Premier [-Huitième] mémoire sur la théorie des nombres. Nouvelle méthode pour trouver les racines primitives de "x"p-⁽1 @ 1 dans le cas d'un nombre premier "p" / par M. F. Landry,...

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Titre : Premier [-Huitième] mémoire sur la théorie des nombres. Nouvelle méthode pour trouver les racines primitives de "x"p-⁽1 @ 1 dans le cas d'un nombre premier "p" / par M. F. Landry,...

Auteur : Landry, Fortuné (1799-1895). Auteur du texte

Éditeur : L. Hachette et Cie (Paris)

Date d'édition : 1853-1862

Sujet : Théorie des nombres

Notice d'ensemble : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30733077h

Type : monographie imprimée

Langue : français

Format : 8 fasc. en 1 vol. ; in-4

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Description : Avec mode texte

Droits : Consultable en ligne

Droits : Public domain

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6209941h

Source : Bibliothèque nationale de France, département Littérature et art, V-15633

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 30/07/2012

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TROISIÈME MÉMOIRE

SUR

LA THÉORIE DES NOMBRES,

PAR M. F. LANDRY, LICENCIÉ ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES.

mars 1854.

NOUVELLE MÉTHODE Pour trouver les racines primitives de xp = 1, dans le cas d'un nombre premier p.

PARIS, LIBRAIRIE DE L. HACHETTE ET CH, RUE PIERRE-SARRAZIN, N° 14.

( Près de l'École de médecine).

1854.

ERRATA DU DEUXIÈME MÉMOIRE.

PAGES. LIGNES. FAUTES. CORRECTIONS.

3 4 ou plus généralement l'impossi- c'est-à.-dire l'impossibilité bilité

3 5 a" + b" = c" a"+ bn = cn 3 5 an + b" ==:3 cn an + bn = cn 3 i3 al--[- bn n an + b" = Cil 4 9 an + bn = C a" + bn = cn 4 14 nous nous sommes aperçu qu'il et soupçonnant qu'il 4 17 ; et nous en avons conclu l'utilité , nous avons songé à qu'il y aurait à 4 29 les cp racines de i sontpri. les <p racines de xP = 1 sont primitives. mitives, excepté 1.

5 17 celui de x = y (2); celui de x = cp ou de x = o (2); 12 8 cp, et diffèrent de cp - 1, et différent de 12 22 moindre qet ft et moindre que cP - i, et I3 22 avaient été réservés (page 5) avaient été réservés (page 7) 14 11 4, <J>, —* 3, — 3, 14 32 = 17 cp = 17

Très-incessamment le deuxième livre des Recherches nouvelles sur le théorème de Fermat.

RACINES PRIMITIVES De xp - '= i relativement à p, dans le cas d'un nombre premier p (*).

Euler, qui s'est beaucoup occupé des racines primitives,, avoue, dans ses opuscules analytiques (tome premier, page 152), qu'il lui semble extrêmement difficile d'assigner ces nombres, et que leur nature doit être rangée dans les points les plus épineux de la théorie des nombres. Gauss, qui rapporte cette opinion d'Euler (Recherches arithmétiques, page 53 de la traduction publiée par Poullet-Deslile en 1807), propose une méthode d'une grande simplicité, mais dont l'application n'est pas sans inconvénient, quant à la longueur des calculs. Enfin M. Cauchy a démontré que les racines primitives relatives à un nombre premier p se confondent et coïncident avec les racines de certaines relations ou équivalences, d'un degré en xégal au nombre de ces racines (Exercices mathématiques, cannée, pages 23 1 et 236) : ainsi les quatre racines primitives de 'xP-- 1 = J, relativement à p = i 3, sont les racines de l'équivalence x4 — x2 + 1 =0.

Ces relations s'obtiennent avec facilité pour certaines valeurs de p, mais leur formation est souvent laborieuse, et de plus il resterait a les résoudre.

Il ne nous a donc pas paru que cet ingénieux théorème pût servir de base à la recherche dont il s'agit.

Nous nous décidons à faire connaître, pour la détermination de ces nombres, un procédé qui nous paraît simplifier cette recherche; mais, comme on pourrait désirer savoir comment Gauss a résolu la question, pour éviter au lecteur la peine de recourir à des ouvrages que tout le monde n'a pas sous la main, nous commencerons par exposer la méihode de cet auteur.

(*) Le cas où p n'est pas premier, se rattache à des questions que nous élaborons en ce moment, et sera examiné ailleurs.

Méthode de Gauss pour déterminer, relativement au nombre premier p, les racines primitives de xP- 1 ≡ i.

On prendra un nombre a quelconque moindre que/?, et l'on formera la suite des restes des puissances de a, jusqu'à ce que l'on trouve </" = i.

Si m n'est pas égal à p — l, a ne sera pas racine primitive de xp-1≡ 1, il sera seulement racine primitive de xm = i, et les divers restes obtenus seront les m racines de cette relation (*).

On prendra alors un nouveau nombre b moindre que p, différent des termes de la période obtenue, et l'on cherchera les restes de ses puissances, jusqu'à ce que l'on trouve bn ≡ 1. Le nombre n ne pourra être égal à m, puisque, si l'on avait bm ≡ 1, b serait racine de xm ≡ 1, et devrait faire partie de la période qui contient toutes ces racines. Ce nombre n ne saurait non plus être un sous-multiple de m; car, si on avait nn' = m, bn = i conduirait à bnn = i, c'est-à-dire à bm = J, et b serait encore racine de xm = i. Cela posé, imaginons que n soit un multiple de m, b sera racine primitive dans le cas particulier de n = p — i ; et, si cela n'a pas lieu, on sera plus près du but, puisque n sera plus grand que m.

Mais, si n n'est pas un multiple de m, soit 1 le plus petit multiple de n et de m, 1 étant plus grand que m, puisque n ne divise pas ce dernier nombre. On décomposera 1 en deux facteurs p. et v premiers entre eux, de telle sorte que μ divise m, et que v divise n (**); puis on prendra m n

A = a (J., B = bv ; et, comme il en résulte A" = J, et Bv≡ i, on sera certain d'avoir (A.B)μv=1, c'est-à-dire que A.B sera racine de x 1. Il

(*) Nous croyons devoir rappeler que nous entendons par racine primitive de x" relativement à p, un nombre a tel qu'on ne peut avoir a = 1 pour aucune valeur de z inférieure à u.

(**) On formera μ avec les facteurs premiers qui divisent m sans diviser n, et v avec ceux qui divisent n sans diviser m. Quant aux facteurs premiers communs, on les placera indifféremment dans μ ou dans v, s'ils entrent à la même puissance dans m et dans n; autrement on placera dans μ ceux qui entrent à une plus haute puissance dans m, etdans v ceux qui entrent à une plus haute puissance dans n.

faut ajouter que A. B sera racine primitive de cette relation. Supposons en effet, qu'on puisse avoir (A.B)z≡1, z étant la puisssance minimum de A. B, pour laquelle i est résidu. Le nombre z ne peut être qu'un diviseur de /; et, comme μ et v sont premiers entre eux, il faudrait qu'il fût de la forme -, • -r, * On en conclurait par l'élévation de (A.B)z ≡ 1 à la z z v puissance z': Bμ~ ≡1, à cause de Au≡ 1; ou, par l'élévation à la puissance z" : Av~ à cause de Bv≡ 1. Or ces deux résultats deviennent bμ~≡ 1, av~≡1,et sont incompatibles, le premier avec bn≡ 1, à moins de supposer z" = 1, le second avec am = 1, à moins de supposer z' = 1. En effet z" et z', supposés différents de 1, sont premiers, l'un avec μ, et l'autre avec v, de sorte que μ~ ne saurait être un multiple de n, ni v~ un multiple de m.

En conséquence, si l'exposant n de bn ≡ 1 n'est pas un multiple de m, on pourra toujours former un nombre A.B tel que l'exposant 1 de la puissance minimum de A.B, pour laquelle 1 est résidu, soit plus grand que m. Que si l = p — 1, A. B sera racine primitive; si non, en prenant un nombre non compris dans la suites xl ≡ 1 , on continuera à augmenter l'exposant de la période, jusqu'à ce que cet exposant soit égal à p - 1.

Une fois que l'on connaît une racine primitive a de xp~~ 1 = 1, on obtient toutes les autres, en cherchant les restes des puissances de a dont les exposants sont premiers avec p — 1.

Nous croyons avoir rendu, avec la simplicité dont elle est susceptible, la belle méthode de Gauss ; mais on remarquera sans doute que la nécessité de déterminer tous les termes des périodes successives, jusqu'à la période finale elle-même (*), est un grave inconvénient.

La méthode que nous avons à exposer, consiste, comme celle de Gauss, à essayer une suite de nombres; mais elle n'exige pas la formation com-

(*) Il y a cependant un cas où il n'est pas nécessaire de développer la période finale, c'est lorsque, dans la dernière formation des nombres A. B, on a l = p — 1. On t'n verra un exemple, page 10.

plète des périodes, et conduit, en général, avec assez de rapidité, au but qu'il s'agit d'atteindre. Elle dépend de la résolution de deux questions dont la première a été résolue par Legendre ( Théorie des nombres, page 208).

PREMIÈRE QUESTION.

p- 1 Trouver, relativement à p, le résidu de a 2 , p étant un nombre premier quelconque, et a un nombre quelconque non divisible par p.

Ce résidu se trouve avec une grande facilité, à l'aide des principes donnés par Legendre, principes que nous résumons ainsi qu'il suit : a-l PREMIER PRINCIPE. Si c = ma + cf, le résidu de c 2 relativement a- 1 à a, sera celui de c 2 , quels que soient a et c.

Nous croyons inutile d'insister sur un théorème aussi simple.

DEUXIÈME PRINCIPE. Si c est un nombre premier quelconque non diviseur de a, et qu'on représente par α, ~b, y. les facteurs premiers qui restent dans le nombre a après la suppression des facteurs carrés, on aura :

La raison en est que la puissance de tout facteur carré A2 non divisible par c, donne 1 pour résidu, puisque (A2) revient à Ac-1

Il résulte de ce principe que, si l'on cherche relativement à p, les résidus des nombres premiers 2, 3, 5, 7, etc., les résidus des nombres composés s'en déduiront immédiatement.

c —— 1 TROISIÈME PRINCIPE. Le résidu de 2 2 relativement à c supposé premier, sera 1 ou — 1, suivant que c sera de l'une des deux formes 8n±1, ou de tune des deux formes 8n ± 3 (Legendre, même ouvrage, page 181) (*).

(*) Ce principe fait voir que 1 ne sera jamais racine primitive, relativement aux nombres premiers de la forme 8 n ± 1.

QUATRIÈME PRINCIPE. Quels que soient les nombres premiers impairs a et c, C-I s'ils ne sont pas tous deux de la forme 4n + 3, le résidu de a 2 relativement a- i à c, sera le même que celui de c 2 relativement à a, et, s'ils sont tous deux de laJorme 4n + 3, les résidus seront égaux et de signes contraires.

(Legendre, même ouvrage, pages 198 et 386) (*).

Ces principes, dont Legendre fait usage, page 209 de sa Théorie des nombres, conduisent, avec une rapidité presque merveilleuse, à la déterp-I minatiou du résidu de a a relativement à p. On peut en faire l'application aux exemples traités par cet auteur, et l'on trouvera :

Les bornes de ce mémoire nous obligent de renvoyer aux ouvrages de Legendre et de Gauss, pour la démonstration des troisième et quatrième princi pes.

DEUXIÈME QUESTION.

Reconnaître si un nombre a est racine primitive de xp-1≡1 , relativement au nombre premier p non diviseur de a.

On cherchera, à l'aide des principes qui précèdent, le résidu de

(*) Cette loi, dite de réciprocité, a été donnée par Legendre, dès l'année 1785. Gauss, qui avait soulevé quelques objections contre la démonstration du géomètre français, est arrivé au même résultat que lui, en se fondant sur des principes tout à fait différents. Depuis lors , Legendre, non content de perfectionner à quelques égards ses premiers travaux, a mis, en 1817, sa belle découverte à l'abri de toute critique, en exposant la dernière et la plus simple des démonstrations que Gauss en avait données.

p-I a 2 relativement àp. Si ce résidu est i, a ne sera pas racine primitive p-I de x 2 = i ; mais, si ce résidu est— i, il peut se faire que a soit racine primitive de cette relation (*).

Pour s'en assurer, soient a, 6, y. les diviseurs premiers impairs de p—1, —' P — i P — 1 on cherchera les résidus des puissances a 2a , a 26 a 2y ,. en commençant par les plus faibles de ces puissances. Cette recherche n'exige pas la formation complète de la période, et l'on peut arriver à trouver les restes qu'il s'agit de connaître, sans passer par tous les termes de la suite (**). Si l'un de ces restes est — i, il est évident que a ne sera pas racine primitive; mais si aucun d'eux n'est égal à — 1, a sera racine primitive.

(*) Les équivalences de M. Cauchy peuvent servir à cette vérification (Voir, plus bas, page 18).

- - • 1 r 1 1 -

(**) Nous donnerons plus tard, pour cette vérification, une methode assez rapiue, ionaee sur la connaissance des u premiers termes de la période.

Tout se réduit à trouver une de ces racines, puisqu'une seule suffit pour déterminer toutes les autres.

Pour y parvenir, on essaiera successivement, à l'aide des moyens indiqués dans les deux questions précédentes, les nombres entiers a, 3,4, , jusqu'à ce que l'on en trouve un qui satisfasse aux conditions exposées dans la seconde de ces deux propositions (**).

En appliquant cette méthode aux premières valeurs de p, jusqu'à 37, on trouve que 2 est racine primitive relativement aux nombres 3, 5, II, 1 3, 19, 29 et 3y ; que 3 est racine primitive relativement aux

(*) Si, au lieu de la relation xp-r =-= 1, il s'agissait de la relation x" =-= 1, u étant un diviseur de p — 1, on pourrait vérifier d'une manière analogue que a est ou n'est pas racine primitive de cette relation, relativement à p. Seulement il y aurait deux cas à considérer, suivant que u serait pair ou impair. Dans le premier cas, il faudrait d'abord que le résidu de a~ fût + 1 si était pair, et — 1 si ~était impair ; il faudrait avoir de plus a~ ≡ — 1 : le reste de la méthode s'appliquerait à u comme p — » à p — 1. Dans le deuxième cas, il faudrait d'abord avoir a 2 = 1, puis aU == 1, et il resterait à examiner si 1 n'est pas résidu pour quelqu'une des puissances de a, qui sont des sous-multiples de u par ses divers facteurs premiers.

(**) On aurait une règle semblable pour trouver les racines primitives de :cU == 1, relativement à p, u étant un diviseur de p - 1. Mais il faudrait tenir compte de la note précédente.

nombres 7, 17 et 31 ; et que 5 est racine primitive relativement à 23 (*).

Pour les valeurs suivantes de p 41, 43, 47, 53, 59, 6r, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97, 101, • • • > on trouve respectivement, relativement à ces nombres , les racines primitives minima 6 , 3, 5, 2, 2, 2, 2, 7, 5, 3, 2, 3, 5, 2,.

Dans l'application de sa méthode au cas de p = 73, Gauss commence par essayer 2, et il trouve 29≡ r : il en conclut que 2 n'est pas racine primitive. Essayant alors 3 qui n'est pas compris dans la période x9 = 1, il trouve 3" = 1. De 29 = 1, et de 312 = l, il déduit :

Les puissances de 54 lui servent à former la période X36 =-= 1; essayant alors 5 qui n'est pas compris dans cette suite, il trouve que ce dernier nombre est racine primitive. Observons que, si 5 eût été racine de x36 ≡— r, sans être racine primitive, il eût fallu composer un nouveau nombre A'. B',à l'aide de 5 et de 54. Ce dernier seulement eût été racine primitive. C'est ainsi que 52, qui n'est pas compris dans la période .r36 = 1, donne 5224 = 1, et 24 n'est pas un multiple de 36. Si donc on eût essayé 52 au lieu de 5, on aurait dû prendre :

et on en aurait conclu que 14 est racine primitive deX72 = 1.

La méthode que nous proposons, donne, pour le même cas de p = 73 : 230 336 73 ., , , ≡ 1, et ≡~ ≡ 1, ce qui rend inutile l'essai des nombres 2 36 et 3. Mais, comme ≡ ≡ ≡ — 1, il reste à savoir si ou

Cf) Tous ces résultats sont connus (Exercices mathématiques, pages déjà citées). M. Lefébure de Fourcy, qui les donne, à la page 233 de ses Leçons d'algèbre, a laissé subsister une faute d'impression dans le tableau qu'il présente. Le nombre i3 , qui s'y trouve parmi les racines primitives de 23, ne doit pas en faire partie; et 19, qui en doit faire partie, est omis.

donne - 1 pour résidu, ce qui n'est pas, car on trouve 512 ≡ 9. En conséquence 5 est racine primitive.

Il est loisible à chacun de vérifier qu'il ne faut pas beaucoup plus de temps pour construire, par notre méthode, la table donnée plus haut jusqu'à p == 101, qu'il n'en faut pour appliquer la méthode de Gauss au seul cas de p = 73.

Si on voulait exclure, à l'avance, tous les nombres qui donnent 1 pour résidu relativement à p, afin de n'avoir à s'occuper que de ceux qui donnent — 1 pour reste, on pourrait y parvenir en résolvant la relation p x 2 ≡ 1, par la méthode des carrés (Legendre, page 220). Mais, en procédant de cette manière, on est obligé de se procurer toutes ces solutions, travail assez long, bien que très-facile, à moins de ne considérer que les premières valeurs de p.

Il nous reste à présenter deux observations ayant pour objet d'atténuer la crainte que l'on pourrait concevoir, d'être entraîné, dans certains cas, à un grand nombre d'essais infructueux, même alors que p ne serait pas très-considérable.

Première observation. — Sur le nombre des valeurs qui donnent — 1 pour résidu, sans être racines primitives.

Rappelons d'abord qu'il n'y a que p 1 nombres a qui donnent — 1 pour résidu, que parmi eux se trouvent toutes les racines primitives, et qu'il y a autant de racines de cette nature qu'il y a de nombres premiers avec p — 1.

Ces principes rappelés, si on cherche combien il existe de nombres moindres que p — 1, et premiers avec lui, il est clair qu'il suffira de retrancher ce résultat e de - 1 , pour savoir combien il y a de valeurs a qui donnent — 1 pour résidu, sans être racines primitives. Soit donc E == - e, on voit qu'on ne pourra pas faire plus de E essais, sans rencontrer une racine primitive. Le nombre e est donné par la formule

présente par X, ll-, v. les facteurs premiers de p — i (*).D'ailleurs le nombre des essais infructueux dont la limite est E, pourra toujours être diminué, si on se dispense d'essayer les restes des puissances impaires de tout nombre a qui aurait donné — i pour résidu, et ne serait pas racine primitive. C'est ainsi que, si z est la puisssance minirnum pour laquelle αz≡— i, les résidus des puissances impaires de a donneraient également — i pour reste, étant élevés à la puissance z. Il serait donc inutile d'essayer ces différents nombres ; ajoutons que, comme on commence par les plus petites valeurs de a, les résidus des puissances de ces valeurs sont faciles à obtenir.

Deuxième observation. Dans l'essai successif des nombres entiers, les nombres a qui donnent — i pour résidu, peuvent-ils tarder beaucoup à se présenter?

Pour répondre à cette question, il suffira de considérer les nombres premiers, puisque, les résidus des nombres composés se déduisant de ceux des nombres premiers, aucun nombre composé ne pourra donner — i pour résidu, si les nombres premiers qui le précèdent dans la suite, ont tous i pour résidu. Nous allons donc chercher les conditions imposées à p, pour que les résidus des nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 soient égaux à 1.

D'abord il est évident que p devra être de l'une des deux formes

(*) Voyez la note troisième, page 23.

qu'on aura i pour résidu, lorsque p sera à la fois de la forme 4n + i, et de la forme 3p + 1 ; ou bien lorsqu'il sera en même temps de la forme 4n + 3, et de la forme 3p' — i. Il résulte de cette simultanéité de formes imposée à p, que ce nombre devra être de l'une des deux formes 12n ± i.

En conséquence, pour que 2 et 3 donnent 1 pour résidu relativement à un nombre premier p, il faut que p soit en même temps de l'une des deux formes 8n± i, et de l'une des deux formes iin ± i. En écartant les formes incompatibles, on trouve que p devra être de l'une des deux formes 24n + I. Les seuls nombres premiers de cette forme, jusqu'à 100, sont 23, 47,71,73 et 97.

Cherchons de même la condition imposée à p, pour que le nombre Li

p-I donne aussi 1 pour résidu. Nous avons : ≡~; et, les formes dont p est susceptible étant 5p'±1, 5p'± 2, on aura ~≡ 1 pour les deux premières, et ≡— 1 pour les deux autres. Le nombre p devra donc avoir l'une des deux formes 5p' + 1 ; et, comme il doit déjà être de l'une des deux formes 24n ± 1, il devra être de l'une des quatre formes 12011 ± 1, 120n ± 49. Ainsi, jusqu'à 100, 71 est la seule valeur de p pour laquelle 2, 3 et 5 donneraient 1 pour résidu. Jusqu'à 1000, il n'y aurait pour p que les quinze valeurs suivantes : 71, 191, 23g, 241, 311, 359, 409,431,479, 599,601, 719, 769, 839, 911 * Cherchons encore la condition pour que le résidu de 7 soit 1. Si p p-I n'est pas de la forme [Jll + 3, le résidu est 2 p3 et, si p est de la p-l 7 2 /> O r les va l eurs de p sont 7// 1, forme 4n + 3, le résidu sera - = — sont '7// + 1, P 7 7// ± 2, 7// ± 3; et les cubes des nombres 1,2, — 3, donnent 1 pour résidu relativement à 7 : il est donc évident que p devra être de l'une des formes 7p + 1, 7// + 2, 7// — 3, lorsqu'il sera différent de 4n + 3 ; et qu'il devra être de l'une des formes 7p'— 1, 7p' — 2, 7p + 3, lorsqu'il sera égal à 4n + 3. Ainsi, pour qu'aucun des nombres 2, 3, 5 et 7

ne puisse donner d'autre résidu que i relativement à p, il faudra que ce dernier soit simultanément de l'une des formes 1 20n + 1, 120n + 49, et de l'une des formes 7// + 1, 7p + 2, 7p'— 3; ou bien il faudra qu'il soit en même temps de l'une des formes 120n— 1, 120n — 49, el de l'une des formes 7p'— 1, 7p' — 2, 7p' + 3. Or on trouve que, pour satisfaire à ces conditions, doit être de l'une des douze formes indiquées par la formule 840n ± a, dans laquelle a représente l'un des nombres I, 121,169,289, 311, 361. Le nombre p devant être premier, il ne se trouve jusqu'à 1000 que les quatre nombres 311, 479,719 et 839 qui aient la forme voulue. Jusqu'à 10000, il ne s'en trouve que 66.

Enfin, si on veut chercher la condition pour que le résidu de 11 soit l' - 1 égal à 1, on a : ~≡~ , lorsque p est de la forme 4n + 1 ; et l'on a : ≡ — ~, dans le cas dep=4n+ 3.Or les formes de p sont 11p' ± a, a représentant l'un des nombres 1, 2, 3, 4, 5; et, comme, relativement à II, 1 est résidu des puissances cinquièmes des nombres 1, — 2, 3, 4,5, on voit que les formes 11 p' ±1, i ï/Y qi: 2 , 11p' + 3, 11p' ±4> 1 + 5, dont p est susceptible, devront être prises avec le signe supérieur, si p — 4n + i; et qu'elles devront l'être avec le signe inférieur, si p=4n + 3.

Il restera à faire concorder ces nouvelles expressions de p avec les précédentes, et l'on trouvera que la forme générale de p devient 9240n ± a, dans laquelle a désigne l'une des trente valeurs particulières que voici : 1, 169, 289, 36i, 479, 529, 841, 961,1151,1319, 1369, 1559, 1679, 1681, 1849,2209, 2351,2641,2689,2809, 2999,3071,3481,3529,3671,3721,3911,4199,4321,4489.

On pourrait pousser plus loin cette analyse; et, en continuant seulement jusqu'au nombre premier suivant qui est 13, on obtiendrait pour la forme générale de p 120120n + «, le nombre a représentant 36o valeurs particulières différentes. Les nombres premiers compris dans ces 36o valeurs particulières seraient donc jusqu'à 120120, les seuls pour lesquels 2, 3, 5, 7, 11 et 13 donneraient tous 1 pour résidu.

Mais, si on s'arrête à la formule 9240n + a, et qu'on la développe

jusqu'à 10000, on ne trouve que 28 nombres premiers, dontvoici la liste : 479,1151, 1319, 1559, 2351, 2689, 2999, 3529, 3671,3911, 4751, 4919, 5519, 5569, 5711, 6551, 6599, 7559, 7561, 7681, 8089, 8761, 8951,9239, 924 1, 9601, 9719, 9769.

Sur ces 28 nombres, il y en a 21 relativement auxquels 13 donne— 1 pour résidu, savoir: 479, 1151, 1319, 2351, 2689, 3529, 3671, 3911, 4751,4919,5519, 5569, 6599, 7559, 7561, 7681, 8951, 9241, 9601, 9719 et 9769.

Parmi les sept qui restent, il s'en trouve cinq pour lesquels 17 donne - 1 pour résidu, ce sont : 1559, 2999, 655r, 8089 et 8761. Enfin 19 donne — 1 pour résidu, relativement aux deux derniers 5711 et 9239.

On peut donc affirmer que, si le nombre premier p ne dépasse pas 10000, quelqu'un des nombres premiers de 2 à 19 inclusivement, sinon plusieurs, donnera, relativement à p, — 1 pour résidu.

NOTES DU TROISIÈME MÉMOIRE.

La méthode que nous avons reproduite d'après Legendre, peut être p—L employée à faire connaître si un nombre a est racine de x i, ou p —1 de x 2 = — i ; nous nous proposons, dans cette note, de déterminer directement toutes les solutions de l'une et de l'autre relation (*).

Prenons, pour exemples, les deux cas traités par Legendre, à la page 220 déjà citée, celui de p == 4i, et celui de p = 59.

2~20 5~20 4~12 PREMIER EXEMPLE, P = Ai. On a immédiatement : ≡ 1,~ ≡ = 1, .;

4, 5, 8, 9, io, sont racines de x20 = r ; et 3, 6, 7, 12,14 , sont racines de x20 ≡ — 1.

Mais, si on cherche la racine primitive minimum de x40 = 1, chose facile par le procédé nouveau qui en fait un jeu charmant, cette racine qui est 6, donnera toutes les solutions demandées, et pourra même donner

(*) Le procédé de Legendre consiste à former les carrés des nombres entiers, J, 2, 3, p — 1 p-I 4 Les restes de ces puissances sont les racines de x~ ≡ 1, et les nombres p-I qui ne sont pas compris dans cette suite de restes, sont les racines de x * = — 1. Les carrés se forment d'ailleurs avec facilité, les uns des autres, par la méthode des différences.

toutes les périodes particulières qui appartiennent aux sous-multiples de 20, savoir :

En effet, à cause de 620 = — l, toutes les puissances impaires de 6 seront racines de x20≡ — 1, et toutes les puissances paires seront racines de x10 = t. Les résidus des vingt premières puissances impaires, et ceux des vingt premières puissances paires seront d'ailleurs différents, puisque 6 est racine primitive de x40 == 1. On trouve ainsi, pour les solutions de x20≡— 1, 6, 11, 27, 29, 19, 28, 24, 3, 26, 34, 35, 30, 14, 12, 22, 13, 17, 38, 15, 7; et, pour les solutions de x20 = 1, 36, 25, 39, 10, 32, 4, 21, 18, 33, 40, 5, 16, 2, 3i, 9, 37, 20, 23, 8, 1.

Maintenant, pour les périodes x10 ≡ ± 1, on déduirait de 620 =-= - 1 : (62)'° = — 1. Les restes des dix premières puissances impaires de 62 seront donc les racines de r" == — 1, et les restes des dix premières puissances paires du même nombre seront les racines de x10≡ 1. On suivrait une marche analogue pour trouver les périodes x5 ≡ ± 1, x4 ≡ ± 1, .r2 == ± 1.

On voit d'ailleurs que, la période complète xi0 = 1 contenant toutes les autres, il suffit, pour obtenir ces diverses périodes, de prendre les termes de celle-là, de deux en deux, à partir du premier et du second ; de quatre en quatre, à partir du second et du quatrième ; de huit en huit, à partir du quatrième et du huitième; de dix en dix, à partir du cinquième et du dixième; de vingt en vingt, à partir du dixième et du vingtième. Le premier des deux nombres qui servent de points de départ, dans ces différents cas, conduit aux périodes dont le second membre est— 1; le second conduit aux périodes dont le second membre est 1. Généralement une période xm = 1 pourra donner, d'une manière semblable, toutes celles dont l'exposant est un sous-multiple du sien ; et l'on peut remarquer aussi que, dans toute période x2n≡ 1, les termes de rang impair sont les solutions de xn=:= — J, et que ceux de rang pair sont les racines de xn = 1. Mais les périodes particulières peuvent s'obtenir directement par la méthode indiquée, à l'aide d'une seule

racine primitive de xp-1 ≡ 1, sans qu'il soit nécessaire de connaître aucune autre période.

DEUXIÈME EXEMPLE, P = 59. Aussitôt que l'on se sera assuré que 2 est racine primitive relativement à 59, on trouvera les solutions de X29 — 1, à l'aide des puissances impaires de 2, et celles de T9 == 1, à l'aide des puissances paires de ce nombre.

Les premières sont : 2, 8, 32, 10, 40, 42, 50, 23, 33, 14, 56, 47, 11, 44, 58, 55, 43, 54, 39, 38, 34, 18, 13, 5a, 3i, 6, 24, 37 et 3o.

Les secondes sont : 4, 16, 5, 20, 21, 25, 41, 46, 7, 28, 53, 35, 22, 2g, 57, 51, 27, 49, 19, 17, 9, 36, 26, 45, 3, 12, 48, 15 et J.

Ce qui revient ici à former la période complète x" = 1, et à prendre séparément les termes de rang impair, et ceux de rang pair.

Il DEUXIÈME NOTE.

Sur les équivalences de M. Cauchy. Leur utilité comme moyen de vériScation ; leur formation, leur degré.

i. Proposons-nous d'abord de faire servir les équivalences à vérifier si un nombre a qui donne — 1 pour résidu, est racine primitive. Prenons,

Le calcul à faire sur l'équivalence, pour vérifier si un nombre tel que 6 est ou n'est pas racine primitive, peut être simplifié. En effet l'équivalence devient une équation, lorsqu'on lui restitue le multiple de 31

supprimé dans le second membre. Il ne s'agit donc plus que de seriner si le nombre 6 est racine dex8 + x7 — x5 — x4 — X3 + x + i = 3im.

1 L'indéterminée m n'est pas un obstacle à l'application du procédé ordinaire, et la méthode conduit aux conditions suivantes :

On en déduit successivement :

Or ce dernier résultat est absurde.

2. Occupons-nous maintenant de la formation des équivalences.

La règle générale peut être exprimée très-simplement par la formule

a, b, y. les diviseurs premiers impairs de p — l, et par F (x) un certain produit formé des diviseurs en x, communs à plusieurs des facteurs binômes du dénominateur.

Cette formule, démontrée dans les Exercices mathématiques, peut se justifier par un getit nombre de considérations que nous essayons de présenter brièvement.

On sait que , si f (x) est un diviseur de xp-1 — 1, la relation ƒ(x)≡ o admet autant de solutions différentes, moindres que p, qu'il y p-r a d'unités dans le degré de la fonction. Or x 2 + i, qui est un diviseur de xp — 1 — i, est en même temps un multiple de chacun des diviseurs

multiple impair (*) de chacun des nombres~ P 2g 1 ? ••• • 2(% 5 -- 20 27 e -

(*) Qu'on nous passe cette expression , qui signifie : par un nombre impair.

Il est dès lors évident que la division, indiquée par la formule, fait dispap — i raitre de la relation de x 2 + i = o, qui contient toutes les racines primitives, les solutions qui ne sont pas racines primitives, et qui, d'après notre théorie, sont toutes comprises dans les relations

mais, comme plusieurs de ces dernières relations ont des racines communes, la fonction F (x) doit être prise de manière que les facteurs communs en x qui correspondent à ces racines, soient en égal nombre dans les deux termes de l'expression (voir ci-dessous, la loi de formation des quotients successifs).

Quand on vient à faire une application de la formule dans le cas d'un seul facteur binôme, les résultats s'obtiennent aussitôt. Ainsi, pour p = 37, on a : =x12 — x6 + 1 ; mais il n en est plus de même quand il x 6 + 1 en existe plusieurs. Pour p = 211, par exemple, la formule serait

lopper, après quoi il resterait à résoudre une équivalence du liSe degré.

Notre méthode évite ces opérations laborieuses : ainsi, dans ce der- nier exemple, pour vérifier 2 qui donne ≡ - 1, on trouve aussitôt : 211 4 *

et, comme aucune de ces puissances ne donne — i pour résidu , on en conclut que 2 est racine primitive relativement à n i.3. Nous ne pouvons quitter ce sujet, sans déduire du degré même de l'équivalence la formule qui donne le nombre des racines primitives.

Le théorème dépend de la loi suivant laquelle se forment les quotients

il n'y a qu'à remplacer par Le troisième quotient sera donc

En conséquence, dans la formation successive des divers quotients, le dernier obtenu devient dividende, et le diviseur qui doit servir à le diviser, se forme du dividende lui-même, en y remplaçant p 2 1 par p 1, X étant le diviseur premier impair de p - i correspondant au nou-

veau facteur binôme que l'on considère.

Cette loi établie, le degré de chaque quotient, qui est la différence entre le degré du dividende et celui du diviseur, est facile à déterminer.

Le degré du premier quotient sera, en effet :

le degré du deuxième quotient sera :

(*) Tout ce que nous venons de dire, dans cette note sur les équivalences, est facile à étendre au cas de x = l, u étant un diviseur de p - i. Seulement, il y aura deux cas à considérer celui de « pair, et celui de u impair. Dans le premier cas, le degré de l'équivalence

e, y. les diviseurs premiers impairs de u. Or il y a autant de racines primitives de x = l, qu'il y a de nombres premiers avec a; il en résulte donc une démonstration indirecte de la formule mentionnée à la page 12, formule qui fait l'objet de la note troisième.

TROISIÈME NOTE.

Cette formule, qui sert à déterminer combien il y a, jusqu'à n, de nombres premiers avec n, et dans laquelle a, b, c,. représentent ses diviseurs premiers, se trouve dans Gauss, page 52 de l'ouvrage cité; mais il omet de la démontrer, comme étrangère à son but, et pouvant se démontrer sans peine par la théorie des combinaisons. On la reconnaît également, bien que sous un énoncé différent, page 35a de la théorie des nombres; mais le raisonnement de Legendre nous semble beaucoup trop succinct.

Enfin nous la trouvons dans les exercices de M. Cauchy, année déjà citée, page 228; mais ce géomètre la déduit comme conséquence du nombre des racines primitives, annonçant qu'il serait facile de la démontrer directement. Bien que cette formule résulte aussi des principes de la note précédente, nous pensons devoir en donner une démonstration directe.

Soit n = aα. b8 cY , en nous bornant à trois facteurs premiers, ce qui n'ôte rien du reste à la généralité du raisonnement.

Il faut d'abord rejeter de la suite des nombres en tiers de i à fi, tous ceux qui sont multiples de a. Ces multiples sont :

de sorte qu'il y en a -, et que par conséquent de i à n, il se trouve n — ou n (1 — -~/) nombres premiers avec ll.

Il faut maintenant rejeter de la suite des nombres entiers, après le rejet des multiples de a, tous ceux des termes restant qui sont multiples de b.

De i à n, les multiples de b sont :

et il s'agit de savoir combien parmi ces nombres, il s'en trouve de premiers avec a, puisque tous ceux d'entre eux qui contiennent a, ont déjà disparu dans la suite des n premiers nombres. Pour le connaître, il suffit de considérer la suite des coefficients de b qui sont 1,2, 3,. a*. b~ - 1. cγ. Or, dans cette suite de termes dont le nombre est il y a ~(1 — ~) nom-

bres premiers avec a, conformément au raisonnement qui a précédé; car ce raisonnement étant vrai pour n, est vrai pour tout autre nombre n', pourvu qu'il soit un multiple de a, et peut par conséquent s'appliquer au cas de n'≡~. Ainsi l'expression n , ou plus simplement r, a- indique combien il y a de nombres premiers avec a et b, de i à n.

Il faut encore, après ce double rejet, retrancher des termes restant de la suite des n premiers nombres entiers, les multiples de c. De i à n, les multiples de c sont c, 2C, 3c ,. aα. h6 cγ - 1. c; mais nous ne devons prendre parmi ces multiples que ceux qui sont premiers avec a et b, puisque tous les autres ont déjà été écartés. Tout se réduit donc à en connaître le nombre qui est - (1 -~) (1 - i). En effet, les facteurs a et b ne pouvant se n trouver que dans les coefficients d e c,c'est- à - d ire dans la su i te 1 , 2, 3 c on peut appliquer à cette suite de i à -, le raisonnement fait pour la suite c

de i à n, et l'on obtiendra le résultat en remplaçant n par - dans l'expression.

Le nombre cherché N sera donc définitivement :

(*) Depuis que ce mémoire est écrit, nous nous apercevons qu'une démonstration semblable se trouve, page 3io, dans l'algebre de M. Cirodde, qui la donne d'après M. Poinsot.

Il paraît que ce savant l'avait publiée, avec d'autres propositions, dans le dixième volume du Journal des mathématiques de M. Liouville. Nous ne croyons pas devoir la supprimer de ce mémoire, où sa place est marquée. ( Ou