Né la critica profondit dei principi puù nui nuocere alla solidità deU'edincio scientifico, quando pure non conduca a scoprirne e riconoscerne meglio le basi verc e propric. Mossi da questi intendimenti noi abbiamo cercato, pef qu:uuo le nostre forxe !o consMttvano, di dar ragione a noi stessi dci risuitati a cui conduce la dottrina di LoBATSCHBWSKï; e, seguendo un processo che ci ~mbra in cmto conforme a!te buone trudixioni della ricerca scientifica, abbiamo tentato di trovarc un substrato f~!e a quella dottrina, prima di ammettere per essa la nécessita di un nuovo ordine di enti e di concetti. Crediamo d'aver raggiunto questo intento pet la parte phnintetrica di quella dottrina, ma crediamo impossibite di raggiungerlo in quanto al rtiiitu.
Il presente scritto è destinato principatmenM a svolgere la printa di queste tesi; della seconda non diremo che un cenno sommario alla nne, solo perche si possa più rettamente giudicare del significato inerente alla proposta interpetraaone. Per non interrompere troppo spesso la nostra esposizione, abbiamo rimandato a note speciali, poste in fine, le dicbiaLrazioni relative a certi risultati anatitici sui quali dobbiamo appoggiarci.
Il criterio fondamentale di dimostrazione della geometria elementare È la suvrapponibilità delle Jf~MM ~«aH.
Questo criterio non è applicabile sohanto al piano, ma a tutte quelle superficie su cui possono esistere figure eguali in differenti posizioni, cioè a tutte quelle superficie di cui una porzione qualunque puù essere adagiata esattamente, per via di semplice flessione, sopra una qualunque attra porzione della superficie stessa. Ognun vede infatti che la rigidezza delle superficie sulle quali le figure si concepiscono non c una condizione essenziale dell'applicazione di quel criterio, tatche p. es. non nuocerebbe all'esattezza deUe dimostrazioni della geometria piana euclidea il concepirnc le figure come esistenti sulla superficie di un citindro o di un cono, anzichè su quella di un piano.
Le superficie per le quali si awera incoudizionatamente la proprieta anzidetta sono, in virtù di un celebre teorema di GAUss, tutte quelle che hanno costante in ogni punto il prodotto dei due raggi di curvatura principale, ossia tutte quelle la cui curvatura sferica e costante. Le altre superficie non ammettono l'applicazione incondizionata del principio di sovrapposizione al confronto delle figure tracciate sovr'esse, e quindi queste figure non possono avere una struttura anatto indipendcntc dalla loro posizione. L'elemento più essenziale delle figure e delle costruzioni della gcomctria etementare è la linea retta. Il carattere specifico di questa è d'essere comptetamente determinata da due soli dei suoi punti, takhè due rette non possono passare per due dati punti dello spazio senza coincidere in tutta la loro estensione. Pcrù nella geometria piana questo