Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio

Search module

Search results

introductio in analysin infinitorum: 280 pages found

p.NP (4)
LEONHARDI EULERI OPERA OMNIA SUB AUSPICIIS SOCÎETATIS SCIENTIAKUM NATURALIUM HELVETICAE EDENDA CURAVERUNT F. RUDIO • A. KRAZER • A. SPEISER • L. Œ DU PASQUIER SERIES I OPERA MATHEMATICA VOLUMEN VIII LEONHARDÏ EULERI INTEOPUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM TOMUS PRIMUS EDIDERUNT ADOLF KRAZER

p.IV (1)
LEONHARDI EULERI OPERA OMNIA SOCIETATIS SCIENTIARUM NATURALIUM HELVETICAE SUB AUSPICIIS EDENDA CURAVERUNT FERDINAND RUDIO ADOLF KRAZER ANDREAS SPEISER LOUIS GUSTAVE DU PASQUIER SERIES PRIMA OPERA MATHEMATICA VOLUMEN OCTAVUM m m LIPSIAE ET BEROLINI TYPIS ET IN AEDIBUS B.G.TEUBNERI MCMXXII

p.V (5)
LEONHARDI ETJLERI INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM TOMUS PRIMUS ADIECTA EST EULERI EFFIGIES AD IMAGINEM AB E. HANDMANN PICTAM EXPRESSA EDIDERUNT ADOLF KRAZER ET FERDINAND RUDIO m LIPSIAE ET BEROLINI TYPIS ET IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI MCMXXII

p.VII (14)
VORWORT DER HERAUSGEBER Viel spater, als ursprimglich erwartet war, erscheint nun auch die Introductio, wenigstens in ihrem ersten Teile, in der Reihe der Opera omnia EULERS.. Die Zeitverhâltnisse haben die Verspâtung verschuldet; sie haben namentlich veranlafit, daB an Stelle des im

p.VIII (17)
, vorhergehen mûBten, und aus denselben ist dieses Werk als prodromus ad analysin infinitorum entstanden." Auf den Inhalt der Introductio an dieser Stelle naher einzutreten, kônnen wir füglich unterlassen. Eine Ùbersicht4) hat EULER selber in seiner Praefatio gegeben. Wir verweisen auf diese und das darauf

p.IX (16)
aufgenommen worden sind.1) Eine genauere Vergleichung zeigt jedoch, daB diese Abhandlungen mit ihrem verhâltnismâfîig eng umschriebenen Inhalt doch zu wenig Berührungspunkte mit der so viele grundlegende Untersuchungen der verschiedensten Art umspannenden Introductio besitzen, als daB sie ernstlich in

p.X (4)
X VORWORT DER HERAUSGEBER Bei dem reichen Inhalt der Introductio ist es selbstverstândlieh, dafi das Werk mannigfache Berührungspunkte mit anderen Arbeiten EULERS aufweist. Wir haben uns bemüht, in zahlreichen Anmerkungen den wi^nschenswerten Zusammenhang herzustellen, haben aber auch darüber

p.NP (8)
BIBLIOGRAPHIE Introductio in analysin infinitorum. Auctore LEONHARDO Eulero, professore regio Berolinensi, et academiae imperialis scientiarum Petropolitanae socio. Tomus primus, Stich + Portrat (MAIRAN) + (2) + XVI + SW S. +1 Tabelle. Tomus secundus, (2) + 398 + (1) S. + 40 Tafeln. Lausannae, apud

p.NP (3)
IN ANALYSIN INFINITORUM TOMUS PRIMUS INTEODUCTIO

p.1 (3)
INTRODUCTIO IN ANAL T S I N INFINITORUM. A V C T 0 R E LEONHARDO EULERO, Profijfore Regio Berolinensi,^ JcademU Im~ perialù Scknîiarum pETROPOLïTANiB Socio* TOMUS PRIMUS. LAUSANNE, Apud Marcum-Michaïiem Bouscluet & Sodos. MDCCXLVIIL

p.3 (1)
ILLUSTR1SS1M0 FIRO JOHANNI JACOBO DORTOUS DE MAIRAN, UNI EX XLVIRIS ACADEMIE GALLIC.E, REGIil ETIAM SCIENTIARUM PARISIEN SI S, IN QVA SECKETAKII tEBJETUI MUNUS NVPEU. ABDICAV1T,

p.5 (3)
VIR ILLUSTRISSIME Patronos Euleriàno scripto quaerere necesse neutiquam esse Mathematicarum Disciplinarum cultoribus satis constat. Sciunt utique illi varias earum partes novis eum lùminibus sic illustrasse, ut inde merito clarissimi rerum in his abstrusissimarum interpretis locum sit consequutus

p.6 (4)
6 EPISTOLA DEDICATORIA [IV-VI Paratum promtumque semper iuvandis litterarum studiis qui Te novit, et notus vel hoc nomine es cuicumque in Republica doctorum Europae totius non hospiti, plurimis officiis meae etiam conditionis homines a Te affectos fuisse statuat necesse est. Nempe, tanquam Tibi uni

p.7 (16)
tractantur, quo facilius deinceps utriusque methodi summus consensus eluceat. Divisi hoc opus in duos libros, in quorum priori, quae ad meram Analysin pertinent, sum complexus; in posteriori vero, quae ex Geometria sunt scitu necessaria, explicavi, quoniam Analysis infinitorum ita quoque tradi

p.8 (17)
8 PRAEFATIO [Vin– X In primo igitur libro, cum universa Analysis infinitorum circa quantitates variabiles earumque functiones versetur, hoc argumentum de functionibus inprimis fusius exposui atque functionum tam transformationem quam resolutionem et evolutionem per series infinitas demonstravi

p.9 (19)
X– XI] 1 PRAEFATIO 9 LEONHARDI Euleki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 2 1) jueoneardt EULERI upera omma, séries 1, vol. y. A. K. quantitates algebraicae tractari possent. Quantum autem hinc utilitatis ad resolutionem difficillimarum quaestionum redundet, cum nonnulla capita huius

p.10 (17)
. Denique adiunxi aliquot capita, in quibus lineas curvas, quae datis proprietatibus gaudeant, invenire docui pluraque tandem problemata circa singulares circuli sectiones soluta dedi. Quae cum sint ea ex Geometria, quae ad Analysin infinitorum addiscendam maximum adminiculum afferre videntur

p.11 (2)
XIII] PRAEFATIO XI superficierum; quae cum plerumque sint curvae non in eodem piano sitae, quemadmodum aequationibus comprehendi queant, monstravi. Tandem etiam positionem planorum tangentium atque rectarum, quae ad superficies sint normales, determinavi. De cetero, cum non paucae res hic occurrant

p.13 (3)
INDEX CAPITUM TOMI PRIMI pag. Caput I. De functionibus in genere 17 Caput II. De transformatione functionum 32 Caput III. De transformatione functionum per substitutionem 59 Caput IV. De explicatione functionum per series infinitas 74 Caput V. De functionibus duarum pluriumve variabilium 91 Caput

p.15 (5)
INTRODUCTIO I N ANALYSIN INFINITORUM. LIBER PRIMUS, Continens Explïcationem de Fun&ionibus quantitatum va.riabilium earum refolutione in Faftores, at.que evolutionc per Series infiniras una cum doârrina de Logarithmis, Arcubus circularibus, eorumque Sinubus & Tangentibus; pluribuf. que aliis rebus

p.17 (8)
variabiles per litteras alphabeti postremas si, y, x etc. repraesentari soient. LEONHARDI EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 3

p.18 (2)
omnes valores determinati eius loco fuerint substituti. Quantitas ergo variabilis in se complectitur omnes prorsus numeros, tam affirmativos quam negativos, tam integros quam fractos, tam rationales quam irrationales et transcendentes. Quin etiam cyphra -et numeri imaginarii a significatu

p.19 (4)
53 DE FUNCTIONIBITS IN GENERE ^9 qua,e, etsi speciem functionis mentiuntur, tamen revera sunt quantitates constantes. 6. Praecipuum functionum discrimen in modo compositionis, quo ex quantitate varidbili et quantitatibus constantibus formantur, positum est. Pendet ergo ab operationibus, quibus

p.20 (4)
functionibus algebraicis annumerari iure possint necne; quin etiam potestates ipsius z, quarum exponentes sint numeri irrationales, uti zv\ nonnulli maluerunt functiones interscendentes quam algebraicas appellare.2) 8. Functiones algebraicae subdividuntur in rationales et irrationales; illae sunt

p.21 (9)
6-7] DE FUNCTIONIBUS IN GENERE 21 functiones rationales ipsius z. At huiusmodi expressiones erunt functiones irrationales ipsius z. Mae commode distinguuntur in explicitas et implicitas. Explicitae sunt, quae per signa radicalia sunt evolutae, cuiusmodi exempla modo sunt data. Implicitae vero

p.22 (2)
22 TOMI PRIMI CAPUT I § 10-14 [7–8 10. Deinde potissimum tenenda est functionum divisio in uni f ormes ac multiformes. Functio autem uni formis est, quae, si quantitati variabili z valor determinatus quicunque tribuatur, ipsa quoque unicum valorem determinatum obtineat. Functio autem multi formis

p.23 (1)
8-9] DE FUNCTIONIBUS IN GENERE 23 12. Functio tri formis ipsius z est, quae pro quovis ipsius z valore tres valores determinatos exhibet. Huiusmodi functiones ex resolutione aequationum cubicarum originem trahunt. Si enim fuerint P, Q et B functiones uniformes sitque erit Z functio triformis ipsius

p.25 (6)
): Nouvelle méthode d'éliminer les quantités inconnues des équations, Mém. de l'acad. d. se. de Berlin [20] (1764), 1766, p. 91} LEONHARDI EULERI Opera omnia, series I, vol. 6, p. 197. A. K. Lboshabdi Euleki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 4

p.26 (2)
exhibeat valores determinatos, tamen eosdem valores praebet, sive ponatur z = -J- h sive z = – h. Sit Z eiusmodi functio multiformis par ipsius z; quoniam natura functionis multiformis exprimitur per aequationem inter Z et z, in qua Z tot habeat dimensiones, quot varios valores complectatur, manifestum est

p.27 (4)
12--13] DE FUNCTIONIBUS IN GENERE 27 erit Z functio biformis par ipsius z; sin autem sit erit Z functio triformis par ipsius z; atque generatim, si P, Q, R, S etc. denotent functiones uniformes pares ipsius g; erit Z functio biformis par ipsius £, si sit At Z erit functio triformis par ipsius g

p.28 (4)
par ipsius z multiplicetur per z vel per eiusdem functionem imparem quamcunque, productum erit functio impar ipsius z. Sit P functio par ipsius z, quae idcirco manet eadem, si loco z ponatur – z) quodsi ergo in producto Pz ponatur z loco z, prodibit Pz, unde Pz erit functio impar ipsius z. Sit iam P

p.29 (7)
14] DE FUNCTIONIBUS IN GENERE 29 23. Si functio impar per functionem imparem vel multiplicetur vel dividatur, quod resultat erit functio par. Sint Q et S functiones impares ipsius z, ita ut posito – g loco z Q abeat in Q et S in S, atque perspicuum est tam productum QS quam quotum -â eundem valorem

p.30 (3)
30 TOMI PRIMI CAPUT I § 25-26 [14–15 gativi, utroque vero casu aequatio manebit eadem. Unde patet – y eodem' modo per z determinatum iri, quo y per -g determinatur, et hanc ob rem, si loco z ponatur z, valor ipsius y abibit in – y seu y erit functio impar ipsius g. Sic, si fuerit vel ex utraque

p.31 (4)
15] DE FUNCTIONIBUS IN GENERE 31 ipsius z, talis functio erit ipsius z posito «/===–. Atque ex his luculenter perspicitur ratio similitudinis functionum, cuius per universam Analysin sublimiorem uberrimus est usus. Ceterum haec in genere de natura functionum unius variabilis sufficere possunt, cum

p.32 (2)
CAPUT II DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM 27. Functiones in alias formas transmutantur vel loco quantitatis variabilis aliam introducendo vel eandem quantitatem variabilem retinendo. Quodsi eadem quantitas variabilis servatur, functio proprie mutari non potest. Sed omnis transformatio consistit in

p.33 (10)
16--17] DE TRAHSFORMAt IONE FUNCTIÔNUM 53 P ~wvvvau Leonhardi Eulkki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 5 proposita succinctius et commodius exprimatur; uti, si ista proposita fuerit ipsius z functio si loco a – z ponatur y, prodibit ista multo simplicior ipsius y functio

p.34 (6)
34 TOMI PRIMI CAPUT II § 28-31 [17 compositis, in quibus ipsius z inest quadratum vel cubus vel alia. potestas altior. Erit ergo in genere forma factorum simplicium, forma factorum duplicium, forma factorum triplicium et ita porro. Perspicuum autem est factorem duplicem duos complecti factores

p.35 (4)
17-18] DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM 35 5* atque aequationis Z=0 radices z repertae sint f, g, h, i etc., erit Ex his autem 'vicissim intelligitur, si functionis Z factor fuerit seu 1 – -j-, tum valorem functionis in nihilum abire, si loco z ponatur Facto enim 0 = f, unus factor z~f seu 1 – 4

p.36 (4)
36 TOMI PRIMI CAPUT II § 31-33 [18-19 statuenda in duos factores dûplices imaginarios, qui huiusmodi formam habebunt et aliae enim formae imaginariae concipi non possunt, quarum productum fiat reale, nempe = + Az3 + Bz* + Gz + D. Ex his autem factoribus imaginariis duplicibus sequentes emergent

p.37 (5)
patet [§ 30] productum harum radicum imaginariarum omnium esse reale. Quodsi ergo duae tantum radices imaginariaehabeantur, erit earum productum utique reale; sin, autem quatuor habeantur factores imaginarii, tum, uti vidimus, eorum productum resolvi potest in duos factores duplices reaies formae fzz

p.38 (4)
numerus realis quicunque, sive affirmativus sive negativus. Hanc ob rem facto (7=0 habebit quoque ipsa functio Z factorem simplicem realem z c atque quantitas c continebitur intra limites +00 et oo eritque idcirco vel quantitas affirmativa vel negativa vel nihil. 35. Functio igitur integra Z, in qua

p.39 (2)
21-22] DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM 39 36. Functio intégra Z, in qua exponens maximae potestatis ipsius z est numerus, par 2n, vel duos habebit factores simpHces reales vel quatuor vel sex vel etc. Ponamus ipsius Z constare factorum simplicium realium numerum imparem 2 m + 1; si ergo per horum

p.40 (17)
40 TOMI PRIMI CAPUT II § 38-39 [22-23 38. Si in functione fracta quantitas variabilis z tot vel plures habeat dimensiones in numeratore quam in denominatore, tum ista functio resolvi poterit in duas partes, quârum altera est functio integra, altera fracta, in cuius numeratore quantitas variabilis z

p.41 (8)
in analysin infinitorum r

p.42 (8)
42 TOMI PRIMI CAPUT II § 39-40 [24-25 Hinc ob ex quibus fit iaeoque iracmo proposua transformatur in has duas Simili autem modo facile perspicietur resolutionem semper succedere debere, quoniam semper tot litterae incognitae introducuntur, quot opus est ad numeratorem propositum eliciendum. Ex

p.43 (3)
25-26] DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM 43 partialis et, cum in numeratore huius fractionis numerus dimensionum ipsius z minor esse debeat quam in denominatore p – qz, numerator necessario erit quantitas constans. Hinc ex unoquoque factore simplici p – qz denominatoris N nascetur fractio simplex -ziqz

p.44 (4)
44 TOMI PRIMI CAPUT II § 40-41 [26 Functio ergo proposita resolvitur in hanc formam Simili autem modo intelligitur, quotcunque habuerit denominator N tactores simplicés inter se inaequales, semper fractionem. in totidem fractiones simplices resolvi. Sin autem aliquot factores fuerint aequales inter

p.45 (1)
aequalis functioni propositae –• EXEMPLUM Sic, si in exemplo praecedente ubi est sumatur z pro factore simplici, erit atque fractionis simplicis – hinc ortae erit numerator posito z – 0, quem valorem e obtinet, si ipse hic factor simplex g nihilo aequalisponatur. Simili modo si pro denominatoris factore

p.46 (2)
) rjt, cuius numerator P non tantam ipsius z potestatem involvit quantana denominator (p – qz)n, transmutari potest in huiusmodi fractiones partiales quarum omnium numeratores sint quantitates constantes. Quoniam maxima potestas ipsius z in P minor est quam zn, erit -s*1 1 ideoque P huiusmodi habebit

p.49 (4)
unica haec fractio partialis – • zz Sit haec proposita functio fracta cuius ob denominatoris factorem quadratum (1 – zf fractiones partiales sint 1 -Tk Erit ergo ideoque Leonhaedi Eulebj Opera omnia lu Introductio in analysin infinitorum EXEMPLUM 2 1

p.56 (5)
56 TOMI PRIMI CAPUT II § 45 a [34–35 [45 a].1) Quaecunque ergo proposita fuerit functio rationalis fracta ea sequenti modo in partes resolvetur atque in formant simplicissimam transmutabitur. Quaerantur denominatoris N omnes factores simplices sive reales sive imaginarii; quorum qui sibi pares non

p.57 (4)
cubicus £ dat Positis ergo fractionibus partialibus his Leonhakdi Eulebi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum

p.58 (2)
58 TOMI PRIMI CAPUT n § 45 a [35 erit primum posito z = 0, ergo Ponatur erit posito 0 = 0, ergo Ponatur erit posito z = 0, ergo Hanc ob rem functio proposita in hanc formam resolvitur Nulla enim pars integra insuper accedit, quia fractio proposita non est spuria.1) 1) De reali functionum fractarum

p.59 (2)
= reperitur autem quoque y = si in jzr~, cui expressioni y aequatur, ponatur z~ 3. Adhibetur autem haec novae variabilis introductio ad duplicem finem: vel enim hoc modo irrationalitas, qua expressio ipsius y per z data laborat, tollitur; vel quando ob aequationem altioris gradus, qua relatio inter y et 0

p.64 (1)
64 TOMI PRIMI CAPUT III § 51-52 [38-39 erit et Tum autem fit III. Si fuerint p et r quantitates negativae, tum, nisi sit qq 4j?r, valor ipsius y semper erit imaginarius. Quodsi autem fuerit qq 4pr, expressio p + qz + rzz in duos factores resolvi poterit, qui casus ad paragraphum praecedentem

p.65 (5)
resolutio aequationum generalis non habetur, ex. aequatione proposita aya -f bg? + cyYzâ = 0 neque y per z neque vicissim z per y exhiLeoniukbi Eui,eki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 9

p.68 (1)
determinationes atque eritque et hinc Cum igitur sit si loco x eius valorem ys~q:p substituamus, prodibit ista aequatio quae reducitur ad hanc quae multiplicata per tf9:* transibit in hanc Ponatur flet

p.70 (1)
, quibus y per z definitur, comparatae esse debeant, ut huiusmodi resolutio locum habere queat. Ceterum hi casus in superioribus formulis § 53 continentur, at, quia formulae generales non tam facile ad huiusmodi casus saepius occurrentes accommodantur, visum est horum aliquos seorsim evolvere.

p.72 (4)
72 TOMI PRIMI CAPUT IH § 57-58 [44-45 unde obtinebitur et il Haec scilicet resolutio locum habet, si in aequatione naturam functionis y per z exprimente duplex tantum ubique occurrit dimensionum ab y et z sumptarum numerus, uti in casu tractato in singulis terminis numerus dimensionum vel est m vel

p.73 (6)
45–46] DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM PER SUBSTITUTIONEM 73 Leonhardi EULERI Opera omnia la Introductio in analysin infinitorum 10 ac posito y = xz erit ex qua reperitur et et Sit in qua cum dimensiones sint 10, 7 et 4, ponatur y = xz atque aequatio per z~ divisa abibit in hanc seu unde invenitur

p.74 (3)
59. Cum functiones fractae atque irrationales ipsius z non in forma integra A + Bz + (V+lV+etc. contineantur, ita ut terminorum numerus sit finitus, quaeri soient huiusmodi expressiones in infinitum excurrentes, quae valorem cuiusvis functionis sive fractae sive irrationalis exhibeant; quin etiam

p.75 (1)
47] DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM PER SERIES INFINITAS 75 etc.; 10* ~–}–t~––U 60. Per divisionem autem continuam intelligitur fractionem resolvi in liane seriem infinitam quae, cum quilibet terminus ad sequentem habeat rationem constant em l- – ?–, a vocatur series geometrica. Potest vero quoque haec

p.76 (2)
sunt orti. Ceterum ex inspectione perspicitur in série infinita pro -cc^jz inventa potestatis sn coefficientem fore = + ubi signum + locum habet, si n sit numerus par, signum autem, si n sit numerus impar, seu coefficiens erit = – (-) • 61. Simili modo ope' divisionis continuatae haec functio fracta

p.78 (2)
78 TOMI PRIMI CAPUT IV § 61-63 [49 Quilibet ergo coefficiens aequalis est summae duorum praecedentium; quare si cogniti fuerint duo coefficientes contigui P et Q, erit sequens Cum igitur duo coefficientes primi A et B sint cogniti, fractio proposita in hanc seriem infinitam transmutatur quae nullo

p.79 (3)
49-50] DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM PER SERIES INFINITAS 79 quilibet coefficiens seriei S ex tribus antecedentibus B, Q et P ita determinabitur, ut sit l sicque de ceteris. In his ergo seriebus quilibet terminus determinatur ex aliquot antecedentibus secundum legem quandam constantem, quae lex ex

p.80 (3)
80 TOMI PRIMI CAPUT IV § 63-65 [50-51 Quilibet ergo coefficiens aequalis est aggregato ex multiplis aliquot praece- dentium una cum numero quodam, quem numerator praebet. Nisi autem numerator in infinitum progrediatur, haec additio mox cessabit atque quivis terminus secundum legem constantem ex

p.81 (6)
51–52] DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM PER SERIES INFINITAS 81 Lkokhardi Euleki Opéra omnia Is Introductio in analysin infinitorum il i 1 1 Erit tamen haec series recurrens, quia quilibet terminus ex duobus praecedentibus determinatur, cuius determinationis lex perspicitur ex denominatore evoluto 1

p.82 (4)
82 TOMI PRIMI CAPUT IV § 65-68 [52-53 huiusmodi progressionem; erit ea simul series recurrens, cuius quilibet terminus ex tribus antecedentibus ita determinatur, ut sit Cum igitur terminorum in progressione arithmetica procedentium secundae differentiae quoque sint aequales, nempe = 0, haec

p.84 (3)
facilius patebit. 69. Quoniam hactenus posuimus primum denominatoris terminum constantem non esse =0 eiusque loco unitatem collocavimus, nunc videamus, cuiusmodi series oriantur, si in denominatore terminus constans evanescat. His casibus ergo functio fracta huiusmodi formam habebit convertatur ergo

p.85 (1)
54-55] DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM PER SERIES INFINITAS 85 per series recurrentes explicari poterit. Sit scilicet proposita haec fractio cuiusmodi series recurrentes pro y innumerabiles inveniri possunt. 71. Functiones irrationales ex hoc theoremate universali1) in series infinitas transformari

p.86 (2)
86 TOMI PRIMI CAPUT IV § 71-74 [55-56 hi enim termini, nisi fuerit numerus integer affirmativus, in infinitum excurrunt. Sic erit pro m et n numeros definitos scribendo 72. Huiusmodi ergo serierum termini ita progrediuntur, ut quilibet ex m antecedente formari possit. Sit enim seriei, quae ex (P

p.87 (1)
56-57] DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM PEU SERIES INFINITAS 87 Ad sequentes progressionum leges autem observandas conveniet hanc formulae generalis in seriem conversionem notasse

p.89 (4)
58-59] DEJ8XPLICATI0NE FUNCTIONUM PER SERIES INFINITAS 89 etc.; Leonhâbdi Eulebi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 12 cuius lex progressionis ut melius patescat, ponatur eius loco 1 n cuius seriei quilibet coefficiens ex tribus antecedentibus ita determinatur, ut sit Cum igitur

p.90 (3)
90 TOMI PRIMI CAPUT IV § 76 [59-60 quilibet scilicet terminus per tot praecedentes determinatur, quot habentur litterae a, (3, y, â etc. in functione ipsius z, cuius potestas in seriem convertitur. Ceterum ratio huius legis convenit cum ea, quam supra § 68 [invenimus], ubi similem formam (1 – az

p.91 (2)
variabiles, quae a se invicem non pendeant, ita ut, quamvis uni determinatus valor tribuatur, reliquae tamen nihilominus maneant indeterminatae ac variabiles. Eiusmodi ergo quantitates variabiles, cuiusmodi sint x, y, z, ratione significationis convenient, cum quaelibet omnes valores determinatos in

p.92 (8)
determinatione unius infinitas determinationes suscipere potest, omnino infinities infinitas determinationes admittet. Atque in functione trium variabilium numerus determinationum erit adhuc infinities maior; sicque porro crescet pro pluribus variabilibus. 79. Huiusmodi functiones plurium

p.93 (2)
. Multiformitas deinde in his functionïbus aeque notari debet atque in Us, quae ex unica variabili constant. Sic functiones rationales erunt uniformes, quia singulis quantitatibus variabilibus determinatis unicum valorem determinaturn exhibent. Dénotent P, Q, B, S etc. functiones rationales seu uniformes

p.94 (8)
94 TOMI PRIMI CAPUT Y § 83-85 [63 83. Functionum autem duarum pluriumve variabilium divisio maxime notatu digna est in homogeneas et heterogeneas. Functio homogenea1) est, per quam ubique idem regnat variabilium numerus dimensionum; functio autem heterogenea est, in qua diversi occurrunt

p.95 (5)
subtrahatur numerus dimensionum denominatoris, atque ob hanc rationem fractio allata erit functio unius dimensionis. Haec vero fractio erit functio trium dimensionum. Quando ergo in numeratore ac denominatore idem dimensionum numerus inest, tum fractio erit functio nullius dimensionis, uti evenit in

p.96 (2)
96 TOMI PRIMI CAPUT V § 85-88 [64-65 numerus dimensionum fractionis erit negativus; sic erit functio 1 dimensionis, erit functio – 3 dimensionum, erit functio 5 dimensionum, quia in numeratore nulla inest dimensio. Ceterum sponte intelligitur plures functiones homogeneas, in quibus singulis idem

p.97 (11)
^TJgL. D^ FUNCTIONIBUS DUARUM PLURIUMVE VARIABILIUM 97 Leonhabdi Eumki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 13 87. Utrum functio irrationalis implicita sit homogenea necne, ex his facile colligi potest. Sit F huiusmodi functio implicita ac existentibus P, Q et B functionibus ipsarum y

p.98 (2)
unius variabilis; neque enim potestas ipsius z, quia est factor, functionem illam ipsius u inquinat. 89. Functio ergo homogenea V duarum variabilium y et z nullius dimensionis posito y == uz transmutabitur in functionem unicae variabi lis u puram. Cum enim numerus dimensionum sit nullus, potestas

p.99 (5)
66-67] DE FUNCTIONIBUS DUARUM PLURIUMVE VARIABILIUM 99 13* 90. Functio intégra homogenea duarim variàbilium y et 0 resolvi poterit in tot factores simplices formae ay + fit, quot habuerit dimensiones. Cum enim functio sit homogenea, posito y = uz transibit in productum ex zn in functionem quandam

p.100 (6)
de functionibus homogeneis sunt dicta, simul intelligitur, quid sit functio heterogenea; in cuius scilicet terminis non ubique idem dimensionum numerus deprehenditur. Possunt autem functiones heterogeneae subdividi pro multiplicitate dimensionum, quae in ipsis occurrunt. Sic functio bifida erit, in

p.101 (4)
Multo difficiliores autem sunt casus, quibus non per tam simplicem substitutionem ad homogeneitatem pervenire licet. 94. Tandem inprimis notari meretur functionum integrarum secundum ordines divisio satis usitata, secundum quam ordo definitur ex maximo dimensionum numero, qui in functione inest. Sic

p.102 (1)
erit incomplexa, si in factores rationales resolvi omnino nequeat, uti cuius nullos dari factores rationales facile intelligitur. Ex inquisitione divisorum patebit, utrum functio proposita sit complexa an incomplexa.

p.103 (4)
u CAPUT VI DE QUANTITATIBUS EXPONENTIALIBUS AC LOGAEITHMIS 96. Quanquam notio functionum transcendentium in Calculo integrali demum perpendetur, tamen, antequam eo perveniamus, quasdam species magis obvias atque ad plures investigationes aditum aperientes evolvere conveniet. Primum ergo

p.104 (4)
104 TOMI PRIMI CAPUT VI § 97-101 [70-71 prodibunt ac, si fuerit z *= 0, habebitur semper Quodsi loco z numerï fracti ponantur, ut ~f y, y, -j, J etc., orientur isti 1 valores A I A Â, t A. i qui in se spectati geminos pluresvè induunt valores, cum radicum extractio semper valores multiformes

p.105 (4)
71-72] DE QUANTITATIBUS EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS 105 Lbonhabdi EuLERi Opera omnia, U Introductio in analysin infinitorum 14 a* = 0; si sit 0 = 0, erit o°=-l; sin autem fuerit z numerus negativus, tum a? obtinebit valorem infinité magnum. Sit enim z = – 3; erit 0 0 ideoque infinitum. Multo

p.106 (1)
Si fuerit a = 10, ex Arithmetica, qua utimur, denaria in promptu erit valores ipsius y exhibere, si quidem pro z numeri integri ponantur. Erit enim MP – IO, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000 et 10° – 1; item lOr'-ij-ai, 10- = 0,01, 10w = = 0,001; sin autem pro z fractiones ponantur, ope radicum

p.107 (1)
maiorem hincque nonnisi numerorum affirmativorum logarithmos realiter exhiberi posse. 103. Quicunque ergo numerus pro basi logarithmica a accipiatur, erit semper Jl–'O; si enim in aequatione a* = y, quae convenit cum hac s = ly, ponatur # = 1, erit 0 = 0. Deinde numerorum unitate maiorum logarithmi

p.109 (1)
. EXEMPLUM Ponatur basis logarithmica a = 10, quod in tabulis usu receptis fieri solet, et quaeratur vero tantum proxime logarithmus numeri 5; quia hic continetur intra limites 1 et 10, quorum logarithmi sunt 0 et 1, sequenti modo radicum extractio continua instituatur, quoad ad limites a numero proposito

p.110 (1)
= 0,6992187, y L = VlK, i= 4,980416, IL – 0,6972656, M=VKL, M– 4,991627, IM = 0,6982421/) JH–^KM, N– 4,997242, IN– 0,6987304, O^VKN, 0 = 5,000052, 10 – 0,6989745, P = VNO, P= 4,998647, ?P= 0,6988525, Q = VOP, ̃Q– 4,999350, IQ = 0,6989135, E = VOQ, B= 4,999701, 2 J8 – 0,6989440, 8–VOB, 8– 4,999876, 18

p.111 (3)
autem in duobus systematis logarithmi eiusdem numeri eandem inter se servant rationem. Sit basis unius systematis = a, alterius = b atque numeri n logarithmus in priori systemate ==#, 7 in posteriori – q; erit unde Oportet ergo, ut fractio constantem obtineat valorem, quicunque numerus pro n fuerit

p.112 (3)
112 TOMI PRIMI CAPUT VI § 107-110 [77-78 si ergo omnes logarithmi communes multiplicentur per numerum 3,321928g1) prodibit tabula logarithmorum pro basi 2. 108. Hinc sequitur duorum numerorum logarithmos in quocunque systemate eandem tenere rationem. Sint enim duo numeri M et N, quorum pro basi

p.113 (6)
73 DE QUAFIITATIBUS EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS 113 Leonhaedi Eulbei Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 15 rorum compositorum per solam additionem reperientur. Sic, si habeantur logarithmi numerorum 3 et 5/ erit Atque, cum supra pro basi a = 10 inventus sit praeterea autem sit

p.114 (1)
~. Si numerus incolarum cuiuspiam provinciae quotannis sui parte trigesima augeatur, initio autem in provincia habitaverint 100000 hominum, quaeritur post 100 annos incolarum numerus. Sit brevitatis gratia initio incolarum numerus = n, ita ut sit anno elapso uno erit incolarum numerus post duos annos = ~3o~Q

p.116 (3)
eiusmodi aequationes resolvendas, in quibus quantitas incognita in exponentem ingre- ditur. Sic, si ad huiusmodi perveniatur aequationem ex qua- incognitae x valorem erui oporteat, hoc non nisi per logarithmos effici poterit. Cum enim sit ax = b, erit ideoque ubi quidem perinde est, quonam systemate

p.119 (3)
praeter hune usum, quem logarithmi in genere praestant, in Arithmetica decimali usu recepta singulari gaudent commodo atque ob hanc causam prae aliis systematibus insignem afferunt utilitatem. Cum enim logarithmi omnium numerorum praeter denarii potestates in fractionibus decimalibus exhibeantur

p.120 (4)
huiusmodi negativarum – 1, – 2, – 3 etc. scribi soient 9, 8, 7 etc. atque subintelligitur hos logarithmos denario minui debere. Haec vero in manductionibus ad tabulas logarithmorum fusius exponi soient. EXEMPLUM Si haec progressio 2, 4, 16, 256 etc., cuius quisque terminus est quadratum praecedentis

p.121 (5)
84–85] DE QUANTITATIBUS EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS 121 tiBONHAsm Etji-eki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 16 erit numeri quaesiti logarithmus = 5050445,25973367, ex cuius characteristica patet numerum quaesitum more solito expressum constare ex 5050446 figuris. Mantissa autem

p.128 (3)
128 TOMI PRIMI CAPUT VIÏ § 122-123 [90 qui termini, si in fractiones decimales convertantur atque actu addantur, praebebunt hune valorem pro a 2,71828182845904523536028, y cuius ultima adhuc nota veritati est consentanea. Quodsi iam ex hac basi logarithmi construantur, ii vocari soient logarithmi

p.129 (4)
9^I^il^?J^Iî^£^ENTIALIUM A0 I^OGARITHMORUM EXPLIGATIONE 129 Lsonhaedi Euleei Opéra omnia Is Introductio in analysin infinitorum 17 quae series vehementer convergunt, si pro x statuatur fractio valde parva. Ita ex serie posteriori facili negotio inveniuntur logarithmi numerorum unitate non multo

p.130 (5)
130 TOMI PRIMI CAPUT VII § 123-125 [91-92 Hi scilicet logarithmi omnes ex superioribus tribus seriebus sunt deducti praeter 11, quem hoc compendio sum assecutus. Posui nimirum in série posteriori # = 4 sicque obtinui qui subtractus a relinquit 149, cuius semissis dat l7. 124. Ponatur logarithmus

p.131 (1)
numero hoc = a erit v .= 1 hincque fit k = logarithmo hyperbolico basis a. In systemate ergo logarithmorum communium, ubi est a = 10, erit k = logarithmo hyperbolico ipsius 10, unde fit 2,30258 50929 94045 68401 79915 quem valorem iam supra satis prope collegimus. Si ergo singuli logarithmi

p.132 (1)
132 TOMI PRIMI CAPUT VII § 125 [92-93 hincque deinde pro logarithmis hyperbolicis habetur De cetero logarithmorum hyperbolicorum usus in Calculo integrali fusius demonstrabitur.

p.133 (2)
, quando imaginariis quantitatibus involvuntur, proveniunt, id quod infra clarius patebit. Ponamus ergo radium circuli seu sinum totum esse =1 atque satis liquet peripheriam huius circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse; per approximationes autem inventa est semicircumferentia huius

p.134 (7)
praecedenti laudata uti etiam in nonnullis dissertationibus prioribus Eulerus p loco ? scripsit, sed inde ab eo tempore usus litterae praevalebat et mox fiebat omnino generalis, praesertim cum haee Introductio edita esset. De historia numeri n et omnino de historia quadraturae circuli vide F. RUDIO

p.137 (5)
Leokhabw EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 18 95-96] DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTIS 131 of on .0:1. arcuum. ex his compositorum sinus et cosinus ita se habebunt: in arithmetica progressione progrediuntur, eorum vero tam sinus quam cosinus progressionem

p.138 (1)
138 TOMI PRIMI CAPUT Vin § 129– 131 [96 itemque et Cuius legis beneficio arcuum in progressione arithmetica progredientium tam sinus quam cosinus, quousque libuerit, expedite formari possunt. erit his expressionibus vel addendis vel subtrahendis Quia porro est atque erit pari modo Sit y erit ex his

p.139 (1)
96-97] DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTIS 139 18* quibus in superioribus formulis substitutis habebuntur hae aequationes, tanquam totidem theoremata: Ex his porro nascuntur ope divisionis haec theoremata Ex his denique deducuntur ista theoremata

p.144 (1)
tot figuras desiderentur. 135. Inventis sinibus et cosinibus inveniri quidem possunt tangentes et cotangentes per analogias consuetas; at quia in huiusmodi ingentibus numeris multiplicatio et divisio vehementer est molesta, peculiari modo eas exprimere convenit. Erit ergo

p.145 (6)
102] DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTIS 145 Lbonhabdi Eulbei Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 19 quarum serierum ratio infra [g 198 a] fusius exponetur. 1) In editione principe ultima figura huius fractionis decimalis est unitate minor. Correxit A. K. 2) In

p.146 (1)
additionem et subtractionem omnium angulorum maiorum sinus et cosinus inveniri possunt. Cum enim sit • unde sinus et cosinus angulorum a 30° ad 60° hincque omnes maiores definiuntur. 137. In tangentibus et cotangentibus simile subsidium usu venit. Cum enim sit tane\ a 4- taner. b unde ex tangentibus

p.147 (3)
103-104] DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTIS 147 smiani) 19* Secantes autem et cosecantes ex tangentibus për solam subtractionem inveniuntur; est enim -1 1 et hinc Ex his ergo luculenter perspicitur, quomodo canones sinuum construi potuerint. 138. Ponatur denuo in formulis § 133

p.148 (3)
148 TOMI PRIMI CAPUT VIII § 138-140 [104–105 et 139. Sit iam in iisdem formulis § 133 n numerus infinite parvus seu n = i- existente i numero infinite magno; erit arcus enim evanescentis 4- sinus est ipsi aequalis, cosinus vero ==1. His positis habebitur et Sumendis autem logarithmis hyperbolicis

p.150 (5)
ita se habere +8 +5 +7 7 ubi r, t, a lineas denotant, scilicet radium, tangentem et arcum correspondentem. Eulerus primus loco priorum linearum trigonometricarum rationes earum ad radium hocque modo functiones trigonometricas in analysin introduxit. Vide F. Eumo, Arceimedes, Huygens, Lambert

p.151 (2)
I 106–107] DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTIS 151 cuius seriei valor per approximationem non difficulter in fractione decimali exhiberetur. At vero ex tali arcu cognito nihil pro longitudine totius circumferentiae concludere licebit, cum ratio, quam arcus, cuius tangens est = jq, ad

p.153 (4)
Leonhabdi EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 20 CAPUT IX DE INVESTIGATIONE FACTORUM TRINOMIALIUM 143. Quemadmodum factores simplices cuiusque functionis integrae inveniri oporteat, supra [§ 29] quidem ostendimus hoc fieri per resolutionem aequationum. Si enim proposita sit

p.155 (1)
difficiles videantur, tamen per ea, quae in capite praecedente sunt tradita, satis expedite absolventur. Cum enim fuerit ostensum esse sequentes formulae loco singularum ipsius z potestatum habebuntur substituendae 1 w pro priori factore pro altero factore z = |- (cos. (p + V– 1 sin. 9) z = 2- (cos

p.156 (1)
quae statim ex forma functionis propositae formari possunt ponendo primum pro unaquaque ipsius z potestate deinceps Sic enim ob sin. Ocp = 0 et cos. Oy = 1 pro z° seu 1 in termino constanti priori casu ponitur 1, posteriori autem 0. Si ergo ex his duabus aequationibus definiantur incognitae r et cp

p.157 (1)
plerumque pluribus modis fieri possit, simul plures factores trinomiales obtinentur iique adeo omnes, quos functio proposita in se complectitur. 150. Quo usus harum regularum clarius appareat, quarumdam functionum saepius occurrentium factores trinomiales hic indagabimus, ut eos, quoties occasio

p.158 (2)
ultra n augetur, factores priores recurrunt, quod ex exemplis clarius patebit, cum sit cos. (2n + p) = cos. (p. Deinde si n est numerus impar, posito 2k + 1 = n erit factor quadratus aa + 2az + zz; neque vero hinc sequitur quadratum {a + £f esse factorem functionis an + an, quoniam (in §148) unica

p.161 (8)
114-115] ~`_~ DE INVESTIGATIONE FACTORUM TRINOMIALIUM 161 Lbonhabdi Euleri Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 21 152. His igitur confirmatur id, quod supra [§ 32] iam innuimus, omnem functionem integram, si non in factores simplices reales, tamen in factores duplices reales resolvi

p.162 (1)
162 TOMI PRIMI PAPUT IX § 153 [115 153. Consideremus ergo hanc functionem quae in duos factores formae r\ + du" reales resolvi nequit. Quodsi ergo ponamus huius functionis factorem duplicem realem esse posito r = 2- duae sequentes aequationes erunt resolvendae 2 9. « CI Vel loco prioris

p.164 (3)
164 TOMI PRIMI CAPUT IX § 153-155 [116-117 formulae factores quinque Confirmatur ergo etiam his exemplis omnem functionem integram in factores reales sive simplices sive duplices resolvi posse. 154. Hinc ulterius progredi licebit ad functionem hanc quae certo habebit unum factorem realem formae r

p.165 (2)
• 117-118] DE INVESTIGATIONE FACTORUM TRINOMIALIUM 165 praecedentis, unde etiam haec functio resolutionem in factores reales vel simplices vel duplices admittet. Quare si ullum dubium mansisset circa huiusmodi resolutionem omnium functionum integrarum, hoc nunc fere penitus tolletur. 155. Traduci

p.166 (2)
166 TOMI PRIMI CAPUT IX § 155-157 [118-119 e* – lt quod quidem sponte patet. Ad reliquos factores inveniendos notari oportet esse ob arcum -j-n infinite parvum (§ 134) terminis sequentibus ob i numerum infinitum in nihilum abeuntibus. Hinc erit factor quilibet atque adeo forma e? – 1 erit

p.167 (1)
factoribus in ordinem redactis erit Singulis scilicet factoribus per multiplicationem constantis eiusmodi formam dedi, ut per actualem multiplicationem primus terminus x resultet. 157. Eodem modo cum sit huius expressionis cum superiori [§ 150] an + sn comparatio dabit erit ergo factor quicunque

p.168 (1)
factor formae propositae erit 1 ex eoque omnes factores infiniti invenientur, si loco 2k + 1 successive omnes numeri impares substituantur. Hanc ob rem erit M 158. Si x fiat quantitas imaginaria, formulae hae exponentiales in sinum et cosinum cuiuspiam arcus realis abeunt. Sit enim x = #V – 1; erit quae

p.169 (6)
120-121] DE INVESTIGATIONE FACTORUM TRINOMIALIUM 169 LEONHARDI EuMRi Opera omnia 18 Introductio in analysin infinitorum 22 ii 7 Quoties ergo arcus z ita est comparatus, ut quispiam factor evanescat, quod fit, si z = 0, = ±n, z = ±2ti et generaliter si z = ±Jcn denotante k numerum quemeunque

p.170 (3)
170 TOMI PRIMI CAPUT IX § 159-161 [121-122 unde factor erit i£* + i£*£^- seu huius formae ii ii Si ergo expressio per 2(1 – cos. g) dividatur, ut in serie infinita terminus constans sit = 1, erit sumendis omnibus factoribus Atque si loco x ponatur #V– 1, erit Huius adeo seriei in infinitum

p.171 (1)
multiplicatus neglectis terminis per i vel ii divisis, quoniam iam omnis generis termini adsunt, prae quibus hi evanescerent. Termino ergo constante ad unitatem per divisionem reducto erit factor à /7 161. Nunc quoniam in omnibus factoribus terminus constans est == 1, ipsa functio «s+-±c- per eiusmodi

p.177 (6)
. 166. Quia summa quantitatum a + /? + + ^+ etc. datur una cum summa productorum ex binis, hinc summa quadratorum «2 + ^2 + ^2+^24-etc- inveniri poterit, quippe quae aequalis est quadrato summae demptis duplicibus Leowhakdi Euleri Opéra omnia Is Introductio in analysin infinitorum 23

p.178 (3)
agnoscitur; interim tamen in Calculo differentiali summo cum rigore demonstrabitur.1) 1) Has formulas, quae ab Etjlero formulae Neutonianae nominari solent, usque ad quartam potestatem primus A. GIRARD (?-1632) exposuit in libro, qui inscribitur Invention nouvelle en l'algèbre, Amsterdam 1629

p.179 (1)
129-lSOlJ^^ IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 179 etc. 23*

p.180 (1)
180 TOMI PRIMI CAPUT X § 167-168 [130-181 atque harum litterarum valores ex A, B, G, D etc. determinentur, prodibit: 168. Patet ergo omnium serierum infinitarum in hac forma generali -4 -i contentarum [summas], quoties n fuerit numerus par, ope semiperipheriae circuli n exhiberi posse; habebit enim

p.181 (1)
131] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 181 rationalem. Quo autem valor harum summarum clarius perspiciatur, plures huiusmodi serierum summas commodiori modo expressas hic adiiciam. Hucusque. istos potestatum ipsius n exponentes artificio alibi1) exponendo 1) Vide L. Euleri

p.182 (2)
182 TOMI PRIMI CAPUT X § 168-170 [131-132 continuare licuit, quod ideo hic adiunxi, quod seriei fractionum primo intuitu perquam irregularis o c eni or in plurimis occasionibus eximius est usus. 169. Tractemus eodem modo aequationem § 157 inventam, ubi erat Posito ergo x x = erit Unde facta

p.183 (2)
132-1331 DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 183 Quodsi ergo ponamus reperientur sequentes pro P, Q, R, 8 etc. valores: 170. Eaedem summae potestatum numerorum imparium inveniri possunt ex summis praecedentibus, in quibus omnes numeri occurrunt. Si enim fuerit erit ubique per

p.185 (5)
134-135] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 185 LEONHARDI Etjlehi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 24 Haec expressio infinita cum § 165 cbllata dabit hos valores etc.

p.187 (2)
136–137] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 187 24* 174. Hinc ergo ad normam § 166 sequentes series formabuntur earumque summae assignabuntur = Hae autem summae P, Q, R, S etc. ita se habebunt 175. Series istae generales merentur, ut casus quosdam particulares inde derivemus

p.188 (2)
188 TOMI PRIMI CAPUT X § 175-177 [137-138 atque ambae serierum classes inter se congruent. Erit ergo if 1 1 -*S 1 etc. Harum serierum primam iam supra (§ 140) elicuimus, reliquarum illae, quae pares habent dignitates, modo ante (§ 169) sunt erutae; ceterae, in quibus exponentes sunt numeri impares

p.189 (2)
138-139] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 189 sive etc. In his seriebus desunt omnes numeri per ternarium divisibiles; hine pares dimensiones ex iam inventis deducentur hoc modo. Cum sit [§ 167, 168] erit quae posterior series continens omnes numeros per ternarium

p.190 (2)
190 TOMI PRIMI CAPUT X § 177-179 [139-140 in quarum denominatoribus numeri tantum impares occurrunt exceptis iis, qui per ternarium sunt divisibiles. Ceterum pares dimensiones ex iam cognitis deduci possunt; cum enim sit [§ 169] erit quae series omnes numeros impares per 3 divisibiles continens

p.191 (1)
140–141] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 191 -4. --4. at est hinc erit Series quadratorum et altiorum potestatum hinc ortae facilius per dmerentiationem hinc deducentur infra. 179. Quoniam casus, quibus m = 1 et n == 2 vel 3, iam evolvimus, po- namus erit Hinc itaque

p.192 (1)
192 TOMI PRIMI CAPUT X § 179-181 [141-142 Simili modo ponendo n = 16 et m vel 1 vel 3 vel 5 vel 7 ulterius progredi licet hocque modo summae reperientur serierum 1, -g-, y, y, y etc., in quibus signorum + et vicissitudines alias leges sequantur.

p.193 (7)
142-143] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 193 Leonhaedi Eulebi Opera omnia 18 Introductio in analysin infinitorum 25 181. Si in seriebus § 178 inventis bini termini in unam summam colligantur, erit

p.195 (2)
144-145] DE USU FACTORUM INVENTORUM IN DEFINIENDIS SUMMIS SERIERUM 195 TT~ 25* His ergo notatis erit Eaedem hae series deduci possunt ex § 162 adhibendo eandem methodum, qua in hoc capite sum usus. Quoniam vero hoc pacto reductio sinuum et cosinuum arcuum imaginariorum ad quantitates exponentiales

p.197 (4)
est expressio pro peripheria circuli," quam Wallisius invenit in Arithmetica infinitorum.1) Similes autem huic innumeras expressiones exhibere licet ope primae expressionis pro sinu; ex ea enim deducitur fore 1) J. WALLIS, Arifhmetica infinitorum sive nova methodus inquirendi in curvilineorum

p.199 (4)
etiamnunc aliae methodi non constent, quarum ope huiusmodi productorum infinitorum valores exhiberi queant. Ceteruni vero huiusmodi expressiones parum utilitatis afferunt ad valores cum ipsius n tum sinuum cosinuumve angulorum per approximationem eruendos. Quanquam enim isti factores in fractionibus

p.200 (3)
200 TOMI PRIMI CAPUT XI § 189-190 [149-150 189. Praecipuus autem usus huiusmodi expressionum etsi infinitarum in inventione logarithmorum versatur, in quo negotio factorum utilitas tanta est, ut sine illis logarithmorum supputatio esset difficillima. Ac primo quidem, cum sit erit sumendis

p.201 (5)
150-i51] DE ALIIS ARCUUM ATQUE SINUUM EXPRESSIONIBUS INFINITIS 201 Lbonhardi Eulbbi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 26 1) In editione principe quinque ultimae figurae sunt 50816. Correxit A. K.

p.202 (5)
logarithmum commode exprimere poterimus. Erit autem ex formulis primo [§ 184] inventis Hinc primum logarithmi hyperbolici ut ante per series maxime convergentes facile exprimuntur. Ne autem praeter necessitatem series infinitas multiplicemus, terminos priores actu in logarithmis involutos relinquamus

p.203 (1)
152-153] DE ALIIS ARCUUM ATQUE SINUUM EXPRESSIONIBUS INFINITIS 203 26* 192. Occurrunt ergo in his seriebus singulae potestates pares ipsius –, quae sunt multiplicatae per series, quarum summas iam supra assignavimus. Erit nempe

p.204 (4)
204 TOMI PRIMI CAPUT XI § 192-194 [153-154 Serierum posteriorum modo ante (§ 190) summae sunt exhibitae; priores series quidem ex his derivari possent, at, quo facilius ad usum transferri queant, earum summas pariter hic adiiciam. 193. Quodsi ergo brevitatis gratia ponamus 1) In editione principe

p.205 (2)
154] DE ALIIS ARCUUM ATQUE SINUUM EXPRESSIONIBUS INFINITIS 205 quoniam igitur logarithmi In et l8 dantur, erit l) In editione principe ultima figura est unitate minor. Correxit A. K.

p.206 (2)
206 TOMI PRIMI CAPUT XI § 194 [155 1) In editione principe ultima figura est unitate minor. Correxit A. K. 2) In editione principe duae ultimae figurae sunt 79. Correxit A. K.

p.207 (4)
156–157] DE ALIIS ARCUUM ATQUE SINUUM EXPRESSIONIBUS INPINIT1S 207 1) In editione principe ultima figura est unitate minor. Correxit A. K. 2) In editione principe duae ultimae figurae sunt 59. Correxit A. K. 3) In editione principe duae ultimae figurae sunt 49. Correxit A. K. 4) In editione

p.208 (3)
208 TOMI PRIMI CAPUT XI § 195-196 [157 195. Si isti sinuum et cosinuum logarithmi hyperbolici multiplicentur per 0,43429 44819 etc., prodibunt eorundem logarithmi vulgares ad radium – 1 relati. Quoniam vero in tabulis logarithmus sinus totius statui solet = 10, quo logarithmi tabulares sinuum

p.209 (5)
158] DE ALIIS ARCUUM ATQUE SINUUM EXPRESSIONIBUS INFINITIS 209 LEONHARDI Euleki Opéra omnia I8 Introductio in analysin infinitorum 27 ±j xU cuiwuuo principe urama ngura est unitate minor. A. K. 196. Harum ergo formularum ope inveniri possunt logarithmi sinuum et cosinuum quorumvis angulorum tam

p.210 (1)
suppeditat. Quanquam enim tangentes et secantes per sinus et cosinus determinantur, tamen hoc fit per divisionem, quae operatio in tantis numeris nimis est operosa. Ac tangentes quidem et cotangentes iam supra (§ 135) exhibuimus, verum illo loco rationem formularum reddere non licuit, quam huic capiti

p.211 (3)
160] DE ALIIS ARCUUM ATQUE SINUUM EXPRESSIONIBUS INFINITIS 211 27* Convertantur hae fractiones praeter primas, quippe quae facile in computum ducuntur, in.series infinitas; erit 198 [a]1). At ex valore ipsius n cognito reperitur = 0,31830 98861 83790 67153 77675 26745 028724 2), x deinde hic eaedem

p.213 (7)
CAPUT XII DE REALI FUNCTIONUM FRACTARUM EVOLUTIONE 199. Iam supra, in capite secundo, methodus est tradita functionem quamcunque fractam in tot partes resolvendi, quot eius denominator habeat factores simplices; hi enim praebent. denominatores fractionum illarum partialium. Ex quo manifestum est

p.214 (2)
214 TOMI PRIMI CAPUT XII § 200-203 [162 ac ponatur fractio partialis ex denominatoris factore pp – 2pqz cos. p qqzz oriunda haec quoniam enim variabilis z in denominatore duas habet dimensiones, in numeratore unam habere poterit, non vero plures; alias enim integra functio contineretur, quam

p.217 (4)
164–165] DE REALI FUNCTIONUM FRACTARUM EVOLUTIONE 217 1 LEONHARDI Eulbbi Opéra omnia Is Introductio in analysin infinitorum 28 Ex his invenitur ideoque fractio quaesita est huiusque complementum erit cuius denominator 1 + cum habeat factores 1 + g V2 + $* et 1- zV2 + zz, resolutio denuo suscipi

p.218 (1)
218 TOMI PRIMI CAPUT XII § 203 [165-166 et pro priore factore habebitur unde erit Ex his reperitur et unde ex denominatoris factore 1 + zV2 + ez haec orietur fractio partialis Alter autem factor dabit simili modo hanc Hinc functio primum proposita resolvitur in has

p.221 (1)
167-168] DE REALI FUNCTIONUM FRACTARUM EVOLUTIONE 221 ideoque flet ergo Fractio ergo proposita resolvitur in 204. Possunt autem valores litterarum 9t et r ex litteris O et q definiri. Cum enim sit erit ideoque Deinde erit ergo Ex his porro fit eritque consequenter 8

p.223 (2)
169-170] DE REALI FUNCTIONUM FRACTARUM EVOLUTIONE 223 206. Ex praecedentibus autem intelligitur hanc resolutionem locum habere non posse, si functio Z eundem factorem pp – 2pqz cos. p + qqzz adhuc in se complectatur; hoc enim casu in aequatione facta substitutione ipsa quantitas Z evanesceret

p.225 (4)
171-172] DE REALI FUNCTIONUM FRACTARUM EVOLUTIONE 225 Leoshabdi Eulebi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 29 Praebeat ergo factor denominatoris (pp – 2pqz cos. p + qqzzf has partes Iam posito et posito erit Deinde vocetur atque posito et posito erit Tum vocetur atque posito

p.229 (7)
ita esse comparatas, ut quivis terminus ex aliquot praecedentibus secundum legem quandam constantem determinetur, quae lex a denominatore functionis fractae pendet. Cum autem nunc functionem quamcunque fractam in alias simpliciores resolvere docuerim, hinc series quoque recurrens in alias

p.230 (1)
, si singularum serierum ex fractionibus partialibus ortarum definiri queant coefficientes potestatis zn, horum summa dabit coefficientem potestatis zn in serie recurrente A + Bz + Cz2 + Dz* + etc. 214. Dubium hic suboriri posset, an, si duae huiusmodi series fuerint inter se aequales

p.231 (2)
z. Sit igitur z == 0 atque manifestum est fore A === 91. His ergo terminis aequalibus utrinque sublatis ac reliqua aequatione per z divisa habebitur unde sequitur fore B = $; simili autem modo ostendetur esse 0= (£, D = 2) et ita porro in infinitum.) 215. Contemplemur ergo series, quae ex

p.232 (1)
232 TOMI PRIMI CAPUT XÏÏI § 215-216 [177-178 cuius terminus generalis est Ex ipsa autem seriei progressione colligitur hic idem terminus Haec vero expressio illi est aequalis, id quod multiplicatione per crucem instituta patebit; fiet enim quae est aequatio identica. 216. Quoties ergo in

p.233 (6)
178-179] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 233 Leonhaedi Edlebi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum .1 30 EXEMPLUM 1 Invenire terminum generalem seriei recurrentis, quae ex hac fractione nascitur. Series hinc nata est Ad coefficientem potestatis generalis zn inveniendum fractio -=i – resol1

p.235 (1)
possunt, quoniam omnes fractiones in huiusmodi fractiones partiales simplices resolvere licet. Quodsi autem expressiones imaginarias vitare velimus, saepenumero ad huiusmodi fractiones partiales pervenietur on*

p.241 (4)
184-185] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 241 Leonhabdi Eulkbi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 31

p.243 (1)
^86] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 24-3 31* 223. Cum igitur hoc pacto omnes functiones fractae in fractiones partiales reales resolvi queant, simul omnium serierum recurrentium termini generales per expressiones reales exhiberi poterunt. Quod quo clarius appareat, exempla sequentia adiuncta sunt

p.244 (1)
244 TOMI PRIMI CAPUT XIII § 223 [^87 Quinta vero 9{1^^gg) comparata cum forma (§ 218) dat unde oritur terminus generalis Colligantur hae expressiones omnes in unam summam ac prodibit seriei propositae terminus generalis quaesitus ubi signa superiora valent, si n numerus par, inferiora, sin impar

p.245 (1)
188] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 245 Sic si fuerit n == 50, valet forma n ~= 6m + 2 eritque terminus seriei = 234z5~. EXEMPLUM2 V-1 -C. -J»! Ex fractione oritur haec series recurrens cuius terminum generalem invenire oportet. Fractio proposita ad hanc formam reducitur quae propterea resolvitur in has

p.247 (3)
qui multiplicatores ce, + /?, + y a MOIVREO scalam relationis 1) constituere dicuntur. Lex ergo progressionis posita est in scala relationis atque scala relationis statim praebet denominatorem fractionis, ex cuius resolutione proposita series recurrens oritur. 225. Ad terminum ergo generalem seu

p.249 (4)
191] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 249 Lbonhakdi EtfLEBi Opera omnia Is Iatirôductio in analysin infinitorum 32 atque seriei terminus generalis erit Hinc facto n = 0 erit et facto n = 1 erit unde fit et Inventis autem valoribus Sï et 93 erit Tum vero erit 227. Hinc deduci potest modus quemvis terminum

p.250 (1)
quod- termini irrationales in serie non occurrunt. 228. Ex datis porro duobus terminis contiguis quibusvis Pf et Qzn+ 1 commode assignari potest terminus multo magis remotus Xz" Ponatur enim Quoniam est

p.253 (1)
194] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 253 Ex termino ergo seriei quocunque Pzn obtinentur hi 230. Simili modo in seriebus recurrentibus, quarum quilibet terminus ex tribus antecedentibus determinatur, quivis terminus ex duobus antecedentibus definiri potest. Sit enim series huiusmodi recurrens cuius scala

p.254 (1)
seriei recurrentis in infinitum extensae aequalem esse fractioni, ex qua oritur; cuius fractionis cum denominator ex ipsa progressionis lege pateat, reliquum est, ut numeratorem definiamus. Sit itaque proposita haec series cuius lex progressionis praebeat hune denominatorem Solutiones inter

p.255 (3)
195–196] DE SERIEBUS RECURRENTTBUS 255 Sumamus fractionem summae seriei in infinitum [extensae] aequalem esse ex qua cum series proposita oriri debeat, erit comparando Hinc erit summa quaesita 232. Hinc facile intelligitur, quemadmodum seriei recurrentis summa ad datum terminum usque inveniri

p.257 (4)
197] DE SERIEBUS RECURRENTIBUS 257 Leonhaedi EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 33 Summa ergo termini ultimi et sequentis ternario excedit summam seriei. Quia vero est erit summa seriei Ex solo ergo termino ultimo summa potest exhiberi.

p.258 (1)
CAPUT XIV DE MULTIPLICATIONE AC DIVISIONE ANGULORUM 234. Sit angulus vel arcus in circulo, cuius radius = 1, quicunque = z, eius sinus == x, cosinus =y et tangens = t; erit Cum igitur, uti supra [§ 129] vidimus, tam sinus quam cosinus angulorum z, 2z, 3z, 4z, 5z etc. constituant seriem recurrentem

p.259 (1)
radicibus aequationis a posteriori, earum comparatio cum terminis aequationis notatu dignas praebebit proprietates. Quoniam autem ad hoc aequatio, in qua tantum x tamquam incognita insit, requiritur, pro y suus valor V(l – xx) substitui debet; unde duplex operatio instituenda erit, prout n fuerit

p.265 (5)
204-205] DE MULTIPLICATIONE AC DIVISIONE ANGULORUM 265 Leonhabdi Euleri Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 34 240. Patet ergo fore generatim si n fuerit numerus par. Quodsi autem haec cum superiori, ubi n erat numerus impar, comparetur, tanta similitudo adesse deprehenditur, ut

p.269 (2)
208] DE MULTIPLICATIONE AC DIVISIONE ANGULORUM 269 245. Quod ad productum ex omnibus attinet, variae quidem prodeunt expressiones, prout n fuerit numerus vel impar vel impariter par vel pariter par. Omnes autem comprehenduntur in expressione generali (§ 242) inventa, si singuli sinus in cosinus

p.273 (4)
211-212] DE MULTIPLIOATIONE AC DIVISIONE ANGULORUM 273 Ljsonhakdi Etjleki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 36 Ponamus erit und.e oriuntur tangentes angulorum multiplorum sequentes et generaliter quarum numerus est n. erunt valores ipsius t seu radices aequationis hae Cum iam sit

p.279 (2)
217] DE MULTIPLICATIONE AC DIVISIONE ANGULORUM 279 et generaliter, si n = 2m, erit 257. Per has formas iterum ambiguitas producti ex omnibus radicibus destruitur eritque idcirco Harum vero aequationum ratio statim sponte in oculos incurrit, cum perpetuo bini anguli reperiantur, quorum alter est

p.280 (3)
280 TOMI PRIMI CAPUT XIV § 258-260 [217–218 et quaeratur primo summa sinuum horum angulorum in infinitum progredientium ponatur ergo et quia haec series est recurrens, cuius scala relationis est 2 cos. b, –1, orietur haec series ex evolutione fractionis, cuius denominator est posito z =•- 1. Ipsa

p.281 (5)
218–219] DE MULTIPLICATIONE AC BIVISIONE ANGULORUM 281 Leonhabdi Euleki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 36 considerentur termini ultimum sequentes in infinitum hi quia horum sinuum summa est cos si haec a priori subtrahatur, remanebit summa quaesita. Scilicet, si fuerit 260. Pari

p.283 (1)
220] DE MULTIPLICATIONE AC DIVISIONE ANGULORUM 283 36* Lex, qua hi coefficientes progrediuntur, ex unciis binomii elevati intelligitur, nisi quod numerus absolutus in potestatibus paribus semissis tantum sit eius, quem unciae praebent. 263. Pari modo potestates cosinuum definientur: Hic ratione

p.285 (4)
221–222] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 285 0 aequabitur unitati cum série numerorum omnium, qui ex his a, {3, y, â, s etc. vel sumendis singulis vel duobus pluribusve diversis in se multiplicandis nascuntur. Atque si idem numerus duobus pluribusve modis resultare queat, etiam idem bis

p.286 (3)
286 TOMI PRIMI CAPUT XV § 268-272 [222-224 Erit enim multiplicatione instituta in quibus fractionibus omnes occurrunt numeri praeter illos, qui vel ipsi sunt potestates vel per potestatem quampiam divisibiles. Cùm enim omnes numeri integri sint vel primi vel ex primis per multiplicationem compositi

p.287 (1)
exclusis factoribus iisdem. 271. Posito ergo z -= 1 ista expressio 1 ae(juabitur unitati cum serie numerorum omnium, qui ex his a, 0, y, â, e etc. velj sumendis singulis vel duobus pluribusve in se multiplicandis oriuntur non ex(|lusis aequalibus. Hoc ergo differt ista numerorum series ab illa, quae

p.288 (2)
multiplicationem oriundi, manifestum est hic omnes omnino numeros integros in denominatoribus adesse debere. 274. Idem evenit, si numerorum primorum potestates quaecunque accipiantur. Si enim ponatur flet ubi omnes numeri naturales nullo excepto occurrunt. Quodsi autem in factoribus ubique signum

p.289 (5)
226-J-227] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 289 Le^hhaedi Edleki Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 37 | 275. Si haec cum superioribus conferantur, nascentur binae series, quaxwoâ productum unitati aequatur. Sit enim et erit (§ 269) atque manifestum est fore PQ = 1. 276. Sin

p.291 (1)
228-229J] DE SERIEBUS EX EVOLTJTIONE FACTORUM ORTIS 291 37* erit pos|ito x = 1 At logàrithmus numeri infinite magni oo ipse est infinite magnus, ex quo erit Tum v^ro in productis habebitur unde fit et Deinde per summationem serierum supra [§ 167] traditam erit Hinc obtinentur istae summae serierum:

p.293 (1)
231] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 293 Deinde valores sequentium productorum innotescunt In his fractionibus numeratores unitate superant denominatores, simul vero sumpti praebent quadrata numerorum pnrriorum 32, 52, 72, 112 etc. seu et sive vel

p.294 (1)
294 TOMI PRIMI CAPUT XV § 277-278 [232-233 EXEMPLUM3 Quia ex superioribus [§ 167] valores ipsius M tantum, si n sit numerus par, assignare licet, ponamus n == 4 eritque Hinc primo sequentes series summantur: Deinde etiam valores sequentium productorum obtinentur: et seu In his factoribus

p.297 (3)
f 235–236] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 297 Lbonhaboi Etjibei Opéra omnia- Is Introductio in aualysin infinitorum 38 summa sit infinite magna. Quantitate scilicet satis parva deficiet a logarithm.o hyperbolico seriei 280. Sit n = 2; erit unde fit

p.299 (2)
237-238] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 299 38* X Reliquae summae parium potestatum in ratione quadrupla decrescunt. 283. Haec autem seriei 1) In editione principe quinque ultimae figurae harum serierum ita se habent: (»= 2) 41222; (» = 4) 64252; (w = 6) 50639; (w = 8) 66515; 0=10) 73633

p.300 (1)
300 TOMI PRIMI CAPUT XV § 283-284 [238-239 in productum infinitum conversio etiam directe institui potest hoc modo. Sit subtrahe erit Sic sublati sunt omnes termini per 2 divisibiles. Subtrahe ̃4 -i H M -4 erit Sic insuper sublati sunt omnes termini per 3 divisibiles. Subtrahe erit Sic sublati

p.301 (1)
239-240] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 301 G10 A TT-–J-l.-t- 1 -1 1 284. Haec methodus iam commode adhiberi poterit ad alias series, quarum summas supra invenimus, in producta infinita convertendas. Invenimus autem supra (§ 175) summas harum serierum si n fuerit numerus impar. Summa enim

p.302 (2)
302 TOMI PRIMI CAPUT XV § 284-287 [240-242 Sic numeri per 11 divisibiles quoque sunt sublati. Auferendis autem hoc modo reliquis numeris omnibus per reliquos numéros primos divisibilibus tandem prodibit seu ubi in numeratoribus occurrunt potestates omnium numerorum primorum, quae in denominatoribus

p.303 (2)
242-243] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 303 n A 1) Vide notam p. 197. F. R. quae fractiones oriuntur ex numeris primis imparibus 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc. quemque in duas partes unitate differentes dispescendo et partes pares pro numeratoribus, impares pro denominatoribus suméndo. 286

p.304 (2)
304 TOMI PRIMI CAPUT XV §287-289 [243-244 quae per primam divisa dabit Haec vero denuo per .primam divisa dabit seu quae fractiones formantur ex cubis numerorum primorum imparium quemque in duas partes unitate differentes dispescendo ac partes pares pro numeratoribus, impares pro denominatoribus

p.305 (4)
244-245] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 305 Leonhardi Eulebi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 39 Simili modo porro erit unde orietur haec series ubi binarius habet signum +, numeri primi formae 4m – 1 signum numeri primi formae 4m + 1 signum +; et numerus quisque

p.308 (1)
308 TOMI PRIMI CAPUT XV § 291-293 [247-249 unde per evolutionem nascitur ubi binarius habet signum +, reliqui numeri primi omnes signum Simili modo quoque erit unde oritur ista series ubi omnes numeri primi praeter 3 et 5 habent signum In genere autem notandum est, quoties omnes numeri primi

p.309 (1)
249-250] DE SERIEBUS EX EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS 309 Subtrahatur erit Ex his tandem fiet ubi numeri primi unitate excedentes multipla senarii habent signum – déficientes autem signum +. Eritque 293. Consideremus casum w=l, quo A = –, eritque 3j/3 ubi in numeratoribus post 3 occurrunt omnes numeri

p.310 (4)
310 TOMI PRIMI CAPUT XV § 293-295 [250–251 quarum haec per illam divisa dat seu ubi singulae fractiones ex numeris primis J5, 7, 11 etc. formantur singulos numéros primos in duas partes unitate differentes dispescendo et partes per 3 divisibiles constanter pro numeratoribus sumendo. seu In priori

p.312 (4)
312 TOMI PRIMI CAPUT XV § 295-296 [252 quae fractiones formantur ex numeris primis singulos in duas partes unitate discrepantes dispescendo et partes pares (nisi sint pariter pares) pro numeratoribus sumendo. 296. Simili modo reliquae series, quas supra pro expressione arcuum circularium invenimus

p.313 (7)
Leonhaedi Eulebi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 40 CAPUT XVI DE PARTITIONE NUMERORUM1) 297. Proposita sit ista expressio quae cuiusmodi induat formam, si per mult,iplicationem evolvatur, inquiramus. Ponamus prodire atque manifestum est P fore summam potestatum 1) Confer hoc cum

p.314 (5)
sunt summae trium terminorum diversorum. Àtque S erit aggregatum potestatum ipsius x, quarum exponentes sunt summae quatuor terminorum diversorum eiusdem seriei a, j3, y, d, e etc., et ita porro. 298. Singulae hae potestates ipsius x, quae in valoribus litterarum P, Q, B, S etc. insunt, unitatem pro

p.315 (2)
huius seriei 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 etc. numero oriri queat. Sic si quaeratur, quot variis modis numerus 35 possit esse summa septem terminorum diversorum seriei 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 etc., quaeratur in serie z' multiplicante potestas X35 eiusque coefficiens 15 indicabit numerum propositum 35

p.316 (3)
illos in denominatorem transponamus. Sit igitur proposita haec expressio 1 quae per divisionem evoluta det Atque manifestum est fore P aggregatum potestatum ipsius x, quarum exponentes contineantur in hac serie Deinde Q erit aggregatum potestatum ipsius x, quarum exponentes sint summae duorum

p.317 (2)
256-257] DE PARTITIONE NUMERORUM 317 numerus n per additionem m terminorum, sive diversorum sive non diversorum, seriei o -t' 15- produci queat. Quaeratur scilicet in expressione evoluta terminus xnzm eiusque coefficiens, qui sit N, ita ut totus terminus sit = Nxnf\ atque coefficiens N indicabit

p.318 (7)
318 TOMI PRIMI CAPUT XVI § 305-308 [257–258 305. Si ponatur z = 1 atque similes potestates ipsius x coniunctim exprimantur, haec expressio 1 evolvetur in hanc seriem in qua quilibet coefficiens indicat, quot variis modis exponens potestatis adiunctae per additionem produci queat ex numeris integris

p.319 (1)
258-259] DE PARTITIONE NUMEROKUM 319 307. Patet autem, si loco z ponatur xz, prodire Ergo posito xz loco Z valor producti, qui erat Z, abibit in jqr^î sicque, cum sit -1- -r-i -11 -.2 1 -D -3.1 0 -4 1 -4- rr i i x» ̃ i f\ -.2 i T -3 I O«,4 I /-w4-/ erit Multiplicetur ergo actu per 1 + xz atque

p.320 (5)
320 TOMI PRIMI CAPUT XVI § 308-311 [259-260 porro est has singulas series esse recurrentes, quia ex evolutione functionis fractae ipsius x nascuntur. Prima scilicet expressio dat seriem geometricam ex qua quidem manifestum est quemvis numerum sèmel in serie numerorum integrorum contineri. 309

p.321 (12)
, prodibit superior series per xxo divisa, nempe cuius terminum generalem ponamus = Nxn; atque hinc patebit coefficientem N indicare, quot variis modis numerus n per additionem oriri possit ex his^, Leohhakdi Buleri Opera omnia 18 Introductio in analysin infinitorum 41

p.322 (7)
322 TOMI PRIMI CAPUT XVI § 311--314 [261-262 quatuor numeris 1, 2, 3, 4. Cum igitur prioris seriei terminus generalis futurus sit = Nxn+1°, deducitur hoc theorema: Quot variis modis numerus n per additionem produci potest ex numeris 1, 2, 3, 4, totidem variis modis numerus n + 10 in quatuor partes

p.323 (1)
• 262-263] DE PARTITIONE NUMERORUM 323 Ponamus evolutione per divisionem instituta prodire Perspicuum autem est, si loco z ponatur xz, prodire 1 Facta ergo in serie evoluta eadem mutatione flet Multiplicetur ergo superior series pariter per (1 – xz) eritque Comparatione ergo instituta orietur unde

p.324 (12)
324 TOMI PRIMI CAPUT XVI § 314-318 [264-265 perspicitur, nunc vero demum eius ratio intelligitur. Hinc ergo omnino similia theoremata consequentur, quae sunt: Quot variis modis numerus n per additionem produci potest ex numeris 1, 2, totidem modis numerus n -f- 2 in duas partes dispertiri poterit

p.326 (8)
additionem produci queat ex numeris 1, 2, 3, m. Ope huius theorematis a casibus simplicioribus, qui nihil habent difficultatis, continuo ad magis compositos progredi licebit hocque modo tabula hic annexa 1) est computata, cuius usus ita se habet: Si quaeratur, quot variis modis numerus 50 in 7 partes

p.329 (4)
267] DE PARTITIONE NUMERORUM 3^9 Leonhahdi Euleiîi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 42 N • S 319. Series huius tabulae verticales, etsi sunt recurrentes, tamen ingentem habent connexionem cum numeris naturalibus, trigonalibus, pyramidalibus et sequentibus, quam paucis exponere

p.330 (4)
superior. 321. Simili modo, quia series quarta oritur ex fractione erit Si in serie quarta primum quaterni termini addantur, tum in serie resultante. terni, denique in hac bini, prodibit series numerorum pyramidalium, uti ex sequenti calculo videre licet: Simili autem modo séries quinta deducet ad

p.331 (3)
269–270] DE PARTITIONE NUMERORUM 331 In his ordinibus primae series sunt numeri figur ati, unde subtrâhendo quemvis terminum seriei secundae a termino primae sequente formatur series secunda. Tum seriei tertiae bini termini coniunctim subtrahantur a termino sequente seriei secundae sicque oritur

p.332 (8)
magis digna est, quae consideretur, quod iam exemplum praebet illarum functionum, quas centum fere abhinc annos C. G. J. Jacobi ut fundamenta theoriae functionum ellipticarum in analysin introduxit et hoc charactere &• significavit; confer C. G. J. JACOBI, Elementarer Beweis einer merkiciirdigen

p.333 (2)
270-271] DE PARTITIONE NUMERORUM 333 1) Editio princeps: 1 + x + 2x2 + • • + 1002a;22 + 1250*23 + 1570s24 etc. CorrexitF.R. In hac ergo serie coefficiens quisque indicat, quot variis modis exponens ipsius x per additionem ex numeris integris oriri queat. Sic numerus 7 quindecim modis per additionem

p.334 (3)
334 TOMI PRIMI CAPUT XVI § 326-328 [271-272 326. Ut comparationem inter has formas instituarnus, sit et erit qui factores cum omnes in P contineantur, dividatur P per PQ; erit ideoque quae fractio si evolvatur, prodibit series, in qua quisque coefficiens indicabit, quot variis modis exponens ipsius

p.335 (5)
numerorum per additionem numerorum imparium tantum. 328. Restant in hoc genere casus quidam memorabiles, quorum evolutio non omni utilitate carebit in numerorum natura cognoscenda. Consideretur nempe haec expressio in qua exponentes ipsius x in ratione dupla progrediuntur. Haec expressio

p.336 (4)
336 TOMI PRIMI CAPUT XVI § 328-331 [273-274 Patet autem, si loco x scribatur xx, tum prodire productum Facta ergo in serie eadem substitutione erit Multiplicetur ergo per 1 + x eritque qui valor ipsius -P si cum superiori comparetur, habebitur erunt ergo omnes coefficientes = 1 ideoque productum

p.337 (7)
274-275] DE PARTITIONE NUMERORUM 337 Leonhardi Eulbri Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 43 .1.- -· ~«.v m.vw.v aavuwua ~liwGVGUGiIUGLIl, 1 J 1U, 2 M, é®, 8 «, 16 «, 32 «, 64 «, 128 «,' 256 0, 512 0, y omnia pondera usque ad 1024 U librari possunt, et si unum pondus 1024 M addatur

p.339 (3)
– • ~ww– «»j vvun i/wtiv/i-M t*f ow i«/«o /6m//cmsTOSj vunnueni. acau.. SC. JreTr (1728), 1732, p. 85. F. R. 43* CAPUT XVII DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS AEQUATIONUM INDAGANDIS 332. Indicavit Vir Celeb. DANIEL Bernoulli1) insignem usum serierum recurrentium in investigandis radicibus

p.340 (2)
340 TOMI PRIMI CAPUT XVII § 333-336 [276-277 cuius coefficientes A, B, C, D etc. ita determinantur, ut sit etc. Terminus autem generalis seu coefficiens potestatis zn invenitur ex resolutione fractionis propositae in fractiones simplices, quarum. denominatores sint factores denominatoris a v --3 -1

p.341 (7)
277-278] Dp USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 341 335. Ponamus iam n esse numerum maximum seu seriem recurrentem ad plurimos terminos esse continuatam. Quoniam numerorum inaequalium potestates eo magis fiunt inaequales, quo fuerint altiores, tanta erit diversitas in potestatibus %pn

p.343 (2)
280] DE USU SERIERUM RECURRÉNTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 343 Sit proposita ista aequatio cuius maximam radicem inveniri oporteat. Formetur fractio unde positis duobus primis terminis 1, 2 orietur ista series recurrens Erit ergo proxime aequalis radici aequationis propositae maximae. Valor autem

p.344 (1)
344 TOMI PRIMI CAPUT XVII § 338-339 [280-281 quaeratur huius, ut in numeris integris maneamus, radix minima, ita ut non opus sit pro x ponere y. Formetur ergo haec fractio ex qua sumendis pro lubitu tribus terminis initialibus 0, 0, 1, quia hoc modo calculus facillime expeditur, orietur haec series

p.345 (8)
281-282] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 345 Lbohhakdi Eulebi Opera omnia 18 Introductio in analysin infinitorum 44 EXEMPLUM 3 Si desideretur eiusdem aequationis propositae radix maxima, ponatur x = -f- eritque Cuius aequationis radix maxima reperietur per seriem recurrentem

p.346 (4)
et tolluntur quamobrem, quo haec discrepantia fiat insensibilis, series vehementer ulterius debet continuari. 340. Aliud vero remedium huic inconimodo afferri potest transmutando aequationem ope idoneae substitutionis in aliam formam, cuius radices sibi non amplius sint tam vicinae. Sic si in aequatione

p.347 (3)
283-284] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 347 44 Ponatur y = y«v ut sit cuius radix minima invenietur per seriem recurrentem, cuius scala relationis est 9, 6, +1; pro radice autem maxima invenienda scala relationis sumi deberet 6, – 9, + 1. Pro minima ergo formetur haec series 1

p.349 (3)
284–285] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 349 isti coefficientes ï&, (£ etc. per numeratorem fractionis determinantur, unde fieri potest, ut sive magnum sive parvum valorem obtineat; priori casu radix maxima p cito reperitur, posteriore vero tarde. Quin etiam numerator ita

p.351 (2)
286-287] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 351 quae esse debebat = z1,8793852. Ratio autem supra [§ 330] est allata, cur tam lente ad verum valorem appropinquetur, propterea quod altéra radix non multo sit minor maxima simulque sit affirmativa. 346. His probe perpensis, quae cum

p.352 (2)
352 TOMI PRIMI CAPUT XVII § 346-348 [287-288 quae dabit hanc seriem recurrentem ubi quidem quivis terminus per praecedentem divisus dat quotum binario maiorem. Cuius ratio ex termino generali facillime patet. Reiectis enim in eo terminis &qn etc. erit terminus potestati f respondens sequens qui per

p.353 (6)
288-289] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 353 Leonhaiidï EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 45 Orietur enim haec series 1, – 1, 9, –5, 65, 3, 457, 347, 3345, 4915 etc., quae adhuc longissime continuari deberet, antequam pateret radicem inde oriundam esse

p.354 (1)
simili potestate radicis maximae.nunquam evanescit, etiamsi series in infini.tum continuetur. Cuius exempla illustrationis causa hic adücere visum est. Sit proposita aequatio cuius radicem maximam investigari oporteat. EXEMPLUM 1

p.355 (3)
290-291] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 355 .1 cuius radix realis est 1, imaginariarum vero productum = 2. 45* ~x "Resolvitur haec aequatio in duos factores unde unam habet radicem realem 2 et duas reliquas imaginarias, quarum productum est 2, minus quam quadratum radicis

p.356 (2)
356 TOMI PRIMI CAPUT XVII § 349-352 [291-292 l) Vide paragraphum sequentem. F. R. Formetur ergo ex scala relationis 3, – 4, +2 series 1, 3, 5, 5, 1, 7, -15, -15, +1, 33, 65, 65, y 1 etc.; in qua cum .termini modo fiant affirmativi modo negativi, radix realis 1 inde nullo modo cognosci poterit

p.357 (1)
292] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 357 ex quorum duorum valorum comparatione fit atque Quamobrem si series recurrens iam eousque fuerit costinuata, ut prae pn reliquarum radicum potestates evanescant, tum hoc modo factor trinomialis 1 – 2pjs cos. cp -j- ppzz poterit inveniri

p.359 (1)
293–294] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 359 Sit proposita ista aequatio cuius unam radicem fere esse = 1 inde constat, quod posita x == 1 prodit Ponatur ergo x = 1 -f- y fietque unde pro radice minima invenienda formetur series recurrens, cuius scala relationis 2, 0, + 1

p.360 (1)
360 TOMI PRIMI CAPUT XVII § 354-355 [294-295 seu scala relationis a, + A + y y + &• Ponatur valor fractionis p = x; erit qui in superiori aequatione substituti dabunt unde patet quotum tandem praebere radicem unam aequationis inventae. Hoc vero et praecedens methodus indicat, praeterea vero docet

p.361 (7)
295] DE USU SERIERUM RECURRENTIUM IN RADICIBUS INDAGANDIS 361 Leonhakdi EuLERi Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 46 At ex proportione peripheriae ad diametrum cognita debebat esse z == 0,523598, ita ut radix inventa tantum parte 1003000 a vero discrepet.1) Hoc autem in hac

p.362 (5)
fractionibus vel divisionibus continetur. Quanquam enim hoc genus parum adhuc est excultum, tamen non dubitamus, quin ex eo amplissimus usus in analysin infinitorum aliquando sit redundaturus. Exhibui enim iam aliquoties1) eiusmodi specimina, quibus haec expectatio non parum probabilis redditur

p.363 (7)
296-297] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 363 46* in quarum forma priori omnes fractionum numeratores sunt unitates, quam potissimumr hic contemplabor, in altera vero forma sunt numeratores numeri quicunque. 358. Exposita ergo fractionum harum continuarum forma primum videndum est, quemadmodum earum

p.364 (1)
aliisque lo cis abrumpitur, sequentes valores quarum fractionum quaeque ex binis praecedentibus sequentem in modum invenietur: 361. Fractionibus scilicet formandis supra inscribantur indices a, b, c, d etc., infra autem subscribantur indices a, /?, y, â etc. Prima fractio iterum constituatur secunda

p.365 (1)
propius accedere ad verum valorem x quam ulla praecedentium *), unde hoc pacto citissime et commodissime valor ipsius x proxime obtinetur, etiamsi fractio continua in infinitum progrediatur, dummodo numeratores a A Y à etc. non nimis crescant; sin autem omnes isti numeratores fuerint unitates, tum

p.366 (2)
series toties abrumpitur, quoties fractio continua non in infinitum progreditur. 364. Modum ergo invenimus fractionem continuam quamcunque in seriem terminorum, quorum signa alternantur, convertendi, siquidem prima littera a evanescat. Si enim fuerit erit per ea, quae modo invenimus, Unde, si «, /?, y

p.367 (1)
300--301] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS .1 36'1 365. His probe consideratis poterit vicissim séries quaecunque terminorum alternantium in fractionem continuam converti seu fractio continua inveniri, cuius valor aequalis sit summae seriei propositae. Sit enim proposita haec series erit singulis terminis

p.369 (5)
301-302] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 369 Leonhabdi EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 47 Porro vero differentiis sumendis habebitur etc. Si bini igitur in se invicem ducantur, flet 0

p.371 (1)
303–304] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 371 47* 369. Sin autem omnes termini seriei sint numeri fracti, ita ut fuerit habebuntur pro a, ($,' r, â etc. sequentes valores Ponatur ergo, ut sequitur, eritque per fractionem continuam EXEMPLUM 1 Transformetur haec series infinita in fractionem continuam.

p.372 (2)
372 • TOMI PRIMI CAPUT XVIII § 369 [304-305 Erit ergo atque cum seriei propositae valor sit = l2, erit EXEMPLUM 2 Transformetur haec series infinita [§ 140] ubi n denotat peripheriam circuli, cuius diameter =1, in fractionem continuam. Substitutis loco A, B, C, D etc. numeris 1, 3, 5, 7 etc

p.373 (1)
305–306] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS a 373 EXEMPLUM 3 Sit proposita ista series infinita quae ob in hanc fractionem continuam mutatur 1 ex qua fit invertendo EXEMPLUM 4 Quoniam supra (§ 178) invenimus esse erit pro fractione continuanda unde fiet

p.375 (1)
307-308] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 375 EXEMPLUM 1 Quoniam posito e numero, cuius logarithmus est =1, supra [§ 123] invenimus esse seu. haec series in fractionem continuam convertetur ponendo quo ergo facto habebitur unde asymmetria initio reiecta erit EXEMPLUM 2 Invenimus quoque arcus, qui radio

p.377 (4)
309] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 377 Leoshakdi EULERI Opera omnia Is Introductio in analysin infinitorum 48 372. Quo autem hoc negotium generalius absolvamus, ponamus esse fietque comparatione instituta etc. Statuantur valores b, c, d etc. sequenti modo unde series proposita per sequentem fractionem

p.379 (4)
310-311] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 379 48* 374. Hoc modo innumerabiles inveniri poterunt fractiones continuae in infinitum progredientes, quarum valor verus exhiberi queat. Cum enim ex supra traditis infinitae series, quarum summae constent, ad hoc negotium accommodari queant, unaquaeque

p.380 (2)
380 TOMI PRIMI CAPUT XVin § 375-377 [311-312 Quin etiam, cum sit erit quae series etiamsi vehementer convergant, tamen vera earum summa ex earum forma colligi nequit. 376. Pro huiusmodi autem fractionibus continuis, in quibus denominatores omnes vel sunt aequales vel iidem revertuntur, ita ut ea

p.381 (2)
312–313] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 381 Est enim Y2 1 tam prope ut error sit insensibilis; namque radicem extrahendo erit atque ita ut error tantum in partibus centesimis millesimis consistat. 377. Quemadmodum ergo fractiones continuae commodissimum suppeditant modum ad valorem ]/2 appropinquandi

p.382 (1)
382 TOMI PRIMI CAPUT XVIII § 377-379 [313-314 etc. Notandum autem eo promptiorem esse approximationem, quo maior fuerit numerus a. Sic in ultimo exemplo erit ut error minor sit quam 12q21u^, ubi 5473 est denominator sequentis frac1292 bonis ^3- 378. Hoc vero modo aliorum numerorum radices exhiberi

p.384 (1)
resolvendis quod quidem ex ipso calculo est manifestum, dum x per aequationem quadraticam affectam determinatur. Potest autem vicissim facile cuiusque aequationis quadratae radix per fractionem continuam hoc modo exprimi. Sit proposita ista aequatio ex qua cum sit substituatur in ultimo termino loco x valor

p.385 (8)
315-316] DE FRÂCTIONIBUS CONTINUIS 385 Lbonhabdi EULERI Opéra omnia Is Introductio in analysin infinitorum 49 381. Ut autem usus in arithmetica ostendatur, primum notandum est omnem fractionem ordinariam in fractionem continuam converti posse. Sit enim proposita fractio in qua sit A B; dividatur

p.386 (2)
386 TOMI PRIMI CAPÏÏT XVm § 381 [316-317 unde tandem x per meros quotos inventos a, b, c, d etc. sequentem in modum exprimetur, ut sit EXEMPLUM 1 Sit proposita ista fractio quae sequenti modo in fractionem coritinuam transmutabi.tur, cuius omnes numeratores erunt unitates. Instituatur scilicet

p.388 (1)
mutatur. F. R. 2) Fractionem istam Eulerus primum in Commentatione 71 nota p. 362 laudata exposuit. F. R. etc. 1, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34 etc., · s · y 8591409142295 10000000000000 1 8451545146224 8591409142295 6 1 139863996071 1408590857 704 *) 10 139312557916 1398639960710 14 551438155

p.389 (1)
319–320] DE FRACTIONIBUS CONTINUIS 389 tus aequales, tamen ab ea quam minime discrepent. Hincque problema a Wallisio1) olim tractatum facile resolvi potest, quo quaeruntur fractiones minoribus numeris expressae, quae tam prope exhauriant valorem fractionis cuiuspiam in numeris maioribus propositae

p.390 (3)
390 TOMI PRIMI CAPUT XVm § 382 [320 EXEMPLUM 2 Exprimatur ratio diei ad annum solarem medium in numeris minimis proxime. Cum annus iste sit 365* 5* 48' 55", continebit in fractione annus unus 9«k 20935 86400 dies. Tantum ergo opus est, ut haec fractio evolvatur, quae dabit sequentes quotos 4, 7, y

p.391 (1)
[CAESAR, J.], 390 (Calendarium JULIANUM) CANTOR, M., 150 COLLINS, J., 149 Enestrôm,sG., 128, 180, 332, 336 ENESTROEMIANUS, passim (Index ENESTROEMIANUS Commentationum Euleri) EULER, L., 9 (Introductio, t. II), 10, 20 (Intred., il § 8 et 17; Commentationes 30 et 282 indicis ENESTROEMIANI), 25 (Comment

Search this document

See all volumes of the same set

All Gallica

Books

Manuscripts

Maps

Images

Periodicals

Sound recordings

Scores

Advanced search

Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, ...

Full record

Download

Download

Download

Download

Report an anomaly

Send by e-mail

Search module

Search results

Search this document

Share

Add to your collection

Most popular documents

Recent additions

The latest blog posts

Your opinion matters

Adopt a book

- Size:
- Download:	click here click here to open document or right click to download it and "Save link as..." ..

N° adhérent
Mot de passe