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Titre : Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Tomo 1 / publicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma...

Auteur : Beltrami, Eugenio (1835-1900). Auteur du texte

Éditeur : U. Hoepli (Milano)

Date d'édition : 1902-1920

Contributeur : Tonelli, Alberto. Préfacier

Notice d'ensemble : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb317908641

Type : monographie imprimée

Langue : italien

Format : 4 vol. ; in-4

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Description : Collection numérique : Originaux conservés à la Bibliothèque de l'École polytechnique

Droits : Consultable en ligne

Droits : Public domain

Identifiant : ark:/12148/bpt6k99432q

Source : Bibliothèque de l'Ecole polytechnique, A1B 194(1)

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 15/10/2007

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~+ G+ -=- ~+ ~G-~ Dunque t'equazione dei piano corrispondente al piano focate del punto («', p', r'), la quale sarebbe

~.e~

~N+~P+-6+-~r~-o,

equivale alla (13), che rappresenta appunto il piano focale del punto (n, p, r). Poichè ta relazione sussisiente fra i ptani (t3) e (14) è, rispetto alla cubica, di natura reciproca, riesce manifesto a priori che le propEieta potari testé riconosciute in essi relativamente aU'tperbotoide H = o, che corrisponde at fuoco del primo, devono vcnHcarsi eziandio rispetto a quelfaltro iperboloide H* = o, che corrisponde al fuoco del seconde, cioè che contiene le tre tangenti della cubica nei puna comuni a questa ed al secondo piano. Dunque il punto (f< ~,f) col piano (13), ed il punto (H')', ~r') col piano (14), formano due sistcmi reciproci tanto rispetto alla cubica, quanto rispetto alla sua sviluppabile osculatrice, quanto rispetto ai due iperboloidi menzionati. Esaminando le formole date dal prof. CREMOUA nell'art. j; delle sue ricerche &<~e ~M<!e del ~~orJtM a doppia c<(fM<t<M *), si vede che i due piani (ij) e (14) sono fra loro c<M~«<M<< rispetto alla cubica; laonde, combinando le proprietà ritrovate dal medesimo autore con quelle che risultano da quanto precede, si giunge a nuove pro. prieta delle figure congiunte (fra le quali figure si potrebbero annoverare anche i due iperboloidi teste considerati).

Per esempio, si puô osservare che, siccome la conica secondo cui un piano oscu!atore ë segato dalla sviluppabile osculatrice passa per il punto di osculazione ed ha ivi la stessa tangente della cubica, cosi i tre poli di un piano qualunque rispetto alle co* niche esistenti nei piani osculatori dei suoi tre punti d'intersezione colla cubica, sono i punti d'incontro delle tangenti alla cubica in questi stessi punti col piano congiunto al dato. Questi poli esistono dunque sui lati del triangolo secondo cui il piano congiunto è segato dai piani osculatori passant! per il fuoco del piano primitivo. Ma, per un teorema del signor CREMO~A, la conica congiunta deve toccare in questi punti i tatt deI detto triangolo dunque essa coincide colla conica secondo cui il piano congiunto sega riperboloide corrispondente al fuoco del piano primidvo, conica che vedemmo giâ essere inscritta in quel triangolo. Si ha quindi il teorema la <:<'M)'c<t <:c~)«M<<! ad «M dato piano

*) AnM)! di Matemadea pum ed applicata, t. Il ('8~), pag. t:.