconque.

IV. Lorsqu'on connaît une intégrale complète de l'équation de Jacobi relative au mouvement élémentaire, le système qui définit le mouvement varié prend une forme simple que j'écris.

V. J'étudie un système admettant n intégrales premières uniformes en involulion vérifiant quelques conditions très générales. Je montre qu'on peut définir n variables indépendantes telles que les coordonnées d'un point du système s'expriment au moyen de ces variables par des fonctions régulières dans tout le domaine réel et admettant n systèmes de périodes indépendantes. Dans le mouvement élémentaire ces n variables sont des fonctions linéaires du temps. Je définis ensuite n quantités analogues aux modules de périodicité, et j'introduis les variables conjuguées qui sont les plus simples permettant la représentation du système.

VI. J'étudie la variation adiabatique du système de la cinquième Partie. Je montre que les modules de périodicité définis dans la cinquième Partie sont des invariants adiabatiques et j'écris les formules qui définissent les longitudes moyennes de l'époque zéro des variables conjuguées. Je montre dans quelle mesure il y a théorème de l'état initial et de l'état final. Je montre enfin que l'on peut quantifier le système en égalant les modules de périodicité à des nombres entiers multipliés par une constante.

VIL J'applique les résultats des parties précédentes à la variation adiabatique d'un système à variables séparées. Je retrouve les n invariants adiabatiques de Burgers, je trouve en outre que les longitudes moyennes de l'époque zéro des variables conjuguées sont constantes dans ce cas particulier.

VIII. J'étudie le cas d'un système où quelques variables sont ignorées.


SUR LES SYSTEMES MECANIQUES. 170

I. — Intérêt du problème.

Origine du problème. — La théorie des quanta, apparue il y a un peu plus de vingt ans, a posé à la mécanique analytique diverses questions relatives aux systènies dans lesquels figurent des paramètres variant lentement avec le temps ou, suivant le langage consacré, variant adiabatiquement.

Il s'agissait alors de trouver certaines intégrales premières de ces mouvements, appelées invariants adiabatiques; pour quantifier un système, on doit en effet identifier certaines fonctions I des éléments qui définissent son mouvement à TS'%, N étant un entier et A la constante de Planck. Pour une variation adiabatique des paramètres qui figurent dans le problème, le système doit rester quantifié et l'on doit toujours avoir

I = NA,

le nombre entier N ne peut éprouver de variation infiniment petite, c'est donc une constante. Il résulte de là que I doit être un invariant adiabatique.

Les I doivent être soumis à une condition supplémentaire : l'ensemble des relations telles que I —. NA doit être invariant, c'est-à-dire que, si le processus qui conduit a la formation des I permet de former pour le même système d'autres invariants adiabatiques l'les relations

I=N/i et

r=N7t,

où les N et les N'sont des entiers, doivent être équivalentes.

Travaux antérieurs. — Au sujet des invariants adiabatiques on connaît trois résultats principaux :

Le théorème de Gibbs Heftz ( 1) d'après lequel le volume intérieur à la

surface

H = const.

dans l'espace de phases est un invariant adiabatique, H désignant la fonction

(0 WEBER, Gans Reperlorium der Physik, Leipzig, Teubner, 1916, fid I, n° 270, p. 535.

: ' ■ ■• - ... ■"..'-, ■ . :.'.,' , -23:.'.,


176 : HENRI MINEUR.

hamillonienne, lorsque l'intégrale précédente est la seule intégrale première uniforme.

20 Le théorème de Burgers (1), d'après lequel dans un système à variables séparées les modules de périodicité

(ppidqi

sont des invariants adiabatiques pouvant être utilisés pour la quantification du système.

3° Le théorème de Levi-Civila (2), d'après lequel, lorsque le mouvement élémentaire admet, outre H = const., mintégrales premières uniformes en involutionj on peut former m-^-i invariants adiabatiques, Levi-Givita a montré que son théorème se réduit à celui de Gibbs Hertz lorsque m est nul et à celui de Burgers lorsque m est égal au nombre de degrés de liberté du système et lorsque ce dernier est à variables séparées.

Le théorème de Levi-Civila ne permet pas cependant de quantifier les systèmes auxquels il s'applique, car Levi-Givita n'a établi l'existence d'invariants adiabatiques que sous certaines conditions difficiles à vérifier, de plus il n'a pu former ces invariants et n'a pas défini des invariants qui égalés à un nombre entier de fois la constante de Plank donnent des relations invariantes.

Questions nouvelles. — En pratique la physique n'a utilisé que le théorème de Burgers pour écrire les conditions de quantification de Sommerfeld. Depuis près de dix ans l'intérêt des invariants adiabatiques diminue de plus en plus en physique quantique car on a reconnu que les conditions de quantification de Sommerfeld ne constituaient qu'une approximation, et la mécanique ondulatoire s'est substituée d'une manière de plus en plus complète à 1'ancienïie théorie des quanta. Cette dernière n'est appliquée désormais qu'à des cas de plus en plus rares ;

Cependant il reste intéressant dans un grand nombre de problèmes où les variables ne sont pas séparées de pouvoir écrire des conditions de quantification analogues à celles de Sommerfeld; cela arrivera dans les cas oùil'on ne pourra intégrer les équations de la mécanique ondulatoire.

(0 BuiiGiïits, Àilfi. der Physik, vol., 52, igi^etYERSL, Àkad.v. Weie/isk,, Amsterdam, 1916 et 1917.

( 2) T. LEVI-GIVITA, Sugii invarianti adiabatici (Estrallo dagli atti del Congresso inlërnazionale dei Fisici, Côme, sept. 1927, V.). ..


SUR LES SYSTÈMES MECANIQUES. I.77

Mais dépuis quelques années l'étude des systèmes où figurent des paramètres variables apparaît comme de plus en plus nécessaire à la résolution de problèmes posés par l'Astronomie.

Le premier de ces problèmes est l'étude de la mécanique des masses variables"Ç*)-, mécanique qui doit être celle des étoiles; j'ai à ce propos utilisé une méthode dont on trouvera la généralisation au début de ce travail;

D'autres problèmes relatifs aux cordes vibrantes, au mouvement du gyroscope^ âù mouvement de rotation de deux planètes ont été étudiés par Krail (2).

Enfin récemment Bart J. Bok (3), a tenté d'étudier le mouvement d'un amas d'étoiles sous l'influence de son champ de gravitation propre et de celui de la Voie Lactée, et sous l'influence des passages d'étoiles;

Dans ces études, exception faite de la mécanique des masses variables, les auteurs ont appliqué les résultats connus relatifs aux invariants adiabatiques; cette méthode ne donne que des renseignements sur l'évolution du système, mais ne permet pas de fixer exactement celle évolution. De plus dans son travail, B, J.'Bok'a reconnu {loc-. cit. p. 28) que la méthode des invariants adiabatiques était inapplicable au cas qu'il étudiait.

On devait s'y attendre en effet car, même dans le cas le plus favorable, celui où le théorème de Burgers est applicable, les invariants adiabatiques connus sont au nombre de n, alors que le mouvement élémentaire du système est défini par 271 quantités.

De plus là théorie dès invariants adiabatiques ne s'applique qu'aux systèmes dans lesquels les pàfàmètres varient lentement. Dans diverses applications, en particulier dans l'étude du mouvement dé la terre autour âb son centre dé

(0 HENUI MINEUR, La mécanique des masses variables. Le problème dès deux corps {Annales de VEcole normale Supérieure, 3e série, vol. V, p. 1, janvier ig33).

( 2) KÉALL, Trasformazioni adiabatiche nei sisïemi vibranti nell inlormo di con/igurasioni stabili di equilibrio {Rêndic. dei IÂncéi, vol. X1IÏ, série 6, fasc. \% juin ig3i); lÎRkmifJinvariante adiabaiico nêl moto lîbero dei giroscopi {Rêndic. dei Liiicei, vol. XIV, p.: 179, août ig3i); KRALL, Tnfluenze adiabatiche délié marée nel moto kepleriano dî due 'àorpi cetësli girôscopi '{Rêndic. dei Liiicei, vol. XIV, fasc. 56, sept. ig3i); KitALLj Ihtohio églièffetCi mihtotici délie marée sût nïolo dei cor pi celesli (Rendie. dei Lùicèi, vol. XV, fasc. 3; février, xg32 et vol. XV, fasc, 5, niars 1932); KRAEI;, Mêle lontane dei moto di un sistema planetario {Rêndic. dei Lincéi, vol. XV, fasc. 6, avril 1932).

(0 fi. J. BOK, The siubûity vf mo'vihg cïusters {Harvard Collège Qbsërvalôry CirSuliïrs, ■ri? 384; p; ï$ févi\ ig34);


178 HENRI MINEUR.

gravité, on semble se trouver en présence de variations brusques des paramètres, ou tout au moins de variations qu'on ne peut plus considérer comme lentes vis-à-vis du mouvement du système.

Enfin les physiciens n'ont pu encore quantifier selon les principes de BohrSommerfeld que les systèmes à variables séparées, les autres systèmes échappaient à cette méthode. Il était intéressant de combler ce vide laissé derrière elle par la Physique dans sa marche en avant.

C'est pour ces raisons, que j'ai étudié le mouvement des systèmes où figurent des paramètres variables. Le présent travail est une première étude de la question, suivi d'une application ; j'appliquerai par la suite ces méthodes aux problèmes que posent la Physique et l'Astronomie.

II. — Méthode de la variation des constantes.

Position du problème. — Considérons un système mécanique holonpme dont les liaisons sont indépendantes du temps, soient qh, q2, . . ., qn les coordonnées qui définissent le système elp^,p2, .. .,phles moments conjugués correspondants, en sorte que le mouvement du système est défini par les équations :

H, fonction de Hamilton, est une fonction des qt, desp;, et d'un certain nombre de paramètres a^,a2, . . ., ar, intervenant dans le système (1), comme des données du problème (masses des corps, données numériques relatives aux liaisons, coefficients intervenant dans l'expression des forces). Nous appellerons mouvement élémentaire le mouvement du système lorsque les a; sont considérés comme constants. Soit

les formules qui définissent l'intégrale générale du système (1), c'est-à-dire le mouvement élémentaire du système; les coordonnées qc et les moments pi sont en effet fonctions du temps t, des constantes a et de in constantes d'intégration que désignons par a{, <x2, . . ., a2„.

Nous nous proposons de trouver le mouvement du même système lorsque les données al5 a2, . . ., a,, sont variables. Il peut arriver que le système soit


SUR LES SYSTÈMES MÉCANIQUES. 1 79

soumis à des forces perturbatrices supplémentaires en sorte que le système à intégrer s'écrit

On considère cette fois aK,a2, . .., aT comme des fonctions données du temps, Xj, X2, ... ,'Xj,; Yt-'f Y2:, . . ., Y»"sont des fonctions des qv, q2, .. . ;, q„; jjf,p2 . . ., p„ ; aA, a2, -.-.., a,., intervenant comme termes corfectifs.

Mise en équation. — Pour cela représentons les 271 quantités qA, q2, . . ., qn; pi, . . ..pn au moyen des formules (2), où a,,, a2, . .., a2n sont des fonctions du temps que nous prenons comme nouvelles inconnues.

Ce procédé n'est autre que la méthode classique de la variation des constantes appliquée au cas actuel.

Les inconnues nouvelles a,, . . ., a2„. vérifient le système

Avec nos nouvelles notations, on a

en sorte que le système (4) s'écrit

. Multiplions la première équation du système (5) par — -/-^ la seconde par -f- -T^-> faisons la somme des deux équations ainsi obtenues, et la somme


l8o HENRI MINEUR. ' : " : ' ' ;'

par rapport à i du résultat, on obtient :

Ry a pour expression :

On pose comme d'ordinaire :

Ce sont les crochets classiques de Lagrange, les crochets nouveaux [aytf,] sont définis par la même formule (8), où l'on remplace a/, par as. Nous poserons parfois pour la symétrie des notations :

en sorte que les équations (6) peuvent s'écrire :

Les 27i équations du système (6) résolues par rapport à —ffi —ffi ■ ■•> —j-n ■>

donnent les expressions de ces quantités en fonction des a4, a2, . . ., ou,,,.

da. dar -n -r» i

T?,, a2, ...,a,., -jy-, ■■■, -jy-, R,, . . . ,Rnet de t.

L'intégration de ce système donne le mouvement cherché, on devra dans la plupart des cas se contenler de l'approximation qui consiste à remplacer dans

les expressions des —jf les a par des constantes et les as, -^4 el Ry par leurs

expressions connues en.fonction du temps. On a ainsi des valeurs de première approximation des a par de simples quadratures.

Dérivées des anciens et nouveaux crochets de Lagrange par rapport au temps. — Il est bien connu que les crochets :


SUR LES SYSTEMES MECANIQUES. T g r

sont indépendants du temps, il n'en n'est pas de même des [ocyoj. Pour le montrer, employons la notation suivante : soit F{t, q, p, a) une fonction quelconque des t, des q-t, des pt et des as; si l'on remplace dans cette fonction les qL et les pi par les expressions (2), on obtient une fonction de l, des <y.k et des as que nous désignerons par F,, {t, a, a). Un calcul simple montre que :

ou en tenant compte des équations (1) :

La quantité (-5—) n'est pas nulle, car s'il en était ainsi as ne serait pas un

paramètre du système. En général cette quantité dépend des a et les [a,-, o,] dépendent du temps.

Définition nouvelle des longitudes moyennes de l'époque zéro. — Presque toujours en procédant à l'inlégralion du système (6) par approximations on se heurtera à la difficulté suivante :

II arrive souvent que les qt et les p* sont des fonctions d'une des constantes d'intégration, de oc, par exemple, de la forme

n'intervenant pas dans les expressions des q; et p(, autrement que. paf l'intermédiaire de cette quantité vl + a,.

J.'É. P., 3e s. (n°2.) 24


]Q2 ' HENRI MINEUR.

Dans ce cas

est appelée une longitude ou une longitude moyenne, v est son moyen mouvement et a, est la longitude moyenne de l'époque zéro.

En général, v dépend des autres constantes d'intégration et des as; supposons pour simplifier l'écriture que v ne dépende que de <z2 et de a,, et que ces deux quantités n'interviennent dans aucun autre moyen mouvement.

Les qi etpi se présenteront donc sous la forme

Désignons par ( -p j et ( -p- j les dérivées partielles de la fonction précédente

par rapport à a3 et a{, prises comme si v ne dépendait pas de ces quantités, ce sont en somme les dérivées par rapport au second et au troisième argumentDésignons

argumentDésignons -p et -p- au contraire les dérivées partielles de / par rapport

aux variables <z2 et a, au sens ordinaire. Remarquons que la dérivée partielle

de/par rapport à l'argument v£+ oc, s'écrit : -J-- On constate avec ces notations que

On voit d'après ces formules que les [a,, af\ et les Ry contiendront des termes en t qui par intégration donneront des termes en t2 dès la première approximation, ces termes rendront très mal commode l'approximation obtenue.

On évite ces termes en remplaçant la longitude moyenne de l'époque zéro oc, par une nouvelle quantité <y.\ définie par l'équation

ou si l'on préfère par

On voit immédiatement l'avantage-de l'introduction de cette nouvelle quantité : dans l'expression de la longitude l au moyen de a', on tient compte à


SUR LES SYSTÈMES MÉCANIQUES. .' l83

l'avancé de la variation du moyen mouvement due aux variations de a2 et

de aK, puisque le terme en t de / sera non plus vt mais / v dt, on conçoit que la

variation de a\ soit plus faible que celle de oc, puisque le terme principal de cette variation se trouve incorporé dans le premier terme de /.

Cherchons quelle forme prennent les équations (5) lorsqu'on y introduit la

nouvelle variable a\. Pour introduire a'( il suffit de remplacer —^ par

L'équation

devient par exemple en remplaçant en même temps -p 1 et -p^ par leurs expressions

e'est-à-dire

C'est l'équation primitive où l'on aurait remplacé -p par (:p0 et -p par [^Vj et a, par a\.

On établirait un résultat identique pour l'équation relative à/?,-.

Nous arrivons donc au résultat suivant : La forme des équations (5) et par. conséquent aussi celle des équations (6), reste la même si l'on fait les deux conventions suivantes :

Convention I. — Dans les calculs on considérera les moyens mouvements comme indépendants des constantes d'intégration a et des paramètres a.

Convention II. — Toute longitude moyenne de l'époque zéro, telle que oc, sera remplacée par une nouvelle longitude moyenne a\ définie par


184 BTENRI MINEUR. -,....

Dans les applications, on procédera ainsi :

On applique la méthode de la variation des éléments en tenant compte de la convention 1. Une fois obtenues les variations des éléments, le mouvement s'obtient en remplaçant dans les équations du mouvement élémentaire les éléments par leurs valeurs variables et les longitudes par les expressions telles que

Remarque. — La démonstration précédente peut se faire sur les équations (6) en remarquant que

En particulier on a •

Le calcul montre également que

III. — Applications.

Problème de l'escarpolette. — Ce problème est un cas particulier du mouvement d'un pendule de longueur variable.

Soit un pendule simple de longueur l, de masse 7?z, et soit g l'accélération de la pesanteur, bornons-nous aux petites oscillations. La fonction hamiltonienne est

En posant q = 0, on a

et le mouvement est défini par la formule

où v = i -. et où A et E sont deux constantes.


SUR LES SYSTÈMES MÉCANIQUES. ' 1 85

Ecrivons les équations du mouvement élémentaire au moyen des variables canoniques

le calcul des trois crochets ne présente pas de difficulté

Les équations qui définissent les variations de A et de s en fonction de celles de /sont

On voit que si la variation de l est adiabatique on a

c est-à-dire

e = const., A' 1 1'= const.,

on retrouve le résultat donné pour la première fois par Einstein.

Le problème de l'escarpolette est le suivant :

Un homme placé sur une escarpolette s'accroupit et se relève périodiquement à chaque oscillation de manière à augmenter et à diminuer la longueur du pendule simple synchronie de l'escarpolette; s'il effectue convenablement cette variation de la longueur du pendule il parvient à augmenter ou à diminuer l'amplitude de son oscillation.

La yariation de /ayant pour période — posons

On obtient A par une intégration simple, A se présente sous forme de la somme d'un terme séculaire et de termes périodiques; laissons ces derniers, il


186 HENRI MINEUR. • .- ' î i

ne reste aue

Nous supposerons tous les a et [3 nuls sauf (32 ; on a donc

Supposons 82 assez petit et bornons-nous à l'approximation suivante

on aura pour A

si / est négatif A croît exponentiellement et à chaque oscillation double A est multiplié par le facteur

en posant ^ = — /,p>o

Adoptons par exemple les chiffres suivants qui sont d'un ordre de grandeur convenable

Nous avons résumé les circonstances de variation de l dans le Tableau ci-dessous relatif à une demi-oscillation

v*. . o. |- f- Ç- ■■■*..-■.

o A °

6 (position (élongation (position

d'équilibre) maximum) d'équilibre)

i dl

idl ~ ° H" q " -


SUR LES SYSTÈMES MÉCANIQUES. 187

Ainsi, pour augmenter l'amplitude de l'oscillation il faut raccourcir le pendule lorsqu'il s'éloigne de la position d'équilibre et l'allonger quand il s'en rapproche, l'allongement et le rétrécissement maximums ayant lieu à l'instant médian entre le moment du passage à la position d'équilibre et celui du passage à l'élongation maximum.

On voit que si l'on adopte pour j y l'expression (32cos2(vif-f- E), e ne contient que des termes périodiques

On se rappelle que la phase vt-}- t doit être prise en réalité égale à

c'est-à-dire à

ou en se limitant à l'approximation déjà faile

c'est-à-dire en posant v0 = 2 ri t/p

Il est facile de traiter le cas où /, étant positif l'oscillation de l'escarpolette diminue.

Application au mouvement de gyroscope soumis à une variation quelconque. — Nous rapporterons le mouvement du corps solide à trois axes oE, r\, 'Ç- On sait que pendant le mouvement (si les paramètres du corps restent constants) le vecteur-moment des quantités de mouvement du corps reste fixe, nous considérerons un système d'axes auxiliaire o|, Y), Ç, dont le dernier o'Ç, coïncide avec la direction du moment des quantités de mouvement, oS, étant dans le plan o£r\.

Soient oxyz des axes liés au corps solide et coïncidant avec les axes de l'ellipsoïde d'inertie, les moments d'inertie par rapport à ox et oy ayant la même valeur A et le moment par rapport à os ayant pour valeur C.


188 HENRI MINEUR. . ' . '.''''

La position du système oEiri\'Cl par rapport à oEr{C, est entièrement définie par la longitude /et latitude b de l'axe o'C,,, les angles d'Euler du premier système par rapport au second étant

Soient d^;p,,Q, les angles d'Euler qui définissent la position de oxyz par fapport à oEx, Y),, t, et <1>, <p, 6 les angles d'Euler qui définissent la position de oxyz par rapport à o'E, Y], t.

Le mouvement élémentaire est facile à obtenir si on le rapporte à o'Et, Y],, '(,. Soient p, q, r les composantes de la rotation instantanée suivant oxyz; la troisième équation d'Eulef donne

Désignons par 777 le vecteur-somme des quantités de mouvement, en égalant les deux expressions des composantes de ce vecteur suivant ox, oy, oz, on a

On a donc

Q„ étant une constante et

On a d'aulfe part

on en déduit

Les angles d'Euler d;,, s,, 0, de oays par rapport à o|,, Y]M '(, sont donG


SUR LES SYSTÈMES MÉGANIQUES. 1 8g

définis par

tb0, çp0, 90 étant trois constantes.

Ce mouvement est facilement représentable : le gyroscope tourne autour de son axe oz avec la vitesse angulaire TOGOSO,0 p,f- et en même temps est

animé de la précession de vitesse angulaire -r- autour de o'Ç,.

Gomme nous allons étudier les variations de ce mouvement élémentaire, il faut le rapporter aux axes fixes o£, YJ, car a priori les axeso^,, Y],, 'C, pourraient être mobiles au cours d'une variation adiabatique.

Les angles 4*1) <?i et G.i étant définis en fonction de t, m, 90, çp0, d»0, A, G, par les formules (10) les angles d;, <p, 0 s'obtiennent par les formules de trigonométrie sphérique faciles à établir

Le calcul des moments conjugués de dy, cp, G ne présente pas de difficultés

La rotation instantanée du gyroscope peut elfe définie par deux systèmes de composantes :

Premier système : d/, suivant ots; çp', suivant oz; 0'^ suivant l'intersection

de xoy et E, OYJ,. Deuxième système : d/ suivant o£; a' suivant os; 6' suivant l'intersection

de xoy et IOYJ. ; , ..-..,

/. É.P., 3cs.(n°2.) , . 25


igo HENRI MINEUR.

En identifiant ces deux systèmes de composantes on en déduit d/, ©' et 9' en fonction de

puis en portant ces valeurs dans les formules qui donnentp.b, po siphon obtient les valeurs de ces quantités

En résumé les coordonnées d/, <p, G du système et les moments correspondants sont définis en fonction du temps t et des six constantes

77?, 7, b,

Y'OJ <?o, 0„,

par les formules (10), (11) et (12).

Cherchons la variation du gyroscope par la méthode exposée dans la deuxième Partie en supposant A et G variables. Il est inutile de faire le calcul.

Remarquons en effet que A et C n'interviennent dans les expressions des coordonnées et de leurs moments que par l'intermédiaire des moyens mouvements -r- et 77z cosQ0 pv- de dy, et <p, et que les longitudes moyennes de

l'époque zéro correspondantes dy0 et çp0, n'interviennent que comme termes additifs à d/, et ©,. Si donc on applique au calcul la convention de la deuxième Partie, on obtient zéro pour dérivées des ©, dy, Q,p9,pi, etp0 par rapport à A et G et les nouveaux crochets de Lagrange tels que [ç>, A]. .. sont nuls identiquement. Les équations (6) donnent donc

Géométriquement cela se traduit ainsi :

Le vecteur-sommé des moments des quantités de mouvement reste constant, o'Ç, est fixe, 777 est constant (ceci pouvait se prévoir, les variations de A et C conservant au gyroscope ses symétries).

L'angle 90 de l'axe oz du gyroscope avec l'axe de précession o£, reste cons-


SUR LES SYSTÈMES MÉCANIQUES. IQ I

tant et les angles de rotation Q autour de oz et de précession dy autour de o'C, sont donnés par

À et C étant des fonctions données du temps et <p0 et dy0 des constantes.

Il importe de remarquer que ce résultat est vrai pour une variation quelconque de A et C même non adiabatique.

(A suivre)



Journal de l'École Polytechnique. — l'B Série. 6:, Cahiers in-4°, avec une Table des matières contenues dans les 64 Gabiers ; 1794-1894. • Rare

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