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Titre : Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques homogènes ; par M. J. Plana,...
Auteur : Plana, Giovanni (1781-1864). Auteur du texte
Éditeur : impr. de P. Blachier-Belle (Nismes)
Date d'édition : 1813
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31119853v
Type : monographie imprimée
Langue : français
Format : 7 p. ; in-4
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Description : Avec mode texte
Droits : Consultable en ligne
Droits : Public domain
Identifiant : ark:/12148/bpt6k62119115
Source : Bibliothèque nationale de France, département Littérature et art, V-16681
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 07/05/2012
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MÉMOIRE
Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques homogènes ; Par M. J. PLANA , professeur d'astronomie à l'académie de Turin.
I. L'ON trouve, dans le premier volume de la nouvelle édition de la Mécanique analitique de M. Lagrange ( pages 113-114. ) , l'énoncé d'un procédé très-ingénieux, pour former la série qui donne l'attraction des ellipsoïdes homogènes , sur les points extérieurs à leur surface. J'ai remarque que ce procédé peut être démontré, d'une manière assez directe et simple, en transformant les coordonnées de la surface du corps attirant , conformément à ce qui a été pratiqué par M. Yvory , dans son excellent mémoire , sur l'attraction des ellipsoïdes homogènes. (*) 2. Soient x , y , z les coordonnées d'un point quelconque de l'ellipsoïde ; àM—àxàyàz l'élément de sa masse ; et a, b , c les coordonnées du point attiré: En posant
rrown ej qu'il suffit de connaître la valeur de V, pour en conclure
.-JII!I" (*) Voyez. les Transactions philosophiques , pour 18og , ou le Nouveau bulletin des sciences , par la société pliilomatique , tome III, n.o 62 , 5.e année , novembre 1812 , page 176. Voyez aussi le n.0 64 du même recueil, page 216.
par la simple différentiation , les attractions parallèles aux axes. (*) Soient , pour plus de simplicité,
d'où T = [(r2 + R2) - 2X]~ ; ou , en développant la valeur de T ,
Maintenant , si l'on conçoit que l'on ait développé les radicaux qui entrent dans cette série , il est évident que l'on réduira la valeur de T à une suite de termes de la forme Axm.yn.z~l , dans lesquels A sera une fonction rationnelle et entière de a, b , c , ~• Il suit r
de là que , pour former la série qui ex prime la valeur de V, il est nécessaire d'avoir une formule propre à donner la valeur de l'intégrale ∫xm.yn.zl.dAM , étendue à toute la masse de l'ellipsoïde. Or , il est clair qu'en plaçant l'origine des coordonnées au centre de l'ellipsoïde , l'on aura ∫cm.yn.zl.dM = 0 , toutes les fois que l'un des exposans m , n , sera impair , puisque les mêmes élémens s'y trouveront, avec des signes contraires. Donc , il faudra commencer par supprimer, dans la valeur précédente de T, tous les termes multipliés par des puissances impaires de X; et il faudra ensuite , par la même raison, rejeter du développement des puissances paires de X tous les termes non compris dans la forme A.x2m.y2n.z2l. En désignant par X/2 , X/4 , X/6 ,.
ce que deviennent par là les valeurs de X2 , X4 , X6 ,.; on aura , dans le cas présent,
(*) Voyez la Mécanique céleste , tome I, page 136 , et tome II , page 13.
(A)
3. Cela posé , cherchons une formule propre à donner la valeur de l'intégrale ∫∫∫.x2m.y zn.z2l.dxdydz = P , étendue à la masse entière de l'ellipsoïde.
En intégrant d'abord , depuis x = — x' jusqu'à x = + x' , il viendra
Les valeurs de x' , y , z , qui entrent dans cette intégrale, doivent être considérées comme appartenant à la surface de l'ellipsoïde ; en conséquence, elles sont liées entre elles par l'équation
k, W, h" désignant les demi-diamètres principaux de l'ellipsoïde. If est évident que l'on rend cette équation identique , en posant x' = kSin.θ ; y = k'Cos.θSin.ϕ ; z = k"Cos.θCos.ϕ. (*) L'on pourra donc introduire les variables 8 et 0, à la place des variables y et z , en prenant , conformément au principe connu , dydz = — k'k"Sin.θCos.θ.dϕdθ ; (**) d'où résulte, en substituant
Pour peu que l'on examine maintenant la forme des expressions des variables x' , y , z , en 8 et ϕ , l'on comprendra sans peine qu'en intégrant , d'abord depuis ϕ = 0 jusqu'à ϕ = 200° , et ensuite
(*) C'est principalement sur cetle transformation que repose le beau travail de M. Yvory.
(H) Voyez le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de M. Lacroix , tome II, page 203 , n.° 528.
depuis θ = 0 jusqu'à S= 100° , l'on obtiendra la valeur de ∫∫∫.x2m.
y2~ll.z2l.dxdydz relative à la moitié antérieure de l'ellipsoïde, et qu'en conséquence il suffira de doubler le résultat obtenu entre ces limites, pour que l'intégrale proposée soit étend ue à la masse entière du corps.
Commençons l'intégration par rapport à CP. Il est facile de prouver , que l'on a en général
mais, en intégrant depuis ϕ = 0 jusqu'à ϕ = 200° , le premier terme de cette intégrale devient toujours nul; donc l'on aura, en continuant cette transformation ,
Or, par les formules connues, on trouve , entre les mêmes limites,
en nommant w le rapport de la circonférence au diamètre.
Donc
ou bien , en réd uisant ,
Pour effectuer l'intégration par rapport à θ , remarquons que l'on a, en général ,
mais, entre les limites θ = 0 , θ = 100° le premier terme du second membre de cette équation devient toujours nul; donc l'on aura , en continuant cette 1 transformation ,
or , par les formules connues , on trouve , entre les mêmes limites,
partant 1 ,
(2)
En doublant le produit des formules (i) et (2) , et posant
l'on obtient enfin
(B)
Ce beau théorème est dû à M. Lagrange. (*) 4. Reprenons actuellement la valeur de T donnée par la série (A), et remarquons qu'en conséquence du théorème renfermé dans la formule (B) , la valeur de V = ∫TdM sera exprimée par une suite de la forme
V= M (À h2m.k'1 n.k»% t+A'Ji1 m\h<1 n'.k;/ 1M-, ou A , A' ,. représentent des fonctions rationnelles et entières de I V a , b , c , — Or , il est démontré que doit toujours être une r fonction des excentricités de l'ellipsoïde (**) , donc il doit nécessairement exister, entre les coefficiens A, A' , A" ,. rapports V tels qu'ils réduiront la valeur précédente de - à cette forme :
(*) Voyez les Mémoires de l'académie de Berlin années 1792 et 1793 , page 262.
r (**) Voyez la Mécanique céleste.
Il suit de là que l'équation B(kfl—Te)p(Ji,n—k^-t-B^k'2—k2)p'(k//a - £ »)«'+
= Ak2m.k'2n.k"2l+A'k2m'.k'2nl.k"2l'+.
doit être identiquement vraie. Cette identité ne cesse pas de subsister , en faisant k = 0 , dans les deux membres de l'équation ; ainsi, l'on aura (C) Bk'2p.k"2q + B'k'2p'.k"2q' + = A~k"2β + A~"k'2~α'. k"2β'+. ; en nommant A~ , A~ , A~ les coefficiens des termes qui, dans le second membre de l'équation précédente , sont indépendans de k. La formule (B) nous fait voir que , pour obtenir les termes qui, dans la valeur de V, sont indépendans de k, il suffit de poser x=o , dans la valeur de T, donnée par la série (A). Il est évident que , par ce moyen , cette série revient à celle que l'on obtiendrait en développant le radical
suivant les puissances de y et z , en conservant seulement les termes de la forme H.y2m.z2n. L'intégrale d'un tel terme est, en vertu de la formule (B) ,
et, d'après l'équation (C) , si l'on change, dans ce résultat , k'2 et k"2 respectivement en kli-k2 et k,n—ka , la fonction
appartiendra au jëyeloppemeht de la valeur de r. C'est en cela que consiste le Par M. - Lagrange. rX-.1- le
Turin, le 3 janvier 1813.