Rappel de votre demande:
Format de téléchargement: : Texte
Vues 1 à 78 sur 78
Nombre de pages: 78
Notice complète:
Titre : Tables de logarithmes à 27 décimales pour les calculs de précision / par Fédor Thoman
Auteur : Thoman, Fédor. Auteur du texte
Éditeur : Impr. impériale (Paris)
Date d'édition : 1867
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31459502g
Type : monographie imprimée
Langue : français
Format : 1 vol. (55 p.) ; gr. in-8
Format : Nombre total de vues : 78
Description : Avec mode texte
Droits : Consultable en ligne
Droits : Public domain
Identifiant : ark:/12148/bpt6k62118038
Source : Bibliothèque nationale de France, département Littérature et art, V-17697
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
Le texte affiché peut comporter un certain nombre d'erreurs. En effet, le mode texte de ce document a été généré de façon automatique par un programme de reconnaissance optique de caractères (OCR). Le taux de reconnaissance estimé pour ce document est de 99%.
TABLES DE LOGARITHMES
A 27 DÉCIMALES
POUR LES-CALCULS DE PRÉCISIONS
PAR
FÉDOR THOMAN
PARIS IMPRIMÉ PAR AUTORISATION DE SON EXC. LE GARDE DES SCEAUX
A L'IMPRIMERIE IMPÉRIALE
M DCCC LXVI
TABLES DE LOGARITHMES
A 27 DÉCIMALES
TABLES DE LOGARITHMES
A 27 DÉCIMALES
POUR LES CALCULS DE PRÉCISION
l'Ait
FÉDOR THOMAN
PARIS
IMPRIMÉ l'AL'i AUTORISATION DE SON EXC. LE GARDE DES SCEAUX
V L'IMPRIMERIE IMPÉRIALE
VI DCCC LXVI1
18G7
1 INTRODUCTION.
Le but de ces tables est de trouver par un procédé facile et simple, sans division, sans interpolation et sans formule, le logarithme d'un nombre donné ou le nombre correspondant à un logarithme donné.
Ces tables sont à 27 décimales, et permettent d'obtenir les logarithmes ou les nombres avec toute l'exactitude que l'on désire, jusqu'à 26 chiffres exacts. Pour la plupart des calculs onze à treize chiffres suffisent; je n'ai pris 27 décimales que pour satisfaire à tous les cas exceptionnels qui peuvent se présenter.
DES TABLES DE LOGARITHMES À SEPT DÉCIMALES.
Avant de développer la manière d'employer les tables à 27 déci males, déterminons le degré d'approximation que donnent les tables de logarithmes les plus usitées, les tables à 7 décimales, afin de savoir dans quel cas il faut renoncer à leur emploi.
Ces tables ne peuvent donner dans le cas le plus simple que 6 chiffres exacts, le septième sera douteux: l'inspection des tables à 7 décimales suffit pour en fournir la preuve.
Ainsi, par exemple : pour les nombres compris entre 9000000 et 9 999 999, la différence tabulaire varie entre
1
49 et 43; c'est-à-dire, pour cent nombres naturels consécutifs on n'a que 43 ou au plus 49 logarithmes différents; par conséquent entre 9000000 et 9 999 999 il y a toujours deux ou trois nombres consécutifs qui ont le même logarithme; aussi, parmi les nombres naturels compris entre ces deux limites, y en a-t-il plus de la moitié qu'on ne peut jamais obtenir à l'aide des logarith mes à 7 décimales.
Ainsi par exemple :
log 9780583 log 9780584 log 9780585
=6,9903648
Réciproquement, si l'on cherche le nombre dont le logarithme est 6,9903648, on trouve 9780684; mais on ne pourra jamais obtenir à l'aide des tables à sept décimales ni le nombre 9780683, ni le nombre 9780685.
En général, tout logarithme contenu dans la table est susceptible d'une erreur par excès ou par défaut d'une demiunité;. l'interpolation y ajoute une seconde erreur qui peut s'élever également à une demi-unité: par conséquent tout logarithme extrait directement de la table peut être en erreur d'une unité.
Exemple : On demande d'évaluer par les logarithmes
log 321473=5,5071446 log 819255 = 5,9134192 comp. log 452604 = 4,3442817 comp. log 595118 = 4,2253970 V log x = 9,9902425 donc x— 0,9777831
Tous ces logarithmes ont été déterminés avec toute l'exactitude que comportent les tables à sept décimales, et pourtant chacun d'eux est en défaut de près d'une unité.
Le résultat exact est
log x 9,9902421 et x = 0,9777822 ce qui constitue une erreur de neuf unités du dernier ordre dans le résultat obtenu à l'aide des logarithmes à 7 décimales.
En général, pour trouver avec n décimales le logarithme d'un nombre donné par approximation, il faut connaître les (n + 1) premiers chiffres de ce nombre; et réciproquement, si le nombre est demandé avec n chiffres, il faut connaître (n + 1) décimales du logarithme.
Il RECHERCHE DU LOGAHITHME PAR LA MÉTHODE DES RRCIPKOQUES APPROCHÉS.
Dans tout logarithme vulgaire on distingue deux parties : le nombre entier ou caractéristique, et la partie décimale ou mantisse.
La caractéristique renferme toujours autant d'unités moins une qu'il y a de chiffres à la partie entière; on l'obtient par la simple inspection du nombre.
La mantisse, seule partie du logarithme que l'on inscrive dans les tables, est aussi la seule qu'il faut calculer et dont par conséquent nous ayons à nous occuper.
On sait que la mantisse est complètement indépendante de la position de la virgule décimale dans le nombre; on pourra donc considérer les nombres indépendamment de la position de la virgule; il en sera de même des facteurs auxiliaires par lesquels nous aurons à les multiplier : par conséquent, dans les calculs qui vont suivre, on placera la virgule décimale du nombre dont on cherche le logarithme, ainsi que celles des facteurs, de la manière qui semblera la plus commode, soit pour le raisonnement, soit pour le calcul.
NOTATION.
Pour faire usage de nos tables, nous emploierons une nolahon qui facilite considérablement le calcul, et qui ne peut donner lieu à aucune équivoque; pour la laire comprendre immédiatement, il suffit d'en donner quelques exemples avec la traduction en regard.
Ainsi 0,038 signifie 0,0008 1,048 » 1,00008 1,048 » 1-0,00008 = 0,99992
Les nombres donnés sous cette forme servent de multiplicateurs; mais les multiplications sont très-faciles.
Pour effectuer la multiplication d'un nombre décimal quelconque par un nombre de la forme (1 ±-~L) , on sépare d'abord du multiplicande les n derniers chiffres, ce qui équivaut à la division par 10"; puis on multiplie les chiffres qui restent, par le facteur a; le résultat de la multiplication ajouté ou soustrait, suivant le signe de a, donne le produit demandé.
Exemple 1. Soit à multiplier 1,00006.05177 par 1,0002
1,00006 55177 X 1,032 2 1 3 1
Produite 1,00026.55308
Ex. "2. Multiplier
x 0,99997.034567 par 1,00003 0,99997.034567X 1 ,o43 2.999911
Produit = 1,0634478
Ex. 3. Multiplier
iplier 1,00000.04712.516831 par °'999999^ 1 ,064 712.516831 x 1 ,06 4 4 1885
Produit 1,07712.514946
LOGARITHME DE (l ±0).
Désignons par e Ja base des logarithmes naturels :
e=2,7182818284., et park son logarithme vulgaire, k = log 0 = 0,43429 (lab. I.):le nombre k s'appelle le module des logarithmes vulgaires.
Lorsqu'un nombre diffère peu de l'unité, soit en plus, soit en moins, de manière que les n premiers chiffres après la virgule décimale soient tous des zéros, ou tous des 9, son logarithme à 2n chiffres est égal au module multiplié par la fraction décimale qui est la différence entre ce nombre et l'unité, ou
log (1 -θ) = kθ et log (1 — θ) = — kθ Ainsi, on trouve avec dix décimales exactes :
log i,00004= 0,00000.17372 log 0,999996 = -0,00000.17372 = 9,99999.82628 La première partie de la table III contient les 11 o premiers multiples de k, et donne, soit directement, soit à l'aide d'une simple addition, les logarithmes à 2n décimales de tous les nombres composés de l'unité suivie de n zéros au moins, et de tous les nombres commençant par n chiffres 9.
On prendra les chiffres de la fraction décimale deux à deux, et l'on écrira au-dessous le produit par le module, produit qui sera toujours un peu moindre que la moitié du nombre exprimé par lés.
deux chiffres.
Ex. 4. On demande avec 12 décimales log 1,000000.349689 Ce logarithme est égala kX 0,06349689
1,06349689 147660.1 pour 34 (table III) 4169.2 » 96 1 38.7 ) 89 donc log 1,09349689 = 0,09151868
Ex, 5. On demande avec 12 décimales log 999999660311.
On a 0,999999.650311 = 1 - 0,06349689; donc son logarithme sera égal à — kX0, 06349689, ou, d'après l'exemple précédent, égal à —0,06151868; d'où log 999999650311 = 11,999999.848132.
Ex, 6. On demande avec 27 décimales le logarithme de :
Ex. 7. On demande avec 27 décimales le logarithme de : 0,99999-99999-99998-87766-55448-91 Ce nombre est égal à 1 — 0,014. 12233.44551.09 ; et comme la fraction décimale est égale à celle de l'exemple précédent, mais de signe contraire, le logarithme qu'on cherche sera négatif et égal au logarithme de l'exemple 6. Le logarithme demandé sera donc =-0,01548742.36607.04 ou =9,99999.99999.99999.51257.63392.96.
Ainsi donc, cette seule table des i oo premiers multiples de k sullit pour donner par de simples additions les logarithmes avec 27 ou avec moins de 27 décimales de 1 43 trillions ( 1 43.1012) de nombres.
RÉCIPROQUES APPROCHÉS.
Puisqu'on connaît directement le logarithme de (1 + 0), lorsque 0 est suffisamment petit, il est évident que l'on connaît également le logarithme de tout autre nombre, lorsqu'en le multipliant par un ou plusieurs facteurs compris dans les tables, on obtient un produit de la forme (1 + (j). On y arrive facilement au moyen des réciproques approchés.
Deux nombres sont réciproques l'un de l'autre, lorsque leur produit est égal à l'unité; ainsi 6,4 et 0,1 562 5 sont réciproques, car 6,4 X 0, 15625 = 1.
Soit a une quantité moindre que l'unité, il résulte de la relation (1 + a) (1 — a) = 1 — a2 que ( 1 + a) (1 - a) +a2 = 1 donc
On voit que la somme d'un nombre et de son réciproque est toujours plus grande que 2 ; mais elle n'en diffère que d'une quantité à peu près égale au carré de a, lorsque celui-ci est petit.
Par conséquent, si a est suffisamment petit, et si d est une quantité moindre que a, ( 1 + a) sera le réciproque approché de (1 - a + el) et (1 —a) sera le réciproque approché de (1 + a + d) Désignons le nombre par i\ et son réciproque par n, de manière
que NR = 1 ; et soit, par exemple, a = 0,0003; le réciproque de 1,0003 sera plus grand que 0,9997 ; mais il n'en diffère que d'une quantité moindre que 0,00000009; en effet on a N= 1 ,ooo3 donc R>0,9997
R = 0,9997-0008-0073 et N + R = 2,o789973
Le produit d'un nombre par son réciproque étant égal à l'unité, il s'ensuit que si l'on multiplie un nombre par son réciproque augmenté ou diminué d'une petite quantité, le produit sera plus grand ou plus petit que l'unité, qu'il sera de la forme (1 ±θ), et que la quantité 0 sera d'autant plus petite que la différence entre le réciproque approché et le réciproque exact sera moindre.
Ainsi, par exemple, le réciproque de 5,3 est 0,186679 et leur produit est égal à l'unité; si au lieu d'employer pour facteur le réciproque exact 0,188679. on multiplie 5,3 par 0,19 valeur approchée du réciproque, on obtient pour produit 1,007.
De même, le réciproque de 1,0008006543 est plus grand que 0,9991993457, et si l'on multiplie ce nombre par 0,9992 ou 1 ,o38, on obtient pour produit 1,07138.
Enfin, comme nous allons le démontrer plus loin, tout nombre peut, à l'aide d'une ou de plusieurs multiplications par des réciproques approchés, être amené à un produit de la forme (1 ±θ), dont on trouve directement le logarithme dans la table 111.
La question de la recherche des logarithmes se réduit donc à choisir des réciproques approchés qui soient tous compris dans la table.
Il est facile de remplir cette condition à l'aide des considérations suivantes :
I. Tout nombre multiplié par son réciproque forcé au second chiffre donne pour produit Vuniié suivie immédiatement d'un zéro au moins.
En effet, si l'on s'arrête au second chiffre du réciproque en l'augmentant d'une unité, il est évident qu'on l'aura augmenté de moins d'un dixième de sa valeur; par conséquent en multipliant le nombre par son réciproque forcé, on aura un produit plus grand que l, mais plus petit que 1,1; donc le premier chiffre décimal du produit sera nécessairement un zéro.
Exemple: Le réciproque de 77 est 1298701 ; si l'on multiplie 77 par 1 3, on obtient pour produit 1001.
La table 1 donne les réciproques de tous les nombres naturels de 1 à 100; pour connaître le réciproque forcé d'un nombre, on prendra dans la colonne intitulée deux nombres consécutifs, l'un plus grand, l'autre plus petit que le nombre donné, abstraction faite de la virgule décimale; puis on multipliera par le plus grand des deux réciproques.
Ainsi, par exemple, étant donné le nombre 27802345, on trouve dans la table que ce nombre est compris entre 2867 réciproque de 35 et 2778. réciproque de 36 donc le réciproque de 2780 est compris entre 35 et 36, et en le multipliant par 36, on doit obtenir un produit plus grand que l'unité, mais moindre que 1,1; en effet : 3,6 X 0,27802345= 1,00088442.
II. Lorsqu'un nombre est composé de l'unité suivie d'une fraction décimale dont les premiers chiffres sont des zéros et qu'on le multiplie par l'unité diminuée de la valeur du premier chiffre significatif, on obtient toujours un produit plus approché de l'unité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, si les premiers chiffres du nombre donné sont
i ,0004., on le multipliera par son réciproque approché au cinquième chiffre i ,034.
Comme le réciproque de 1,034 ou de 0,9996 est 1 ,000400160064, il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire, s'il est compris entre 1,00049999 et i,ooo4ooi 6, le produit sera plus grand que l'unité, mais il sera toujours plus petit que 1,035 x i,o34 = 1,00009980; par conséquent, le produit aura toujours au moins un zéro de plus après la virgule décimale.
On aura par exemple : 1,0349896 X 1,034 = 1,09876 1,0340694 X 1,034= 1,05678 1,0340094 X 1,034 = 1,0678 1 ,0340024 X 1 ,034 = 1 ,078 1,0340017 X 1 ,034= 1 ,071 Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de i,o34, c'est-à-dire, s'il est compris entre 1,0004.0016 et 1,0004.0000, le produit sera moindre que l'unité, mais plus grand que 1, 034 X 1,034: = 0,9999.9984; par conséquent, les zéros seront remplacés par un nombre au moins double de chiffres 9; ainsi on aura : ■ 1,0540015 X 1,034 = 0,99999999 1,0340003 X 1,034 = 0,99999987
Désignons en général par a la valeur absolue du premier chiffre significatif; Et par d la valeur de la fraction décimale qui le suit; Le nombre sera (1 + a + d), et si l'on effectue la multiplication par le réciproque approché (1 - a), le produit sera [1 + d - a (a + d) ]; par conséquent, le premier chiffre de la fraction décimale sera supprimé, et la fraction décimale qui le suit sera diminuée.
.M a i s le r é ci p ro q ue de ( i -a ) est ( i +a+ - 2 Mais le réciproque de ( 1 — a) est ( 1 + a + ~); donc, si d est plus grand que le nombre ( i + a+ d) est plus grand que le ré-
ciproque de ( i - a), et le produit sera plus grand que l'unité; mais il aura au moins un zéro de plus que (1 + a + d), attendu qu'il sera moindre que (1 + d).
Exemple :
1,00007.26334 X 1,047 7. 51 1, 05.26283
CL1 Si d est moindre que ~) le nombre (1 + a + d) sera plus petit que le réciproque de (1—a); donc le produit sera compris entre l'unité et (1 +a) (1 —a) = 1—a2.
Or a est un nombre entier du ne ordre décimal, compris entre i et 9; donc son carré a2 sera du 2ne ordre décimal et compris entre 1 et 81, et si (1 + a) contient (n — 1) zéros après la virgule décimale , (1 — a2) contiendra un nombre de 9 au moins double.
Exemple :
1,00007.00045 x 1 ,047 - 7- 49 0,99999.99996
III. Lorsqu'un nombre commence par plusieurs chiffres 9 el qu'on le multiplie par l'unité augmentée du complément arithmétique du premier chiffre décimal à la suite des 9, on obtient toujours un produit plus rapproché de l'unité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, soit le nombre donné 0,9996., on le multipliera par 1,034.
Comme le réciproque de i,o34 est 0,9996001599 ., il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire s'il est compris entre 0,9996.9999 et 0,9996.0016, le produit sera plus grand que l'unité, mais il sera plus petit que 0,9997 X 1,034
= i,o33 X 1,034 = 1,00009988; par conséquent, on obtiendra pour produit l'unité suivie d'un nombre de zéros plus considérable que le nombre des 9 par lesquels commençait le nombre proposé.
Ainsi, par exemple, on aura avec 8 décimales: 0,99965096 X 1,034 = i,o45682 0,99960694 X 1,034 = 1,05678 0,99960094 X 1 ,034 = 1,0678 0,99960024 X i,o34 = 1,078 0,99960016 x 1,034= 1 Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de 1,034, c'est-à-dire, s'il est compris entre 0,99960016 et 0,99960000, le produit sera moindre que l'unité, mais plus grand que 1,034. X 1,034 = 0,999999874; par conséquent on aura, après la virgule décimale, un nombre de 9 au moins double ; par exemple : 0,99960015 X 1,034. = 0,99999999 En général, désignons par a le complément du premier chiffre après les 9, et par d la valeur de la fraction décimale qui suit; le nombre sera (1 — a+d), et si l'on effectue la multiplication par le réciproque approché (i + a), le produit sera 1 + d - a (a— d) Mais le réciproque de ( 1 + a) est 1 — a + j ; donc, 2si d à1 le nombre (1 - a + d) sera plus grand que le réciproque de (1 + a) et le produit sera plus grand que l'unité: en outre, puisque ce produit est moindre que (1 + d), il aura au moins un zéro de plus que le nombre n'avait de 9.
Par conséquent, tous les 9 el le premier chiffre de la fraction
decimale a seront supprimés, et la fraction décimale qui les suit sera diminuée de a (a - d).
Exemple :
0,99995.84672 X 1,045 4.99979 1,00000.84651
Si d< 1 a le nombre (1 — a+d) sera moindre que le réciproque de (i + a), et le produit sera moindre que l'unité, mais plus grand que (1 - a) (1 + a) = 1 — a2 Donc, si a est un nombre entier du ne ordre décimal compris entre 1 et 9, son carré a2 sera du 2ne ordre décimal et compris entre 1 et 81 ; et lorsque (1 - a) contient (n - 1) chiffres 9 après la virgule décimale, (1—a2) contiendra un nombre de 9 au moins double.
Exemple:
0,99995.00021 X 1 ,045 4-99975 0,99999.99996
Les tables II et IV contiennent les logarithmes des nombres de la forme (1 + j » depuis n = 1 jusqu'à n = 14; à partir de là on a -
et
par exemple : log 1,0134 = 0,0317.37177-92 761.50 log 1,0144 = 0,014 1.73717.79276.15 log i,o154 = 0,015 17371.77927.62 log 1 ,0164 = 0,016 1737. 17792.76
- En résumé, d'après ce que je viens de démontrer, toute la recherche du logarithme d'un nombre donné se réduit à multiplier successivement le nombre par des réciproques approchés au second chiffre significatif, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un produit delà forme (i ±θ), dont on trouve le logarithme par simple addition.
On multiplie d'abord le nombre donné par son réciproque forcé au second chiffre ; le produit sera un nombre composé de l'unité et d'une fraction décimale commençant par un ou plusieurs zéros; ensuite ce produit multiplié par l'unité diminuée de la valeur du premier chiffre significatif (c'est-a-dire, par son réciproque approché au deuxième chiffre significatif) donnera un nouveau produit ayant après la virgule décimale au moins un zéro de plus.
En continuant de procéder ainsi, on finira par obtenir un produit de la forme ( 1 + θ) et dont le logarithme est égal à kQ.
Soit N le nombre donné, p son réciproque forcé, ( 1 — a), (I-h), ( 1 — c),. les autres facteurs, ( - (α), ( — β), ( — y),. leurs logarithmes respectifs, et soit (1 +0) le produit final, on aura : N peI —a) ( 1 —b) ( 1 — c). = i + 0 d'où logN+logp — (a+ (S +y+.) = kθ, et logN = comp. logp + (α + β + y+.)+kθ Or, la table 1 contient les compléments des logarithmes des cent dix premiers nombres naturels; La table II contient les compléments des logarithmes des nombres de la forme ( 1 —~ Et-la première partie de la table III contient les multiples de k.
- Par conséquent, au moyen de ces trois tables, il sera toujours facile de trouver le logarithme de tout nombre donné.
Ex. 8. Calculer avec 10 décimales exactes log 588a 3654.32.
En multipliant le nombre donné par son réciproque forcé 17, on
obtient pour produit 1,05212344, dont on trouve, table III, le logarithme au moyen d'une simple multiplication par le module.
Voici tout le calcul :
58823.65432 X 17 41176. 558024 1,00000. 2 1 2344 = 1 + 6 9120 .8 998.9 1 9 1 ,76955. 107862 = comp. log 17 (lab. I) log N = 9,76955. 200082
Ex. 9. Calculer avec 10 décimales exactes le logarithme de : 1,96471598 On voit, table I, que le réciproque du nombre donné est moindre que 5 1 ; en multipliant le nombre par 5 i, on obtient pour produit 1,002 005 ., qui, multiplié lui-même par son réciproque approché 0,998 ou 1 ,022 , donnera pour produit final 1,05395 dont on trouve directement le logarithme table III.
Voici tout le calcul :
19647.1598 X 51 982357.990 1,00200.51498 X 1,022 200. 40103 1, o5 .11 395 =1+0 47772 1 69/i 22
l\qkç) =log(1 + θ) 86.94587 = — log 1 ,022 (tab. II) 29242.98239 — comp. log 51 (tah. 1) log N = 0,29329 97775
Ex. 10. Calculer le logarithme de 1,00044 .01213 avec 12 chiffres exacts.
1,00040.01512 130 X 1,034 4 1600.605 0.99999 99911 525 = 1-θ 88.475 = 0 38.218 206
— 38.424 = log (1 — ) 0,0317 37525 456 = comp. log 1 ,034 (tab. Il) log N = 0,00017.37487.032
Dans cet exemple, le produit du nombre donné par son réciproque approché i,o34 est moindre que l'unité, par conséquent son logarithme est négatif.
Ex. Il. Déterminer avec 15 décimales log 99999.98234.56789
91 98234.567890 x 1,062 ,\,
4' /< £ \1999- 999647 A - ', 1 I jef 1 234.567537 XI,072 Vcy 2 5 34-567532 —6
14.766012 243205 3257 14 0,08 15.012488 = log( 1+θ) 86.858897 = comp. log 1,072 - 868.588877 = — log 1,062 (tab. IV) logN= 14,99999 99233 282508
Exemple 12. Calculer avec 15 décimales exactes le logarithme
de 7r = 3, 14 159.26535.89793 3141 59265 35897 93 x^ 6283.18530.71795.86 941247 77960. 76937 9 1 ,00 5 30 9649 1 48733 76 X 1,02 5 0 q 5118 4,5 7 A 7 2 8 3 1009.02990.09 XI, n:\ ?
2 066.20180.60 8 3o/J/|2 82809 •/,() x I,()'¡() 8 66 2.
7-87 x 1, or'3 x 1, o73 3 3 9112 92 1 1 3
76. 30152.8 2 - - (J
33 00638 () (; 13028.83 65 14 1 .22
7 = log ( 1 + θ) 130.28834.65 13028 85400 04 3.47449 48368.73 8 68675 83428 58 217 69192 54274. 55 49485.00216.80094.02 log π= 0,4971 Il- 98726. 941 3/t
Exemple 13. Calculer avec 27 décimales le logarithme de 0,99999 60003. 1 6699. 8.').')()')-2/j3/). 36:
0,99999 60003 1 (iCx). 855(52. 5r?/|34- - 3(5x 1 ,o:'A 3()()()(). 8/joo 1 2 (>(579 .942 2 5.o1 1, o'' 3 0070 1 1 22/12 4 6 (5 5 9 .37x1 ,o°3 x 1 ,o127 3 7 9 02103 3 7 4. 9 1 1 122 33 Id, 5 51 .09 = θ 417772 39300 936 (voir ex. (5) 9 a 5 .4/178(5.0] 9 14.33171 .790 19108.957 238.862 (¡ ') 47 3 48742.36607.04 304.0063.73323.83 1 .30288. 3 4 4 5 9. 0518 8 o o • 99999 • 82628 2.r)5/|6 73358.299/12.58 = eomp. 1 ,o:>4 N 561 :) q 57173 45061 45
III
RECHERCHE DU NOMBRE.
Lorsque le logarithme donné est une fraction décimale, positive ou négative, dont la première moitié au moins est composée exclusivement de zéros, le nombre correspondant est égal à l'unité, plus le logarithme divisé par le module;
Or, puisque k= 0,434.29 ., on a ii = 2,30258. (voir tab. I), par conséquent le nombre cherché est un peu plus grand que l'unité augmentée du double du logarithme.
Par exemple si log x = 0,00001 ., on a x = 1,00002 3026 et si log x— 0,0000 1 = 9,99999 x= — 0,00002 .3026 = 9,99997.6974 La seconde partie de la table III contient les cent dix premiers multiples de i et donne soit directement, soit à l'aide d'une simple addition, les nombres à (2n — 1) chiffres de tous les logarithmes positifs ou négatifs commençant par n zéros.
On prendra les chiffres deux à deux, en écrivant au-dessous le produit qui est toujours un peu plus grand que le double du nombre exprimé par les deux chiffres. La somme de tous ces produits partiels augmentée de l'unité sera le nombre cherché.
Par exemple, soit log x = 0,000000.151868 on trouvera (tab. III) 345387.8 pour 15 - 4144.7 » 18 156.6 » 68
donc x = 1,000000.349689
Pour tout autre logarithme, le calcul du nombre correspondant est très-simple : Du logarithme donné on retranche celui de la table V, qui s'en approche le plus par défaut; on agit de même pour tous les restes obtenus successivement, en retranchant les plus grands logarithmes de la table IV contenus dans les restes, puis on cherche le produit des nombres correspondant aux logarithmes soustraits.
Il n'est pas nécessaire de continuer le calcul jusqu'à ce que tous les chiffres significatifs soient supprimés. Pour obtenir le chiffre exact à (2 n — 1 ) chiffres, on peut cesser la soustraction des logarithmes dès qu'on sera arrivé à un reste commençant par n zéros et dont on trouve directement le nombre correspondant par simple addition.
En résumé, si l'on désigne par x le nombre cherché, par log N, log (i + a), log (î + b)., les logarithmes soustraits du logarithme donné et par 0 le reste, de manière que logx = logN + log(1 + a) +log ( 1 + 6) + + θ le nombre cherché sera x = N (1 + a) (1+b) ( 1 + Dans tous ces calculs on ne tient compte que de la mantisse; c'est seulement à la fin du calcul qu'on met la virgule décimale à la place.
que lui assigne la caractéristique.
Il ne faut pas oublier que pour calculer un nombre avec n chiffres exacts, il faut connaître son logarithme avec (n + 1) décimales.
Ex. 14. Calculer avec 1 i décimales le nombre dont le logarithme est = 0,49714 9872694.
Le plus grand logarithme de la table V, contenu dans le logarithme donné, est celui de 31 ; on retranche du reste les plus grands loga-
rithmes de la table IV jusqu'à ce que le dernier reste contienne au moins six zéros consécutifs.
Ce reste 0,06861083 est le logarithme de 1,051982717, et ce dernier nombre multiplié par les nombres dont on a soustrait les logarithmes donne pour produit : x = 3,1 x 1,01 x 1 ,02 3 x 1 ,03 3 Xl, 0 0 Xl, 0 1 98.27 1 7 ou x = 3, 14159.265359, exact au dernier chiffre.
Voici tout le calcul :
log x=0, 49714 98726. 94 49136.16938.34 =log 31 578.81788.60 432 13737 83 r= log 1,0 1 146.68050.77 130. 09330. 20 =log 1,023 16.58720.57 13. 02688.05 = log 1,033 3.56o32.52 3.47421.69 = log 1,048 86io.83 19802,23 23.o3 1 91 1,00000.19827.17 X 1,08 38 1 59 X 1,033 245.95 1 ,00038 20074 71 xl,023 3 1146o. 22 1 ,00338 31534 93 X1, 01 1 3.38315.35 1,01341.69850.28 x 31 3o 40250.95508.4 x = 3,14159.2 65359 (valeur de n)
Ex. 15. Combien produit un franc placé pendant 5oo ans, l'intérèt étant à 6 o/o payable par semestre?
t = 0,03 r= 1,03 n=1000 log rn = 12,83722.47051 72205. 17 83250.89127.06236.32. log68 471 57924 65968 85 432 13737 82042 57 1,01 39. 44186 83326 28 39 .06892 49910 13 1,039 3729/1.33416. i5 34743 41957.88 1 ,o58 2550.91458.27 2171.47186.66 1 ,065 379.442 71.61 347 .43557.16 1 ,078 32.00714 45 73.67272.3o 1634.84 10. 1 3 1 2
1,00000.00073 699 17.39 X 1,078 858 5() Xt,o"5 43.68 X 1,058 4698.96 1,00000.85873.74660.62 X 1,039 77.28637. 19 1,00090 85951 03297 81 X 1,01 1 90859.51032.98 1,01091.76810.54330.79 x68 6, 06550 6863 25984 74 80873 41448 43464 63 6,87424.02311.69449.37, donc le montant
de Ira 11c est de 6. 874240 23 [)()() francs 44e,94.
NOTE.
C'est surtout dans les calculs d'intérêt composé et d'annuités qu'on a besoin de logarithmes à plus de dix décimales.
Lorsqu'on construit des tables d'intérêt composé, pour être sûr de l'exactitude de tous les termes de la table, il faut calculer chacun au moyen du terme précédent et s'assurer ensuite de l'exactitude de l'ensemble en vérifiant le dernier terme au moyen des logarithmes.
I. Ainsi, pour calculer la table qui donne le montant de 1 franc au bout d'un certain nombre d'années, chaque terme multiplié par la raison r= 1 + t, donne le terme suivant; le dernier terme doit s'accorder avec la valeur obtenue par les logarithmes.
Si, par exemple, le taux est 4 0/0 et qu'on arrête la table à 100 ans, on doit obtenir au dernier terme r° = 50,504948.184269 41126.
II. La table qui donne le montant de 1 franc par an, se calcule directement en multipliant chaque terme par la raison et en ajoutant l'unité au produit; si x est un terme quelconque de la série et y le terme suivant, on a toujours y = rx+ l.
Lorsqu'on est arrivé à la fin de la table, on vérifie le dernier terme au moyen des logarithmes.
La table 1 peut également servir pour contrôler les termes inlermédiaires de la table II; par exemple, si le taux est 4 0/0, on a
1 = 1, 04
2 = 2,04 816
3 = 3,1216 124864 4=4,246464 169858.56 5 = 5,416322. 56
Or on a trouvé ci-dessus que rn = 50,504948.18426. 94126; donc puisque S=~-— , le 100e terme doit être 1287, 623704.606735. ( Theory of compound inlerest and annuities with logarithmic tables, by Fedor Thoman. London, Lockwood and C°, page 110.) III. Pour construire la table qui donne la valeur de 1 franc payable au bout d'un certuin nombre d'années, on commencera par le dernier terme calculé directement à l'aide des logarithmes, puis on le multipliera successivement par la raison en remontant jusqu'au premier terme qui, multiplié par la raison, doit donner pour produit l'unité.
Par exemple, si l=4 o/o, on a au 100e terme (page 28) ,
100 -0,0198000. 401139.20 7920.016045.57 99 — 0,0205920. 417184.77 8236.816687.39 98 — 0,0214157 .233872 .16 8566.289354.89 97 —0,0222723.523227. o5 8908.940929.08 96 — 0,0231632.4641 56. 13
IV. Pour construire la table qui donne la valeur actuelle de l'annuité de 1 franc par an, on commencera par le dernier terme calculé directement au moyen des logarithmes, puis on multipliera chaque terme par la raison en retranchant chaque fois l'unité du produit.
Soit x un terme quelconque de la série et y le terme suivant ; on a touj ours y = rx — 1.
Le dernier terme multiplié par la raison doit donner pour produit l'unité. On peut encore se servir de la table II pour vérifier les termes intermédiaires.
Par exemple , si t =4 0/0
100 - 24,504998. 997151. 99 980199.959886.08 99 - 24,485198.957038.07 979407.958281.52 98 - 24,464606 91 5319 59 978584.276612.78 97 — 24,443191 - 191932 - 37 977727.647677.29 96 — 24,420918.839609.66
V. Pour construire la table de Yannuité qui amortit un capital en un certain nombre d'années, on commencera par la première année et l'on déduira chaque terme du terme précédent d'après la formule qui suit.
Chaque terme doit être le réciproque du terme correspondant de la table IV; ou encore il doit être égal au taux plus le réciproque du terme correspondant de la table II.
Si l'on désigne par x l'amortissement d'une année quelconque, et par y celui de l'année suivante,
Cette dernière formule est très-facile à appliquer; par exemple, si t=4 o o et « = 5o,
on a
Ex. 16. Etant donné log x = 5,99999 92254.881813, chercher le nombre x. Lorsque la mantisse d'un logarithme donné commence par plusieurs chiffres 9, on abrége considérablement le calcul, en ajoutant à ce logarithme le plus petit logarithme de la table II qui excède le complément de la mantisse.
En effet, ajouter le complément d'un logarithme revient à retrancher le logarithme lui-même; par conséquent l'addition en question n'est autre chose que la soustraction du plus grand logarithme tabulaire.
Ainsi, dans cet exemple, le complément de la mantisse est 0,0G77., on prendra table II, le plus petit logarithme qui contienne ce complément : ce sera o,o686. = comp. log 0,9999998.
En ajoutant ce dernier complément au logarithme donné, on obtient pour somme 0,0004.., de manière qu'au moyen d'une seule addition on a supprimé les sept premiers chiffres de la mantisse.
logx =99999. 92 254. 88 1813 8685.898324 = comp. log 1,0'2 o, 07 940.780137 868.588877 — log 1,0G2 0,08 72. 191260 165.786127 437491 2763 138 1,07 166.226519 Xl,062 2 33 1,00000.02166.226552 XI,052 2 4332 X= 99999,82166.22222
Ex. 17. On place chaque année dix millions de francs; combien produiront-ils au bout de 99 ans à 5 0/0?
1=0,05 r= 1,05 n = 99 a= J 0000000 1 200 000000
log r=0,021 18. 929 90. 6 99 381 (tab. VII) 21 18929 906994 donc log In"- 2,09774.06079.2387 7918.12460.4762 = logi2 1855.9361807625 1703.33392.9878 i,o4 152 60225 7747 130 09330 2042 1,023 22.50895.570521 70929 7223 1 ,035 79965.8482 43429.2310 1,011 36536.6172 34743. 4196, 1,058 J793.1976 1737.1776 1 ,064 56.0200 128.94477 46o5 1,00000.00128. 9908 x 1 ,064x 1 ,058 x 1 ,041 i.84 1 33084J3 1 84129 8652 X1,035 5 92.0649 51.84221.9301 x1,023 3 15552.6658 351-997711-5959 4 14.07990.9838 1,04366.07765.5797 x 12 20873.21553.1159 rn== 125,239293. 186956
montant de l franc au bout de 99 ans; de là on déduit 7 (rn - 1) — 24847-858637 francs 39e, produit du placement annuel de dix millions de francs pendant 99 ans.
Ex. 18. Calculer la valeur actuelle à 4 o/o de î franc payable au bout de 100 ans et la valeur d'une rente de 1 franc payable pendant 100 ans.
t=0,04 r= 1,04 p=~— t J θ=25(1—p) 1,04 M log r100 = 1,70333 39298. 78035 (tab. VII) log p = 8,29666.60701 .21965 27875.36009.52829 =log 19 1791. 24.691 .69136 1703.33392.98780 i,o4 87.91298.7o356 86. 772 1 5. 31227 1 ,O22 1.14083.39129 86858.02780 1,042 27225.36349 26057.59074 1 ,056 1167.77275 868.58888 1,0 62 299.18387 260.57668 1,076 - 38.60719
87.498234.
1.381551 i6348 207 1,00000.00088.89634 x 1 ,076 x 1,062 x1,056 X 1,042 2.626- 1 i4 1613 1.25378 1,00002.62 690.16640 X 1,022 2 525.38o33 1,00202.63215.54673 x1,04 4 8..10528.62187 1,04210.73744-16860 X19 93789.66369-. 75174 p = 0,01980 00401 13920. 34 Valeur actuelle de 1 franc.
1 —p = 0,98019 99598 86079 66 Escompte à déduire θ=24,50499 • 89971 51991 Valeur de 1 franc par an.
9 Ex. 19. Déterminer 99, plus grand nombre que l'on puisse expriEx. 19. D é terniiner 99 , plus gran d noiii b re que l'on pu isse expri mer avec trois chiffres. Soit n
9 x= 9'
donc log x = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 log 9 et puisque log 9 =0,95424. 25094. 39324.87 459.00558.07 log x =369 693099, 63157 03587 43543 095 En cherchant les 15 premiers chiffres du nombre, on a :
,63157.03087.435431 62 324 92 903 97 go 0 5 = log 42 832.io683.456426 432.13737.826426 1,01 399.96945.63oooo 389.11662.369105 1,029 10.85283.260895 8.68502.116490 1,032 2.16781.1444o5 1.73714..318498 1 ,044 43o66.825907 39086.327483 1,059 3980.498424 3908.648578 1,069 71.849846 163.4835416 1.9341715 225653 1059 1 ,00000.00165. 440384. x 1 ,069x1,059 99 149 82489 1,00000.99165.523022 x1,044 4 3.966621 1,00004. 99169.489643 X 1,032 2 99.833898 1,00024.99269.323541 X1,029 9 .22493.423912 1,00925.21762.747453 Xl,01 1009.25217.627475 1,01934-46980.374928 X42 20 38689.39607.49856 21,40623.86587.87349 X=42 81247.73175 747.
Par conséquent, le nombre x qui est un nombre entier, s'écrit avec 369 693100 chiffres dont les 15 premiers sont 4281247731 75747, et si ce nombre était écrit sur une seule ligne à 4 chiffres par centimètre, sa longueur serait de plus de 924 kilomètres.
Ex. 20. Déterminer le nombre dont le logarithme est 9,99999.82629.56139.57173.4506145 Le complément du logarithme donné étant 0,051 73704 .., on ajoutera à ce logarithme le plus petit logarithme de la table II qui contienne ce complément;
C'est 0,05173718 = comp. log 1,054.
9,99999.82629.56139.57173.4506145 17371.8i4oi.97812.7 513 3 61 1.37541.54986.2019506 130288.34455. 1432297 1,093 7253.20531.0587209 4342.94481.9010804 1,010] 2910.26049-1 576405 2605.76689.1411694 1,0116 304-49360.01647 1 1 304.00613.7332 1 70 1,0"7 48746. 2832541 1.10524 08446.37 1 1 703.9 1 296.882 14.27602.758 19111.456 57.565 944 1,00000.00000.00001.12242.46 515.98 3.167 1 42.07 670.1 1 50 103.37 1,00000.00003.16701.12242.97331.54 X 1 ,054 4 1.26680.44897.19 x = 0,99999.60003.16699.85562.52 434-35
Ce nombre est exact à moins d'une unité du dernier ordre.
On peut remarquer que c'est précisément le nombre dont on a calculé le logarithme, exemple 13, et que les deux opérations, en donnant des résultats entièrement concordants, se vérifient mutuellement.
IV SOMMATION DES LOGARITHMES.
Les formules qui suivent, servent à calculer très-rapidement la somme d'un grand nombre de logarithmes.
Les Nombres de Bcrnoulli, qui entrent comme facteurs dans ces formules, jouent conjointement avec les deux nombres analytiques e base des logarithmes naturels, et 7r rapport de la circonférence au diamètre, un rôle très-important dans toute l'analyse.
En effet, ils se présentent dans un grand nombre de développements en séries, dans les formules logarithmiques et trigonométriques, dans la sommation des séries algébriques ou transcendantes, dans le développement des intégrales définies et des intégrales aux différences finies.
Ils sont les coefficients de x dans les sommes des puissances paires des nombres naturels, depuis 1 jusqu'à x; par exemple:
En désignant par A, J3, C, D,. les nombres de Bernou IIi, par n, n, n. les coefficients du binôme de Newton, de manière que 2 3
( 1 + (/ n= 1 + na + na2+na3 + • • ■ 2 -t
et en posant successivement n = 2, 4, 6, 8 , on trouve facilement la valeur numérique des nombres de Bernoulli, au moyen de l'équation
Ces nombres sont tous rationnels, positifs et fractionnaires; voici les douze premiers:
( Comptes rendus de l'Académie des sciences, 14 mai 1860. )
1
SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES EN PROGRESSION ARITHMETIQUE.
(Comptes rendus de l'Académie des sciences, g novembre 18631.)
S = loga+log(a + ω)+log (a + 2ω) + .+log(a+nω)
Soit b = (a + n ω) ; et soit k le module des logarithmes, on aura:
Ex. 21. Déterminer la somme des 1001 logarithmes
log 17000 + log 1 7003 +log 1 7006 + .-f-log 20000 a=17000 ~||log b = 28673, 5333o. 442655 b = 20000 — ~|loga = 23972, 54388.781022 nr»== 3000 — nk = — 434., 29448.190325 w= 3 + ~2log ab 41 26573.945852 n= 1000 — 3k = —95800 i36oooo S = 4270, 96067.321360
Ex. 22. Déterminer la somme des 1 101 logarithmes
8 5 log 17000 +log 1 7002 ~— + log 17005~—+* • • H-20000 nw — 3000 31540,88663.486920 ev == 30 2 6369,7982 7. 65912 4 1 1 n= 1100 - 477,72393.009358 + 4,26573.945852 - 87091 S = 4697,63016.677199
'1 Le cadre restreint de cet ouvrage ne m'a pas permis de donner ici le développement des formules générales dé la sommation des séries, mais j'ai toujours indiqué les comptes rendus de l'Académie des sciences où l'on peut trouver ces développements.
II LOGARITHMES DES FACTORIELLES, OU SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS DE 1 À x.
Ex. 23. Calculer la somme des logarithmes de tous les nombres naturels depuis l à 579-
X= 579 579,5log579= 1600,9722277 logx = 2,76267 .85607 ~log 27T = 0,3990899 (tab. VII) - kx == - 2 5 l ,4569050 — k 6 + k - - +625 12X log (1 .2.3 4 .579) = 134-9*914-^74-1
Ex. 24. Calculer la somme de tous les logarithmes de i à 100000.
x= 100000 log x — 5 500002,5 0,39908.99341.79007.52478.25035.92 — 43429,44819.03251.82765.11289.18916.61 + 3619. 12068.25270.98563.76 -120.63735.61 S = 45 6573,45 089.99709.08360.66339.40947 -46
Ex. 25. Calculer avec 2 5 chiffres exacts log (1 2 3 100)
x- 100 log x=2 201,39908.99341.79057.52478.25o35.92 — 43,42944.81903.25182.76511.28918.92 +36.19120.68252.70985.63759.41 — 1.2 .06373.56084 - 23661 .88 +34.46781.60240.68 — 258. 50862 .02 +3655.68 -83 S = 157,97000.36547. 15788.37391 .49248.04 (tab. VI)
III SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ÉTANT POSITIF.
(Comptes rendus de l'Académie des sciences, 25 mars 1867.)
S = loga—log (a + ω) + log(a + 2w) —. + log (a + nω), S == -log ab - - 2lk(.(J - - - + - f,k(.(J - - -,- ~2 log a b-~3.4 ~a3 b3 ~—576-~(~-F ) +., S=~ 1 7 kω ( 1 1 ) kω3 ( 1 1 ) kω5 ~( 1 1 ) ou S = ~-logab-~Tij (--6-j +— Ex. 26 C l cu 1 er y = ~2 46-264-282--.426-444 Ex. 26. calculery=~255'27o-29i••- 4 o5 a := 2 46 loga = 2,39o351 b = 444 ~logab = 2,5191590 ω= 9 logb=2,6473830 —~Ï= - 17714 +7 ,
logy =2,5iy3883 y = 329,1458
Ex. 27. S = log 17000 — log 17003 + log 17006 —.+log 20000 (Voir exemple 21.)
a= 1 7000 6=20000 4,26573.94585.21127.56 (,J== 3 — 28740.07600.83 + 38.37 S= 4,26573 .65845 13565.10
8 5* Ex. 28. log 17000 —log 1 7002 ~— + log 1 7oo5 ~—— + log20000
w = - 30 4,26573.94585.21127.56 l 1 - '— 26127.34182.57 +28.83 S=4,26573.68457.86973.82
IV
SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ETANT POSITIF.
Ex. 29. Calculer y = 1 2 • 4 • 6 j! "s 9" • 8 « • • • 998
x = 999 logx== 2,99956 54-88 (tab. II) ~^logx=1, 4997827 2
= —~log~=0,0980599 (tab.VII) 2 2 +~ â = lo87 log y = 1, 4-018315 y=25, 22502
Ex. JO. S = log 1 —log 2 +log3 — +Iog3ooi x = 3001 logx= 3,4.7 726.59954. 2 48 52.62 460. 29421. 60 ~logx= 1,73863.29977.124.26.31 — 9805.99385, 15076.33 + 3.61791 47 109 57 -669.54
S= 1,64060.92383 43790 01
v
SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ETANT NÉGATIF.
( Comptes rendus de l'Académie des sciences, 25 mars 1867.)
Ex 3011 Ccaallccuulleer r y— 3861.3871.3881.6001
a = 386i loga = 3,6866998 ~^log| = 9,9040672 b=6006 log b = 3,7786853 -2 310 ω = 5
logy = 9,90382 62 y=0,8013573
Ex. 32. Calculer 815 - 1829 4993
a= 1815 b = 5ooo ca)= 7 log j = 9,77995 33125 18o56 .25939 77 - 57.07443. o4661.00904.-79 ~| = 0,363 +10 8 7 7 49 8 1 9 2 1 1 2 — 18.64618.70 3. 112 +83.74 103 10 logy = 9,77938.25693.01126. 42 421 .09 y= 0,601 70. 35437 67086 .00395 39
VI SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ÉTANT NÉGATIF.
Ex. 33. On demande y = ~1 f 5 997 999 1
x =1000 ~-logx=i,5 log x= 3 log^ = 0,0980699 (tab. VII) 2 2 1086
S = — 1,5981685 log y = 8,4018315 • y= 0,02522502
Ainsi, pour évaluer y avec 8 chiffres exacts, il n'a fallu calculer qu'un seul terme.
On voit que la mantisse du logarithme est égale à celle de l'exemple 2 9.
Ex. 34. S = log 1 — log 2 + log3— — log 3000
log 3 0 0 0 = 1,73856.06273.59831 .22 ~log - =0,09805.99385.15076.33 ~k = 3.61912.06825.27 k ~k a - ~24x3 — 7 • 2 - S = 1.83665.67570.81062.61
Dans l'exemple 30, on a trouvé pour somme des 3ooi logarithmes positifs et négatifs S=+ 1,6 4o61 ; en retranchant de cette somme la valeur qu'on vient d'obtenir S=— 1,83665., on trouve pour différence 3,47726.59954.24852.62 mais c'est le logarithme de 3ooi exact au dernier chiffre; par conséquent les deux résultats sont vérifiés l'un par l'autre.
AD. II.
SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIRS OU DES NOMBRES IMPAIRS COMPRIS ENTRE 1 ET 2X.
De la valeur de S = log ( 1 2 3 .x),• formule II, on déduit directement la somme des logarithmes des nombres pairs: log (2.4.6.2X) =S + xlog 2 ; puis en retranchant cette dernière valeur de celle de log (i 2 3 2x), il reste la valeur de log [1 .3. 5 7 {'2X— 01' somme des. log. des nombres impairs.
1. - SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIES DU 1 A 2X
Ex. 35. Calculer à 20 décimales la somme des logarithmes des nombres pairs de 1 à 10000.
2X = 10000
20002, log 2X = 4 0,24.857.49363.47066.927 1 7.56=^1.7T, t. VII — 2171,47240.95162.59138.25564-46 + 72382.41365. o5 41 9-7 1 — 9.65098.85 + i P= 1 7230,77617.26583.292 84.07473.97 2. — SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES IMPAIRS DE 1 A 2X.
I=xlog 2x + ~log 2 -kx-~!^). +'
Ex. 36. Calculer à 20 décimales la somme des logarithmes des nombres impairs de 1 à 10000.
20000,
0,15051 .49978.31990.59760.69 = ~^log 2, tab. VII.
- 2171,47240 95162 59138 25564 46 —39191.20682.52709.86 +8.44461.49 — 1
I = 17828,67810. 18624.52 178. 25947 '85
En additionnant les deux sommes que nous venons d'obtenir, on aura P + I = 35659,45427 .45207 .81462 .3342 18 ce qui est la somme des logarithmes de tous les nombres naturels
depuis 1 jusqu'à 10000.
TABLES.
1
RECHERCHE DU LOGARITHME.
RECIPROQUES ET LOGARITHMES DES RECIPROQUES DES NOMBRES NATURELS DE 1 À 1 ÎO.
-- --- --a a Mï) "a Mï) a a a a a a a a a
11 9091 95860.73148.41774.95924.98000.29 31 3220 50863.83061.65727.32033.32959.00 12 8333 92081.87539.52375.17227.74943.07 32 3125 49485.00216.80094.02393.13055.26 13 7692 88005.66476.93163.23079.34948.42 33 3030 48148.60601.22112.52195.47721.20 14 7143 85387.19643.21701.97407.40448.47 34 294] 46852.10829.57744.87624.60912.11 15 6667 82390.87409.44318.75791.87109.91 35 2857 45593.19556.49724.36450.15226.36 16 625 79588.00173.44075.21914.50444.21 30 2778 44360.74992.32712.73498.24064.04 17 5882 76955.J0786.21726.07145.98301.06 37 2703 43179.82759.33005.00319.15493.10 18 5556 74472.74948.96693.93019.62052.99 38 2632 42021.64033.83189.84324.99276.30 19 5263 72124.63990.47171.03846.36665.24 39 2564 40893.53929.73500.79349.84669.39 20 5 69897.00043.36018.80478.62611.05 40 25 39794.00086.72037.60957.25222.11
21 4762 67778.07052.66080.73199.27558.38 41 2439 38721.61432.80264.50549.05881.50 22 4545 65757.73191.77793.76403.60611.34 42 2381 37675.07096.02099.53677.90169.43 23 4348 63827.21639.82407.12113.22228.88 43 2326 36653.15444.204^13.47359.49118.47 24 4167 61978.87582.88393.97706.37554.13 44 2273 35654.73235.13812.50882.23222.39 25 4 60205.99913.27962.39042.74777.89 45 2222 34678.74862.24656.32062.38630.83 26 3846 58502.66520.29182.03557.97559.47' 40 2174 33724.21083.18425.92591.84839.93 27 3704 56863.62358.41012.68811.49162.90 47 2128 32790.21420.64282.53558.57800.01 28 3571 55284.19686.57780.77886.03059.52 48 2083 31875.87026.24412.78185.00165.18 29 3448 53760.20021.01043.91266.71532.37 49 2041 30980.39199.71486.33857.55074.83 30 3333 52287.87452.80337.56270.49720.97 50 2 30102.99956.63981.19521.37388.95
c = 2,71828.18284.59045.23536.02874.71 - = 0,36787.94411.71442.32159.55237.71 e Module fc = log e =0,43429.44819.03251.82765.11289.19 i -log. 10 =2,30258.50929.94045.68401.79914.55 k- b °~ 10 =2,30258.50929.94045.68401.79914.55 log k = 9,63778.43113.00536.78912.29674.99 log 2k =9,93881.43009.04517.98433.67063.93
1 (Suite).
RECHERCHE DU LOGARITHME.
IlÉCIPllOQL'ES ET LOGARITHME^ DES RECIPROQUES DES NOMBRES NATURELS DE 1 À 1 10.
a - Log ( - ) a - Log ( ) a a a \a /)
51 1961 29242.98239.02063.63416.48022.02 81 1235 09151.49811.21350.25081.98883.87 52 1923 28399.66563.65200.84036.60170.53 82 1220 08618.61476.16283.31027.68492.55 53 1887 27572.41303.99210.95436.70077.08 83 1205 08092.19076.23926.09610.72396.48 54 1852 26760.62401.77031.49290.11773.90 84 1190 07572.07139.38118.34156.52780.49 55 1818 25903.73105.05750.15446.35389.23 85 1170 07058.10742.85707.26667.35690.00 56 1786 25181.19729.93709.58364.65670.57 86 1163 06550.15487.56432.27838.11729.52 57 1754 24412.51443.27508.60116.86386.2] 87 1149 00048.07473.81381.47537.21253.34 58 1724 23657.20064.37062.71745.34143.42 88 1136 05551.73278.49831.37360.85833.45 59 1695 22914.79883.57855.80973.93436.15 89 1124 05060.99933.55087.21527.64566.30 60 1007 22184.87496.10356.36749.12332.02 90 1111 04575.74905.60675.12540.99441.93
61 1639 21467.01649.89232.96611.42514.86 91 1099 04095.86076.78906.40008.12785.83 62 1613 20760.83105.01746.12511.95570.05 92 1087 03621.21726.54444.73070.47450.98 63 1587 20005.94505.40418.29469.77279.35 93 1075 03151.70514.46064.88303.82679.97 64 1502 19382.00260.10112.82871.75666.32 94 1064 02087.21404.00301.34037.20417.06 05 1538 18708.66433.57144.42600.72337.37 95 1053 02227.63947.11152.23307.74054.19 66 1515 18045.60644.58131.32074.10332.31 96 1042 01772.87609.60431.58663.62776.23 67 1493 17392.51972.99173.56585.08683.71 97 1031 01322.82657.33755.14821.56381.88 68 1471 16749.10872.93763.68103.23523.16 98 1020 00877.39243.07505.14336.18285.88 69 1449 16115.09092.62744.68383.71949.84 99 1010 00436.48054.02450.08405.97442.22 70 1429 15490.19599.85743.16928.77837.41 100 1 0
71 1408 14874.16512.80924.71390.71705.65 101 9901 99567.86202.17357.42572.48118.22 72 1389 14266.75035.68731.53976.87275.09 102 9804 99139.98282.38082.43895.10633.08 73 1370 13667.71398.79544.09892.56131.00 103 9709 98716.27752.94827.79482.89288.05 74 1351 13076.82802.69023.80797.78104.16 104 9015 98290.00007.01219.04515.22781.58 75 1333 12493.87366.08299.95313.24498.86 105 9524 97881.07009.30061.92720.64947.33 76 1316 11918.64077.19208.64803.01887.35 106 9434 97469.41347.35229.75915.32688.14 77 1299 11350.92748.27518.12853.75837.70 107 9346 97061.02223.14790.35916.54587.61 78 1282 10790.53973.09519.59828.47280.44 108 9259 96657.62445.13050.29768.74385.01 79 12G6 10237.29087.09558.57200.51786.14 109 9174 96257.35020.59376.36479.94866.92 80 125 09691.00130.08056.41435.87833.16 110 9091 95860.73148.41774.95924.98000.29
il
RECHKHCIIE 1)1 LOGARITHME.
--, -~ ---Il' ,¡ NO M LUE. - h).: 1 ) j NuMBIiL. j - lo^ I — - j tu" '- t., -11 S 302 1 2 I 720 34444 73070 47430 08 ! S 34 /*i3 O'.i, 32 72333 3301 3 00 r O,Oj:¡IIOK("f;ï',J2Ii.II!\:)1 ,ï,:-;n20. L"I 7 3131 .70314. 40004 **303 *2079 07 , 7 30'i00 72013 58722 .40101». 70 0 20S7.21404.00301 .34037.20417.00 ! 0 20037 .74708.73143 .4307.S. 40 3 2227.03047.11132.23307.74054.10 I 3 21714.77*3*.21337.80001.73 4 1 772 <S7000 0043 1 58003 .02770 23 j 4 I 7371 S1401 .0781 2 731 33 0 1 3 1322.82057.33735.14821.30381 .88 ! 3 1302.S.83400.03883.27007. 18 2 0,0* 877.30243.07503.14330.18285.88 J 2 0,0J 8085 80832.30002.55821.02 1 430.48054.02450.08405.07442.22 ! 4342.04000.05003.75442.I3 t,0'U 0,0'3U2.U3455.)4724.U7)''3.55U5'2t i.O') O.O'~j'O.s.6520U.C022u.734u3.33 8 348.,'\32ïK.!]j821..14421;.!lliIJ14.21, l 8 3474.35724.40000.07007.08 7 305.07315.0401.s. 82400. ii8314.80 ; 7 3040.06243.73447 .40000.14 0 261.36136.02086.68708.12I34.I2 j 6 2605.76767.31408.01083.03 5 217.00102.54274.34511.37171.10 5 2i7L472U5.23845.42473.42 4 174.06615-76301.26844.47330.53 4 ) 737.) 7827. 5048C.85482.72 3 130. U7 3 I302.8*364.JI423.11425.03 2 0,0' 86.04587.12628.89062.03360.60 2 0,0: 868.38005.00654.11617.14 i.3 .451 17. 7401 7 691 30 64656». 01 434 20450 361 79 77370. 40 11 ,')f !.),~,~)(/q-l/;"(I'I 1 :, f~ ')( !'-:- ',..r/.)-') 1,0H) 0,0'- 30.10410.28582 .94304.45669.94 ! 1,0:9 0,0: 390.80305.13018.54217.30 "1 ---,. 3.1iî20 110231 '-1 'J- '-' .,,- l''-C(I 'I[ )00 ,).. '')' ')') 5 .).'!.I.)I.ll,. 'J.ill oL!.:"J 8 347 .43359.94200.256.24.22 7 30.41 125.89160.76.147.34971 .46. 7 304.00014.79724.91582.53 6 26.06548.93431.97427.76940.46» J 6 260.57669.69392.320*3.34 1, _1). IJ ~J.'! 0 I.'! - 1 1 ), .c¡I, Il :. tJ ..) 1 ),. 1), J. :.) - ,~,¡.,) '1 5 21.72015.45864.25579.96912.24 ; 5 2t7.)4724.<3803.U7)i8.57 4 17.37525.45587.58231 .2891*.96 j 4 I 73 71779.62356.366,78.94 3 13.03078.91732.19118.92026.02 j 3 130.28834.65233.00755.95 2 0.0' 8.6)8675.83428.58079.45676.92 j 2 0.0' 86». 85889. 72492 .39340.92 - .1 n.IJoIU,). - .Jo I"!JI)II)..- - "l,. J')0,/.I-L_)"1 ..1 4.34316.19807.51038.45560.44 | 1 43.42944.84074.72425.16 1.0 H» 0,0' 3.90882.62369.48505.57891.65 l l,0'9 O,U' 39 08650 3547 1 * 1 930 7 1 8 3.47449.48308.72627.5056.2.27 1 8 34 74335.86912 .343*1 16 7 I) 0 2.60384.50075.53314.53910.58 ! 6 20.03766.89923.68110.71 f> 2. 17152.66981.36125 .24722 .49 5 21.71472 41494 49401 *0 4 1.73721.20720.98082.26121.40 4 17.37177.9310*.73631.75 3 1.30290.29893.52314.9576.7.29 3 13.02*83.44700.40800.35 2 0.0' *6,859.76)498. 1 1955. 3193*. 54 | 2 0,0 s 0*5*8. 9646.7 30926.. 20 43429.06533.90137.93521 .49 < I 4 3'J294 4*212 .03990 .69
II S11111 ■
HECIIERCHE M LO(;ARITHMK.
N i i M |: I. ! I - ¡"c: 1 ; j N<i\!l;l;r. - lo^' ^1 —- j ,- () ()"" ,() L' - ( 'L! L' L' 1 ()" n () "', L' L' c ()" - "1 () 1,0" w n,!)'1 3. 00x05. o:i:jss. s,s i .)*.». i o i.OI3O ! i o: , - ., - c 1 c -, (' 'l' L' 1 - 1"" L! ') '1 - , 1 s 3. '(7 '1,'»."). 5x500. 1 r>7r>G. 00 s ,">47. 4355X. 55227. '11 7 J 3 1)4000. 13743 X07X4. 27 j 7 :;n 4 0(1) 1:; "7:):.:2:, '1:5 fi 2 0(1370 0XO22 0 I 24 I 03 j 6 20(). 5700X 0 I 420 20 :» ! 2.17147.2 IL00.50127.24 I R> 217. 14724.0O.516.X0 4 1 7371 7. 70270.00442 00 j 4 I 73 7 1 Î 7 1 :-';1 1 ., ( IlL' L! ", 1) - IL' L' f) LJ ! () -) L' L! - () Il '1 c 3 | 1 .3<>2,S,S. 34'I3'.). 03 IN,S. 00 3 ! 30 2NN34 'I3700 03 2 0,0"' ,,,>(,,">,','1. ,"I(i:;,,,>. '.I:;:;fi2. ;');/ 2 0,0 n XO.X5NX9.03X00.50 43420 .4 'IN | o 2 V.lOO. 33 43 .42044 N1003 27 l.0'"0 0,0'" .'iOONIi. 5()3>7 3031 3 37 1,0' Ô 0 0n 30 ON030 337 I 2 04 N 3'I743 33N33 .3040S. 80 S 34 .74333. S3322 .02 7 304(10.0137,"». 42010). 40 7 30 40001 37332 20 0 1 20037.00X0 I .4070,S.40 fi 20 05700 NO I4I 00 3 1 21 7 14.72'IOO. 37034.30 3 21 .7 1472 .40031 .03 4 : 17371.77027.04773.00 4 | 17.37177.02701.30 3 1 :W]s. '1:;'1 '1:). "7:.!'.12'.1. ,'-1"7 3 I 3 02XN3 44370 ON 2 0,/)11 N0N3 NN003 N1 318 .03 2 0,0' N 0X3N8 063X0 03 1 4342 .04 4XI 003'i2 .33 ..,4204 4N 100 33 l,0"0 0,0" 300X. (">50.33.71 ..35 s 3'174.333x5.32300.12 7 30 'IO. 1)01,37.33.")34 .03 0 2605.700X0. 1427."). 2X 5 2171 47240.05210.XX 4 1737. 17702.70104.X2 !
3 7 1 17 1 2 n,/)" XOX. 5XX00 .3X073 72 1 (LI i. 2044X. 10034.00 ,
[Il
RECHERCHE DES LOGARITHMES ET DES NOMRRES.
ni.ciir.ixui: du i.o<,Mimi\n 1.1.IlI1:1:1I!1: 1:(' UI'l:ITlI\II".
L,,g +o, -1,0 +fj) -1,0
0 k 0 0 k fj 0 J,J) 0 Uj _1 li-I -1.---- -'------1 Il ---93 IJ"()()I' ~I' Ic"')/ f'() q, .- 1- CI! ')1' l'II')' q~1 .() '1" q- qr .,. cil'" 11 -'1,77 23.03000.30 30 I 5,03400.1 .'i 1S r>. 17 11 > i r» *.) G ().> <S ,"II 37,34032.34430.XO l') .- ') 11- ') "-,,,),,\ ')-, If' ()l'J c ""()' ')1) Ii') '1(' '1 l" .," ~-"I} (l" ,,- .,- - .1 ,~ 12 ,-),- ,)J.d/tl_c .d.' 37 IO,OOXX0.5X304.20 ! 1! < », t » J T». 7 .s 7 S ( ). ( t ! ,X7 | 37,7X30 I .(.)'.>i>r>:».S3 l'} -- ',- ,., '~) "-'9 - ') ') ..)" ~)' fj'.) ..)-- q' ~)"-( - \,." ')') -¡ '1 -.' 1. 13 5,0'f5x2.x2047.42 3 S 10,503 10.03123.2 4 : 27,30035.23500.05 y .s ; 3X.2 17'.) I. 'i4o74.X0 14 | ('»,(!.s(> | 2.27 400.40 j, | I0,0374x.47042.27 (i'¡' 27,7o4x'!.f»x'i ix.ox , xo 3x.05220.xxxo3.xo - .", 1 - (r '! 13 | 0,31441.722X5.40 |: 40 j 17.37177.02701.30 u° 'j 2X.220 14. ! 3237. ! I 00 30,0X030.337 12.03
..! ,- .f .-.- 1 -. "I-q-,- 'l',q ("', ,,) 'l'~,q- ,.\-> ,- il r¡ - - -q
II) ! 0,04x71.17104.52 41 17,*0007.375X0.33 j 2X,0(i3'i3.3x<)50.i5 !' «il , 30,32(17'.).7x331 .«.ni - r- O),,'¡ /) (~)., ,- - 19 ,-)', '.1' ,,,.»'1/11 .," (;ï '-)1 (--q '-) ,"- ~) q, (-. 1.)')". 17 7,3X300.0 ! '.123.53 j1 42 I X,2'l030.X2300.37 7 02 j 50,0.3500.23530.00 IX 7,X 17:) 7 1 17 I1.) S,23 I 30.3 30 1,02 44 j I 0, i 0X'.)3.72037. U (,'.1 20,0003 1.023 3.2 l T) , 4o,,x230X. 120X0.1)0 20 X, 0 X 3 X X. 01 i> X 0. i i T » | 43 ! ! 0,34323.1 0X30.40 70 30/|00(, 1.37332.2X 05 , 4 1,25707.57XOX.OO il' 21 , 1 0,1 20 IX.4 I 100.OX I ! 40 ; 10,0775 4. 01075.50 71 ! 1 30,X3 4 00.X2 I 5 1.3 I <)0 I 4 1.00227.1)2027.1 2 22 | 0,53447. XOOIX. 72 i' 47 20,'il IX.'i.00404.33 72 31,20020.20070.34 : 07 ! 42,12050.47440.15 23 > O.OXX77.30X37.75 j 'X 20,X iO I 3.3 ! 3 I 3.30 73 • 3 1,70340.7 17X0.37 OX | 42,3011X5.02205.10 24 | 10,42300.75050.7.X 40 1 7 1 I 00 ; 42,0'.I5I5.37ox'i.22 25 I 0,X5730.20475.X I ! 50 21,71472.41)051.03 75 j 32,572CX.0 I 427.4 '1 ; 100 jj 43,42:.)'l4.x I 0O.3.25 1 1,20105.03204..xj 51 22, ! 4'.)0l .X5770.00 70 33.oo03x.O02 ni. 47 j loi : 43.xii.37'(.20722.2X 27 I 1,72305.10 1 I.").XX 32 22,5X53 1.305X0.00 77 33,44007.5 I 005.50 I 02 4 '1,20X0.",,7 I 5'i 1.32 2X 12,10024.34032.01 : 3,". j 25,0 17ii0.75 'iOX.72 7.X 7 44,75233.10300.33 20 12,50453.00751.04 : 54 - 23,45100.20227.70 70 54.5>oo20.'io7o3.57 |o4 1 45,10002.01 I70.3X 30 13,02XX5.44570.OX 55 : 23,XX010.050'i(i.7:> XO 3'l.74355.X5522.0l> 105 j 45,00002.0500X4 I
31 13, 1 1 50 24,320'iO.OOXii5.X2 XI 1 7 1 i 'iO,o.3,52 1,50X I 7. 'i5 32 I3.X0742.34200.04 j 57 2'i,7547X.5'iOX'i..x.5 X2 j 35,1 i I 2 I 4.75 ! 00.07 ( 107 40. 'i00.3iJ.05030.4X 33 14,33171.7002X.07 ji 3X 25,1 X0O7.005O3.X0 x.3 ! 30,o'j<1'i4. 10070.70 | lox ! 'ni.oo,",xo./io455.5 I 34 14,70001.23X47.1 1 | 30 25,02337.44322.02 ",'J 30,'i.xo75.047ox.73 J ! «î'.i : 47,:"xoo.x327 'i.54 35 ] 5.20030.0X000-14 j 00 20,0.5700.XO 14 ! .05 X5 17,
j|| ISmt,.
I>,I;<;III;i:<;iii: M;s X;\RITIIMs:s I:T DI:S NMMMIŒS.
I;i ,JIM,(.M IM \',\II'.HI Hl.fIlI:l:CIII I \o\ur,i
1.", 1 1) ¡ -. 1.: ,1 0 .l' 1 + ! "r - k '~-' 'J 1 0 i k h 0 l ; 0 | J 1) l 0 ; 1 J, /, l, M -1 Î xr» I<.»S,O^23 1.7<>'.)7.i.ss 11' 27,fi.'l I 02.1 I I .)U.2U ."w s;.,l'.i;»!r'1,s'i'ii)7.s(i «'<2 I 'i 2,7 i > < > ii 7. T> 7 < > f> f j. ; W | S 7 200,.">2 V. ! ( ).,» 0 ) 01. ,v-; 2 i;; 2u,u.">;ic,n.c,2n,v.i.2."> l ):;:;7.7'i <»;> ,ss J 2o2,c,27 is.xiN.r».7<i 1 -, l't, i ,",(i i m. 17 : ; '1 l su.snnNi .nci2u7.us Ci 1 1 4 7 ,.>c,.vi'i..v.i;>i<i. l '1 ,'.; '.1 ::! 1) '¡ , ¡: ; 1 Ji 1 ï : ¡ 2 ï l '1. ï Il 1 's :;'i ;.;i.s77 <■»;>< »V> Il • '10 «12. in;; 10.>7 1 ,.»7.<»2 •'».> Mu.fiii.su;!. 1 oW >. i3 un • 2(.>7,2;>2<i. >..s,';(i,.;4.04 : : ,'.; ï -1' l, ¡ '1 '1 1. 'III '.1 2, III: '¡ Il :; ï 1'.1 ï .:,2 I, : 1 ) '1 l, Í¡ (, ,-; : III Il !l l'. ¡ J '.111 ::! 0 ï ,::!: :: : ,,'.;: ; l', 'LI j '1 1 1 l' 1 - 'i le,: ::1'",:-; :11, :\1,' 'in7'CU;> ;ii I '.iï.'io.v.!.s,s.s i27 ..v. r.r» 1 ,<.7 nr, 1 .c, 1 :i7r,.u/ ,| I 2 ')•.►, r. : ; 5 2 -'1. ;*» 'i > 2 'i. r» s 17 î I r» 'i.27oiin. 12;;u ,.ni 1.1:2, 21 l, s 3 7 n 2. ;s r> , 'j. :> 2 l,s '11,1 '1 ,. j ; ;. jCi7;;.v.i;; U uu,n 1 1 1 :1.,'.;'I'.I,'.;ï,':', C.S 7 2 Î , V) i ,;>[, I.S4.4i» lu I '1 : i, 7 '1 111. c, 7 l, i, ,s N 7 l '1 |iii,;;i.7'i.'inui7.;;s c.(.» 1 :>,s..S ï'.;: ') 7 'i I :, ); u 1 ::! l 'I'I2'.!! .).N7'I1 '1.'1 Il ::!II 'n; u") 17u 1 N.VIS N 1 :::) 1 1 io.">,<iiîi;;2.oi,s'i7.,">2 7o lc>i.i' «.>;» .;),s,7').').s.;).s:;i/j.:.;4 i ! I 21 ! '1 s, .Vi 2 s. 1 i< t."12S. 7 ") h, I u; »,-.) ! N'.i |.'j2777.2<'» ï 1 1 l',:;. 'iXri.i4. i i;02.i.77 UII 22 1,04S10 .N'.)27 '1.2.S -22 .11 ),t 1.>CjN7. 2u 1 ;s. 111.) ! l, ï UN 22 I'iu.0'i7u7.2u 72 I '»,>, 7S<» I 2.UI>'.I.>.>. 7 ',1 ï 2 2: ; , :; : III 7. >. 'jfli'u 'i.22 :.::¡ "ij.u.i';'i;>7 i ."iss.ii,", ',", 11 u,;i_» '11"'-', ■ » ; ; 7.1 7;! ! j s.s71.i7.s.s;>.c.r» j us i? 2 r». < '> :» i i.Vi.iu 2', .':J.::',:.!II',:.!:::; "Iï '¡'I I 2,>20 'l',,':::.',ï UN 74 7'),;;u INN ,"!.;iU '.1'.1 227,').>.»,.»2.'l2!îCri.| 2:) ;>7,;»C»'jC,27;!2'iS.)I ->U | i ! : >, J » 2 'j117 u li ï :) 72, (hfiss. l ',: ï '! ;»;i lui) :.! :; 1 ) ,::! :) ,":,:Ii 1. ,.>2') •».!);')
21» : ;»'.I>NC,72I.2'| I7.S '|"» "II I I7.|.") I s.).i7'l2Ci.ir. 7i» I 7 i.UUii 'iii.7o.'7.'>.'i7 i <) I 2;>2„)ti I 0<.l.i.'>,.>2.'».,.),.> 1'" Il,-'I'¡'II' -- 1--')'1'11")',1'11' 'II Il)') ')"-,"-" 21 j f>2, | f>u7'.i.7."> I)-.,;; ) I ;>2 ; I I u.7."> '1 i2. 'IN;;/,U.UU 77 I77.2'.»'MI.V2 |C>O,"».I2 : I <)2 2'» '1, N » ; 51 ; 7. ) - 'I N L ; 5 2N j Ci '1 ,.'17 2.1s. i^iii c IN ;; ;; .ci ! 2 2, u ; >/uo.u'sij.s'j 7 s /u,uu lu,;./ .! ), l, i., ïu l o.; 2 ; », 1 Ii ,:21 1./1,) 1 .;. ). ,:-; 2u 1 1 » 1 », 7 7 'r Il i 7 R,'.»:, s. i; 7 ; 1 12 i,;>.">,.!.v.i.;»02 Hi. 7 s 7u J i s i, m > 4 2 2.2 ; l'i < ; ( i 104 2;;,.),'IC!NN'I. '.11 i ï I;>.si ;;o « < »11, n 7 7 r» r». 2 7 N ■_ » s. 21 1 12»i,c# 'j 21 x.o 11 .'»•». 7 3 su ! j is 4,2oii,so.7./i;>o.").2'i lu;» 211,7714 47 c» 1 7 ;» 7 1) 7 1'7 SI 21 '1.074u 1.is;>7> ,")2 7;>,C.N272.2'.»*;>S.O'.) .">7 I ;I I .2 4 7 i ; ; o ( M ». I » I SU ISS.NI 1 *.)7.7 II2;»;>. 12 107 2 I < <, 7 ■ » < < >. 4 > ;> F > : !. < > ;I ;;;; 7.'» us;>:'>N.NM,NS,!i'i ;.N 1 v N.» j l'.Hj L '»;>i..27LS.'>.uu III."; 2 i.s/7'M».no7 ::! Ii :" ï -:- :'",:;,:, 17 7. 1 1 Nn.;.Mii'r..s2;>'i7. .i2 '»<» I;>S.I,>;»IU.;»;>7 s;» 1I ». », 71 7. ;. 2 0 4 4. -4 110 2 2 s '1 j 4 ;>
IV
RECHERCHE 1)1 NOMBRE.
---NOMBRE. Log ( I + - -J NOMBRE. -T- — J
] ,0 1) 0,0 3742.64971). 40623.63520.05133.08 ),0''9 0 0 0 3 2 2 13 I 7 5 3342 .37554 .8004'.). 70231 .25014. DO 8 34743 .41057 .87071 .28040. 14 7 2938.37770.85200.04083.45412.30 ! 7 30400.50733.1570I.02380.09 6 2530.58652.04770.24084.G73H.80 0 20057.59074.)50)0.57093.00 5 2118.92990.09938.07279.35052.67 I 5 21714.06980•85333.0883I.02 4 I 703.33392.98780.35484.77218.42 | 4 17371.74453.20641.70057.42 3 I283.72247.05172.20517.10711.95 3 13028.8I49I.3S849.55598.03 2 0,05 860.01717.61917.56104.89366.92 2 0,0" 8685.88095.2I869.79656.80 1 432.13737.82042.57427.51881.78 1 4342.94264.75615.50407.44 1,0-9 0,0S 389.11662.30910.52171.52813.17 1,069 0,0" 390S.64837.82376.70075.57 8 346.0532I.09506.48615.72276.44 8 3474.35446.54844.I3726.27 7 302.94705.53618.00710.93257.07 7 3040.06030.93017.78673.09 6 250.79807.19908.59231.19629.85 6 2605.70610.96897.50231.94 5 210.60617.56507.67623.04206.38 5 2171.47186.66483.37715.16 4 173.37128.09000.52976.80271.00 4 1737.I7758.01775.14437.46 3 130.09330.20418.11880.08262.79 3 1302.88325.02772.77712.98 2 0,01 80.77215.31220.91249.28427.08 2 0,07 868.58887.69470.18835.84 1 43.40774.79318. (>4000.892 13.88 /»34.29440 .01885 .29180.14
1,019 0,01 39 .06892 .49910. 13102.88642 .23 1,079 0,07 390.80501 .01240.01183 14 8 34.72906.85363.54068.77050.93 8 347.43557.10251.78782.4I 7 30.38997.84812.49181.05170.08 j 7 304.00012.66920.01969.27 6 26.04985.47390.3408I 78540 .11 i 0 260.57008.13246.50735.02 5 21.70929.72230.20828.19128.84 ! 5 217.14723.55229.45070.99 4 17.30830.58404.91882.26381.53 ■ 4 173.71778.92809.44908.48 3 13.02088.05227.00100.37808.72 ! 3 130.28834.20166.50418.82 2 0,04 8.68502.11048.95722.88997.98 2 0,0' 86.85889.55120.01413.30 1 1 4 ') /12 ~)!l Il 7 ~) 7~) .7 7~)!l ?) 2 ~') 1 4.34272.70862.06903.73135.28 1 43.42944.79731.77943.20 i,049 0,0' 3.90847.44584.10739.24188.05 1 1,089 0,0' 39.08050.31954.03400.37 8 3.47421.68884.03320.04935.02 8 34.74355.84132.85912.74 7 3.03995.49701.39869.40262.21 ; 7 30.40001.30268.25480.37 6 2.00568.87215.39547.94562.29 0 20.05700.88300.22103.23 5 2.17141.81245.15513.71724.22 5 21.71472.40408.75781.33 4 1.73714.31849.80922.15122.78 4 17.37177.92413.80514.05 3 1 .30280.39028.48920.07008.19 3 13.02883.44375.54303.18 2 0,05 80858.02780.32675.71495.64 2 0,0" 8.08588.90293.79146.93 1 43429.23104.45318.68554.93 4.34294.48 Ki8. (il 045.87
1 V 1 Suite ).
HKCHKRÇIIK 1)1 iNOMWKK.
M.MI l.i:. I J,,p ( 1 + —- j ; ,,,,,,",. I.og 1 , :',.
1,0'J «.» 0,0'' 3 .90865.03353.70373.HO | 1,0'J9 0,0'^OO.86503.37127 .51 S 3. 47435. 5H53H. 30272 2H H 347.43558.55224.02 7 3.04000.13722.5S74I.31 j 7 304.00613.73321.70 0 2.60570.08001). 37780.00 ; 6 260.57008.01418.73 5 2.17147.24081). 73391 .04 ! 5 217.14724.00515. 72 4 1.73717.70272.65571.73 4 173.71770.27612.66 3 1.30288.34455.14322.07 1 3 130.28834.45700.56 2 0,0'« 86858.80637.10644.76 : 2 0,0irt 86.85880 .63800. A 2 43420.4481H.81537.10 j 43.42044.81003.23 l,0'"0 0,0"' 30080.50336.05337.72 | l,0'30 0.0n 30.08650.33712.01 8 34743.55855.08704.04 | H 34.74355.85522.50 7 30400. (il 373. 2 1636.06 7 30.4000). 37332.27 0 26057. (i(i80l .34133.80 | 6 26.05766.80141 .04 5 j 21714.72400.46107.23 1 5 21.71472.40051.62 4 17371.77027.57826.38 j 4 17.37177.02761.30 3 )3028.S3445.<',002).22 3 13.02883.44570.07 2 0,0" 8685.88063.70781 .78 j 2 ,,o" 8.68588.06380.65 4342.044.S).)0)08.04 4.34294.48100.32 1,011q 0,0" 3008.05033.7))]0.7S 8 3474.35585.52I2I.17 7 3040.06137.33121.23 0 2605.76680.14116.04 5 2171.47240.95108.30 4 1737.17792.76005.33 3 1302.88344.57078.01 2 0,0' » 808.58896.38050.35 434.20448.10030.35
1:
Y
K E CHER cm; I) ( NOMBRE.
l.ri ; I ,n^ ii Ln~ ~I Ln" j 10 I 21 32221.92047.33919.20800.72441.02 2 30102 90950. 0398 I 0.>2 I .>7388. 93 ; 22 34242 20808. 22201». 235%. 39388. liti .¡ 1'--19 1ge/,- 1()0'("J Il''-')(1 r()9-1} 0" 9') q('I~'J ~3"'0 1~r;02 I.OO' -~-12 1 1 6 0 0 30172.78300.17592.87880 .77771.12 4 00205.99013.27902.30042.74777.«SU 24 38021 12417. 1 1000. 02293.02'i45 .87 5 09897 00043 3001 8 80478 .0201 I 05 25 39794 .000K0 72037 .0.0957 25222 1 1 0 77815. 12503.83043.03250.87007 98 20 41497 .33479.70817.90442.02'i40.53 7 84509.80400.14250.S307I.22102.59 I 27 43130.37041.58987.31188.50*37.10 8 90308 99809 9 0'i3. 585'' 1.12100 ts4 28 447 I 5 .8031 3 422 I 9. 22113. 90940 .48 9 95424.25094.39324.87459.00558.07 29 40230.79978.98950.08733 28407 03 1 0 0 30 47712 12547 I 900.2 43729 50279.03 ln I 11 04139.20851.58225.04075.01999.71 31 49130.10938.34272.07900.07041.00 12 07918.12400.47024.82772.25050.93 32 50514.99783.19905.97000.80944 74 13 11 394.33523.00830.70920.05051.58 33 51851.39398.77887.47804.52278.74 ]/, i 1 4012 .80350». 78238.02592 59551 .53 34 53 I 47 891 70 .42255 1 2375 .39087 .89 15 17009.12590.55081.24208.12890.09 35 54400.80443.50275.(.3549.84773.04 1 (i 2041 1 .99820 55024 .78085 49555 79 3,-, 55030. 25007 .07287 20501 75335 90 17 23044.89213.78273.92854.01098.94 37 50820.17240.00.994.99080.84500.90 25527.25051 .03300.. 00980 .37947 01 3$57978.35900. 10810. 150)75.00723.70 ],, 27875.30009.52828.90153 .03334 .70 3q 59100.40070.20490.20050. 15330. G1 20 30 102.00051' 03081 10521 .37388.95 40 00205.99913.27902.39042:74777.89 3 5 .89 î 9 1 3 84 '-) 1 i43:) .,'~ 3 7r - 3,1 4)59.26535.89793.23846.26433.83 - 0,31830. 9880.1 .83700.0)7153.77075.27 - 0.80900 44010 .89358. 01883 .44010.00
7T— 1,77245 .38500.05510.02720. 31074.83 1 .or; 7r - 0,4971 4 98720 94133 .85435 1 2082 .88
Suite j.
Ï;KCIIKRCIIK DU MMIBUI:.
l.o'ii/ « I.IIL;. i ---~_u 1 'II 0 278. 38507 10735. 4 0450. 1)41 18. 50 7 I 85 125.83487 1 0 8 2 9 3 42 0232'i .02003 .97110(). 40322.00830 57 72 85733.24964.3)208.40023. 1272 'i. 0 1 43 0334I> 84555 .71)581». 52040 50881 53 73 80332 .28001 .20455 .1)0107 .43801). 00 44 04345.20704.80187.43 ! I7.70777.01 74 80023.17107.30070.! 0202.21805.84 45 05321.25137.75343.07037.01300. 12 75 87500.I2033.01700.04080.75501.14 40 00275.783I0.81574.07408. 5 I 09 .07 70 88081.35022.8070I.35100.381I2.05 47 07200.78570.357I7.4044I.42103.00 77 88649.0725) .7248) .87t4G.24tC2.30 48 0XI 2 '1 12373 , ,:ú'.;, .21814 'J9834 .82 78 80200 .46020 .00480.40171.52710.50 41.) 0 1 0 0 1 70 80702 .70012 .00441 .42790.48213 .80 50 | 00807.000 't3 300 ! .s..S047.S 020 ) t 05 80 00308.00860.01043.58504.12100.84
5 1 70757 0 I 700 07030». 30583 5 1077 .08 8 1 00848 50188 78640 74018.01110.13 52 7 ! 000 .334 30. 34799. ! 59'' !. 39.S29.47 82 01381 .38523.83710.08072.31507.45 53 72427 5<%90 .00789.0450 20922 .92 83 9 ) 907 .80923 .76073.90383 .27003 .52 54 i 73230.37508.22908.50700.88220.0'I Sll 02427.02800.61881.05843.47210.51 55 74030.20.~)4.942~3.8~53.040[0.77 85 9294) .89257. t4292.73332.643t0.00 50 74818. 80270 .00.200.4 1035 .34320.43 Sij 03440.84512 .43507 .72101 .88270.48 57 75587 'I..!"(' .7249 ) 398.S3 13013 70 87 03951 .1)2520 18018.52402 78740 66 .11 1').)'1.,1,,,,),) ¡. 'I, dJ. (),).11 .J..f <JI, .fJJJ.)- <.) ¡ ,,,.;,- ,-. I,"I'J(" ¡ 58 70342 .70035 02037 28254 05850 58 88 1)4448 20)721 .50108 .02030 14100 55 50 77085 .20110 42144 10020». 00503 .85 80 1)4030.00000.4401 2 .78472 .35433 70 00 77815. 12503.83043.03250.87007.08 00 05424.25004.30324.87450.00558.07
0 7S532 'S350. ) 0707 033S.S. 574.S5 ) 4 01 05004 13023.21003 50001 .87214 17 02 70230. 1080 '•. 08253.87488.04420.05 j 02 00378 78273 .45555 .20020 .52540 02 03 79034.05404.5358I.70530.22720.05 03 00848.29485.53035.1I000.17320.03 04 800» I 7 007,",0 .83887 .17128. 24333 .08 04 07312 78535 .00008 05902. 70582 .1)4 I..!I')'II "')-'f' l')''C' '-"j)'1 )-"') ", (1- 11~--9 "'0" '884' -'(j3'J 95." -, 05 81201.33500.42855.57300.27002.03 ij 05 1)7772.3(3052.88847.70632.25045.81 00 81 954 30355 .4 1808 .07325 80007 .09 | 90 1)8227 1 2330 .3050)8 4 1 330 37223 77 07 82007 .48027 .00820». 434 14 .01310 .20 i 07 08077 17342 .60244 .85178 .430» 18.12 08 83250.80127 .06230.3180C». 70 'i70.84 1 08 00122 .60750.02404.85603.81714.12 0»0 83884 00007 37255 3 10 0 28050. ) 0 00 00503. 51 045 .07540 .0 1534 02557 78 70 84500 80400 I 4250». 8307 1.2210.2 50 1 00 0
VI
LOGARITHMES DES F ACTOUIELLES.
SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS. SOMMES DES I.OG. DES NOMBRES IMPAIRS.
- --- - -~ - - » Log(i.2.3 n) j n Log (1.2.3 h) 2/1-1 Log [1.3.0.7
1 0,0 31 33,9 ] 502.17087.59992.30990 1 0,0 2 0,30102.99950.03981.19521 32 35,42017.17470.79898.28597 3 0,47712.12547.19002.43730 3 0,77815.12503.83043.03251 j 33 30,93808.50809.57785.70401 5 1,17009.12590.55081.24208 4 1,38021.12417.11000.00294 34 38,47010.40040.00040.88777 7 2,02118.92990.09958.07279 5 2,07918.12400.47024.82772 j I 35 40,01423.20483.50310.52320 9 2,97543.18085.09202.94738 0 2,85733.24904.31208.40023 30 41,57053.51491.17003.78828 M 4,01082.44930.07487.98815 7 3,70243.03304.45525.29094 1 37 43,13873.08731.84598.78509 13 5,13070.78459.74524.75754 8 4,00552.05234.37408.87038 ( 38 44,71852.04098.01408.94184 15 0,30085.91050.30005.99942 9 5,55970.30328.70793.75117 ,39 46,30958.50768.27908.14834 17 7,53730.80264.08279.92796 10 0,55970.30328.70793.751 17 110 47,91 104.50081.55870.53877 19 8,X1000.10273.01 108.88950 11 7,00115.571X0.35018.79192 41 49,52442.89248.75000.03328 21 10,13828.09220.05028.15751 12 8,08033.09040.82043.01905 | 42 5 1,14707.82152.73501».49050 23 11,50000.87581.12021.03037 0 3 1 4 8 0. 5 25 12,89794.87007.8'i058.0'i595 14 10,94040.83520.07718.41478 ! 44 54,42459.93473.39280.45408 27 14,32931.25309.43045.957X3 15 12,11049.90111.23399.05081') |45 50,07781.18011.14024.13340 29 I 5,79 I 7 1.05288.42002.0'i5 10 10 13,32001.95937.79324.43772 j III; 57,74050.90927.90198.20754 31 17,28307.22220.70874.72 'i83 17 14,55100.85151.57598.30020 47 59,41200.75507.31915.07195 53 18,X0158.01025.54702.20288 18 15,80034.10202.00904.43000 ! 48 01,09390.87881.07502.89010 35 20,34505.42009.05057.83857 19 17,08509.40212.13733.39700 49 02,78410.48081.30010.551 53 37 2 1,9 I 385.59309.72032.835 I 8 20 18,38012.40108.77714.59281 50 04,48307.48724.72035.35031 39 23,50492.05379.98532.04108
21 19,70834.391 10.1 1033.80082 51 00.19004.50485.09971.72215 41 25,11770.43947.18207.53019 22 21,05070.05924.33840.09078 52 07,90004.83922.04770.88178 45 20.75117.28502.97854.00200 3 (i!i 0. 7,; 17.7!11 23 22,41249.44284.51432.97505 j 53 09,03092.42018.05559.92742 45 28,40458.53040.75197.74197 24 23,79270.50701.03038.99859 I 54 71,30331.80210.28528.43452 47 50,07048.52220.0X915.20039 25 25,19004.50788.35070.00810 I 55 73,10308.07111.22722.28005 49 51,70007.93020.57428.807X1 20 26,6056).90268.05894.57258 50 74,85180.87381.28972.09041 51 :;:\17/12/1.1'17,'01 J .:;J:;li5.2:.i:;I;;¡ 27 28,05098.27909.04881.88440 5 -1 55,19852.55'i77.30l54.27928 28 29,48414.08223.07101.10500 ! 58 78,37117.15873.04401.37778 55 30,93888.80372.50398.12482 1 29 30,94053.88202.00057.19294 j 59 80,14202.35990.00545.50804 57 58,09470.28929.02889.52505 50 32,42300.00749.257 19.03023 00 81,92017.48493.90189.20055 59 1,0 /IIi51i 1 0'1 '.JO'15'/1 ;)0:;:;. 71 :;'.11
VI (Suite).
LOGARITHMES DES FACTORIELLES.
SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS. SOMMES DES LOG. DES NOMBRES IMPAIRS.
n Log(i.2.3 n) n Log(i.2.3 n) 2n-i Log[i.3.5.y.(2n—i)]
61 83,70550.46844.00956.23444 81 120,76321.27413.78242.40739 61 42,25094.47395.55800.74780 02 85,49789.63783.99210.10932 82 122,67702.65937.61959.09712 63 44,05028.52890.09382.45310 63 87,29723.69233.52791.81462 83 124,59610.46861.38033.00095 65 45,86319.86456.52238.02709 04 89,10341.08973.36678.98590 84 120,52038.39721.99914.65938 67 47,68927.34483.53064.46124 05 90,91033.02539.79534.55990 85 128,44980.28979.14207.39271 69 49,52812.25390.90319.77740 6i 92,73587.41895.21403.23316 86 130,38430.13491.57775.11433 71 51,37938.08878.09395.06350 67 94,56194.89922.22229.66730 87 13.2,32382.06017.76393.68896 73 53,24270.37479.29850.96457 68 90,39445.79049.28465.98027 88 134,26830.32739.26562.26535 75 55,11776.50113.21551.01144 09 98,23330.69956.65721.30244 89 136,21769.32805.71475.05007 77 57,00425.57364.94032.88290 70 100,07840.50356.79978.13315 90 138,17193.57900.10799.92466 79 58,90188.28277.84474.31089
71 101,92966.33843.99053.41924 91 140,13097.71823.31893.52458 81 60,81036.78466.63124.06007 72 103,78699.58808.30321.87947 92 142,09470.50096.77448.79388 83 62,72944.59390.39197.96391 73 105,05031.87409.50777.78055 93 144,06324.79582.31383.91084 85 64,65886.48647.53490.09723 74 107,51955.04606.81753.97257 94 146,03637.58118.31082.57047 87 66,59838.41173.72109.22186 75 109,39401.17240.73454.01944 95 148,01409.94171.19930.33679 89 68,54777.41240.17022.00659 76 111,27542.53163.54245.37140 96 149,99637.00501.59498.75015 91 70,50681.55163.38115.60650 77 113,16191.60415.26727.24286 97 151,98314.23844.25743.60194 93 72,47529.84648.92050.72347 78 115,05401.00442.17207.04458 98 153,97436.84601.18238.45857 95 74,45302.20701.80898.48979 79 110,95163.77355.07049.07257 99 155,97000.36547.15788.37391 97 76,43979.38044.47143.34157 80 118,85472.77224.99592.05821 100 157,97000.36547.15788.37391 99 78,43542.89990.44093.25691 1 (/~ ~V Lo,, x ( 1 + J Log x = n (y/.r— 1 ) X X* X* (2) x x 1 X2 1 x3 x 1 x3 1 x* k (2) k" (3) P + k étant lé module et n un nombre infini.
VII
- LOGARITHMES POUR LES CALCULS D'INTÉRÊT COMPOSE ET D'ANNUITÉS.
r Log r r Log r
100 0 103 01283.72247.05172.20517.10711.95 1/8 00054.25290.92294.07367.23824.92. 1/8 01336.39615.57981:50197.65334.01 1/4 00108.43812.92219.91611.71633.59 1/4 01389.00603.28438.63054.53948.54 3/8 00162.55582.86737.35618.33701.88 3/8 01441.55225.60603.08507.04505.00 1/2 00216.60617.56507.67623.04206.38 1/2 01494.03497.92936.55824.40940.24 5/8. 00270.58933.75924.92872.50377.92 5/8 01546.45435.58329.96747.39201.04 3/4 0032,4.50548.13147.05844.57314.69 3/4 01598.81053.84130.31819.15436.68 7/8 00378.35477.30126.83174.10397.35 7/8 01651.10367.92167.40543.15675.39 101 00432.13737.82642.57427.51881.78 104 01703.33392.98780.35484.77218.42 1/8 00485.85346.20328.71868.24118.62 1/8 01755.50144.14844.00432.33857.27 1/4 00539.50318.86706.16353.88949.29 1/4 01807.60636.45795.12732.39833.16 3/8 00593.08672.19212.44504.91141.64 3/8 01859.64884.91658.49912.91203.31 1/2 00646.60422.49231.72283.13241.27 1/2 01911.62904.47072.80707.27945.52 5/8 00700.05586.02124.58117.49914.14 5/8 01963.54710.01316.40591.05711.26 3/4 00753.44178.97257,64713.11728.71 3/4 02015.40316.38332.91942.32618.10 7/8 00806.76217.48033.02678.51358.57 7/8 02067.19738.36756.68935.73845.43 102 00860.01717.61917.56104.89366.92 105 02118.92990.69938.07279.35052.67 1/8 00913.20695.40471.90230.02049.45 1/8 02170.60088.05968.58902.44768.42 1/4 00966.33166.79379.41318.20249.28 1/4 02222.21045.07705.91701.65891.34 3/8 01019.39147.68474.88886.75605.39 3/8 02273.75876.32798.74451.77291.35 J/2 01072.38653.91773.10408.19340.61 1/2 02325.24596.33711.46986.78192.35 5/8 01125.31701.27497.18616.28426.58 5/8 02376,67219.57748.75755.80547.37 3/4 01178.18305.48106.81543.04767.41 3/4 02428.03760.47079.94857.67974.17 7/8 01230.98482.20326.25412.64910.72 7/8 02479.34233.38763.32657.13995.17
1 log. 7r = 0,24857.49363.47066.92717.56341.44145.45 - 2 0 -loSg. 2 =0,15051.49978.31990.59760.68694.47362.25 2
- - log. 27T= 0,39908.99341.79057.52478.25035.91507.70 2 1:) - log. - = 0,09805.99385.15076.32956.87646.96783.20 : = 2 1
VII (Suite).
LOGARITHMES
POUR LES CALCULS D'INTÉRÊT COMPOSÉ ET D'ANNUITÉS.
r Log r r Log r
106 02530.58652.64770.24084.67311.86 109 03742.64979.40623.63520.05133.08 1/8 02581.77032.52009.08721.27631.30 1/8 03792.42567.13626.14073.32009.34 1/4 02632.89387.22349.14768.52143.15 1/4 03842.14456.42459.44997.66327.99 3/8 02683.95730.92644.29003.50111.18 3/8 03891.80660.30369.65942.97828.90 1/2 02734.96077.74756.52817.41184.44 1/2 03941.41191.76137.14315.56759.09 5/8 02785.90441.75579.44435.71943.92 .5/8 03990.96063.74096.93258.68111.54 3/4 02836.78836.97061.47417.04869.83 3/4 04040.45289.14158.98020.62633.61 7/8 02887.61277.36229.05527.14337.03 7/8 04089.88880.81828.30789.75697.32 107 02938.37776.85209.64083.45412.39 110 04139.26851.58225.04075.01999.71 1/8 02989.08349.31254.57865.13130.11 1/8 04188.59214.20104.32710.11511.05 1/4 03039.73008.56761.85682.42552.43 1/4 04237.85981.39876.14558.70105.34 3/8 03090.31768.39298.71698.73275.28 3/8 04287.07165.85624.99997.46886.89 1/2 03140.84642.5.1624.13597.76103.64 1/2 04336.22780.21129.50253.29361.58 5/8 03191.31644.61711.17687.54393.28 5/8 04385.32837.05881.84670.07287.09 3/4 03241.72788.32769.21032.28025.37 3/4 04434,37348.95107.16980.26267.00 7/8 03292.08087.23266.00702.24141.86, 7/8 04483.36328.39782.80655.52923.31 108 03342.37554.86949.70231.25614.99 111 04532.29787.86657.43410.34785.93 1/8 03392.61204.72870.63370.55746.80 1/8 04581.17739.78270.10931.79869.96 1/4 03442.79050.25403.05227.05886.60 1/4 04630.00196.52969.19908.23266.86 3/8 03492.91104.84266.70873.41510.08 3/8 04678.77170.44931.20428.90949.00 1/2 03542.97381.84548.31516.51814.64 1/2 04727.48673.84179.47826.14373.22 5/8 03592.97894.56722.88310.38046,74 - 5/8 04776.14718.96602.84030.93361.91 3/4 03642.92656.26674.93898.665^0rS2"" ">0/4 04824.75318.03974.08512.49136.50 7/8 03692.81680.15719.617704873.30483.23968.38871.54271.13 1 ----7 ,'::.X2 X3 1% '~:.; i :~ Log (1 + X) = le (X - + .L. o ? 3 4 f" - - - ,.
vi > » -(- 1 , 1 1 1 T U>5'^7=,H;+5+s?+'")\ : > » X-l X 3X3 5X5
Log(* + i)_log* + a[ d +l(-^)V--] 2X + el 3 2X + el LI [1 ] 1 [ ] k 2k 3k Logx=i [log (« + ,) + log (« - i )] + - log (X + 1) - log (x - 1) + - + --.:. + -+.
<
PARIS.
CHEZ ARMAND ANGER, LIBRAIRE-ÉDITEUR,
LIBRAIRIE DES ASSURANCES.
RUE LAFFITTE, 48.