Tractatus duo, prior de Cycloide et corporibus inde genitis, posterior, epistolaris, in qua agitur de cissoide et corporibus inde genitis et de curvarum tum linearum @ , tum superficierum @

Rappel de votre demande:

Format de téléchargement: : Texte

Vues 1 à 149 sur 149

Nombre de pages: 149

Notice complète:

Titre : Tractatus duo, prior de Cycloide et corporibus inde genitis, posterior, epistolaris, in qua agitur de cissoide et corporibus inde genitis et de curvarum tum linearum @ , tum superficierum @

Auteur : Wallis, John (1616-1703). Auteur du texte

Éditeur : Lichfieldianis (Oxoniae)

Date d'édition : 1659

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31618715n

Type : monographie imprimée

Langue : latin

Langue : Latin

Format : [10]-123 p.-[3] f. de pl. : ill., pl. gr. ; in-4

Format : Nombre total de vues : 149

Description : Avec mode texte

Droits : Consultable en ligne

Droits : Public domain

Identifiant : ark:/12148/bpt6k5759200j

Source : Bibliothèque nationale de France, département Réserve des livres rares, V-6562

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 08/02/2010

Le texte affiché peut comporter un certain nombre d'erreurs. En effet, le mode texte de ce document a été généré de façon automatique par un programme de reconnaissance optique de caractères (OCR). Le taux de reconnaissance estimé pour ce document est de 67%.

; :Johannis Walifii' SS.; Tb. £)• : Gmmmix Profeffeis SavilitiniOxorike,

i'UG TATUS Mr!}0>- ; Prior, - ■■",.'

DEGYGLOIDE

Et corporibiis inde geriitis.

Pofteriory E P I S T O L A R I S;

-Jirqua agitur, ■

DE CISSOIDE,

EL Corporibus inde genitis:;-'

JLi A :; •

D E C V R V A-R. V M,

Tum Linearam EO0W'IT«, tum Sujjbfficierurn U.KATU<T(/.S.

o x o N i je.

Typis Academicis Llchfieldiams. Anno Dom. clo Ioc Lix.

^■v?- ■ :■■■. [^r^-^V;^.:-

D ^OBERTO BOlli

-.. .' A R M .i-;vG;VB ,i-0,;;.;„ui

: Tum illuftri femiti a* ^iam inagtii* ">

Viftutibus, Nbt>iii

VZ)M, Scientiamnufloshabiimdm initoicos, prdfef ignQj^tef^Jara

: ciittijit ftittffimtiw Y tiemOycredfo ant mique dutimprudenter a me f*~ &umexiftimabit} qufid $ei?niifft~

•■\ pthm Virumopufculo huicimftrpfaM tromm ddvoeaVerim. ^i^raiier iuam iH Theolofticis tHmpomitio*

nzmtum prdxin$ dtqueinVmguis^iumfacris^ dntiquif' quetUim modernis etiamperitiamh in Ppliticis iiem} &* negofiis publiciSy & rerum d* perfonarjum t dpmipire»,

greque^ intitJiamnotitiaWf ':]i lQui

lQui hominum multorum n6ris & ui bes: 7» rkyftweti4m*<&yer<t! Philofbphiavenatione, itaper^ petuis &fubtilijjimisExperimentis9 Medicis-, Chytaicis3 Anaiomicis^alitfqmomnegeni^^liia &

igneprtfequeris£m

quedrte 0pificumofttcinas^) in fecretosdbditijffimofquefe* queris recejfm^ & quaji in vtfcera penetras^ ui mirum ni tibi tandem fe inpradamdedat. guique ttaturam* tatt* qttamequuleoimpofitani^feverafaltem^ ne crndeH dicam9 qu£ftione , torquendo vexas&retorquende, qub verum tandem fajfa, fecreta pandat omnia: idem^in Malhejtt

( A 2) JEqua- .

Jp.quttiones Analyticas (Equuleum Mathematicum) verftli qito vix Jtibttliut aliud infirutncntum^abdita perquirendiyaut extriciindfmvoluta.r }

. ^uamqnam enim tam perfpicacis rngenii Virum^ atque fubd&ijudiciii, reformidare debere videar^ qui de noftris - fentent-iam feratS u.t..qu,9 velleviora 7ia^^,^»m am &wp.at1 veli^^i^etidm^fi^ua.d^vidfum-efi^potis es dignofcere: Tu iamenrqui c&teranbris^ itorif etiam qnam.tn fcjitno fcripto multa fint condonanda , quamque omnino arduutn fit^omnemunguis critici fcalpturam devitare.

Jnvenies autem^ ex fubtihjfimis prtefentis feculi invenr tisfji non omnia|'.9 pr.£cipuafalte/t/0 velex profejfo traditd s.wl obiter' inftnuata: Eaque5 utui nonnova omhia , aut nulli haSenus.reperta, at novis•fal.tem demonBrationibtf* orn&ia^ &• methodis nofiris accommodata.. Et 'quidem ab aliis notmulia per longiores ambages & particulatim inventa, mirahere forfan iam facileex principiis noftris^ & univ.erfaliter traditis0fi.mphcius& 1 fpontefluere. , -

Tu vero\ ul foles , & dpffisfaverepergat3&,ftudia,, fromovere:mcaverferisinicriW} ■•...,.■

riR NdBjLissiME, ;

, Tui.obfervanti^ffimiim & amantiiffimum,

JOHANNBM WALLIS.

..'■' PRJEFATIO.

JjO yquidin fequentibHi(agamr.^reBitts"fer^ . fentifcatLeUor, quaq^anfA data h&cfne-.. rim meditattti; pr#viam':hanc tqtius reigeftd,; qtiatenus edme fpeclet , narratiotiem pr&mitterevifiim erat, qmque ddfid\ope- -. m me jmpnierunt: mufas breviter. aferire.. Gum Illujirijfimi Equitis Digbaei literis fJtiliLfj ,id jSfParifiisdatis) dtias fimul inclttjas charttilas, pridie Cal.^uguSbiy,

Jtylo nojtro,hoc ejt^ttig. 10. Jtyionovo, Uxonus accept. s^uttrum jrjor, h&c continebat Problemdta; ( Partfiistquod audio} menfe Ju~ hio primnm divtdgata.) ■ '. . _, '-■■....

Dato, in Cycloide quacunque ABCD fig.x. quolibefpuri&o %, ex quo duSaZY fe&a, bafi AD parallela, axem CI? in p.tjn&o-. Yfecet: Qusruntur ; '•':■:

Dimenfio fpatii CZ.Y; Ejufque centrum gravkatis':; ■-••■ '< Soiidaque exejufdem CZ.Y conyerfione., tum circa"ZiY, tiim■, circa C Y, geiitta; & horum Solidoium, Qerjcra •.gravieatis.

Qijod ii eadem fqUdajtumquodicirca 2. Y,: tumquodcirca' C Y, planb:]^r;axem bteriamfecentijtt:; Horum item. fcmifolidorum quarurittirtcei^ra^ ,-..-■ '■■

. Qmrum 'qtiidem' Probiemdtiimfolutioriem.',■ a praeftantiflTmis. tofo orbe GeometriSj fupplex..poft'ulat e/indtiymus, propofito Jimtil praemio in b<£cyerba;_,,. J^ifqjiis fu^eriuspropofita ,. intra. primamdiemmenfis Oftobfis-'arini i<55.8.folverk & demonftra-: verit, magnusefknobis AppilQ.;;;]^primus;quidem^ tur yalorem quadragintaduplpriim; aureorum Hifpanicorum , quos' ipfi Hifpani <Jbtiblones> &:■ <3alli' Pifiolles vorant : -Secundus

. (a) ver®

^.:.i^f\i^.:-----i;v:'":]x- #!/ F STi;^ --:-:•■:----■ ---.y- ■■■

vero.vigiriti. ejufmodi duplosa'ur;eos.-:... Siunus tantum folverif _. fexa'girira,foius habebit. ' ' ■

"• Chartaypofieridr yindicMf^Qt^C.jdddem quamcunque;] nori aiiam ab ipfo inteiligi','■_. qiiam Cy cloidem primariam a' Toriceilio■ defcri-ptam.; cujus.nempe Bafis perimetro circuli generantis sequatur;^»? rationem quam babet BafisCyloidisad altl"tudiriem-j fve addiametrumcirculi generantis>p.rodatareputare: R.emittie denique nonmhil de yropojhionum pr&cedentium rigore, Ttempe multorum cafuum calculum, & abfolutam folutionum confcriptionem ; \yidebque his tandem verbk conditiones fuasexpo-, nit,. Qui puMico Inftrumento , ■ intra prsftitutum tempiis, IiluftriiTurio D: de~Carc.avi figriificayerit , eorum quse quaefita funt demoriftrationempenes fe ••nabere;';' & aut ipfa.nirnet demoriftrationem quantumvis compendiofam ad ;ipfum*miferit; aut fi chartaemandare nondum pe-r otium.- licuerk, faltem ad confirmandarri 'fua* affercionis verkatem, cafus querri mox defigriabi. mus calculum dederit;. feque paratum efle profeiTus fuerit om-, nia omriinbdemonftrare ad ipfius D. deCarcavi nutum , hunc riobis-fatisfeciiTe declaramus': Etconfentirnus^ primum'qui hax. . fecerkprimo , fecundum fecundo, prfiiiio.donandum .,, fi.fua folutio ab ipfo D. de Carcavi vkifque ad id fecum aelhibitis , cum ipfi vifum fuerk, exhibita, geometrica ac vera judicetur:'" Salvo femper erroris calculo, ( lege , errore caiculi.) Cafus au•tem cujusfoHus fuffidet calculusille eft. Si femicyclois ACFcircabafimAF convertatur, ■& folidiim iridfe genitum. fecetur plano peripfam AF ( qu# jam hujus folidi axiseft) duiTo, quod quidern folidum dividetin duo femifoiida paria.. Alterius horiirri Temifolidorum centrum gravitatis aflignari poftulamus.

His jkcceptis literis cnm inde perfpexerim IlluBrijfimo Eqttiti in votisejfe , ut ego hiiic me inquifitioni accingerem,;, idfiatim ■■ feci3 non iam expoftto pr&mio (quod qmdemad pompamfacere viJum eft ) quam; Illufirijjimi Equitis defiderio indublus. \ Vidcbam autem nonparum temporis propofiti^ mediam faltem partem) jam effluxijfe: Et quidem^ quocLintelkxi pofiea )non exiguum etiam a calce amptitandum eraf; quantum faltem exfcnbendis,tranfmittendis & tradendisliteris fujfciat'. fQuvd enimCitichart\aprima ditlumeft, qui mtra primam diem Oftobris' folverit & demonftraverk ; id in fecuiida fonat, quipubiico Inftrumento, intra

-praeftkutuiri

; P-R JE F A T i o;

preftkutum tempus D. Carcavio fignificaverk; qtiod tetndem ex~ ponmt Pafcdlii ad Wrennum litera , fi intra di&um terripus Carcaviusid.acceperit.) In anguftias itdque tempons conjeBuseram; ( ' & quantas quidem tam perplexx difquifitioni vix fujfcere vel: author ipfe judicabit; ) Trtefertimcum rudis ego ad id operis- ac-, cejferim, quod ipfum', '& Gdllosfuos , jam-per viginti annos ■& ultya, nedum quadraginta , exercuit- \neque enim ego de Cycloide qmdpia ,ante meditatus era.quam.bis Prob/emdtis fuerim< excitatus.) .■jQmd ttaque temporis angiiftia poftulabant, nec abnuebant oblata condjtiones, rem ego\ fumtndttm apertendam duxi';.-. adeoque literis j4ug, 19. Oxonii datis, para.gr-aphis 55, (.eifdemfere verbis cum totidemtralJdtAs infequentis frimoribus,) ad D. Carcavitim amandatbam • quikus tqtim methodi fumma continetur r refervdta miki j quam& oblau conditiones pattuntur, libertate'.,■ lapfus\fi:

. qui forte fuerint- ) emehddndi. ( fJonenim tamipfum cdlc.iilum quam calculi methodum tuni edpoherefatagebtim.) Et quoninm ■ Inftrumenri-45ublici mentiohem faclam viderdm,. quamqttam> quid illa voccs ibidem imuebdntnon fatis perfpiciebam, netamen'■ & hac. ~ex parte qmdquam^eftceret, Notarii $w\iia.fubfcripiioneremcon-- firmandam curabam. y ■'.".-, .. _■ , . ■_'

Has meas literas, ad L>. Carcavium 16 Septemb. pervewjfe inUlligo ; velfaltem (eoabfente) ad ipfum Tafcalium : qui tum ea Problemata, quod jam' intelligintus ., jAhonymns propofuerat,'ium D.Garcavio permtttente dliorum fcriptd literdfqtie ad eum ead-e. re datas accepit & pertufirdvit,idenimin fuisadc3.WrCnHteris * 13 Sept. ddtisihnuit,^isverbis. Abfentia communisamici 110flri D. deCarcayi qui tuasad me mifit -Epiftolas, caufa eft cur non i-lle fed egoquamvisignotusaudeam refporidere. -Ettan-. demCpoft aliamtt/ta)Unum tibi _, inquit, dicere habeo,-fci-licefj hic receptas effe abeximio ex-veftris geometraepiftolasin -qui"

-qui" omnium qua» de Cycloide problemacum furit .propofita folutioriem tradit. Et ipfi fuum. ofdinem r.eligiofe feryandum ab illa die fcilicet quo recepta fuerunt, neiripe\a decimo die hujus menfis ftilo novo. Sic •enim.habetur intentio Anonymi proponentis, utqua die D.;de Garcaviexcipit-folutionein alieujus eo dieordo ejus fumatur. Et quidem conformius fuiiTet Anonymi ipfius iritentioni ut per ■ 'Notarios Parifienfes atteftatio .faeVa fuifiet quam per Oxonierifes* Parifienfes enim fidemfacerent

(a 2) . recep-"

:.-.'■ ;'". p;R:i;f AT IO; ;- — ;.;.

fecepttorfeD.de"Carcayi, undeordofumitur;: Oxonierifesvetbnthii.ad-hoc facere pbffun^^tf^ res tran:

tran: Qimfiqmdimnefciverit Carcavius,fine NotariortiitiplunumfPubiiCommt^ fe> accepiffe•:; vel etiam quo

4ie dcceperk.). Ne aUtem iftacnqn fatis intelligantur ; Adeaver. baimpreff*. chartuUp.efterioris,. Qui publux) inftrumento ante yjk^iituiumterripus^;111'uftri'fllmo D. de Gateavi figriifiraverk; : hahc> ddfcriptam irdrifo .. rios-Parifierifes, per extr.a:nee»s eriim riihilfigriificafi poteftD." '. de Carcavi ; Et in hoc eft aliquantulum plus gratia; in Gallos, ; - quaOi Iri.alios.Geometras;;,'fie autem vblukAnonymus3,fus: ". iegis domirius: Itaque quicquid arite Galerida.s OSob. adD.de ,'CarcavIiriitfetur.ordinemobtlnebit, ;cjuod'autem.poftea.,;.nbn recipieturquamvis prbbaretur a<Stum fuiffeante Calendas Oelobris : fignificatio enimfa£ta-adD. deGarcavi,feuejus feceptio_. fola vaiet ad ordinem praemii. Et fiquis «Hegione magisjemota jam mktatfolutioriem a&am arite i_? Augufti (qua di~c a&a eft ; 'folutio veftfi divti Geometrx;)., ipfaquarfivis prior, pofteriOr habebitur, utpote p.oftefiiis recepta. Atquc h&c funt qu'& ad ; iy.W^ndeme fcripficrat. fDe-quibus mihihihit' quicquamCoritrd. difputareinammo efl, Ad pramium enim qubd aitinet, de qttovi. :deturille.admodumfoliciius,id'me dmniumminimefolicicumtenet, %emipfdm quod fpeUahGeometrdrumilludjudieiopermiitendu efi. "De Infirtmento publtco quoddicitur.-putarimquidemigb^yeleohoc opus effe utt>. Garcayiofidem faceret ^quptempore folutio qu&ftbei 'alibi faUa ftitrit; vcl nonommrioopusejfci ut eriimfibi fe accepiffe Confiet, vel qito die dcceperif, quid Inftrttmehto yublicovel publicis nbtartis opus effet, ndn videbam. Sed affigat quam yelifi menfem fuis verbis■, & de pr&mio quod lubet ftatuat, nonrepugno; Gallifque fuis pr* aliis fayorem quem velit iargiatur. EaBi fiquidem egofeinreferoyrioride jure Utigaturus.

Intereavero temporis, /iteris fscundis ■$ Septemb. datis , minutiora qmdam in literis prtcedtntibus-contenta, partim txplicabam partim immtttabam (refervafatamenquapriuslibertate,) adeoqut in eundem pUneftatum quo jam hdbentur redigebam'■":■ Nifi quod , ttiam tum,- npnfatis attextus, $ yo falfo s adhuc humeros appoftieram; ( & fimiliter $ 4 5.) Uiis utique numms inveftigandis , tri■

tri■ ;;■ littcui» *• - - . ~ ■■ : " ■

-.--. P R &■ F A Tl o; ': '"■,'.'

lineurn G fcF Kfig..i. hoceftCf' Afig.j. (qutfacilisiapfui efl) circa- .feffam 'hWiconvtrteram, '.quod circa G F cottvertendum crtit,.. (ut%-jj,ubiealculusin^

tur aggregaium omnium T?Y,fiye_£Zfig.j. w.Z-.t Arithmetice proportiqnales duUdrum., Quam.quidem ofcitdniiam,ubi ariimdd-. ■ yer.terem (quodqueunicum irijamtrdditis emcndavintUs) ultimis fandem liiefis, eoderii friehfe datis ihfinudbdmsyiupete&e,. .rifnipefxvy..' prioribus rionnibtl^mmutandum,; quod &ipfisr:tfinondum;ad examen^redegerintjperfpfeltum effe ppfitt':' cumautemipfis;adhii6'- plura;videft -forte pbflinffuppierida , adjuftarrr eorum defnOn-; ftrationeffi qus-veiiliiftimirifiriuayerim, vel iit prb concefiis h ;-i. . -buerirn, expeltaturiim medicebam1', donecqiitdipfisvidieretur intelligerem, ut eadem opera immutarem,immutarida, fupplei*-- da fuppleferri _v-.&;{uprerriam adjkefeiit manuttit Aiqtief&c qui:-': dem ego ipforum Condiiioriibiis cqhformia effe duxi., :(^W::hbnnifi. demonftratibhem quantumvis com^en^LO&m.^fetefem^vei . he hdnc'quidem, modonumeros uni cafuiaccom^o.dosqftfs^xhiber.. ret,)idque falvofempererfore calcuit: mbdafidiiemkquadipliteris ad D.Wreh additumefijparatifimus•reliquaexhibcrt' ubiftierimus aD.Carcavio adhbcmoniti. -:::;: ".":■:;-. '•_ ':■;;;.;■■

Lapfus aufemiile quis fuerit quem emen%dtuftis erdm., ffecidiim literis illts non indicabam; quia jatH mihi fubolebdt luptu' infabula. Cqnjiciebam enim ex. litem ad D.Wren fcriptu , (me enim: riullis haiienus digriati funt,)Pafchalium hunc cui D.Carcavitis iiieras dccipiendiyper/uiirandi, eifqiierefpqndendi copiam feciffe diceretufy (fortaffe & fententiam ferendirium '■ conditionibtis fatisftat,) eundem effe qui h#c problemata Ahbnymuspropofuefdt. Cuicur egomea^ ulterimdperirem nonvidebam. iiAccedebat, quodjam.edoblusfueram, quocunque tempore quidpiam alibifaclumfuiffecorftet, nifiid Parifitsahte indiElum diem Cdrcavioirddatur", (quocunque idfato fiaif) non admittehdum-fpre ; adeoque cum norifperandum videbatur itt quicquid ego tum fcribefem ( exeunte Septembri) antt; primum ditm OBobris eoaccederet; idfaltem infinudrevifum eft, tum deprehendiffe me errorem illum calcuh, tum paratum effe velillum emendare,veletiam,qmultradefiderentur, ad eorum nutumfupplere. :■■■<:'.■■:.■; ' ~" ' •■":■'■

' Cum verb^ego per aliquot merifes ,*ut monitus eram, (five D Carcavti _, five potius) Pafcaljihittm expetTraveramy qidd ukra pofiu-.

(a 3) .'"..-.' iarenty

P RJE F A T I o;

larent, attt 'quidpt.ppletum adhuc vellent;; -nec quicquam Ttterarun»

dcceperimffiicet litefaimeaiiemaiad 'D.Pafcalikm ritefuiffe tra-,

ditat aliunde iritelligam;) Tandemprqdiit,qtiafi.rei gefta Narratibr

-■Hifloiredela Rpuiette.; quamvxeunte menfe Novembriprimum

vtdi. In qua^Mtdefoiutionibus^u me exhibitis (quod & de aiiorum

item'evenlffeconficio)"dttum 'fa.it filentium;tamenetiamadhuce-xfpetiandum

filentium;tamenetiamadhuce-xfpetiandum dumalii nefcio.quik D.Qtrcavio adid,

dcfigriati': (ficjuiffidltemdefigndtif-judiciumtulennt de fcrijttis fiye

f2o.iiris:,fve<& alisrumyquoruritetiamnornina reticerevobuit.

, Innuif quidem hae hiftoriold , Confiderdtionem Cyctoi<dis

Cyctoi<dis XjMerfietino propontnte , jam ab anno \ 6 i 5 .( dum.

•ego nohdum natus eram) (Sallos exercuijfe ; Rbbervallmmvefo

amo\6$q. demonjtrajfe primum _, Figuram-Cycloidalem.circulx -

geftkoris triplam efle: quod & poft ■ illum dempnfiraffe dicuntur

r Eermatius & Carfefius , fed qmrum demohftmtiones, pra illd RohervaUiiyextenuatum

RohervaUiiyextenuatum (Eorum vero nemq, quodfciam, demon■ftfdfionem

demon■ftfdfionem typis vutgari habtenus .curavit.) Torricellius de«

tnde,, qui at?no i62\a.,harumrerum nefcius, vulgavitfuat (omniumy

credo,,,primtisf)mfimulaturpidgii; (quam jufie,nedum candide, non

mquiro; poftquamper complures atsnos:fit demortuus;,) n.onquod Ro■berrvallii

Ro■berrvallii profua i/enditaveiit, fed quod(fic utique

Jiifpicdniurjinter Gallitxi fichediafmata vidiffe forte potueritpropofitionisifiius

potueritpropofitionisifiius k D. Beaugrand dd Gdlilaurit oltm

•sranfmiffam. Cuifimite quidde.Lalouerk Jefiuita videntur fttfptcan

<ri,qui ebfumnohnuhldprotuierat qua fibipeculiariaputavcnt Robervaliius.

Robervaliius. eiiam & nos ejufdem infimulandi, ubi viderit

eadem & anbbis invcniri. .Inveniti, inqtiam ; nonenim fifie prius

hac ficiviffe contendat, utut id yerumejfe.pojfit, nos ideo minus

minus dicendi furitus , dummodq clam nobis fit quod

ipfe fecerii-; qui nec uet ficrinia fua vel fcriptd compilavimus

compilavimus nec ab itlo quidquam fuimusedoBi. 'Didicerdm quidema

ToricelHo, (a Toricelli.O,;inquam,nam Robervallium derebushifce

quidpiam meditatum effe , qmmeaeratihfeiicitas, neper fbmma^

cogitdbam;) didiceramjnquam, abillo, tumCycioidis dreamctrcuh

triplam effe ; tttm Tangentes defcribendi methodum'. fiP lura vero de

Cydoide, quempiamexcogitdffe,. nefciebamplanc ; ut & (qtidntunt

haSenus infelligo-) noflnjuxtd^mecumignorahantomnes : NeCqutAeittullo

NeCqutAeittullo cenfendi fiumuscognoyijfeycum illud omnc qitod fe

-.' - ■ - . ". ' " inveniffe

-■■ --r.---f^;-":::f r:x< M F::A::T 10.,' \' :"'" . "^ '.; -

ihvemffe"- contendit., vel\intra. privata fua fcrinia .fecondidit, vet , fdmitiaribus:,jaifemaiiquqf. comrituntcawf,:\ in publiiumijcefte•;":. (fjftaritumrmhi.haffenus djfeqm,ltcuif):jwndum. edidft. ;■ '■'■..,-.v. '■.;

,: Pergi}:deinde 'eddem hiftoriola ediffefere, quidRoberydlliuiy. qttid authoripfe tnyenefitlSefohs autem eademinvemfie,npn.divent;t cr.edo.) .Qriid■ auteminvenefint dtit'■■, fiubticuijfe:. ritirandmttmn eftr - c:um patam profieatur peculiarem fe. Galiis ..Jiits. fayqrerit, Jxhi.bere:. voluiffe. Nqn-difftt^ '■■.

nofirumprodidijfe ,.Pbrtionem Cy^Qidis quam abfeiridk re£fcaad.. axiffl ordinacim appltcafa,,.ejufd:emaxtspartern: quaftarayertyi,■- proximam abfcindens, asqualem. effe fpatio re&ilineo: CQgod qtiU deritverume(t;aquat uiique^R 2; *J ^.i. utex• caictilo §2.3: tiquet^, ''uti&' trilineum C;b,B_/zg.. 1.yetj, aquare-Rt ^adrifyifn:f:ddjif,'. St;.pfifmdi'is'qk.ii.iitt.e:fehip^

:trilineifefpeStuc%)£qfi.are W.cnb.Y.mradii'; iteffie;ufmpdi,pqr-iii?^: tiemjfiye;m6me-ntUr^:t'ri'^ip'^i;%'.¥€£ fiyefefpeBu :cfi^fiyefefpcBtt _3 F, aqitare' 2. Rl, t(j^c'ubofrrddiicirculi feqtienttbtgs demonftrdvimiu:).£mdemque WrenniumnpftrttWfCl~ cfojd.is eurya?,ejufq.uepar:ti^

hinedemqtie dnjam, defumit. hqvas prppqnehdi quafipnesf jDe eentf O gtavitafistum lineje euryseyeloidis,.tum partiu.m ejufderil.d.e* quefuperficiebus ejufdem curyastum eonverfiOne tumfejfiieoiir, verfione, tarn circa bafim, quam circa axim.defcr.iptis,'&, hariim, . fuperficleruffl centro gravkatis. Nos autem (nutlius nominis m narrationefua) quidpr<zftitimus,patebit iu fequentibus. . -

. ExflpeUandum autem aliquandiu videbatur {prout■fiuperiusinfi-•■■'■: nuatum diximus) numquid aliquando nobis mjttntiumforet a Car->; cavio ad demonjtrationes noftras fiummatim tr,aditas prolibitufuoperficiendas. Atque interea qmftiones de novoprbpofitas folvebam^ ^quod quidem poft folutas pracedentes nonefatflaftu diffcite.) Tan- , demvero, cum nihilprorflus dcceperim, nec noverim quid ageretitf; qu& adflolutiones meas qwkpriores , qud pofleriorcs , e/flcidandasy. viflafluntneceffaria,(qU£nempe poft $ 55 inflequuntur,) flcholiorum' infidr fubjunxi, eaqueprout nuricfiunt dd^D.Ficecomitem Brounher JMenfe Martiotranfmtfi : neque ejceo tqmpore quicqudminnovandumputavi... -;

Remautemipflamquodattinet; Idanimopropofitumhabui,qudm

... fuccinUe

P. R it F"A T 1 O. " " •

fuccmUe omnia, fled & perfpicue proponere: Non tamen qu& flubitide

occurmnt Lemmataflhgulafleorfumfemperdemonflrare, (idenimfi

feciffem^ nimis increvijjet operis mo/es, ) fied ea faltem qu£ .videbantur

.videbantur reliquorum fontes vet digiio indicajfe flatis effe ratus,

Sed & eadem nonraro\ vanis inlocis, vanis etiam modi^fiemonftrata

modi^fiemonftrata Nec eandemfemper demonftrandi methodumflecutus

methodumflecutus fed nunc ad morem velerum, tctinc ex Geometria fndtvijibilium,

fndtvijibilium, etiam & ex Inflnitorum nyirithmetica noftra petitis

demonftrationibus. Non quidem quod illud necejfe habui; fled qucK

qucK LeBori 3 & magts utile , nec minusgralum forejcredidi,

quam eandem flepe cramben recoqutre. Quod motteo, ne mireturforflan

mireturforflan fle qmd,emflmilia, dijfimili nonnunquata demonflrdndi

demonflrdndi probata videat. Non rarb eiiam d minutioribus normullis

demonftrandis confulto dbftinui; nec adfingufosflorfan cafus pojfibiles

nbique defcendi; fatis id ratus , /* viam dsmonftrandi palam ofietsdcrim

ofietsdcrim flngulos interim apices (fljiulud jpy>S'i£K-mt poftulent)paratus

£xhibere. ». .fjp -

tAtque hac flunt qm Lecforem prdmonendum putabam. Qa& quidempaulofufiusexpoflui, ut, qui flupra memoratas chartas non viderint, earum fldltem^flummam ; adeoque reigefla narrationem j hinc,intelligant ; & caufam flfflul cur hac methodo mea diflponatur, quaflecus aliaflorflan methodo rcBius. dijponenda effe ,fl res ejfet integra, existimare poffent.

*«;

D E

CYCLOIDE

E T

CORPORIBLIS

Inde genitis, Problematum .3 Solutio;

.;,::.:i>-A :R &; PR iA .R';.:_Svi [:;;.;T;

Anifeftum eft, in conftru&ione Oycloidis, Peripheriam Circuli generantis", J propter continuam fui quae fupponitur. ad reftam D A (fig.i.) applicationem, huic aequalem effe: Adeoque & fc« miffem femiffi, &c.

2. Et quidem, particulatim , dum Circulus Genitor, bafin in f conringens, punflo fuo lineante defignat Cycloidis pun&um Z. , manifeftum eft

\ propterearidem cofitifiuam t^iu-fiui) re<5tam£A congruere curvae^ Z, hbceffi(duaa Z z bafi parailela,qux occurrat in z circulo C z F circa Cycloidis axem) curvae,F z : Adeoque. & reli, .-'■■" B . ; quam

Fig.i,

- BE t^cL&ive.

quam reltqua?: nempe f F , hoc eft Z z, ipfi z C. 'Et fic ubique. * _3.

_3. Z. Y aquat ubique aggregatum Arcus & SU nfrs re£ti, Sinui verfo C Y convenientium. '

4. Si uper circulo C z F circa Cycloidis Axem conftituto,aut huic sequali, erigatur Cylindrus re£tus F z C r , ( fig.2. ) altitudinem habens C r, diametro Bafis squalem ■* Tota fuperficies hujus Cylindri ( cum bafibus ) eft.dupla Cycloidis A C D F ; ( nempe duasfcafes"Cylindri fig.'%funtduplascirculi Gz F fig. 1. §£•Gyliiidftea fugerficif s-cjurva , dwpla, Jeliqporum.-fegmgntpiurrii:,)VAcgue ifi ea^emfifuperficies; ( jftpeffmes,. iriquam;'riori, Cylincifus i ^e: Rov&iuperfictes fe.cahdb-emergantjplario F C r per axem bifecetur: Semifuperficies Cylindri erit dupla Semi- - cycloidis, A F C ; (nempe duse femibafes, furit dupise femicirculi C z F. 'fig* -I..J.. &.S.emicylindrica fuperficie.s cupr_a,;du_pTa triliBeiC^;F,z:) Et; denique fi eafemifuperficies bifecetur ad~ huc plano eliipticO F.fr t/ quod piano F C F reftumfif; femiTuperfi.ciei

femiTuperfi.ciei Z::C:.-Y.F!-3equabif feiiiicycloidem CAF;: (u^ifipe;S(^tcIrculiis:bafis; C* F:;fig;;2;jequabit femicirculumC z F fig. 1. & fupejrficies- cursra r £ F.z C FJequabk Erilineum G AFz.)' :!'

. y. Nam,Tumpco- ubivis in-Cycloidis axe pun£to Y, unde. ,pasallelabafi ducatur Y %■%.'. re£tae C Y in axe Cycloidis fumatur C Y jequalis in diametro bafis Cyliridricje, unde ducatur Y y MeriCl""pafalteTaV.diagoriali F Tbccurrens inu-; & perpun* ^u^.t/jyplanobaftFz;C-parallelp,puta t/£c, fecgtur fuperficies cyli-ndrica; feftionem exhibens f c arcum circuli, quae (propter: paf alielas ) eongruet areiti z C ihbafe:Gylindri,hoceftarcui ?;C;cire,uli:genitoris , adeoq; z Z. re£tse squalts, (ficut & t/ £ congruit re^e Y z fiye in l^afe cylkidri five; in ;oireulo geherante.) Quod cum ubiquefiat:,,'e,runf omnes curvff in fuperfieife eylinttrica r l F z C F, ipfi £.epara:llelce_, sequales re&is omnibus ipfi 4z.p,araUelisi»,trilineo:eyc;loidisCAFz, & finguls fingulis,. &- firfiiiiter ppfit* (in iifdem puta; five a bafe five a yertice diftantiis:);. Adeoque, propter; sequalem etiam utriufquefigursaiititu^mem'-, figura figurae xqualis.:;fu:perficies-cyli.ndrica,plaiiotrilineo; ( fed & fegmenta illius refpe&iyis fegmentis-hujus, ufpatet:,) EnTi addaiituf utiobique squafeiemickculi C z F,..

V . ';. -•■.■• ■ - - - g^j..

■■;■' f " ;

Semtcyelok.

lFig.2.

erit aggregafum aggrggato Kqusle, &d:u:plurn;duplo:; ^usdru* plum quadruplo, &d. HOc eft , fupeffides r^FsG Y;F , Se> micycloidi'A C F.-j &-Semi&pefMes_;Gyiiri4ff (":qUippsiftIug dupla) rCycloidi ■AG-DF ;:.: & tota fuperfideshujus''siujbia» .Quod erat pfopofitiM.,; ■• :-".v "■ -: -'"■' ?'"f

;. 6. Eft igitur Cyclois A-C D F, cirGiili gerikoiis ttipk. Quod fic colli^kuf.j Cyltedri iritegfi ifiodb expofiti fupefficies cufe va, sequatur fa£tp ex altkuditte*,(qu£e Jequalis eft diarfie-trb Bafts-) In bafis circufflferbnttam; adgbqti^tt^uladlupla ckcultbafis^ Cuifi.bafis^unfaque^djietatur^aggregatUffletif,':bafeOs (hoGeftcircuili gefiitofis:)' fextirptau ;■ Eft aUte^^Uf^^^'bftMftteiel^. duplkm Cycloidis: Ergo Cycl'ois'tpf*eft-drtttli:''©#hkoti^'Tri* pte: Nernpe--Trllineum CAPz; Sefnidffculi ;Gi.:E '_(& plum. :. ' --■'.■_■' ;'v; :■■:.— :y y :.:;;. .y-i;.C:;;: .

• :7,|:<Poffo,:fi:^bfeqU&^^

ficel cyiiiMfic^-fteffliflis;)V£F^:CYT:,fee^tuf;P^:|)lSribzJ^Y yquodfitjpt^

atoftiffa-'^-z G Y z,aequabkfegifieriturfiCycloidrs (5 Y"ZiNUt&i propter Cyiindric* fuperfieieifeBibiie's; pafalfelas^^ebi^r.Ufei: fa:C ipfir£y hpc eft ttilinebG: i Z/Gydbtdls; ;(§$ & G Y z litrbbique aequalis-; Ergbaggregaturiia^fegatb^qii^^ -r' fiS. Si :fup'ef CyeloideA G Derigatui- ( uf iri: figi^.) {6^^ Mridrus':re$us, fivePtifma, ( utroyiseniffl nbmiriedicatUfpe^ irideeft; )'altit;udinem habens C *'duplam fe£tas'ATi>;; • qubd pfer axemfecgtFG^ fe£tibnem in i'ate.re -faeie&s^C^re&ifif; dui; plano intelligatur planum aliud re£feirifift£nS 4 "pef re&itfF^ ErMfieii^, fo»rii!^bfdrid^fe 13 A * CB^^Huici^yb^c^ltut: foltdum. fafturtt ex eoftverfibne Cyeibtdis A C' D drea^^fii , A D. ■" Gli3iv;eriim;fitA; D aeqifalis pefipheris;diarriietri¥-C;.e'- rk ipfius dupla C * , aequalis peripheriae femidi!ametfI:F;G'l adeoqug(:prbp6ef■ah§uliutri;FiG.> re6T6m)'. triari^uium'EC^^ quamr;ckeulb:;ex ebriv^^ Et;firriilitefbftferiH

d£ty*itfkn^l^

Efgo offlnia trianguia ornnibus drculis, "adeoque fblidunf-folidia

squatur, &fegmerita fegmentisrefpe£tiv£ fumptrs:: PuM, 'foli.

'foli. X % % h*, folidip ex conVerfiorie. plani;X: % "A fa'£to f &1 fic

ubi-que':' item:priifmai)X;"Z.|'i» Y F folidb & cOhve'rfibriep3:Mle"

■ logf ammi X Tl Y F ; a^eoque:& fblBum % % C'4 v'£ ■folidocyB

■folidocyB lindrice

fycktfCitfCfilitriplao"-'. _.'

Segmektim CTZy ■'-'

■SolidudxM'

A ^f-:..;'■■

x Rg«3«. "r

: . f

ilfidrice excavAto conyerfipneplani Z, YG' drca re&am A'F fa6to. Sin adhuc fecerur plano £ v.'» bafiparallelo:, fegmentum. $ £ u» «quabkur folldo ex conyerfipne plani Z. Y C tircareSam'.; Z. Y.fafip.;,;Nam & htc ieodem.fflodo ofteridetur^. •trlangu-. lumr.y x. * «quale circulpradli t/,:*•.;. ,&ide; reli;q.uis- fimilker. '■;','/ . . 9-. ^imilitef-,; fi-fupef .femicycl'pide''A. F G fig;4. erigatur Prlfma;, five Cylindrl re£ti;quadrans* altitudinembabens A:¥,, quas fit ad A F, . ut; 4, A F, adF C J ( nempe ut cireuli Perimeter adRadjumi) fccetur MterTy:planP,FG:V:: , SolidoF VC Z A; ^quatur fpltdurn^ex fipriyerfione. ;plarii;T CZ A~ckea,:re£taifi) JF; Gjvic;fegmenta,fegmentis; reffpe&ive fiimptis j puta fegmenturii, Y % •^C;fegfflento"conyeffione-plani Z, C Y fafto^ Narfi & hie trigriguluiiij F A;V: «equatur dreulo radii-F A; & triarigulum; fji. % •*• circulo radii Y Z : Et ficubique. :r;

- .^(^^tqufiv ha£tenuS; quidem utut-tum.planprumtum fplido-' rsUmommlffl^^

tfadidifTe videamur:- Cum ;tamen de G;-avitatis Centtis riihil; jjinc cpriftetf Itbet in fequentibus, refumptp kerurn tptp negpi-~ tip, remaiiterexpedireyhocmpdo, '.■.•- ■;:;.-':;

;■_;■ ;ii;_. Ut^fupraofteridinius:reftaffl:;z:^ mm^

z C: ita pftendetur,. ^xigulum Z. £ A, hoc eft z;F k., arcui Z. £ iGye-z F,hoceftre£tey£^propQrtiprialemeffe: ( riempe;j.ut'arcus F 2, hpc eft A £ re6ta,,ad arcum F z C5hoc eftre&am.: A F > fic effe angulum Z £ A vel z F A rM C F A re£tum;: );propter an;gulum z,G,F anguli.zFA;u^

^:ar;cug:K:Z.ubiquepropprtionalem.;. ._..,._.■.:._. -..!;;. ,y/b;:-;; •/:■> :■■■

...iv;jQepque, dlvifa-re£ta A F in psrtes; q^otiifeet aquales>;

in p,uht£iis*>/*,-/3,-£,&c. ducTifque-re£tis,A.L, /^M, /3 Bi> f;Z.,&C;

apun&bconta&iis ad punftum; Tineans ,.(quibus parailela?exlflurit

parailela?exlflurit clrculo F1, F m,. F b, F z, &c.) anguli;L A A, M ti-. A>:

%$ AfLfi^ Aj &c..funt Arithmetiee proportionales;;".. quprurrt,

•cafitinuus.exceflus primo aqualig.:<^",-,:;^emp^angulja'-t-.A:Av,.

13.!;Du£tisitaque tumInCydoidere&is KL_,JVM,fi&,£Z>

&c. tum ipfis refpondentibus in circulo F 1, F m, F b,Fz, &c

difttibuentur Semicyclois & Semicirtulus in feginenta numero

aequalia; fingula fingulis ( refpe£tive ) eorrefpondgntia. '■■;"

. ji^;. Du£tis item in ,Cyclpide;, ,a ■ punftis r, t^,_ /3, &c re&is

*«*■>Xp'.-&*> 8cc> c[uaeparailelcefiritre£tis.c^Z,, ^;B, ^M, &.c.

:' ■ Erunt:

Erunt: '■.'■■ Soltdu axis

.EC. '; Fig.4.

^Anguiui

'■4&< :.■■

•V. 'Vig-l.:-:

;p£. ■&Y£'LOIDM

Erunt anguli omnes.Ny.tr,Z£?,.B.j3<r,Uc Kqualestuminter

fe,tum angalb L h A,tum. exiam cuHibet anguloruffl, A F !,!. F m,,

mFb,;&evquiitem:(propterffquMejiarcus■■Bi:_. Tm^mbj &?<):

'•. ftint interfe «qualeSi.-. ,•. :?x-. --f :::,:ij:v:r: '-4 y' :: ;■_./:.:;;; .,;..-.'.;,:

. IJ; xDuSisjpiirro/tumin^

tum incireulo n 0', z;p, b r..;; &c. irifcribatuf .turifcCycloidi figura exTrapeziis, turrieirculofiguraex.Triarigulisieofrefponr qentibus/cbnftansv:, .•;; !<;.:,:..;;:±- ,- :'::;.;;;;:.,;■^■i.c.^fli.xj?.,.:,.i;'.;;; . -.. ffojErunfiauteffltilta Trapezia^; Ttiangutorum^prumrefpef; £tive furfiptorum, ubiquepiufquamtripla. Conftat eriiffl qiipcj;^' . libeq^Ti^peiioruifipex Ttiangul©;fimul.^.'Pai^iteiogfammo: quorum.itlud:,; trtangulo correfporidenti iri cireuto ( ut ex. di6tis fatile.coHIgkur Jubique ajqiiale eftj hoc illius;(..uf jambften-': detur^plufquarn^duplurii». ;:r :>v '::.;. ^y-;;/«-.;:■.:::::fiu; ", .; :./;:. y: i7,:Mamv verhiugratiaviKTrafezio;:0M'(>, E^iT^i^gUlum. G nT;eft:utrique;figiir3exomm'ufie;&:Eafallelpgrai-nmum;,N;nF|», f squialtum^:plufquam duplum;Trianguli,:p hocefteuryamriG, majorem 110 reftav rr ■■■x. ':.:■:":■ ,'■'.:■ .-• -;:■•. -:' 1 8;.,Sin aliudfumapur Trapezium±. pufaP^:Cr;J^Erk^ipibli - Triangulum P v <a , ttiangulo.p P zsequale; & Paralleiogjtam-., muni Z^v:v .plufquamduplum.,'proptef;re^fer:Z,;^i(hpcfeft:, tv, hbceftcurvam-zn, majoremquam z p,;vel:wPi:; .Naffl;fi.; aptetur .chorda z n ; eiit angulus p F Y ( propter turnTemipe^ ripheriafflC Z: F, /turn.angulum re£tuffl. C F A>, in.iexpartes a?-: quales divifum )'± anguli re&i; adeoque -ariguJus; '¥, pjF, hpq eft:iprij,;.|.:ie£tt;': :'cui:fi•addatur.v.angulus;;";:? P,;?&&■ effci.reiti, ; (fubtendif utique duploif.atci^

recTi ex 2 reitis fubdu£turn , -.relinquet.angUlum, ?.ri p,; f r,e£ti,' Major itaque eft ahgulus z pn anguib -z-kp, (,:nemp,eut-y :adc4,1 ■ adeoquelatusoppolifumzin. re£ta,vm!ajdr: quam z:p:; ideoque.a fortiori,': 1 ni/curVa.-,. hoc;eftfe£ta;Z."w:,;Kiiiitoimajorerit-quam re£ta zp:,.ho.c eft *.P.; :;Et: fiijiilkef pftendetur^( infctiptachorda -bz:)augulum^b r z- majofem.etTe angiilp-b.z r , (nempe ut 4ad 3,)& ficalibii l^empj2,:uuiver£aliter, fi ponamus-arcum femicifculi CF, adeoqueangulumreftum CFA;,;dividi' In partes jequales humero s jquarUm.arcus- 2. C, adepque & anguius z F C,:conti'neat partes riurfierp n^(adepque apgulus p F G partes ri-~xy& prbpterea [angulus Y;p;F ^hoc eft/zp, r», partes "' t-n-i,-

SDS CYCLOIDE.

j~»4-i;) erit angulus nzp partium 20-1 • qui fi addatur angulozpu, & uttiufque aggregatum s\n ex diiobus rejftis, hoc eft ex 2. s, auferatur; manebit angulus z n p partium s — *, minor angulo z p u ^artium s — n t i-.'

19. Sin ifliufmodi figurae tumGydoidi tumCirculo circumfcribantur; etunt finguia Cycloidis Tiupezia, retpe&ivorum Circuli Triangulorum, minus quam triph. T riangula fiquidem etunt in utraque figura aequalia . Parallelogramma minus quam dupla Triarigulorum; cum ceque alta fiiu, fed fuper minbrc bafe. '-

"20. Nam, verbi gratia, In Trapezio C Qj^F, refta Q_.q, hoc eft v F re£ta, hoc eft arcus n C, minor eft tangente q C. ikur. enim fecans Fq, nona centro G , fed ab oppoliro diaffletri termino F ducatur, adeoquc minor fk qC quam Tangens vulgo x difta qu*-re£ts a G centor per arcus terminum iv tranfeunti occurrat; eft tamen ipfo arcu irC major; Nam fi intelligatur a centro G duci recTa reitse F q paralleia; bifedbk illa.tum arcum n C , tum reitam q C ; adeoque erit q C sequalis dua-; busTangentibusSemiarcus, quas fimul ipfo arcu majores efie conftat. - .

.-2i. Atque eodem feremodo oftendetur _. IIT, 'hoceft Nc,' majofem eife quaffl eft n z curva, hoc eft re£ta T t; item z v _, hoceft Z u, majorem quam z b curva, hoc eft reita V u ; & in reliquis pariter. Et quidem quo longius a puniTo C reccffum eft, eo infignior erit exceffus. f - 22. Quoniam igitur figura fic circumfcripta Semicycloidi C Z A, aut ipfius parti C Z, ( utrobique enim eodem modo procedit demonftratio , ) minor eft quam tripla figurae femicirculo C z F , aut ipfius parti C z , tircumfcnptse, ( quotcunque fuerint illic trapezia, hic triangula ;) infcriptaverbinfcriptae major quam tripla :. Et quidem augendo illic ■numerum trapeziorum, hic rriangulorum , eo tandem devenietur utrobique, ut dirferentia figurx infcriptae a circumfciipta minorfit quavis aflignata, ( adeoque in infinitum procedendo evanefcat.-) erunt tum figura: fingulae quadrilineae ( qualis B /8 £ Z, ) fingularum refpeStive fumptarum trilinearum (qualis'b F z,) tum omnes omnium, triplae. Hoc eft, tum Semicyclois C Z A F femicirculi C z F, tum iftius fegmentum fl /3 { Z fe&oris hujus b F z,

tum

Fig.i.

Semicycloi flemicircuh tripla,

DE CTCLOIDE.

tum fegmentum ZA^ fegjnenti z F z, tum fegmentum Z £ F C - "feitoiis z F C, ( & fic ubfque) tnplum.

23. Jfm veio,'exdu£tu S emiradii(i G z) inarcum z C, •• hoc cft reftam Z z , habetur fe£tor G z C ; atque ex du£tu fe* ( miradii (i G F) in altitudinem z Y, habetur Tfiangulum G z F: Ergo ex du£tu Semiradu in totam Z Y , habetur fc£tor F z G: Atque ex du£tu Sefquiradii in eandem Z Y, habetur fegmentum £ L G F : Unde fi auferatur £ Z Y F trapezium, habetur dimeniio fegmenti C Z Y . qujefita : Yel etiam , fubdu£to infuper Qz Y, habetui C z 21 tnhneum.

24. Porro, Quoniam fi ponamus femicirculum ex infinitis , trilineis, qualia G n F, n z F, &c. vel etiam ( nam & hoc,pio- , pter infinkatem, adeoque & apptoximationem in lnfinkum, tantundem .valet, ) ex irifinitis tnangulisi,' quaha^O n F, p z F<, &c, conftire : jponendum &t femicycloidem confercex tot-idfem quadiilineis, ut C N »»F,,N Z.,£ v^ &c ; ,vel etiam trapeziis numeto infinkis, utONfF, P Z £r ,&c ; quorum quodvtsex"- hibeat Rtm Tiiangulum. tum Parallelogrammum iftiusvduplum. Ex coriveffione autena PafallelogramiiiJ, ut NF } circa axem A Fj fiet Cylindrus., falrehfdiflottus j &. ex<- fimili converfione Tiianguli, ut O n F, in hoc fitu, fief fimilis CyKnd.rus xonice excavatus, qui erit f cylindri pleni: Ex converfione igituf- Trapezii, ex parallbgrammo fimul & triangulo conftanfis , fit folidum quod ad folidiun convcrfione Tmnguli eft ut 1 + f ad f, fivc ut 5 ad 2> '■t^Mod cum ubique fiat ;<eik foliduaa ex convei*- fione cycloidis, ad folidum ex converfione circuli circa re£ta A F, ut 5 ad2. ( Quod'ipfum etiam fic colligkur. Centrum gravitatis Trapezii P Z ( v diftat ab A F, pei f re£tae F Y ; ^entrum autem gravitatis Tiianguli p z F abeadem A F re£ta ,diftu fvelj. ejufdemFY: Centiotum itaqueab A F/hftantia: funt ut_5 ad 6 ; Et magnkudincs oftenfe' funtuc 3 ad I? Ftgo quoe ex iltis componuur, five momentotum refpedru A F re£tW, five folidorum circa eandem A F convcrfione fadorum ,ratio5 eft ut,5 ad 2. Nempe %*\zi.)

. 25. Fx ea veioconverfione" circuli ,fictannulus (ut loquuntur<) claufus, asqualis Cyhndro cu.jus bafis cft llle circulus, & alriuido xqunlis iftius circuli circumferentia;, hoc eft ie£tse A D, fig. 1. Solidum itaque ex ea converfione Cycloidis, ffiqiutur

Cylindio>

•. \m ;"

^evmentum

CS,^':.

, \

SolidiiicixiS ■ AF. -

;; ©;£ crcz,o/i>Ev* —■:

Cyllndfo.cujusbafis eft ideffl.tircuius _CF ,; &:aititudo aqualis

ieftte qu.s fit ad, iftlus circumfereritiar^

■qukkefarefts :A T> .(EftMti^ue;aririuhis:iIle>S;D:p ;xtE"_|_ D P*j

&; fblduffli itlui G^ib^icum-fD;"!?:*-;:'' Jntelligendo feilieet

per Dj -dtaifietruln y &;^per;P , petipheriam- citeult:generaritis':

-ute&.deij|ri:epsaltbipafftffl.j: ;;;:;:: "';;: .;;:;;:;'?.:;:'■* ■.:.,:?:'". ;;; .;.'. H

,;,;;2^i.;Sed & |?ati ,afgunientp de; partibus: tudliandum erk.

r.Nern-pe; tt^

ex •'■ephv§ifiorie;.;;fegffleritii':F;ii,*F:j; otn&foItduM-ex;:iEonvefiione Qjaadriliriei £ Z.-C F , ad:£olidum;ex;icbnv<S^ eft:uf.5;ad!2;.;;DantufauKmrli^vergo&:tI^ o"r:i ,'t; - -ci^^ied^irii^uper,, ,^ ■

£Z; G Fi^ufef atur feiid urh tex-epnveffion&tfcapezu;..^:^^ Y;F, vnafidtifoaririulusjconyei^c^^ Ys;cireafeffl;:AE;:fa^

■^U&^ufeica^^^^ :, ■r:r\:<y, . .:..]■.

;;;3;8.,.,. Eft -autemAnnulusitle,; aqutiiis folidb;; ZLY C *;ii |!-fig* ■ ^fi-bt^:. 8v; ;pfteriditur; ;j:Vuride;;fi auferat.urdatumnptifma Y,2S|;i/x ,G;(f;cu;jusJbafis ^ftfogmenCum modo repertum C Z Y ^ .akkudo■<■' Y v., :qu* eft acl(; Gt#; fiyeailA D, ut E;Y ad? F_ C;') quod. ;fupere:ft:f0li.dumaivf::u::jc a?quatuf fblido;isxconverfioriefegmenti •G:.Z.:Y::;tircate£*afflu;'Z^ ■;! ,'; r;.iJ y; . ;<;;: :'y:; ■

f : :^ ckca,re£ia'ffl GF, ejufque Tolidi: fegmentaj lifeet paulo immutare coriftru&iorieffl;, f riullaineeeffitate, fed^hantafiajjuvaridae • .gratia. ):Nempecumpriusioftendi.mus, infpSfacircumfcripta, ' Tra.pez.ii ParaHalogfammum minus ejTe.quam.TriaHguli: duplum^ fed majus in figura irifcripta ; differentiam verb. utrobique( fe? £tione in infinitum coiuinuata ) evanefcere,; adeoque reapfepertinde efie five infcriptae five circutnfcriptaeifigurce Trapezia perpendamus,: ( & deiTriangulis fimilker':) Gommodufnjam;videtur viaminter utiamque mediam feftart _, adeoque tum Tra. pezia Cycloidis ," rum Triangula cireuli, partim circumfcribere, partim infcribere ; putapro Trapezio Z% rP.fig.i. Trapezium V/Sf.P; &,pro Triangulo zF"b, Triangulum uFp fubftkuendo ; uttum illic re£ta :Z.£t'rapeziuin,- tuffl hic re£ta z F tri•angulum , quafi lfiedium-fecet.,, ( Utut enim in fe£tione Hefinita V Z major fit quamfZ P , &»z: quam zp, hsec tamen differencia, fe£tip}ie minfinicvim contiauata, evanefcit; adeoque

' ■'*f:'-''

.-Seginte.ntaflolidi ' cirCi

Solidu axi CF.

rig-1-

\D€ C?CLOI*DE.

in figuris infinke exiguis, tum trapcziis tum triangulis, fuppo-* nenda eft sequalkas.) Sed & infuper, fi libet, licebit (du£ta re£ta £ir) trapezii criangulum u£ir parallelogrammo medium interponerc ; adeoque fubftkuere, pro uno parallelogrammo integro, duo parallelogrammi dimidh V £ & £ P' (fupponitur utique, propter continuatam in infinitum feifionem, tum Z t, ir P, tum Jf,fP, invicem aequales effe;) qujeduo parallelogramma dimidia tantundem circumvolvendp prasttantfive re6fx Z £ utrinque contigua , five aequaliter utrinque remota fuerint: cum fic, idetn utrobique centrum gravitatis. (Supponimus enim, quod & facile fi opus fit probabitur,- planuinquodvis tantundem hujufmodi converfione producere quantum eft quod fit ex eodem plano in lineam ipfius centro gravitatis deferiptam du£to ; quod & de lineaquavis five rc£ta five curva in eo plano. defcripta parker; intelligendum eft. Quod quidem quum ipfe olim me primum invenitfe putaverim^, monkus mox erarri nonnihil apiid Guldinum exftare quod huc fpe£tac Id autem fi animadvertiffct Tacquetus,- dum de Cytindricis &Annularibut acutum opus confcripfit, non parura illi fuifTet adjumento ; multaque quje illic exftant tum univerfalius cum' & contrafitius forte fuiffent tradka.)

30. Re fic conftru£ta; Ratio Solidi ex converfione Trapezii V /3 y P, ad folidum ex converfione Trianguli v F p; componitur ex ratione Trapezii ad Triangulum, (hoc eft , fe£tione in infinkum continuata , ut 3 ad 1;) atqueex .ratione diftantiaruni cenrri gravkatis in utraque figura a converfionis axe; Nempe, in Trapezio, pun£ti K, quod ka dividit re£tam Z £, utfit £K ad Z £, ut 5 ad 9; (adeoque diftancia K k erit z Z + f- z 1; ) In Triangulo, pun£ti H, quod ita dividit reftam F z, ut fit F H ad F z ut 2 ad 3;(ideoq; diftantia H.h.eftf: z Y.); Ratio itaque. diftantiarumeft, ut z Z. + \_ z Y adfz Y; fiveut, 3.Z Z/+fz;Y ad 2 z Y;quse fi cumrationeplanbrum,3 ad 1 cofflppnatur, em£r-' gk folidbrum ratio adinvicem,ut pzZ+jzY ad 22Y; five,ut 5ZY ad 2zY (hbc eft,ut 5 ad 2,)atq; infuper ut 9 z Z, ad 2, z Y. Qupd quidem cumubique fiat,fitq; eadem ubique ratio 5;z.Y ad 2 z Y; adeoq; & offlnium adomnesjnbn autemeademubique ratio9z£ ad 2 z Y, fed neque aequalia ubiquetrianguia v F p tircurndu£ta, (qubrum fi utrumvis effet, pfo omhibus 9 z Z. ad 2 z Y,poneridumeffetr8 ad2;;quianempepmnes. z Z, adomnes z Y, hoc efttrilineum C AFz ad femicirculun^CzF, eft ut aidi;

C quum,

: DE :QrcLQipe.

qutimautetoeorumneutrumfit", nonlieetficarguere;) praeter rationeifiiltam 5,ad:ajqujerendaeftalia ratio; nempequamha-« beat noricuplum omriium z Z (five z Carcuum arithmetice pro:porrionalium)an refpe£tiva Triangula: v F;p, ad;duplumomnium. z;Y: .(fiiniuffl;.re£iofuifi eoriindem .ar.cuum) in;eadem refpe£tive'; ttiangula. Hocefl: (propter: triangulorumbafesaeqUales) noricu- ~ piuifi arcuum arithmetice propprtionaiium ■, in reftduorum fifius.. verfos du£torum (utpoteTtiangulorurn altitudines,)adduplum finiium: re£tdruriiin ;e©fdem;fin.iis verfos; ■ Hoc: eft (ut ,;deinceps. fufiusoftendetur^74 &c.)utdiffer.eritiaquadratprum^.afis A F;• & altitudinis CF; ad.f quadratI;C;F,fiveut^/ATq:~■$■£$q■< ad 2 GF q. Cui ftadjiingaturiratioj ^ad 2, hoc eft 5CC F q ad 3. G Pq; fiet 9 A F q £? ^C F q ad 2 G F q, ratio fpitdiexfe-: micydpidis i^hverfione(;drea,;G^ gerikptisl;;'::'i;t,

gerikptisl;;'::'i;t, -:';4,;.;T:;JU';> a-yflry ir.yyr-./r^.nrrAiirllfrr;

- ;gi.; Eodm;fWr&'-inodo^etIara:de.:fblidis.ex;e0iwe;Efione.-fog-i; fflentorurn:arguendjum;: Naffl&hicpfflnia^minUtaTrapeziafegr?. meriti,'verbi 'gfatia: ^ Z..GE, circ.umdu£ia..;::adbmni_a minuta,x T'riangulafe£toti;s;E:Z G:fic.'circumdu£%a,,..cifsaeandem •G^BM&tttut ;^ad^i,:atqueiniupery.iit:npncuplum:pmhium z-Z.. ih:refpe£tiva Tf iangula, adrdupluinprfiiiium ^ZrYineademtriangula: fin ex hoc defrium folido, auferacur foliduffl :ex;cpnverfiofle Trapezii £Z,YF' circa;re£tam:;GF':fa£tum;.manebk jMidutn ^x-Converfione'fegrrrenti;C ^YiekcarecTam .C:Y..:. ;; .. •

,,. ■3'ipEt pari fere:proceffuv, ;fi demiffa r.eftai.Z..X. re&arC.F paijtleTa ■.abfeiridi irijelligatur fegmentuffl: Z X A';. iftius, feg~ meiiti tumdimenfio:, tum:&Tolidt inde::fa£ti•,.- fiveconyerfione drc.ife£tam GF, fivecircafe£tam Z X, facilecoiiigkur. Sed hxc inter qusfita^rionfunt.:'•'■■' ■';

-" ■33» Ad centrumgravitatisinvenieridum,;fupponImus.obdatas C F, AD, fig. i: datam effecirculiquadraturam; adeoque & ceritrum gravitatis infegmentis. Nam ut, ex dato centro gravitatis in cireuli f^gfflentls, colligi poffe circuli quadraturam, jam ab aliis oftenfum eft; fic viee verfa, ex data quadratura facile colligitur centrum gravifatis in fegmentis. (Q|od, fi-opus fit, delncepsoftendetur?67 &feqq.)

34I Ponamus itaque primo centrum librse in G, & re£tamt C F Uneanifgquilibrii (libj:» waniyerfitmO fitque utfiufvis fem.1--

""; ' '■■;.■ ; ;:. - drcufii'

■:-"'. ' 1

'. ' \

.'.'■. ; ' "I i t

■ .'.■■ ,'"-1

" -\

(

^ ,-- • Tig.i. . I

' 1

•i'' .•'■' ' 3

Segmenta floiidi circa'

eii- \

' '■:' '■'(

; ' i

'.'.;\ ;

\ i

'■: ■<

'';: ■-■ '';]

Ctntrttm

Gravitatis 1

• Semicycloi* ,

dis, ,

'.. - 1

QuAntum

iifiat aCF%

• DS: CT&LOIDe. :/>*'■■■■

.clrculi CF cehtrirngravkafispuriaum E(incifciiji'diametK) Bafi.Cyclbidis paralleta.) Quoniaip verO mpmentufn femicyclbt• disad inomeiuum.femicirculi, refpe£tu .lineaeG:F| eftiifratione cpmpofitaexrationibusfriagnitudinum, & dtftantiarum;centri gtavkatisab eaJfem'" aeqUilibriilinea' G Fj atqtie; ex'dfdem." fationibus\comppnatuf .ratiovfQlidoLum ex eorundem planoruffl drca'CE; converfione genitorum, (ut fupra infinuatuffi:;efi$ 29.)" eadem erit mpmeHtbrum ratio ,. atque.ratio; fpltdorumfic gcnkorum. Nempe, up 9 AIMJ.J- 44 CFq id2:C.Eq. tlt jj ,3o,.di£lume;ft. .■;.■-■.•.'. ■•.. .'"■■': : ;'■>.'■■■ "'

3,5, DudTaitaqueGbbafi Cycloidis. pafaliela, qit* fitad

G E, ut 9 A.F q,*~ 4 CFq. ad 2 C F'q: Sitintelligatur ex

punfto e :fu.fpendt;3equalis fernicirculus , squiponderabk ille fe-,

micydoidi opppfifee in fubfitu..; Qyontamveroifi^griktldofeffli.cycloielis

Qyontamveroifi^griktldofeffli.cycloielis magrikudineth ferriicireulij.ut 3actf; fi furfiatur

(inutrovis fefflicycloide) ie£ta GX, (bafiparallela^-quse fit ad

Ge, ut 1 ad 3; & ducatur reita Ty re£tse, CF parallela;etit

centrum gravkatis iftiusfemicycloidisinre£ta r y. \

. i<S: '■ Ponamus deinde Ceiurum librae in F,: & reftaffl A D IIrifearfi

IIrifearfi Quonlammomentum femicycloidisad momenturn

momenturn refpe£ture£tae AD, eftin ratione compofita

compofita ratipnibiis magnitudinum ,. .& diftantiarum ceritri graykatis

graykatis ADjAdeoqriein eademratiprie dun fblidis

ex.conyerfiohecirea re£tam A D. fa£tis, hoc eft:('u.tfupra di£tum

eft'§24j ut 5 ad 2; Siiiv coiuinuata GE, fumatut Ff,:qujE

fit.ad,- FG• ut 5 ad 2;;.femieirculus inpuficTo.; f, scqutporidetabtt

femicycioidi in.fuo fitu : Cumquefemicyelois: fit ad fcmicifcuiumut.j.ad

fcmicifcuiumut.j.ad fi fumatur (iri re£ta F G) re£ta F£, ejuaJfit ad

F f,,uc i,ad 3; atquea.pun£to A dueatur bafi Gy.clbidls:parallela

£.&• (re£ta: jy occurrensin ^Jerit centrum gravitatis femicycloidisinfefta.

femicycloidisinfefta. adeoqueinillius pun£to '£."■

. 37. Atque ex iifdemprincipiis, eodem fere prpceffii, coliigetur,

coliigetur, gfaykatis fegmenti C Z Y., Efit eriim momentum

momentum GZ..Y;.ad rnomentuni fegtnenti C % Y fefpe£tt

l"me_3e 'aquiltbfit vGF,„;,ur. foiidum ifliusad folidum hujuseonverfione

hujuseonverfione CF fa£tum_: fed hsec rario dari fuppcnkur

fuppcnkur § 31 rergoi&illa : "Efto ut «t.adjs. Sed & dataeft ratic

magnitudinis ad raagniuidinem, per § 2^3; Efto h|cuc a, ad y

C a :Datu:

-;'?i''

Quantun*' dijtai ab

AF.;

• Centfum

- aravhatis 1 Jegmenti, yCZT. '

» ^ -

c' 'y.

y p£ CYCLOlDE.-

.Damrkem fegfflenti Gz Ycenttum gtavitatis( tit§ ^..fiip.poniturj

^..fiip.poniturj § ij.&c. deiriceps oftendeturj) adeoque & ipfius

diftantia;ab arqutlibrlt linea;C F:,EfiO ea*. Etit itaque, prppter

—")' ?; (f£i Difiantia centti^giavkatis' fegfflenti CJZ. Y ab

y?:$ \9> . -■■..' " ■ . :.'

eadeifi C F re£ta, ad diftantiam fc, uty iid;'#. (Nempe ifi ratione q,uae componicur ex ratione fflbnienGoruffl, * ad /2; atque reciproca

maghkudifium,y ad.rt.)puta^-»> "...,: y ;... ...;;,:.; ■. •

"38i*Similker momencum fegmenti C Z Y ad momentum fegmenti CzY,re(pe£Su linese ZYy eftut folidum iftius ad folidum.hujuSconyerfione cireare£tam Z Y fa£tUm. Sed hxc ratio fuperius dataeft, per § 28^;Ergo &;ilki Eftout *a;d </V M3gnkudtrium.autbm:ratiofutprius)ut *'ad:y. Diftantiavero; eentri graykatis fegfnenti Cz Y are£ta Z Y, fit£. Etitdiftanth cehtri gravkatis fegmenti C Z. Y ad diftantiam £,ut y

: y r adJV Nempe^»

'■ 39. Cum itaque data fit Iftius dlftantiatum afe£ta;C F,tunl are£taZ. Y, fatque intraipfumfegmentumerfeconftet,) datur & ipfum gravttatis centrum quzfitum.

,. 40.. Deiride, ad inventendum centrum gravkatis in foiidis _••

Supponimus ut fupra infegtnentiscireulariDus, ka jairi in fpha*

raiibus: fegmentis centrum gravkatts datum effe : vel, fi exiga-'

tur,- paratt fumus exhibere, ut irifra § 6j & feqq.

; vyfi. .Poriamus jam folidum faftumex converfione femicycloi.disCAFcirca

femicycloi.disCAFcirca A F, fecari plano quod pianb C A F

je£te infiftat in A F re£ta, femifolidum abfcindens; cujus

propterea centrum gravitatis inplano C AF effe manifeftum

eft.; : • ■,■••■"■'-■ -■ ■:■ :- ;■ -

42. Deinde, cum folidum five ex converfione, five ex femi-''

converfione Trapezii V /2 rP ( cireare£tam AF, ;)adfolidum

ex fimili converfione vel femiconvernone triarigull v F p, fit ut $

ad 2,(ut § 24 oftenfum eft;) qua:rantur utriufque centra gravlta,'tis,.

gravlta,'tis,. habeatur ratio diftaritiarum tum a re£ta A F tum i re£ta

CF. ■';•; - "

' 43.Habetur autem folidi ex femiconverfione Trapezii Centrum

gravicatis.fi.in re£ta t Z intelligatur punftu JC abfcindere re£fom

,. __• ' -£K

Centrum ft lidi circa

. DE CrCLOlDE.

£ K qtise fit ad £ Z ut 7_ad 10 ( quod quidem centrunl gravitatiseffet fi cutvatura figurae demeretur; puta , fi ptofingulis femickculis five fuperficiebus femicylindiicis circaaxem AF intelligantur totidem lincae ie£tae vel fuperficies plana: plano C A F ad angulos re£tos pofitae arquc ab eo bife£tae; ) atque dcinde in re£ta Kx quaefit bafi A D perpendicularis, fumatur (piopter curvaturam ) ut CF ad F A (hoceft , utDiameter ad Semipeiipheriam circuli, ) fic » * ad «K, ( qtta nempe ratione dividendus eft axis feiwTrculi ut habeatur femiperipheriae centrum gravitatis: ) Erfn& centrum gravitatis folidi ex femitonverfione f rapezii.V £ r P circa re£tam A F.-

44. Centrum auremgravitatis folidi ex fcmiconverfione Tiianguli, babetur, fi a re£tae Fz pun£to„H, quodjara intelligatur abfcindere re£tam F H, quaefit.ad F z, ut 3 ad 4, (quod nempe centrum gravkatis effet fi demeretur curvatura, ) perp6nclicula;is Hif intelligatur ( propter curvacuram ) kadividi in 9 ut modo divifimus K K in .*. Erit utique p cenrrum gravkatis folidi ex femiconverfione Trianguli «/Fp circa rc£tam AF. ( Quamquam revera perinde omnino eft ad hoc negotium an omnino reperiantur pun£ta *, <p, an tantum pun£taK, H : Nam eademeft diftantia, quantum ad re£tam C F, pun£torum K & *,, itempun£torum H & <p ; &, quantum ad re£tam A F, eadem falrem dittintiarurfi ratio^ fivepun£ta K,H, five '*, ?, confiderentur.) /

45. Cum igicur ratio difhntiarum fivepun£torutnK, H, five *, f, a re£ta A F , fit uc ,T0 ad %, five 28 ad 30, vel 14 ad 15 ; < & magnicudinurii,' ut 5 ad 2 : Erit, quae ex his componitur, .„ ratio momentortrtn^ ut 70ad 30, five 7 ad 3.Qupd cum ubique fiat; eadem erit & fttio momeriti folidorum ex iemiconyerfione trapeziorum omnium "acLomnium triangulorum fic-eonvetforummomentum, hod eft, monenti folidi ex femiconyerfione femicycloidis, ad momentum folidi ex femiconverfione femicirculi, ( circa re£tam A F,) refpe£tu re£ta: A F: Nempe-ut 7 ad 3. llnde coliigenturpun£ta f, A,<£, utfupra. Nempe fiintelligatur G centrum gravitatis folidi ex> femiconverfione circuli circa re£taffl A F, ( quod pun£tum G dati fupponimus, vel, fi exigatur, deinceps exhibebimus § ,56 ; ) & fi.u , ut 3 ad 7 , fic FpadFf; & deinde, utjada, ficF f adF A. ;'atque ducaC

ducaC • " cur;

*' .$g'*

Oudntttm

diftatdb AF.

me, CTCLOIP-E.

tuf A ^ bafi parallela ; eric .centrum grayitatis folidi ex femicpflverfionefemtcyclpidiscirca re£tam;A D,in reiTa.A <r. ; ' 4.5i-Guffl vero -diftaritia pun£ti;iive Kvfive$ a re£ta C F fic . %:% 4 ^_,z Y::;.atque.diftantia;pun£Ti.::H'VeiV;.ab re£ta fie

" % z Y; '•■.(' quoruffl;utmmqueexdi£tis>patet: ); erit biftahtiaruin ratio , ut z Z.4- ~ z YadlzYjV five utyzoz Z.+ 14: z Y ad . 15-z Y■■'.•■' Qu_s.fi cuiTti .ratione:;fflagnkudinum. 5,ad 2 com^pnatur.y:;,: habetto mofflentomm. ratio;. 1:00 z Z.4- 7o';.z Y ad ■ 3;b--Zi Y^V >five-vi6li% 'j-^iffc&k -iyx Y-.i ; Quod :eumv;ubi' que fiat; • profatiprie momennRblidi exvcpnyerfiorie ( yel femicpnverfione.) femicycloidisyadmofflerittun folidiex eonyerfione ( vetTel^

.'lineaeEequtlibrii GF-, ..'futnenda erk tum ratio,yad.igvXp.r.ppter 7vfc;Y:ad^3':£Y).tum(ip^ 3;'2:iY) mratio^quam

habfef id(geaptum;m'om"e"ntijfbiIdbrufflex:c tum; tiT'p;circa A;F,■■■ fufpenfofumin diftahtiis: zZrefpe&ive, ad:t'.f,tpluiri; mornenti;jeorundem.folidorum ;fkfpehforum indU fiantiis^ Yf Nempe ut-^;^^.r~^^ -ad.f:i^3/,, fiveut i;5 A"F q^20<G F.qfad^C.Fq.v ^■Qupd.vf: 8.7 & feqq.-fufius deelafatur.)Q!is:qutdein;ratio.fi.cum ratione 7;ad',3::eonjungcitur, habefur ratio momenti (refpecTu re£tse C F)-.foiidi:ex converfioiie (ye.l,,feiniconveffjone) fcmicycioidis circa re£tam AF,ad-inpmenturiffelidi ex fimili conv.erfione(vel femicoriverfione)femicirculi: Nempe fcRP*-Jf- R »P ndfR 3 P, fiye ut45 P'*- 512JJ.» ad'■"^'1-9-i: X"*;,-.:■ JHoc eft ,.--;'ut;■••'45; AFq -^;32:C;F q/ ad ia

C^Cfir: >■■/- ,■;:;;>.::;::: .;y; ^ ;,; ,',. ;■ ". ;:;:... ...

47. Sikaqucpbnamus G Eldlftantiam centri graykatis fplidi

e* ea converfione vel femiconverfione femicifculi, (a re£ta C F;)

&;fiat,.ut'-i.a;'G.F'q''ad;4:5::;AF'-qrff3^GF:,.q,.-'-iic,G,E, ad Gej

iterumque,ut ^ acM^tiiciG eadiGT:;; &!d.ucatur Ty parallela

re£tae C F: Erit femifolidi:.exiconverfiprie. (cho.c eft folidiex fe-"

miconverfione:) Semtcycloidis circa re£tara A F, <;entfum grarvttatis

grarvttatis adeoquein ipfiuseo.pun£to.ubioecurrkur

re£tje A ^ modoinventK.§4.5'. ( Defignamusautemififchematejceritrum

Defignamusautemififchematejceritrum feinicycloide ,.ubi minpr futura effep

liriearitm' corifufio;';i periride enim.ad rem eft.,; in-.utra der

>fignetur. .'■'•: '..-••:; mrr,■■'■ v;. •;; ,.;.;.

. 48, Hai^ito autem ceptro.gfavitat-ig in fernifolido s' a fortioV«-"

fortioV«-" '" '"■" ■■■ •' '"' " n

'■m "

Quatttum

difiat a CF.

. CenirufoL di integri, circa J.1

:". D:m CTCZOZDm.

ri in folido integro haberi certum eft : puta in" Axis pun£to y.

49. Eodem fere proceffu ( mutatis mutandis , ut fupra § 31,) ( colligitur centrum gravitatis femifolidi ex converfione fegmenti , £ Z C F circa re£tam A F; & confequenter etiam centrum gra- j vaatis femifolidi exconverfionefegmenti CZY, tum circa re£tam A F, tum & circa re£tam Z Y. ' ,

50. Tandem fupereft ut centrum gravitatis femifolidi ex . converfionc Semicycloidis circa re£tam CF inveftigemus. , Nempe fi femifolidum illudplano abfcindatur quod plano CAF. in ie£ta CF re£te infiftar; .mantfeftum eftgfavitat'i's"centium fore in ipfo plano C A F. Quserkur, in quonam ejus,pun£to. Hoc modo.

51. Semifolidum ex converfione trianguli 0 F p, erit femiconus excavatus ; cujus propter@a*centruffl gravkatis^ fi curvaturam demas , eritin re£tx>2; E pun£to'Hi, 'quod-abftindat FHs £zF; fnempein re£ta zJFTIc fe£Vaut fecandaeffec FY ad inveniendum centrum-gravitatis hujus folidi integri;) fed deinde, propter curvaturam femicircularem vetfus re£tam CF,( (i vemtn graviratis centrum indagare libeat,) abfcindenda eft re£tas H h , ea portio yerfus h, quae fit ad totam-H h ut diamecer ctrculi ad femicircumferentiam; (fic utique dividendus eft axisfemidrculi ut habeatur femiperipheriae centrum gravitatis.)

52. Semifolidum autem ex converfione 1 rapezii VgrP,eft fruftum coni excavatum , cujus centrum gravkatis ( fi curvaturam demas) eft in reftje f Z eo pun£to, puta K, c(uo ita dividitur ut dividenda effet F Y ad inveniendum centrum gravicatis; hujus folidi integri, nempe excavati ftufti conici. Centrum autetn gravkatis verum, eft ( propfer curvaturafn )' iri reeTs Kkeo:puncto:quoka_dividkur ut deHth; fflodbdiximusv;■ : --;/;. ...

5:3. Cum itaque' hOrumTtefflifblidbfufflfatibi^ ,"

tum' fefpe ctu fe£tae G F, ?tuffl; re£tae A F> cbmponatur cx rationibus magnkudineffl & diftanciarum; repefientuf pim£ta r^AJ fW mili fere methodo qub fupra ; adeoque &:pun&uih d^ eentfum gravkatis femifoltdi; & fimul eentrum gravitatis folidi iriregri, puca pun£tum Axis A.: .-.:;,■;::; ';;;; ■•:,';;.;-■::■.::;

54. Cumquefimtfiter facienduffl fic (mucatismutandis ut# 3 h 49,} de femifolido ex conyerflofie fegmeju-i, puta^iZC F;

' " pafiterCentrit

pafiterCentrit flemiflolidi flegmento.

Centrum femifolidi circaC F,

. ■* . . .

> "...

l •

> . . ■_,

$ Qntrunt ; flolidiex : fegntento,,

■ ;'■'■'.;723;£-'icrcxo:io'.E.

pariterdatum.erit jBf;hujus.centruin;.gfavkatis ;- & confequentef fpropter datum etiam centrumgravir-tis femifolidi ex converfione Trapezii £ Z Y F,)centrum gravkatis femifolidi(adeoqie & folidi integrij ex converfione fegmanti G Z Y ckcaC F. Dabunturkaque quae quirebantur o.nnii.

5 5. Poffumus autem hxc eadem exhibere, etiam fine ope centrorum K, H,&c; methodo mihi quidem facili & familiari , ex prificipiis in noftra itfinitorum e/irithmetica traditis defumpta, C & quidem in multis expeditius:) fed quam alii foifan haud"ita prompteTtne longiori veiborum apparatu affequerentur.

Atque ha£tenus ea funt quae -ad D. Carcavium menftbus Augufto & Septembri, Anni 1653 , miferam (hoc eft , intratempus a proponente ltmitatum,) methodum meam, cOtiufque rei quaft fceleton,exhibentia: Et.cuidem iifdem .fere tum yetbis tum ordine ; -Nifi quod-ad § 30 nutnerosemendaverimqui vitiofierant,utpote quo 1? inveftigando Trilineum C A F fig. 7. circa re£tam A F incautus converteram cum circa C F convertendum effet, & fimiliter ad § 46 ; Quem calculi lapfum ubi deprehenderam, literis eodem Septembri datis infinuabamjmeque infuper tum iftius emendationem,tum alia quae fibi fuifve ad juftam demoiiftrationem deeffe vifa forent, ubi hoc indicaveiint, exhibiturum. Cum autem nihii inde ha£tenus monitus fucrim, ( quod oblatx conditiones expe£tandum innuunt, ut & emendandi, calcuII veniam impune permktunc; ) ea tamen qux tequuntur, quafi; fcholiprura inftar, ad praecedentiuin tum il... luftratibnem tutn, juftam demonftrationein, libet hic fubjuttgere. » '. \6. Qiium fupra $ 4 5 defiderari videatur pun£tuin G, quod 's cj' ibidem: dfefignat ( non centrum eircuii, fed) centiunvgravkatis blt- .. femiannuii ex femiconyerfione circuli C F eirca re£tam. A D : !»', & IUudhac methpdb inveftigamUs. Super tirculo C z F.fig.5.(qui mli. dteuio C z F genkori Cycloidis aequetut ) erigatur Cylindrus re£tus F c, altitudinem habens Gc circuli genkoris perimetro *\ aequalem, adeoque squalem femiperiphejije eirculi radio F C defctipti. Et intclligatur Cylindrus il|e. bifecari, tum.per • axenj plano V c C pariiilelogrammo $ tiutt.per hujus diagonalem ..-- . - ■ ■ F c

Centrtim ptrtionis cj'. lindriobtiqutfltBir& femiamuli.

' Kg.5.

^c ffanfeunteplatibelli^

fiftac ; tumdeniqusvplanobafi parallelp <px,; reliquaque.conftrk-, ahtur. ut in fchem-ite.; Dico primb, Gytindfipdrtionemplano; elltptico abietffam;F;^ic C yperofflrita.^quati vfomiannuPex*; pbfitby 'dbffljftjgcurvackiai' ;Nefflpe:f©ftafflG ^fiquarifemieir-;. drtbrapuri^tb-Gffcfcfiptb:^' & :fiffltlket:re&as:Y vyt^ (fumr ptis:ubivis inbiife Gyltndri reipe£tivis pun£t:kYz:,)femiperiphetiis pun£tbriiffl fimIliter;pbfitoeuifi tn feffltaririulo; kemiY:£ paralte!ognifflm»ifi, :fei^

lo de^tipcx^p&fiefibiique^ ^Se^Mtce^difffert hsc p<^p.vGy*r' . lindtiei ab"iltb'fefnitiirittb'{^^ drtc^bfrinesire&is^Y^-te^

liridti' iri pl^um:':exparidaritur;j■■:ade0(^e;,fctjv^yKnd;ri:pottiotariturideiiiivalet' atque^pltianhulus.deffl . ir.'.:

^'.^.CUntfUmiautbfig ficv.cplfigitu^iSiivpOriamusG

num huie: 'pefpehdiculafi!tet' "i-nfiiSefts' ^'':.\ae'qvJifi.briS-''piaiiu.fcn";^ 'e* 8; runt, tuffl altitudiries:'Y;w adlrivlcem,ut _fe£tseF4Y^jfuin 4'r ■ftantiae ab" ^quifibftiflarib, ucXC; ad(^^^:qu^rais^pfis fi-: urit^iit'fe£taripb;EY;Gv..hQ#;eft^^

i.n irifas Y z dti£ta^ hoe effiv fa£ta exbafiski^ii^^ejfe^-^f ft^ntiamicbntinuoduSlu^vhbRieSi, .pianofuhii_]C;£i;mpmer^_^-; fpe£tu tre£tae Cc, fiint uc cubi re£^j^n_i Y;?;,*;ffS&tmo^iftuv* auteifi, cuffl;hic, ttimpaffifflvaltbtvintelligpfa£tumex,iHagnittidihe« in,diftahtiamo ab «quilfefk pl fnb^ii_|t^[j;; uc;qua;: mpmentis ' funti.pfopo:fti;ofialia»)Siiijt:M£em^

totidem cubos re£tae C F ; hoc eft, mom6ntum;rF.Yrv;C cG portionis,femicylindfiiri; luoTftUji advifipmencumTparallislepipedi. aequealtibafinhabentisiquad.ratuml^G ex;pun£toFfufpenfi■;,;.ut 3 ad^ov^iftubiperiiad'-!^

dfatuthodiamettis; -five; ut; # ad 4i 3? i •)' iquo^;i.moxv prphabituri §:63ii; Jadfioqtie, ad;rfibmeiit^im-Cylindti parail.elepigedp,_i:lii; in-, fcripti fimilker ful|enfi,: ut 3- ad ^ 2:;: (ifiubftitutis ifoUicet^dfeiilis prodiainetiiquadratis;:^,Etipropte.rea,lnomentuifiF-^.^.Ci Portionis integrii Gylindri infuofitu ,ad moifientum Cylindrc ficfufpenfijvut; 5 aditf.: Eii.autemjfflagnitudOrad.magnkudinemji^utifad^i^;:: Ergoiiii^ntia^d^diftantk kaque dividaturFCTng^utfitGg-ad'CTatt;3 a|.8'; &duD

&duD

ii ■ ®;gryCr-aLOlDiE^

'eiiui::fyy :t(SftS <;G:£v f^alleVa-;:; Ericcenrrujfigravitatisportio* nis expoitcs ;E £ £c 0 in>fe£ta -g y._ Sed &. Ji quod camen. adi praefens;:negbtium;qusfifu non elitaeceffatiuffl , ipfutnenim g pun£km;;jaminventutm abbislulieif i) tidetfi graykatts ^entruriv ^iwtfu^a;;E^ :

: cenDSaittanfit^.ipuqhfere&ejaiFiC ifiannulpreIj?ohdec;j:)er gpin; eorumocbmritonT.puh^ :.:.;■ ^!::yyy.:::y.■■.;..; ;vy; ■ ■ :

-C0i. Si.itaque utre£tain.'F/#i ini^r, vet FGdiametrum bafis Cylinditiirii: gi,i ka &.E;Bi;axenka.ririt^^ T^aririiillteimtmm^ quefEcgi^vl-i©^^

vkautfcViE.Gjad ;F:;gv Tkfei.56U;li^^ -

-• tiam*;; :efk:Gi'eenat!i:ffl:^a^^ :circuliiPC.tirea;:fe^ :feppofiiM_)ife^ .utr^ P:zd ■

, ft'afiti'a-'!£^§!i:-gf^^

';;pifc^AT!#lli|^:^^F^^^::::ft^ ;i ■^■■ic-n'.'i:if"itit::; '/^vim

' ."'^p^^lffi^eli^^acti^Ei, jt^flgrumcgr^katis&tni^nnuii/exi fimilT 'fefhlebriverfibne femMfGulif TUraenda-adh €%b ;G jahi'jitfGfcrifie «hStehtbv-r^^^GiEi tf baiTparalilelaJ^u^ i^anca -ficquaittaHiftaiitiaeiiufigrayicatisifemicircuii:F:G:ikefe dai-^enwb^quae-rif^j^

■ FAVfiyeti^ad^iV^ ' < J;j' ^od-;^:;;;^ y^^rrCy.rr ■ 6§. ;Qubd autefri $i$fi pfbfeanduitirfiifeepilm^fei Nerripe omn.es cubbs feStarbmY■•£.ad;itoti'dem"eui5ok'"GF:., neffouc 3.ad.3%C?.5" fiepftehdituPexribftfk -"-'^^/^«i^ .^^^/^x^fif-^ptiiici^iis;.. J;-rSi pbnafntiSdiametruhi:'F;C;=±i?ih '^sftes.Jaeqiiiiales: nufflefoiki.fini's t& dividitinpSm^ Tptima^bram' ,five Atithraetieae pfoporti^ali-utri^qupfUEh .'maxi^

. mum eftDrqu^ilnYGs;!)--' *;.rfeipe£tivq;du<ftarydant B^ fiduaaD--"*'*bmniare&angutaFG Yj hoceft.pfflniavQuadrataYVji-quarad^tbtidieffl^ ^efidubrtut.tivero:

<^adfat^hoc;eftrh0^urii^ dd'30'; R^dii&rum'jc^

totidem

• -: DE CZC-LOIDE. '' .,'_

.tptideffiT>%uti ad^oi&dtlndeicQll^Iturjieti^^ y

-140',. 63: d^;&t:i('iAf khv Irifin;:pr.i^,3|^

:ieiiies i^^^^jfll^cj^nf^fiein:GepmetticepJ^pprtabria'Tiuifi

i^^^^jfll^cj^nf^fiein:GepmetticepJ^pprtabria'Tiuifi 4,;i^,64_,25^5,,&c;, :re^e£tive.du£tai:; A.deoqUe:fefies, illa(ihid.prop.i'8pii) ihtcrpbiata:iVifci'fii,'fifciijxti*Ui*i&'<>

;i.n.' harickefflifiterpbliicam i ,^4$^ . iexhibebkitlS.pr|ifia;&teffWliatf '-iyfli i% '00^'0Ji^^^.^t0)j

i &c.Etiproptefea^fieiit 1 aet ^;b^^,&fc^feteit iriatlp:ne^||vfis

.;habentf e£taruffl bmriiu^

&c. ad totidem D *,£>*• D %&ciStci a<I 2 .txy-^ix ;*f%ef». & c,; exhibebunc: racipnes iejuas;, haberit,r eiaiuh&ni i^£taruft|lTf .poteftaites pr-kfia ■, certiaii ^uiflca^; ^c,.^.^tid^:^:'i^^f 3' ;&c.vEt fpedatim(qubd homra f^^ iY zi, adtotideffl;©* fiv6;ichBb^^

five; ut 3ad 3 2 tt:.'Quodfufoepfmus;probahdur?U,:-.(.. f \r.... '■ ii --■■■6i* Pofro) ^uumealeuiusad^ 51;^:^ 2,^3,5^4; (; T^Tagi^uir^He "cc^tro;grawtatis;Midbruifi exi^bny&rfibife^^ fe£taifiG F^bmifTusfit, &b£ltiil| t^^iffif^d^j^^re^^^ exhibka : Tibefhie ealculuttt ililitn'aii^jtiat^iu^;'extn\)ere^''jx^cia. methodum quam $55 infiriuavi.;' Et iiprifrip quidefn perpcndemius converfionem TfiangiilTw T t^deinde Trajpezii V $ v P* Re£tam autem in Triahgulb \$>fy ■'■5d^o||ue;,^\^,ryi.Trape^io,.clice~

■'■5d^o||ue;,^\^,ryi.Trape^io,.clice~ B; ejufquealiqubca^parte^lrifihit^ ieiaguam b ; adeoque V P erk S+,5^yet 2r5ii-.it<HsMV^M(M0"T;, ejuique parcem infinke;exiguam, y.„\EtreiTamTY^^hpcifeftaltkudinem., vel etiam diftantiam ab -A F,: dicejfius A\ ejufque partem infinkc exiguam ,a.. Re£tamdenique"*$,di^emus^r ;vy.-^nviinir"> 62. Hi's^bfitis.j'fu|ipbh'in}usti^ ^p.fnfijiitas re£tas

- parallelas, arkhmeticte;pfbpbr^n^s ^ I,vei^ice F;ad%fin ufque v p cohtinups;t>/ i '1,0^ 3 $'&c, ufque ad-ftearum-maxisn^ qUs eftipfaw^p. tigeiautemfe&a:,dumxipcaire&am FC jspm verturitur jdeferibunt totideni gnhulos^planos ( ftltem feuju&nos di 'arin|il8fufn p^ces^ifiil^ )r .^ate^Q5i4gm-jfe^ahg#?i^lr MdgrammtJ;ja; re£tis _i$vs_gi^;^bmfftui^u_r ;y & ^peiipfeiji^ •eagtfflrpuhfay friedils d^cfibwnt^f, iconteptisy ^uas:p^ip|©:jas, fi^iritegras;'five tf^ fief

ipfos radibs;idefignabi_mus ? riejnpe ,«, 1 yf? yfij- ,,&c,. ufque:a^ rjiibceft- i"Y' radibfiimTlibifummaximum. Efuht igitur plans ""i;- D 2 ..■ ilfc

Qhtrtitt* gravitatis flemifolidi cireaCF,

Hg.i,

J ■ '- )

1 J

t ' '

2© De cr CLOI.DE.

illa, ut oo, \bx\ y, ?in y, % bx 3 y, &c, hoceft, 00, 1 b y, 4 by, 9 by, &c, ufque a3 B r. Deinde, tuin houim, planorum momenta refpefctu re£tae A F , fint fa£tis exmagnuudinibus in diftantias piopoitipmlia; fintquediftantiar, ut o,a, za, 3 *,&<;, vfque ad A;ei\xnt ea momcnta ut o by xo a,\ by x 1 a,q by x %a> c>b yx 3 a, &c, hocfeft oco,l ab y,% ab y, 27 ab y , &c, ufque adABY. Hoc eft, olnnia momenta , funt feiies reitianoium ; Quae Tertianoutm fetie^ ad totidem maximo xqiuha, hcx eft ad 'nvnrimum m altitudineffl du£tum, hoc eft ad Cylindrumvel Prifma ejufdem vel xqualis bafis arqueaitum ex punfto Y fu~ fpenfum , eft vt 1 ad 4. Qyod dicamus lgitur %AABT.

63. Eodem modo ; Infinkae re£tx Trapezii, a minimaB, hoc eft /3r, ad ufque B + B, %: 2 B,hoc eft V P ; fvnt B + o,B + b, B + 2 £, .E > 3 b, &c,ufc_jue ad B + 5. Radii veto petipheriai um 4'mediis redtarum pun£iis defcriptarum , funt Z + o, Zfy, Z+2 7,Z + 3 JK, &c, ufqt e ad Z + 7". Ex qmbus fenebus 1 nvitcm refpe£tive dvdis fit feries magnkudinum, i?Z +,0 2|3| +00, BZ + bZ+yBiby^BZ+zbZlzyB-t +b y,B Z + 3 £ Z 4.-3 j J3 + 9 ^; &<-, ufque adi?Z + ^Z + r5+J5r. Quje fi ducanturin tefpe£tivas ftus ab A F diftantias o, <?, 2 <*, 3 a, &c ufque ad ^4 ; fiet feties Momentouun

o B Z t oooZ+oo 5 +000 <*-BZ + *£Z + ^#.t.<i£jy v ' '' '' iaB Z^abZ+^ayB \%aby< '■ u ;;\ ' 3aBZl.9abZ-tQayB1.z7 aby( &c ufquead ABZ\ ABZ fATB+ ABr

Cujusfumma eft \AABZ\\ AABZ^AATB^AABI. five /_ ^ '%AABZt :-9A^ABr. •#4. Cum igitur fit ratio momenti huju-, ad momentum illius, xit'*; A A B Z + £ A A Brzd i A ABr ;hoc elt ( dividendo per A A R ) ut % Z + t\ r ad £ r, five ( du^is brantbus in r 2 ) ut 10 Z + 77"ad3 r : Nempe, ut ioz Z. + 7 z Yad 3 z Y , ( eadeffl ftilieec ratio quae & fupra § 46, ) / cque hbp ubique:' Propter omnes 7 zY ad' 3 -zY', 1' ponenda ratio 7 ad 3 ; ,& prpptef ib'z Z ad 3 zY , eadem qufc fupra § 4^. Et quldem eandem utrobique rationem provenire neceffe eft,(utut variis modis libuerit inveftigare :) Nam momentum folidi ex tonverfione ejufdem

ejufdem

."-(; %,I.

DE CrCLOIDE. ai ■

jufdem figurs circa A F refpe£tu re£fae C F, atque circa C F re- i. -

fpe£tu reite A F ( piopter magnkudinum & diftantiarum retipiocationem ) tantundem erir. Adeoque hinc habetur tum diihntia cenui gravitatis femifolidi ex femicycloidis femiconver- .,-%; ■ f.one eirca C F, a reitaAF; rum iiuegti ifiius foltdi ipfiffi- '■■■"'■ mutn gravkatis tcntium, utpotequodm CF fitimeffe conftat.

conftat. , ;:

65. Qijantum autem ad diftantiam centri gravitatisejufdem ';'••.

Semifohdi (ex femuonve.fone femkydoidis eircaCF) ab ipfa CF : fimili methodo mveuiganda erir. Citmenun foli- .„' -■ dumex femuonverf one Tuanguli u Tp tiica C F, Ct aggtegacum feuei o £jy, t-by, ^by, 9 ^^,&c,ufquead ^7,-(ut iupra^ 61:) Er folidtm ex lemiconvetfione 1 rapezii V & 11? yrca can- ; ..'

dem C F fit agg-eg-uum fcriei B Z \- oZt-oB + 00,4 Z \b Z + yB + by,BZizbZ\2yB\^by, BZ + ^b %+iyB ■ : '

4. 9 by, &c ( utfupra $ 63.J 61 ucraque feries cutatur inferietn fuaiiim refpedive diftantiarum are£taCI;; ( nempe illa, in o, - 7> ij/t 3 7> &c ufque ad T ; • & hxc, in Z 4 o, Z \y, Z + 27 , Z+ t, y ,&tc ufque ad Z' + r;) habebitur fei tes momencotum eorundein foltdoium icfpe£tij linex squihbni C F. L'nde & ag- "

grcgati ad aggregatum ratio ; hoc eft , momenti Semifohdi ex • i

Triangulo, ad momentum femifolidi ex^Trapezio ( tirca C F "''.,;

conyetfo) refpe£tu re£ta: C F. Nempe

' cbyy 'BZZ+obZZ + oyBZ\cbyZ\oyyB + obyy.r

- ibyy, , , BZZ\i.bZZt.,i.yBZ;\2cbyZ+.*vyyBlTbyy..;. %b yy BZZ fibZZ\AyBZ\8 by Z +^yyBt tPfjt^- :

2-jbyy BZZ\^bZZ\6yBZ+ \%b y Z \ yyy B+ijftff^f

&cufquead &cin infinitum ufque ad •■■;:!iB

•■■;:!iB r ^ BZZ 4. BZZ + 2 rBZ + ZBTZ + r r 2? 4. ^MT.-

Summai ABrraMamn\WABZZ+ \ ABZZ\\ ArBZ^f ABrz + f ArrB\^ ABrX,:. ftve %ABYT ^d %ABZZ + f ABTZ + * ABTT. -

Eftut %rr ad \zz + frz + ,^r. ••' '

fiveut 3 rr ad 18 zz, * 20 rz + <j'rr.

Hoc eft, uc 3 quadrata refts z Y, ad 18 quadrata reaae z Z una cum 2.0 reftangulis Z z Y, & 7 quadratis z Y. QyoH cuin ubiqucfiat : ut habeatur ratipmomenrifolidiex femkonverfo- i

iie omnium Trapezioium, hoc eftSemicyclQidis, ad momentum,

folldl

DE 0CtdlD£.

foiidi ex cofiverfione omnium Triangulornm, hoc eft Semicirculi, ( circa rcitamG F; )qusrenda ratio cum omnium Q_udta:orum z Z arithmetice proporrionalium, tumomnium Reibngulorum Z z Y, in refpeitiva Triangula v F p, five (propter acquales ubiquev p ) in refpe£tivas Altitudincs Y F ; adomnia Quadrau z Y in eadem refpettiva five Triangula five / liitudines. Atque ifta demum ratio fi ducatur in rationem 18 ad 3, five 6 ad 1 j atque hxc quidem in fationem 20 ad 3 ; & utiifque tandem ( fic ■ du£tis) ^djungatur ratio 7 ad 3: Habebitur ratio ea qinm habec moroentum folidi ex femiconverfione Semicycloidis tirra C F , ad momentu folidi ex Semicirculi circa eandetn CF femiconverfione, refpeitu ejufdem C F linesa:quilibrii. Unde fi eximatur ratio magnkudinum ; habebicur ratio djftantiarum centiorum gravkatis.

66: Similker fi fumantuf (in fig. 1 vel 8) Omnes Z Y sequalibus intervallis diflitae; ex quarum femiconverfione circa C F fic folidum Cycloidale ,ficut ex femiconverfione Semicirculi five omnijim in eo ■ordinacim-applicacitrutn circa eandera re£tam fic Hemifphserium : Eric momencum illius ad momentum hujus,refpe£tu ejufdem C F ■ re<Stae, uc omnes cubi re£tarum C Y, ad omnes cubos reftarum z Y: Hoc eft, ut omnes zZc + ^zZqxzY + 3zZxzYq + zYo, ad omnes z Y c. Qyx qtiidem omnia fimilibus mechodis ad dalculum revocandaTunt acque fupe-riora. " ' - v

■6rj. -Porro,fiquis de-SegmencorumCirculatium&Sphsericalium five Magrikudinibus five gravicacis Cenciis haefitec, ( quse fupra § 33,40, dari fupponimus,) fic habeat. De circulo, nemo nefcit, ex du£tu Semiradii in arcum z C vel z z Fig. 6. haberi fe£torem z G C vel z G z ; cui fi auferatur Triangulum zG C, vel zG z, manebkfegmentum z C vel z z C ;, (intellige, fi z C z afcus non excedat Semiperipheriam; ubi enim excedit,non auferendurh eft, fed addendum Triangulunvz G z:)Tum,addendoTriangulum zFC vel zFz,haberi Se£torem zFC vel zFz. Fc ficahbi. Et in Sphsra fimilker, fuperficies fphsrica zCz,abfciffa ■ planoj-Z'Yz;eft adicbtafflifphKfae^j^rfieieffl^ fiveJ^uadiuplum cireulimaximi., ut:G Y ad^G F>, ( utinbtum;eft:__) ea:vefp;au£ta: in criencem:rac[ii,:datfe^torertifphsticumGzzC :(fa£tumex'

;.-■: . ■''•■■ :':- : ■ -'.'-■' ■-> " CohT.kM.

CohT.kM.

SegtfieiiiaCtrcMt.& S^fhara,

■' 5%6i

De crcLorbe:

converfione feitoris circuli z G C circa G C;) unde fublato cono" G z z, manebit pottio^ z C ; (intellige de portionequae hemifphseiium non excedit; fin excedat, addendus eft, non auferendus, conus ille: ) cui. portioni fi addatur conus F z z, haberur fphauicus feitor F z z C, five foliduna ex converfione fe£toris circularis z F C circa C F fa£tum. Lt fimilker de fegmentis aliis.

68. Vel etiam idem Se£tor Sphaericus fic colligi poteric non ineleganter: Invcntis ncmpe tum circumdu£ti Settoris circularis magnkudine , ut fupra, cum centro gravitatis, per 5$ feq. Sc£tor ille circularis ductus in peripheriam hujus cencri converfione defcriptam, dat fe£totis Sphscriti magnitudinem. Sed & memorata fuperficici Sphaeiica: portio plano abfciffa, eodem modo ' colligi poierit: habitisnempe arcus z C tum magnkudine tufh centro graviutis: quippe arcusillejn pgripheriaffl hoCcentrb drcumducto defciiptam duitus, dat illam fuperficiei SphaJricse portionem : (qux qu.idem omnia^ ouod oppidonotandmrveftjiion tantum de converfionibus integris fed & parpialibus perinde valcnt; ) unde non modo portiones.jam didiae, fed & alia? variis modis pofitcc, menfuraj fubjiciunrur: (Vel, vice verfa , Habitis ' tum poftionis fuperficiei Sphsericae, tum &arcus circularis rfi^- gnitudinibus, invenietur ipftus arcus eentrumgravitatis. Cen-' tjum autem gravitatis arcus cujufvis, in radio bifecante fitum, diftatacentro circuli ea radii parte quce fit ad radium integrum, utiftius arcus fubtenfa ad ipfum arcttm: .Diftat vero idem gravitatis centrum a diamecro huic arcui contermina , fimili femifubtenfpe parte. Arcuuifidemque, utC z, m&nerita , refpeitu conterfninae diametri, ut C F, funt ad invicem, ut eorum fmUs v~r fi, C Y. Sed haec obiter, atque ex abundanti.) , '6$. De centro gravkatis in Segmentis ckculi, res item conftat. Cum enim, 00 daram (cjuae dari fupponkur)rationem altitudints adbafin' Cycloidis, hocreft , Diametri ad Circumfercntiam circuli, detur etiam artus ( puta z C z fig. 6.) magnitudo ; dabitur etiain fegmenti centrum gravitatis. Nempe ii fiat ( in radio G C qui arcum bifecat) ut z C z arcus, ad fui fubtenfam zz; fic f radii,_;ad G E: erkE centrum gravkatis Sectotis z G z; five Semicirculo majus ftr , five rninus, ftve tequale. L QlJP^ quidem tum ab aliis, '& hominatim Hugenio, demonftra. * . ■ , tum

Centrut»

Gravitatis

Sc5toris,vsi

Segmettti,

Ctrcutaris*

"■■:-ii-V-.i"..; .r&:E::crc£6LbE. , '.' '

tum eft j tuffl.fi. opus eft/ fie fflofe nofjro pbtefit deiiionftrari 7 Si intelligatitrGzG z Seitof:,ex^equalibus fiir.ilibufque ttiaftgulis numeroinfinkis.conflari, qustptidein radii reprajfentent'; per "•' horiUfflypmriiuriineeHtra^ra^tatis^K^fanfit cujva/aideoqtie: ra-i dioruifitllpsumduas certias:a:bfisffl$it, erit';fimilts;;artus;cifculi radiuffl habefitkiif-iG C; eujuS^quideinafcus;fingilli puri|ta'('uCpptesequitlium triangulpfurn centfagraykatis.) tiim,:f\ipfbnenda finC:,9eque ■onsriaCa, idefflYeriffufflihujus aieus,: cufflexgbhttS^-. «Stpfts^icehtfum graykatisi:^H.u^us;;autei$faf^;_ceritrum:gr^ka- - tis;,habetuf, ;fi:;fiMi|fiqti©dipa'Sdb;diStufn;«P;& 'moxjjrbbvbitjaf) uf afGustiile^aid ftjainvtubterii^^-rib^ iSd' ■

{ubtenfam.fharn.zZf) iievradtusdi£iiaikus;;f'G,G;fn^mpe;f:'fa:-;, di:i,Se£tpris.exppfiti;):ad:quartam, qiiae erk G E *'. Eft. itaque piiri- 5 £tuin, -E_cUfflijiujuSiarcus:, cum ipropfefea ;Se£tdfIs;bxpoiiti V . c£flcrui_3;grayitMi;s::qQ^©d;b bfat, Q0d atitemJartuiS' "

•c^tatffljgrayk&is^

arni:pafailela.plans eadetniratione fecarit fuperficierri Sphsericarh',.- "^qucfe feeaht; axemiy ;( qubd ab :Afchimede & aliis derabriftraturrifeft;;;^ ^lariifeftiiii ieftiy;: pbftiohem fupeffieiei.SphaeridE • qus?;_a^eiiv 2Giz;.;Sei^iiculttffl:;n6nri<^(^ente:i:kcai 'bib axeffl.' CQQ^rp3:d(efetibku;r,;.i2affl;rationem:a;dto^ hapere, quamhabecvz z;_fubfehGa: (^elaxtspbrtiohuierefpoh-. dens^ad bib: axetri-integruffl: Puta/uc axis D, adfubtenfam s;■'• fie tota Sphaerse fuperficies D P , ad portionem areu deferiptain ; ;quael.taque eft^i, vQuge ^quidem; pbrtio fiy per magnkudirifem

,' arcus a, dividatu:r,iprbdibif—-<2> iperipheria. .-cen.tto - vgraykatis

' v.' ■ :,, ;■..'-:;.- ■;. .,'.;■-■■*>•■(*■ v ' ; '■.:....

iftius arcus, defcripta, adeoque-hujus peripheriae radius, bbc eft

diftatuia centri eravitatisidi£ti: arcus a eontro tirculi,~4-.K ;

.■ ; Nempe eapars tadii G C = R;;-qiuejeft ad totuthyufiiWMi,:

fubcenfadiitiafdtsadipfumarcuffl: /QUOGI probahdumfufcepimus,■•',

probahdumfufcepimus,■•', fimilker de centro gravitatis. Seftofis z G C ( aut a.

a. cujufvis.) eodeni proeeffu conftabic. . Ec fpetiatim, femicir-.

■--'..■ ■: i ; •■--/■■ g.:R_- .jP».

dtli centrum grayicatis,; a eirculi cericrb diffat,^rp^five vp~: ■

Nempefuc fSPUp~ ».:^ficf '%jid *^L-*^, ::;Dwis ■ ';■■'■'. vero

DE CrCLOI®]& -"'■';

vero Seitoris cujufvis z G C, •& z C G crianguli, tum magnitudinibustum centris gravitatis, datur etiam cencrum gravitatis fegtnenti z C. Datis autem tum fegmenti z C, tum ttianguli z C Y, magnkudinibus & gravitatuni centris, daturetiam ccntrum gravitatis aggregati z Y C. Et fimiliter de Seetoris z F C, aliufve, centro gravttatis conftabit.

70. In portlonibus Sphaera;, centrum gravitatis fic colligkur. Qttadratum re£tje z Y fig. 6. squat ubique quadratum Radii minus quadraio G Y, (quod patef.) Dicamus autem, ut altbi, Radium R, ejufque partem aliquotam infinite exiguam r." Erunt i-v gitur quadrata omnium z Y ( quadrantem b C G complentium) R >m*o,R*—,% R*_4 r*,H*~9r*,&ic ufquead R*- ^v*, ( quod eft pun£tum verticis C. ) Sin pro Quadratis hifce fubfti-' tuamus ubique ckculos, lateribus quadratorum ut Radiis defcriptos, (adeoque quadratis illis proportionales:) pro omnibus R*- habebimus circulos Cylindri, hemifphaerio circumfcripti ; pro omnibus 00, r 4, 4 r *, 9 r *,&c, Circulos Coni, cujus verrex G centrum Sphcerse, bafis eadeni cum bafe Cylindri, in planb quod SphaeraminC tangit; pro-utrorumque vero differcntiis R *—o, Rz—r■*,iJ* —./ifr3-,R*-~-9r*, &c, Circulos hemifphxrii„ ( quadratis utique.re£tarum z Y proportionales j ) qui propterea asquales deprehenduncur planis annulis cylifldri conice excavati-i Sed & eadem habebunt gravkatis centra , ( nempe refpe£tiva: pun£ta Y, in re£ta G C : ) «quiponderabunt icaque tum.fingula ftngulis refpectiv^, tum omnia omnibus ; idemque. erit centrum gravitacis cylind|j, hujus conice excavati, atque hemifphaerii: Nempe in eo axis hemifpha:rii pun£to quo ita dividitur , ut pars ad centrum Sphsrae fit ad reliquam uc 3 ad 5, five i cocius-s Id enim obdacum cum Cylindri, cum exempci coni, magnkudines & gravicatis cencra facile cQlligkur.

71. Velfic. Cum circuli hemifphaerium complentes, finc ( quodmodo dktumeft) ut R*—r*, R*~-^ r * , ^— 9r% &c, ( hoc eft, juxta noftram Arkhmeticam Infinitorum, ut feries jEqualium dempta ferie Secundanorum , qux ad correfpondentem feriem jEqualium, eft ut 1 _ f ad 1 , hoc eftiit f ad 1, fivc utaad 3 ; quatitaqueeft ratio Hemifphsrii ad circumfcriptum Cylindrum ; ) fintque eorundem Circulorum diftanciae a cgritro ifphaerae:,ucr, 2 r, 3 r'.', &c, nempeferies Primanorum%

,"','. .13' Hxc

Centruftt. Gravitatk . Sc£toris,vel ,rSegmenti, \ SpharicL

atf ; *DE CrC LQIDE.

Hscc diftantiarum feries in fetiem magnkudinum refp e£tive du-- &a, dat fetiemri?1-^ ',2 r ^l_8?',3 rR*^2qrl, &cj hoc eft feriem Primanorum cempta feiie Tertianoium , "quae ad co.-refpondentem feriem /Equalium eft ut t — % "d i , hoc eif ut 5 ad i, five uc i ad 4. N Qus quidem feries ctm fitmomentis diitorum Circuloutm refpeitu Centri fphjerxproportionales , -; ( quorum utique rationes funt ex rationibus magmtudinum &

difhntiarum compoiics ; ) eiunt eotundcm omnium in fuis lotis momenta , ad momenta totidem maxitno iqualium in maxima diftantia; lioc eft, momentum Hemifphaerii in fuofitu, ad momenrum circumferipti Cyhndri ex punito C fufpenfi, ( refpeitu centri G; ) ut 1 ad 4. Eftautem mrgnitudo ad m<ignitudinern. ( quod jam oftenfum eft ) ut 2 ad 3 : trgo , propte; f ) % ( f, diftantia ad diftantiam , ut 3 *ad 8. Diftac itaque tentrum graykatis Hemifphaeriia^centroSpbaera:, \ Radii. Utprius.

72. Etfimili proceffu ( ju?ta utramvis methodum) de centro gravitatis in aliis Sphaerae partibus judicandum eft. Nempe idem effe centrum gravkatis SegmeiurSphxriti plano zz abfeiffe, atque fegmenti fic cxcavati Cylindri eodcm planoabfciffae.Sed & fimilicer judicandum eft de centro fegmenti Sphserici di.obus planis axi reitis interje£ti: Et quidem five in eodem fint five in oppbfitis Hemifphseriis ea plana; fi & tirca reliquum Hemifpha:- rium conftituatur Cylindrus fimiliter exeavatus.Cum itaque tum, Cylindri,tumallati Coni velfiufti coniti magnkudines & centra gravitacis non ignorenrur $ ncc lgnorabitur centrum graviratis figurse excavatar, adeoque nec Segmenti^Sphsrici plahis quibuf« cttnque'parailelis abftifft.

73. Datis autem fegmenciSplmiciz t G (f.\re Hemifph^' riumfir, ftve majus aut minas hemifpha:rio) tum magnitudine tum centro gravitatis ; fi eidern adjiciatur, vel auferatur, conus . z z G, vel zzF, vel aliud quodvis folidum cujus tum magnitudo tum centrum gravitatis innoteftunt; dabitur & aggregati vel re.- fidui Ventrum gravitatis. Et quidem , quantum ad Seitores Sph$rieos, uc G z z G , funt iili refpeitivis fuperfttiei Sphxrici fegmentis z z C, adedque & Y Grefiis,propomofiaies; (xqua--

. jes utiqiie f Radii ihilliimfuperfitiem du£to ":)Suorumque cen-: ■ troram gravitatis z eenfrb ckculi diftantis, funt re£tis G E ( it Intelligatur E punftum medium inrer C & Y ) proportionales;

squaleg.

DE CrCLOIDE..

aiquates utique 4 G E. Ide:n nempe erit centrum gravkatis Sectoris Sphxrici Gzz C, atque fegmenti fuperficiei fphxiicae fegmento z z C fimUk & concentrici radium habentis % G C. llc enim E ( punitum meJium reitse C Y ) eft centrum gravitatis fegmanti Superficiei fphaeiicx z z C ( piopter fegmenta fuperficiei fphxiicx fegmentis Axis iifdem planis abfciflis ubique proporciomln ; ) ira Segfflenti fimilis-concentrici radiumhibentis 4 G C ( cu;u> fingulapunita ,-utpore conorum vel pyramidum totidem xqinlium Seito;em Sphxticum complentium centra gravkatis, xqualker ongrari imelligenda funt) centrum gravitaitis erit in f".o radico fimiliter fitum. Qijoi ipfum eft & ceiurum gravkuis Spbxrici Seitoris, five pyramidum fimul omnium numero infinitarum Seitoremillutn coiiplenciuffl.

74. Quam fuperius ( jJ 30) fufcepimus rationem, 9 A F q.-~

4 C F q ad z G F q, otendendum ; eam fic inveftigamus. Primo

quidem cum Trilineum C Z A F z fig. 1. in Semicycloide (pro- .

pter Semicirculi interpofuionem inter rrilineum illud ejufque

axem C F ) fit diftoftum; intelligamtts ( exempto femicirculo ),

irilineum illud reflltuiin fitum debitum, protrufis fdlicet offlnibus '

Z z ad reitam G F, ut punita z cointidant punitis Y: Sc fic ubi- '

quc ( Quod tantttndem eft atque fuperficiem curvam rrilineam '

r £ F z C fig. 2. in planum expandere. ) Quo fa£to , rectae £ Z J

&cpriusindin.ux inFig. 1. erigentur ut inFig. 7. Exemptisnempe

Exemptisnempe omnium Triangtilis ( qus Triangulis Semicirculi-ublque

Semicirculi-ublque mmebunt tanttim Parallelogramma,

Triangulorum illorum dupla: puta Parallelogfammum V P p /3

in Trilinee reftitttto, duplum Trianguli v F p in Semictrculo,(&

iic ubique: ) Ut eadem jamfit ratio omnium z Z inhxcrefpeftiva

inhxcrefpeftiva ad omnes z Y in eadem Parallelogramr

rni; atque prius in fua refpe£tive Triangula, vel horum eorumve

eorumve - .

75. Cum,fumptis Y , y, xqualker utrinque a centro G jemotis, altitudines binx Fy FY fimul fumptx'xquenu ubique T C, fintque z Y my xquales ; eric ubique zYxFY+myx T y czYxFC. Sive , qtiod tantundem eft, quadrilineum M y- A. L una cum quadrilineo Z £ p N,compIenr Parallelogrammum bafis £ v akkudinis F C , (altero fcilicec fupplente quod iniakero deeft. ). Adepq.ue perrade eft (ive ducamusomnia Pa-. '-■■ . Ei rallelogramma

Momenium . flemicploi. dis refpeSiif , \ Axis, & fii.■-.,. ; lidutKcon^

verflone cir~ ( ca Axem , fatlum,

PlCT 1 XXt3'7'

'- . <Z> £\ CrCLOlDE. ■:

rallelognmma vei Quadrilinea Trilinei reftkuci C Z AF in omues refpeitive reitas z Y totius Semicirculi , fiveomnia minuta Parallelogramma Parallelogrammi C<3 in omnes refpeitive re£t.is z Y unius quadrantis; hoc eft , in omnes finus reitos arcuum arithmetice proporrionalium in Quadrante ; hoc eft , in omnes refpeitivc re£t.is, xqualibus intervallis fumptas, trilinei C B b ipit C b parallelas, incipiendo a B ( quod ftatim oftendetur.),Hoc eft, perinde eft five fuper bafe A F *, erigamus figuram altitudinum refpe£tive earundem cum trilineo reftkuto G AF : five fuper bafe F 0 K, hoc eft B b C, figurara altitudinis C F ubique; (poftno nimirum figuras tum A /3 «, tum F /2 », figurx B b C congrtiere.) Qnod autem reitx Trilinei C B b ftnt arcuum arkhmetice proportionalium Sinus re£ti, fic conftat: Cum enim propter tum Semiperipheriam C b Vr tum reitam A F, inpartes xquaks divifam , omnes F Y, hoc eft omnes £ Z (trilinei C A F fig. 7.) fint finus yerft arcuum F z arkhmetice proportionalium totius Semiperipherix; erunt fimilker oirines G Y ( earundem exceffus fupra femidiametrum ) hoc eft, omnes re£tx trilinei BbC, arcuum b z arithmetiee proportionaliufn in b Gquadrante, Sinus re£ti; ( uti &, eadem ratione, G y defectus re£tarum F Y ftve ¥ y a radio, hoc eft re£lx trilinei fimilis B b F, funt finus reiti arcuum arithmetice proportionalium quadrantis b F: ) quod fufeepimus oftendendum.

76. Eft autem' ( ut calculus $ 23 indicabic) prifmacis modo diiti, bafis B b C, xqualis R* quadrato radii ctrculi generantis. [Nam fi ponatur punctum Y fig. 1. in centro circuli, ut G, erit cumF Y esiZ^tum z Y t=R,& zZ^zCs|Pjadeoque Z'Ys R + % P , qux fi in | R ducacur, habetur £ R a + i & P magni~ tudo quadrilinei f ZC F,hoc eft,in hoc cafu, quadrilinei /SBCF, fig.' i» unde fi auferamus trapezium /S B G F, hoc ett , tum parallelogrammuml!3: B b F=! GF* /2 F tzR x | <p £=£. R Pf tum triangutumF bG.^GF^b ■'Gta-R.y$R=fR *^tnanebh R* \fRP magnitudb fegriienti G G B; unde fi keruffl fubducamus quadranrefflC b Gr^f T(_p, manebit .£ .*■ fflagnitudo trilinei C bB fig.. iv hoc eft C b B fig.7».] Qjix quidem bafis B b C i~:R* in alti-i tudinemFG vz-z J?dn£ta, dat 2 ^Amenfuramdi£ti;Prifmatis ; {iye aggregatutn omnium: zY in refpe£tiva paraiielogramma dti3:aru£n,. Si autem pro omnibus 2 Y,fubftkua!jiijs:ubique peti^■ - "" ■"■' ■ pheBgjjp.-.-.

pheBgjjp.-.-. (

.'_ ;' - , (

yBgX.

Iig„7;.

DS crcLoiDe.

pherias his radiis (convertendo_) defcriptas; pro 2 R 3, prodibic 2 R'& P. 1. Quod quidem eft tripHfm Sphxrx circuii gcnitoris : ( quodhincotitu , quia umparallelogiamma V(3vP fiinttriangulo;um v F p dupla, fum zY diftantia medix bafis trianguli, elt i diftantix centri gravitatis Triangiili a converfionis axe C F ; adeoque i x 23 3 : ) Sicut & , iifdem de caufis 2 J^' , triplum Momenti Semidrculi refpeitu re£tx C F , eft Momentum omnium parallelogrammorum fic fufpenforum. Quod ~& In folidis, mutatis mutandis, perinde valet. Vetbi gratia. Si intelligatur tum fuper Trilineo reftkuto.C A F, tum fuper femicirculo' CbF, infiftere corpus CylindiicufivePrifmaricum eodem plano oblique fe£tum, ita ut in pun£to F & reita AF altitudinem habeat nullam, & in C maximam; atque inteiligantur fingula ■prifraata paralielogrammis ut V /3 * P incumbentia fufpendi in diftantiis z Y refpeitive: erunt eofum omnium Prifmacum' fic fufpenforum pondus, ad pondus pyramidunf rriangulis vFp . incumDentium, hoc eft ad pondus porcionis cylindri femicirculo infiflentis, refpe£tu reitx C F ; uc 2 ad 1. Cum eniin Parallelogrammorum Prifmata fint figillatim ad Triangulofum Pyramides, ut 3 ad 2; atque z Y diftantia fufpenfi Prifmacis, five diftantia medixbafis Pyramidis, eft ad diftantiamcentri gravitatis ifti-- us Pyramidis, ut 4 ad 3 ; erit qux-ex his componitur ratio 2 ad 1. (propcer i x * =j 2.) Adeoque pondus fic fufperiforum Prifmatum , erit ponderis Pyramidum in fuo fitu, hoc eft ponderis di£tx portionis cylindri, („ refpeitu re£tx C F, ) duplum. Et fimiliter alibi. Sed hxc obiter hic. loci, quorum camen ufus effe porerit In fequentibus. Redimus ad fufpenfa Parallelogramma.]

77.Si vero eadem trilinei reftituti CAF ParalielogrammaV/S-vP " fig. 7. ducantur in omnes refpe£tive re£tas 2 Z arithmetice proporciohaie.s ( ojutppe arcubus arkhmetice prbporriQrialibits xqua- _ les ••) hoc eft inomn.efparallelas re£tas TrianguliF A a'(quarunv; maxtmaA*t=iA:F ;) habebitur p>ortib PrifiriatisjvhafeCiAiE" altitudinein A*;habentis, oblique'abfdffa planoper bafis lirieSfflt C F & verticis punitum"«- cranfeuiue; ( c_uae quidem portio exhlbebit momentum di£ti trilinei C A F; refpe£tu reetae: G F.) Sin protrtanguli rejgtis Aa,&c ( ut pridemprbreetis /2?t &c ) fumancur alias a\m ad has finc uc perlpherix dfeuiladejufdemB':

dfeuiladejufdemB': ;': pdiuiriis:'

.DS CrCLOIDE.

ndium; abfciffa prifmatis po:tio xqualis erit folidoex Ttilinei C A F converfione circa G £T£ta ; (tr.nc enim 1 lkngulMii F A « xquale fiet circulo radii F A ; icliquaque refpeitive tiiangula reliquis circulisparallelis : ) Q^od folidum, tantifper dum illius magnitudo innotef at, appellabimus A *.

78. Solidum igitur ex orrnibus 'J-ri. ngu.lis v F p &c, vel Parallelogrammis V @ TP &cin rcfpe£ii\a> rc£tas zZ,veI peipheitas his radiis deferipcas; ad folidujn ex iifdem rrkngulis vel parallelogrammisin icfpe£tivas reitas zY, velpeiiphetias his radiis defcriptas; eft ut A 3, ad 2 R*P, (per £76, 77: ) i> dco-

dco- nonaiplum iftius ad duplum hujus ut 9 A ' ad 4 'R^P: Cui fi addatur rario 5 ad ?., f.ve 1 o KZP ad 4 A**/J; liabebitur ratio folidieXfonverfione Semicycloidis, ad fohdumex converfione "Semirirculi, (circa axem C F, ) ut 9 A 3 + 10 R2P ad 4 K\P, per $30.

79. Porro , eorundem Solidorum ad invicem ratioficalias colligitur. Solidumex converfione Semicydoidis (Fig. i.vel 8.) tid Solidum ex converfione Semicirculi, (tirca axem C F,) eft,ut omnes circuli radiorum Z'Y( xqualibus ab lnvicem intervallis futnptorum, ) ad offlnes circttlos radioium z Y refpectivc ; hoe cft, ut omnia quadrata ZY, ad omnia quadrata z Y; hoc eft , ut omniaz Z q+ 2 [\ Zz Y 4- z Y q ad omnia z Y q.

80. Sed omnia z Y q ( per prop. 133,135. ^Arithm. Irfln.)

* acquant \ D*, vel f R?. ( J unt enim omnes ordinatim applica -

• txin femicircitlo, ut feiies V : aD^.a* : adeoque earum quadrata, uc feries a D —* * : qux eft ad feiicmxqualium, nempe Z> * toties fumpcum , hoc crt, ad D *; ut £ —j, ad 1 ; fivc ut 1 ad6i) '

.8.1. Itempmniareitangula Z% Y3. xquaiuur folido cylindrico,i b.afem;habenti fefflicirculum C b F,- altkudines vero z Z refpefiive fuimptasj hbc eft ( propter z Y=: m y, & Z z 4- M1113 AF ti.N'n+ Ll,&c, ) folido Cylindrico habenti bafinG h F quadrantem, altkudineih vero ubique A F ; hoc eft.r62?i?*:(qu.o.d. -'fic oi^RP «juadrance drculi genkoris, in AF := i P du£to:) Adebque omhutm refiarigulofuifi dupla,five.2'JJ Z z*Y,funt iRF*.

81. Sunt igicuir | ^H^*choccft,bmnia zYq,+ 2 Q ZzY,) \\m cuin orhnibtis z Z q» xqualia omnibus quadracis Z Y. Et { prp radiprum quadratis fubfiituencio circulqsi, h'o'c eft, dividen•

dividen• . "" ■"' '-' da.

i*.;;

#ig.S,

,rfp

' • <£> e CrCLoi<DE. u

;_ ■ ■, ■'■■•. y <

do per R& muitipiicando per £P,)erulufS*-'Tt /6.Pi una.cum onnibus circulis radiorum zZ ( aqualibus iiuervallis fumptorum , )hoceft, un.i cum folido ex converfione tulinei retfituti C A F fig. 7. circa G F, hoc elt uni cum A } ; nempe fR*P + ,tt 1" + A*, xqualn folidoex converfioiie femkytloidis circa G F : cujus icacj; ratio ad fphxram cirtuli geniroiis ( ex converuone femicircrli tirca eandem reitam CF fa£t?m)eftut jK-^P \!a P }+A>adfR*P.*

8.?. Verumcadem ratiofupeFius repertaeft( § 78)^9 As\ TO R *Pad 4 K2P, hoc eft (dividendoutrinqueper <5,) ut f A 5 4 l R * P ad f KZP : quam jam repeiimus ( § 82 ) ut f & *rP+,| rP» + ^A 3 aa f &*<?. Sunt igitui i ^' + f k*P - f K^^+A^* + ^ 3. Adeoque (fubduitis ttttinque xqualibus ) ^flA^-t K* <P =: r6 P}. Hoc eft, <A 3 s:i P 3 _ z R * T. ( Hoc eii A F in Aljq_ C Fq.figj-vel 8.) Habemus itaque magrkudinem folidi ex conyerfione Trilinei reflituti CAF fig.7. circa C_ F,( nempe ■| P f —.2 K* P ; ) Adeoque ipfius rationem ad Sphxram cirtuli genitoris (ho- eft, ad f L* P, ) nempe ut i <P * —2 R* ad ,f&* , five uti/31- 12 R* ad4R\hoceft,ut 3 AFq^.3 CFq ad C F q. [Atque eadem eft ratio momenti iflius Trilinei, ad momentum fcmitirtuli , refpe£tu C F re£tx. Eft utique illud |KPS — 2 K'; ( momentumautem Semicirculi f R -:) Adeoque (dividendo per magnitudiiiem Tiilinei f KP) diftabiccentrum gravitatis

gravitatis ab F C, % P_ ^- j & a /3 B,^~ R. Diftac

autem (per fuperius tradica ) ab A F, £ R: Cum enim momentum Trilinei ad momencumSemitirculi( refpe&uAF reitx) fic . uc 3 ad 2 , & magnitudo admagnitudinein uC 2 ad 1:; erit :propterf ) f.( J, diftattriaaddiftantkmut 3 ad 4.. piftaritia aucefn centti gravkatis femicircuti,.; eft R; Ergo. diftantia centri gra^- vkatis Trilineiab AFeft^-K.j .';:';

-S^.Cum igitur f K*P xquetur Sphxrx tircuilgenitotisyerie (per § 82)'f &» <P+-£ P3 + A>: ,hoe:eft,f;ZlaP+rV Ti+fP* _■• 2, R*P, hoceft t^P 3 —i.Ri Tyxqualefolidoexconyerfione.Se": micycloidis circa rectamCF. " ■••'•'._

85. Veletiam f-per §78, ) cum.ejufdem foiidi ad Sphxranv ratio, fit, ut 9 A>+ioRZT ad 4RA P,hoc eft, ut%A*\}R*P- ad. | A,*P; fitque f\*P xquale Sphxrx; erit etiam \ A? 4 f K*PS,

boc

...>; --;■ T>E CrCLOIDe. f

lioc eft ,\ Pl^R*^Af^Py hoceftf^P 3 _fR'P , sequale folido ex converfione Sem^cycloidis circa reitam C F, uc piius. ,

86. Simiter, cum ( per § 78) ratio omnium z Z arithmetice proportionalium , in refpeitiva Triangula v F p , ad correfpondentes omnes' zY in eadem Triangula, fic ut nA} ad 2 "iR^P; hoc ert, f P 1 _ 2 'R*P ad 2 K2 P, hve, ut f P* _2 'K* ad 2 B*, vel i 2>*_4 £ » ad 4 ^;( hoc eft,ut AFq _ GFq ad CFq-)Adeoque noncuplum illius ad duplum hujus,9ttX* ad 4^-P; hoc eft,ut f P*-_ i8£?'P ad 4#aP,five ut JP* _36£aad 82<f ;(hoe eft ut 9 A F q_ 9 C F q ad 2 C F q: ) Si adjungatur ratio 5 ad 2, five 2o R* ad 8 R* : Habetur iterum ratioJ P •* _ 3 6 i? *+2 o ^ ^|P^_i6i?z,ad8i?A : Horeflp A Fq_4C F q ad z C -F q. Qiiod fupra( $ 30) fufeepimus demonftrandum. ! 87. Oflenfum eft fupra ( $ 46,) Momentum folidi ex conver1 fione ( vel femiconverfionej !■ emicycloidis circa.AF (fig.i.jret fpe£tu re£tx C F, ad momentum folidi annuiafij ex converfione ,. ( vel femiconverflone) femicirculi C b F .circa eandem A F refpe£tu ejufdem C F re£tx; effe, ut 7 ad 3, atque infuper ut decttptummomentifolidorumextaliconverfione iriangulorumuFp in diftantiis z Z fufpenforum, ad tripl-um momenti eorundem folidorum in diftantiis z Y refpeitive-fufpenforum. Cujits rationis inveftigationem fic aggredimur. Omnes z Z ( xquales arcubus in femicirculo arkhmetice proportionalibus ) in refpe£tiva folida ex fic converfis triangulis v F p, ad omnes z Y (arcuum illorum finus re£tbs) in eadem refpe£tive folida ; Hoc eft ( propter v p ubique xquaIes)omne5 illx z Z i'n qttadrata alricudinum F Y (hoc, •eft, finuumyeffofumrefiduorumarGuum,) adbinnesillas z Yin ' eadiem refpeitive quadrata; func, uc momenca ©mriutm drctilorunf( vel cylindrulorum)Z f (xqualibusiritervailisvfutnptorum') converfibnecritmeireflitutiCAF fig.i^. circa AFfaitorum^ fufpenforum in diftantiis£.g (trianguliF A <*.) hoc.eft z Z (trillnei reftituti;) ad momenta eorundem circulorum ( vel cylin' drul0rum):fufperiforumin diftantiis £ £ ( biiinel F * «;) Hoc eft, utmomentum.folidi exiconverfioneTtil'inei.reftituti C AF (cir-caA.F^refpeitureitx CF, ad duplummomentiannuliexfimili converfioneG b.F femicirculi,. fefpeitu C F re£tx. (Dieo,-acf iuptum mofflenti annuli j proptef ,• fum magriitudinem folidi ex converfioneParallelogramrni in trilineoj ad magnkudinem folidi , ■:"■ '"■ •:■ .'■'■' ex

"^ ' C ■.: Momentum

flqiidi circa rv

JiFreflpe- ft

-Bu€F,.& ?

r circaCT n.

; ^efpeOtt ~ct

ulflaAF. -j

" - lt

Flg-7, ii

fc e: fi

" : ■ ul

;: -:el

' ," ,e;

... ■- ■ ■ n

■0

£1

■ ;'d

•u

' -C

'., '' c

■■ ■: i

■ .c

Df CrCLOlDS. 33

ex converfione correfpondentis Trianguli in-femicirculo, ut 3 ad i ; tum z Y diftantiam mediae bafis, ad diftantiam centri gravitatis folidi ex triangulo fic converfo, ut 4 ad 3 : Eft autemi x f s 2.)Adeoque deeuplttm omnium zZ in di£ta folida vel quadrata» 4d tripltm omnium ZY in eadem.folida vel quadrata ; erit, ut dtcuplum momenti folidi ex converfione Trilihei reftituti (circa A F) refpe&u reftx C F ad ftxmplttm momehci folidi ex fimili converfione femicirculi refpeitu C F re&x; five, ut qmtitttflu» Illius, ad triplum hujus.

88. Eft aucem Annulus converfione Semicirculi fa£tus ,5 RF» ( ex dttftu nempe femicirculi \R~' in * peripheriam cencri converfione

converfione qui quidem du£tus"in-—-p ( diftantiana

cencri gravicatis femicirculi, adeoque & anhuli femicirculi cori" verfione fafti, a. re£ta C F, ) dac f RicP , momentum annuli refpe&u re£tx C F : (cujus itaque triplum eft 2 %iP.) Momenrurci autem folidi converfione Trilinei reftituti CAF circa A F, refpe£tu C F rectx, dicamus afiquantifper B\ Qyintuplum igitur nujus, ad Triplum illius,eft ut 5 B * ad 2 R* P: Cui racioni fi adjungacur ratio 7 ad 3, five ^R" T ad 2 %} P, habetur ratio momcnti folidi ex converfione Semicycloidis ad momentum folidi ex converfione lemicirculi fcirca AV) refpeftu reSx GF;nempe 5£*f f*&*ad-fti^T, vel 15** + 14*»B ad 6 10P.

89. Sed( quod § 64di&umeft) eademplaneratioeftmomenci, refpe&u re£tx A F , folidi ex- converfione (vel femiconverfione ) Semicycloidis circa C F, ad momeritum folidi ex fiinili converfione ( vel femiconverfionej* femicirculi, refpe£tu ejufdem AF linex xquilibrii. Qjiod hinc evenic , quia exdem raciones utrobique componuntur; cum hoe falcem difcrimine, qupd dux magnicudines retiprocantur; nempe Z. Y qux in hoc folido ingredirur compofitionem folidi, in alcero notac diftantiam a linea xquilibrii ; contra vero re£ta F Y.

§o.Hxc autem eadem ratio fic alias colligitur.Nempe(fumptis reftis ZY fig.8. xqualiter ab invicem dittantibus,)momencum illudfolidiexconverfioneSemicycloidis, admomencum folidi ex fimili converfione Semicirculi, eft uc momentum omnium Circulorum radiis Z Y defcriptorum, ad momentum omnium tirculorum defcriptorum radiis zY; hoc eft, ut momentum omF

omF - niuia

34 ?>E CrCLOlDE.

nium zZq + 2 \\ Z zY+zYq, ad momentum omnium z Yq,( refpeitu ejufdem AF reitx: ) Hoc eft, ut momentuin (refpe£tu ejufdem AF re£tx)folidiexconverfionetlilinei reftitutiCAF fig. 7. circa C F< (quod, piopter quantitatum reciprocationem^ xquipollet ifti qitod jam diximus i* ) una' cum momento folidi ex fefc micirculo fic conVeifo fquod xquipollet nuper invento f R1 P , 9 88 ) atque infuper momento folidi ex converfione plani cujus rectx fint nacdix proportionales inter Zz zYfquod dicamus C&) bis fumpto ; ad momentum fphxi x ex fimili converfione femicirculi , refpedu ejufdem AF reitx: Hoc eft, ut B* +20*+f R 3 P ad'f R* p. '■

91. Cum igitur haec ratio B * t 2 C* + i R* ? adj-R 1 <? ('§9oJ hoceft,95*+i8Cil + <JA*-|'ad6Aa-i', eademfit atqueiila (§88,) 15 B*+ i4 B 3 pad 6R * P ;' eritp B * 4 l8C* + 6«.' i7 t=s.i5 JS* + i47i 3 P;adeoquei8C*^:6^ *8R*P?fivepC*r:3B+t4fi.*F. Hoc eft , C *- f-B*+f A3P. Unde cognito vel B* vel C*, reliquum cognofcetur.

9i. Ut autem habeamus £*, hoc ert, momentum folidi ex converfione Trilinei leftituti C A F fig. 7. circa A F , refpedu re£tae C F , ( vel circa C F, refpe£tu A-F, quse tantundem funt:) Primb pro omnibus citculis radiorum £ Z, fubftkuamus totidem triangula redangula fuper ipfas £ Z bafes conftkuta, & altitudines (in ipfis Z punitis ) bafibus' xquales Hfebentia ; adeoque portipnem prifmatis plano oblique fe£ti complentia, bafin h<.- bentis trilineum illud C A F , altitudinem verbin AFnullam , fed concinu^ crefcentem donec ad punitum C altitudinem obtineac xqualem ipfi F C re£taj ; adeoque ad fingttla

. bafis pun£ta Alticudinem: habeac xqualem. eorundefn ab AF diftantix. Qy* quidem Triangula , cum magnitudine, ciim & inomento refpeitu C F re£tx:, funt refpeitivistiliistirculis pro- - portionalia.:. ■-.'-.'•■. i' _._ .-"

. ' -. 93. Peindein hujusprifmaticx pbrtionis baliC AF,duciintelligamus curvam B F, curyis B C & B Aiomnino fimilem. Cui B F curv§, intelligatur ereita fuperficies curva infiftere, difimens portionem illam priffflacis in duo fegmenta; quorum-akerum crilineo B F A, aicerumtriliheo B FC, infiftaiu. Quorutn fegmentoruta momentiim, refpe£tu C F re£t?,.fic feorfim Inquirimus, : '" '■■■:"'-''■'": ' .""-

" V. - . " ' ■ 94. Eft

■ /:&& CTCLOIDE.

' -: '9/f.rEft utiquei(per$a^.titciffipra:fyj6qflefifum'eft)Ttir lirieurn BbG=&*:ade;qqueTrilineumiBTG (quippeiiftiuSjdiir §ium): a:<2y •:■: Hujns.; auteffl^ceturamgrayieatisjiri^re cere/:fflariifeftumi; e(|jv ad|piUe IpfiUs#;AiF;^ftaiuk:efl:. ;"^:^;. biF; Qy§quideffldirtantii^ R tn-rilagnifHidifieffl;,'i;R* %ii&i\ daf .2 K. 3 , momentuifi di£tytrilinei BFG, refpe$>t AiFre^tx: ( Adeoque.-aequale ptane ejufdem momeiuo.refpe&u :i|l k;,\ uc : ex%;99 :pacec.);Sed &.:( proptef pprtioniaatckudirie?^ Ufdiltum eftfdifttiuksi>un£tori^

que iattitudinemvifuper; bafis :cehcrum gfjtyifatiis^^qudeffl;;(■ e&ae. b FiiR;) idem 2 .RVeft fflagnkUdo. ptifmatkae- pprcioniSiCrlliheb BFCirififiencis. vv.K;i -, ■ v" :/-;■, v .■ v-p ■:;.;■;;.'.;V:v;iV' ■'-■:9"j'i Eft Mtem:-totius:GA^;trilinei>, ^hpm^ntuifi; ;refge£tu A F, (adebque & prifmaticaeportionis totiInfifi^ntisrnagnitit: do0 i %*:. ■'& :j:( nempe | naofflehti femicireuli/,-. pef; % '?<£)% ttde fi iaufefatkf momehcum.ttilirieiBFGj ^bc.eft-'*:^^,;^^;'!^): ced.) tfianebk I ft^^iZt* momentumtfiiinei;B;FiArefpe&u ejufdem A F reitas;: ( unde,;fiopus;eft,coili|e;tui- diftantia cen--

tiigrwlt«is:^^

quod proyenkex divifioriemomenti | i£*:P_;2:.RJ percriliriei magriitudiriem I RP< *~2 R* ; iadeoqiie ejufdeiri cencri a Bb

P , ' ,■■■■ ■■ '-.-,;■ .':' - ..' .:,' .

diftancia >^&r7py~~^~ ■$?'. '$$?? P^$ ^um^Illa^alferaCphii plec re£tarriB /3 =a i?.■_); Q^ipfiim;|'R?P^2 R5 f;bb,caufan!f iriodo di£tairi)" efti^ BFA crilin^. infiftentis.'• r :rrhr- ..,...• "i ,,_; ■'_

9^.;Hujitsautem prifmari^3Eiportioriisv;(:criiineo BTAinfi-: ftentis ) cencrum gfavkattS: irireitaB:/S,jacere,,manifeftumefti Efttit^ueejhfflem^GF-dlfliantiaV £P..^:^«:'.-';^^quiderri diftantia iri^ortibnw ffiagnkudinem, \R*P >-,%&:dui^a,' dat; /^2PA_,f iJ3P,:imofflencum..di£t§portioniS (crilineo BFAififi-,. ftentis)rerpe£tu..feFre^9e...'- '."'■ : ..'•

-97; Poiirbi eum^.per-^H-^pottio prifmatis trilinep BF C Infiftentis fit.2, Ry; aequipbileat aucem ,.-tujn ;magnkudine c-um 8j;mbmeh'tb're:fpeitU TG F oreitae j i; prifinati;fuper eadem bafe,:altictidinemiriediafflihabehtii;hpceft, squalem.ei.quam.habetdi-; ^apoBb^fupei:; bafisTUSB ceotium gravkatis, hoc eft, alticudk

'-' "' '■', ' " ■'- " F 2,"' : ■' iiem

'i>"j2 CYCLOlDe.

nem %t Gentrumgravicatisdiftxporcionis tantundema CF re£ta diftabk ( feu potius ab aequilibrii plano fuperhancrectam ereito'; quod hic nobis loci perinde eft ; quod & fimiliter alibi ubi opus eft intelle£tum volo,) quantum inde diftat centrum gravitaris xquipollentis prifmatis; hoc eft, quantum ab eadem C F diftat cencrum gravitatis Trilinei B F C. Qnod quancum fitjfic inquirimus.

98. Trilineum, cotum C A F , eft f RP (nempe duplum Semicircitli, per^ 22) unde fi auferamus trilineum B F C,hoc eft, 2 Rz { per § 94) manebit f RP _2 %t aequale triiineo B F A; cujus trilinei cencrum gravicatis (in re£ta B./3 fitumj a re£ta C F diftat | P. Quae diftantia, in f RP~> 2 Rz magnitudinem du£ta , dat j R J>* ~f R* Fjmomencum trilinci B F A refpe£tu CF re£tae.

99. -1 otius aucem C A F trilinei refpecfcu ejufdem C F, momenrum, eft jiRP*-* 2 R 3, ( per jf 83; cum enim folidum ex converfione circa C F, ftt i P* _2 R*P; erit, fubftkuendo radios pro peripheriis, f Rp* ~*zRl momentutn plani.j Unde fi auferamus f RP* ~~R£P( momencum crilinei BFA, per praeced.) manebit i %^P _2#i" momencum crilinei BFC. Qyod momenttun fi per trilinei magnittidinem 2K* dividatur,prodibitfp_ R diftantia centri gravkacis di£ti Trilinei BFC a recca CF. (adeoque R ejufdem diftancia a punito B.)

1 100. Cumigkur diftanciacencri gravitatis, tum BFCtrilinei,tum & (§ 97) portionis trilineo huic infiftentis, a C F, fit J-P-, R; fitquedi&x porcionis magnitudo (per Jj 94) 2, R* .- Eric iftius, refpeftu C F, momentum f Rl P~*% R*. \

} io%, Huic itaque momento, fiadjungamus f-tJR^fP*—fR*P ( momentumportionis trilineo B F A infiftentis, refpeftu rect? CFjper^ 9<>,)habetur /a£*P*^2^momentum tptius portionls trilineb C AF infiftehtis, refpeaufe<9:ae GF, Sin porro,ipro triangulis $ 92 fubftitutis,reftituafflus tirculbs,Mividendoper Ry & multiplicando per P,)habebitur i\RP*~2Rrt -^*,momehtum folidi ex coriverfione trillneiGAF tirca A F, refpe&u re&? ,C F. Qyod $ 92 proponitur inquirendumr 102. Invenimus autem ( § 88^ momentum folidi. ex conver,

conver, femicycloidis,ad momentum folidi ex converfione femicLr«uli■'(ciru

femicLr«uli■'(ciru effe,utt15 £**i4#.Pad - - - ■- tfjg

Fi'».7,

DE CrCLOTDE. ^

6 R*P; five ut ftfH-^Pad-f R3P:- Hoc eft , ( proptefB*^ ':

f.&T*— 2R*P, )ut '-,* ^P^^T+^ 2^.P^f *<2> V^A .

adf^'P.(:<^d!i!t46>87,^ ■■■ :

f^P moinentum anriuli^

^ ^i 3 5 -^^f- ^Ri! i* ett rriomeritum fol idi ex d;i£ta i ebhve v.

cyeloidis ( circa A F) refpe&u ejufdeffl CF.; Quod; ffibmeriturri ft

per fbiidk magnitudinen*f;.RPi:(pet£^ , -

V.iO JP i ... .. .. : ''•'■'_ ■.;--■'■''•'■■'■'■•' ■ ': 'A.;'";''■ W '■' '.'_'":

JP^at^—^diftantia;centrl gtaykacis. di^tkfblidiv^^exieqnf .".•'

verfibne-temlcydbtdis circa AF); a ie£ta:;G:Fii:'(adfeo^e

i^—_-,ejufdemeencri;diftantia\are£t:aB/3-.> i. ik

' 45? ..-..■'....:.,■. .:..'■';-. ':- , :.•.." ''.ivvi..:.r ,. 103. Si vero inceliigatur idem Semicycibidis planumdf'cil

C F cQiwetci;; imomenturn folldi. jndfc ,fa£ti ,ref^e(9;ui;A :F;re<S?eji

(prbpcer,magniCudinum & diftariciajrum reciprocarionem,) idefn ;

plane; erk atque; mpmenfum jam inventum fotidi^

planicirca AF converfione, refpe&u re£teeC F , (u-tfu^ra§64 '' .

&89.di£tumeft:)nempei\R<p1L.-fR',P.C^odmbriientutri; fi

per magnitUdinetri di£ti folid.idiyidatur•■', hbceft ^ ip.e'r..-i.^^a-s»^. ,

«R» P(per §85)prodtbk Ifti^S^*^»^^^&gs**

Vkatis iftius folidi a-feaa AF. (vel 9^^i^^ ^Me

. 54? ,^iDrr - .:::..

diftantiaaBG.J ■.''';::' '•;.':"" -,"'.,;■'::;; :]:\:\'::/""'""" 104. Pdiiunt haec eademiteminifeiti: ex^^Guritehimratio mbmentifolidi ex coriyerfioneSem^^ fplidiex converfione SemidrCuli,circa AFutakem, refpeftu. CFucliHeasiquilibrii; vel, circg"G-F utaxem>refpeftu AF "iit -linex xquilibrii; ibidera effe oftenditur, ut B* 4 i C* + f . R'P adf/^P r hoceft, ( propterB*^'/,^ 4 *-* &P > Per $ ioi, &C*~f5«tt*JP,per §'-91 ; adeoque 2C^ZtB*HR3T= ?\RP> ^RtptfRt-PZ&*£*■~UXP>)ut £Rr* *.**■'*£Pad ■ . '■ ' f^P;(offlninoutuipra$i02:)Habentur inde tum folidorum * momenta, tum ceritrorum gravitatis diftantia: a refpeftivis aequiiibriilineis,eodemplanemodoqubjJ 102,103. \-

v 10 £. Sed & fimul colligitur cum momencum (refpe£tu reStae AF) tum centri gravitatis diftantia, folidi cujus omnia plana fiwt ipfa 7AY $e«apgula, hoc eft folidi cylindnei bafm habehtis

/'" " ~" " Fj ."■ " fem*:~ ;'.-,

. i . ~

jp:e ;CrcLciDE. :

feraidrculum.C b Fjaltitudinesvero Zz (fig.7;yel:8.) refpe£tive»' GuhiehIifi(:fa;o)ponatur:X*inbmehtuffl folidfexcircullsradioriiih;^f:iZ.z x zYii^uivftffltkaque ad re£tanguia ZizYvel: 5Lzx ^/ut:drculus:adqu^f3Cumradit,-hbc'ejS jt.',ia.five'■

$£ad:-2'it;tit^e^

ijRi^iP,: Si^prbeifculis^fubfticuancur radioruriiquadrata ( diyiid;efido;per ^P & nuil^

* I^. mpmentumdicti fplidi (ex offlriibus Z z Y rectangulisjrefpte&Uf e£tse AcF/Mt aiitetri foliidi hujus ifiagrikudp ,ii?Pa: (sesiqualisifitiqueCylindrpquadfaritali, cujusbafisbG^iqUadrans, aitlcudoF A^|Pi; velSeinicylihdrp eujusbafisGbFSemidreur Jhisraltkudo;JAF=^4P ■■'•'■ propcer duasubiqu^ialticudines, arned:io,:Ucrittque sque remotas,,, reiSteFA fimul cequales:) Pef

quaitt -iriagnitudifiemfi divIdatur;mpfflen6Uto,prodibityR>u --^^.

;diftantia centri graykatis a re£ta AF: adeoque-^._,^Rejufd|

_diftantia.a b,'G. ...;:.; ; ' 7:"....... '"•.

,' „;isi6. At, quaiuum ad.re&am C F^ vel planum huic infiftens j aequipbilet,'ut magnitiidine , fic ;&. moraefito, SemicyHndroe•gufdembafis'_;;&altitudlnisdimidke. iAdebqueiribmentufflhai;^et.

iAdebqueiribmentufflhai;^et. %l&, &—*]r diftantiam centri grayi tatis;a CF :.Nempe

dummodo inteltigatur Semitircuio C b F re£te infiftere.,: ; :;, ■ .,,; .. Piia; auceffl.de C/f/e/^.primaria oftenfalunt, eadem, otfihta

,;,;..,, /,., a.liisCjy^/wi^wgerieribus;, -five*procra£tis five.ibbrevi_ ■: atis .facile,appiicahtur..-Tdfiquidem.foiuminterefti ut

i: , ,.'. pro ilz re£tis ■ubiq;.fubftkuanturaliaequa:fintad,hasin

i: .;: >. eademratibne.quaBafis^ - ;;.ir;:.i'j:;«uii.ger^fgtiU5ji-"• -:ci/;v--"T;;'-7.^; • v.i': ::'-:'■.

X;; f ;u^:^€- ?£ r^. ^SS "?$

^ig-S..:

'■'..■ tfe CrC^0Iz< L :;■-- '&:

v^4ks''$*^$$-.'i

3> centrum ...gravicatis. curV^^femicydoidis

A C fig^ i • hoc eft A C fig. 8. invejriiendum,;

^afiumotafiquamvaD.Wren* deirioriftraturii,;

cum."eurvaffl G Avduplariivefls fe_$*!:;G:E,:i

:cumubique C ^eurvamre^vGzvdupiajri;

efte. Adeoque pOhta reita C z= a, eritveorretponmerisCUrya;; CZ^2a. Et propcerea, fumpcis chordis eirculi Gzsatithmeft tice; propofttorialibus:, efunt icem:.correl|^ridencesv:Gui^«vG;Zii arithmetieeproportiorialss;&curva: G Atfipun&sv^ 1^,?%^ lss;paftes;divtfa;; i" ;-; \\-':;: A : ■ riyr::::-■::;:::rr; :'~rri

2. Hafuffl vero partium squalium (quas:ifupporiaffluS;nufflefQ infinicas_,& totidem Zpuri£tis: defignatas) diftantia ab..A.fi re&a

eft ubiqueF:Y s ^^ *->, Nam, - propterv,fimiiiaj;triangute

utV CefJP,adFzb V:E?;^*Hfic;eadem.f":%*;V::©**e*£s'

V:E?;^*Hfic;eadem.f":%*;V::©**e*£s' <**■ '■■■■■ '"■' ■'■" '-■

ad F Y, quae igitur eft D -^—. (Expofiendo nempe qxt^ntit;^';

cein a fucceifive per i a, j, 'cfo. quaruin ma-xiaia fic ®.); j ..^

' 3. Si igkur curvae C A fig. 8. ;sequatis extfendatur•fe&a.C::^;'i

fig. 9. qti2e: iriteliigatur fifflititer.divifa. m:pun£fts Z.:?jacque;;a;!.

pun&isZ, erigi intelligantur ZXre£tite,ifefpe£tivisdiftafitIisF,Y

jequales ; perqueomniapun£taXduci curvam/ A.XFr Exhibe7-:

bunt tum finguia; rebts Z X-fig. 9. (refpe£tivis ZXfig.,8. sq.ua-:

lesj fingularum Z partiumaqualium,inicurya.CA.fig.8'.moirien^;

ta refpe£tu A F re£tse; ttun offines ornnium. Adeoque oiriniuim

Z partium xqualium, hoc eft totius curvse G A fig. 8.momen-:

tumin fuo fitu,refpe£tu AF re£tsjeft admomentum squalisliriea

in diftantia F G maxtma fufpenfe, (hoc eft, ad momentum maxiinumtocies

maxiinumtocies uccrilineum AF C fig. 9. adfibicircumfcriprum

adfibicircumfcriprum Hoc eft,uc femiparabola (quod;

mox oftendecur ^ 6.).ad circumfcriprumparallelp.gr:ammuffl.;

five ut 2 ad 3. Et confequenter, centrum gravkatis curvae C A

fig* 8, diftabic jifA F re&a,duabus tertiis.re^se C F, five f 2>. ..... —. J.-. _ . .. . - - - ■ „

r-r-.- •:{■

Centrum:' curv<z<Q.A^. Fig.:i/87;7;

*yide:ad>yh: calcembtti$*!:

tque :&ftantta,:ah .■ ;

iisFY^Fixhibe7v ,Figr"^' l

sequa-: .

tomen-r -

[riniukc . . omeri-; NB, Inci-; slirieaa tationibus t maxi- f* nocac pa% ibi cir- ragraphos

(quod; hujus parimuffl.; cis, & $ pa-" xC A; ragraphqs ' eJ!Z>. partisprje4,

partisprje4, cedentis, ,

23< e CrCLOLD"E.

4. Et fimilicer de fegmenci cujufvis cum momenrb, rum cencro gravicatis judicaridum erit: Habenc utique momenta partium curvs C A fig. 8. refpe£tu A F re£tae, eam inter fe racionem, .quam refpeftivas parces femiparabols_A F C fig. 9. re£tis diamecro parallelis abftiflae: quamque habent ha: paraboiae partes ad refpe£tivas parces parallelogrammi ckcumfcripci, eamhabentdiftantia centrorum gravitatisearundempartium (ab A F re£ta)ad totam FC '

5. Si vero pro fingulis re£tis Z X fig. 9. hoceft radiis circulorumpunctis Z. fig. 8. circa A F rectam converfis defcriptorum, fubftkuantur ubique re£tae quae fint ad has ut circuli peripheria ad ejufdem radium : Hoc eft, fi femiparabola quae bafin jam habec A C ts * 'D & altitudinem C F ts <D, intelligatur, fupereadem bafe conftituta, altitudinem habere 4 A F S= 2 P; effet ea femiparabola aequalis fuperficiei converfione curvce C A fig. 8 circa A F rectamdefcripcae; (nempefT) P, five -'-3- circuli genicoris:) ejufqueparces refpe£fcivae rerpedivis partibus hujus aquales.

6. Quod autem FXA fig, 9. fit parabola, fic oftendkur. Re£tse

*D* ~ a*

Z X funt ubique ut -p per^.2. Hoceft, ut2)a>-«£;

adepque refidiiae Xg, hoGieft % F dlafflecri, ubique ut *-; hoc eft -; induglicataratipne ZG, hpceft X £ ordinatim applicatarum. Quod Parabolae proprium eft. /^

•...■' 7. Porro,ejufdemcurvaeCA fig«8.divifeutprius_inpun£tis <* Zyomnium puhftorum Z (feu partiumatqualium his pun£tis defignat&rum;)diftantiaea C F,funtZ Y,hoc eftZz *2■ YV.

8; Adeoque fi curvafc CA fig. 8. squaiis extendatur re<aa C A fig. 10. fimiliter divifa; atque per divifionum puncta Zducantur re5tae V Z u, ita quidem ut Z V fig. ii o^ fint refpectiyis z Z fig.8. squales, & Z v refpe£tivis z Y: exhibebunt hae reftx V Z « fingu/lae fingulorumcurvae pun£torum Z mom^nta refpe£tu re&ae C F fig. 8. ideoque omnes omnium. Hoc eft, figura F Y C v A mornentum totius A C curvae (refpe&u re£t# C F,) & illius partes, partes refpe&ivas hujus.

; 9. CumveroreftaeCZfig. 10.hoceftC Z curvae fig.8. fint

ut G z chordae in femicirculo aequaliter cref cerites, hoc eftj ut

- firius re£ti inquadrante crefcentes «qualiter, puca uc B Y in tri"'

tri"' BG c fig. 7. ( fi nempe intelligatw c B jj» jpun&is V «qua""'

«qua""' -^. . Hter

Ctntmm ,

flegmento- tl

rumcttrv&y c

CA, ,q

Sttperfieies

circa A F • deflcripta,' j

Ctntrienr-, vtdiflantia

'■' aCWV ":;''■■

■'. Eig.io, Fig,7« ;

DE} CTCLOiDE.

liter divifa:) ipfeque re£tae Z Vfig. lo.-hoceft zZfig. 8.>fiye arcus z C> hoc eft arcus chordarum in feinitirculq (velfinuuihjin qu-adranre) arkhmetice proportionalium, ut rectas V Z■■'jcrilinei - BCcfig.;7. (Namficuu s:e6taZzfig:7. hoeeftreetaZ zfig. 8. «quacur arcui Z C, .fic reffct Z V fig. 7. quse una cutn Z z com^ pler, cocam V-z !=: B b, hoc eft b C arcum quadrantalem, aeqtia- ; tur arcui ad quadrantem refiduo Zb, cujus finus re£tus eft Yb cBV fig. 7. adeoque omnes V. Z crilineum BGc.fig, 7; compidues, squalibus. diftantiis fumpc», funt ut arcus finuurri arith- . meticeproporcionalium in qiiadrante, five,chordarum.xqualker: crefcentium in femickeulo; hbc eft, ut Z. z fig. 8. -cbrrefppndentespun£tis Z squalibus inrervallis in curva G A fumptis:)Erunc oinnes V Z crilinei C Z A F fig. ro. ad F A toties pbfitam, hoc eft crilineum illud ad ckeumfcriptum.parallelogrammum; uc trilifieum BCcfig.7, adparallelogrammufflcircufflfcripcufflfibi. (Et illius partes partibus hujus refpe£tive fumptis proportionales.) '. ■ . - . — .

io. Triliniei aucetri* BC c fig. 7. (autetiamf>artis hujuscujuflibet) menfura, habetur ex cakulo $23; Eftenim Bbzz iPj &b GES R; ergo parallelogrammum BbCct: {\RP> tritineum autem B G b t= R*- (ut § 7 6 di£tum eflyj ergo trilineum • reliquum B C c es £ R P - R * e i D<P -' % <D *; (Hoc eft s A F — £ C F in C ¥.) Unde & tfilinei C F A menfUta cqliigitur; quippe ipfius occupla, (propter A F tz - Py & A C ~ "z D ~4-R, adeoque parallelbgrammum FCt^aiJP,) nempe2 R P*- 8 R* vel "D quantumaddiftantias Z z, effet ad ejufdem cur-vse momentum in diftantia F A fufpenfa:; ucG Z A F fig. 10. ad circumfcriptitm parallelogrammum; hoc eft , ut <D P, five uc <P — 2 <D ad P; hoc eft,uc A F - C F ad A F.

11. Tum vero, quancum^d diftancias z Y fig. 8. (quse fimul cum . Z z complenc integras Z Y,) hbc eft, Z v_ (bilinei A G v) fig.io. Gumreitas G Zfig. 10. hoceftcurvae G Zfig. 8. firic uc chordae Gz= a: eruntrefpeftivae' z Y:'( cZi/fig. 10.) S=

—^-^-_n___: Nam ( propter fimilia triangula)' ut CF trD,

: - /-*■'■. G ad

' ■

Fig.io.

DE CrcLQiDe.

Qni itaque eft chara£ter re£tarum Z v bilinei- A C v fig. 10. pofita rcita C z (fig. 8.) = a. adeoiiue curvfc.- C Z fig. 8. hoe eft, re£Va G Z fig. i o. = 2 a,

12. Hujus autem Bilinei, hoc eftomnium fimul Z v, menfura ficcolligicur. Omnes V: D* ►- a': funcut ordinuirn" applicua in Circuli vel Ellipfeosquadrante. Adeoque fi radio D == GF defcribatur circuli quadrans CFxfig. 11. ipfius omnes reite Z S, radio C K parallelae, funtV: ^* — ax: (ponendo C 2 = a.) Deinde, fi fuper hos circuli quadtante erig.uurquadr.-.ns Gylindri re£ti, altitudinem habens F <p = C F = D, qui obiieue fecetur plano- <p C »; & abfciffa portio fecetur plano fuper Z S rcd a. eretto: fedtio Z <t erit parallelogrammum, cujus bafis Z S E= V: I)* '.~■;.«»:'.:'• altkudo Z£ t= C z = <*; adeoque ipfuffl paiallelb 1 ojammum Z <t = 4 v': -D^:1-- <**. GurriqueihaJC omnia paralieioigramma numero infinka, portionem Cylindri cofflplentia, firic" .jefpe£tivisre£tis %v|:g. icv pfoportpfotlia(urqu*adeandem.

; Dic: C F applicata, d.ant ipfas Z 0 g—^j, /J Si fiat ubique

ubique CF fig.11.ad Czf=z£,fic zS ad zY; erunt oinnes re£ts Z Yfig. 11. aequales refpeetivis re£tis Z u fig. 10.. Neque aliter differe Bilineum ACt/ fig;lo.a BiltneoF C Y fig.ii._qua.m:qubd '(propter reftam AG duplam re£txFC)alterufic alterius duplum.

•;(Et partesiiiiius r6fpe£tivarum partiuffl hujus duplae.-,) Eft autem 6 Y Fcurya, curva; hujufmodi

fJin;fe,poft decuffacionem in itine.re, recurrentis) Pars quart-a.

13. Sed & pari ratione Bilinei FG Yfig* 11. fegmenta C■:%. Y, funt Gyiindftcae porcionis fegmentis C z <r proportionailia. Totuirique Bilineum F C Y, ad quadratum re£tae C F, eam habet rationem quam expbfita portio Cylindrica ad ejufdem re&ix CF cubufn. Adeoque ut 1 ad 3. Sunt eniffl omnia triangulas S <r Ctrianguio C F pparallela &.fimilia) portionem Gylifidricompientia , ad totidem trianguIo_ C F <p aqualia., uc /omniaquadrata S S, adoinnia quadraca CF cubumrectje CF complentia; nempe ut omnia D* — «* ad cocidem D*, hoc eft ut i r- fad i,fiveutaadg. (Vel, quod eodem refidet, ut omnes

c"^ circuii

42 ~ ' Fig.n.

- De crcLOiD?.

circuli radiorum 2 S adtotidem circuios radii CF; hoceft, uc hemifphxrium ad circumfcriptum Cylindrum ; hoc eft, ut 2 ad 3, ut prius:) Adeoque orania criangula s S <t (quadratorum dimidia) portionem complencia, hoc-eft ipfa portio cylindrica, ad eundem rects C F cubum, uc 1 ad 3. Et-cpnfequenter, Bilineum F C Y fig. 11. ad eundem C F quadrarum, ut 1 ad 3: Et Bilineum ACufig. 10. (priorisduplum) adidemquadratum, ut 2 ad 3. Hoc eft, f !>*, five f i?*.

14. Ec fimiie de parcibus fiet judicitim. Cum enim triangula S S <r fig. 11. fint ad invicem uc circuii in hemifphaerio; erk portionis fegmencum 2S<™, ad tocam portionem,ut refpe£tivum hemifphKtti fegmentum plano abfciffum, ad totum hemifphaerium; ' adeoque magnitudinis nots: Cui portionis fegmento SS«-x, fi addatur prtfma2 S «•£ zC,habetur fegmentum»S<r£zC;adeoque & ipfius ratio ad D* cubum diametri circuli genitoris.- hoc eft, ratio fegmenti C z Y, tum ad totum bilineum -F C Y, tutn ad quadratum reetas C F. (Bilinei autem iftius F C Y, lacitudo maxima, five maxima altitudo ratione bafis F C, eft R t=? £ C F, qu* quidem illic contingic , ubi fumitur C z = C F V i s= D V j; hoc eft,ubi CzadCF eft, ut finus re&us graduum 45, ad Radium: quodtamen adpraefens negocium cognicu non videtur neceffarium.) Poteft autem idem etiam fic colligi. Cumz<rparallelogramma, fint ubique re£tarum t S momentis, refpe£tu re£t« C x, proportionalia,(uc pater;) Erunc K S <T £ z C fegmenta, tunc inter fe,tum ad totam »pFC porcionem,uc momencaplanorum KSZC refpeftu re£ts xC, tum inter fe, tum ad momentum »FC quadrantis refpe£tij.ejufdem «.C, (quam $ 67 & feqq. exhibendam docuimus;) eademigkur&fatioplanorum C Y-%-. Et quidem, cumiomniuffl- re£tarum z S, illamaximumjfefpeftu C » re£tas, fortiatur mpmentum quse grad. 45 fubtendk;; ea fimiliter qus huic correfpbndec erit omnium z Ymaxima, adeoquebilinei GFY verticemdefignabit. ■■'

15. Gumigiturhabeamus(fig.io.)tumTrilineum CZ AF

«■ 2RT — 8i£* pers». 9; tum Bilineum CAu ti f R*^&ytK 13":

.Eorurnaggfegatum 2 %p>- -f RS aequatur "fa$o ex omnibus

-^attieulis curva? C Afig.8. in fuas refpe&ive diftantiasi Z Y.

■ " ' ,f ' G a ' ■ " Tofij

Fig.io.

«DfE crcLOiDE.' :: ■■

-, - -' ■ ■ ■ . ■ » ■

Tota vero curva C A s= 2 JD .s= 4 £, in re£tam AF c=f T du£ta, eft 2, ^*P, 'Momentum igkur curvae C.Afig. 8. in iuo fitii, ad mofnentum ejufdem ex punito A fufpenfae (refpe£tu C F re£tse) eft ut 2 ikXjP^.^R* ad 2 R P, vefut fP- * R adf P; hoc eft, ut A F ^ f C ,P, ad A F. Adeoque centrum gravkatis curva; - C A fig. 8. a refta C F. diftat, eaparre re£ta F A qua: fit ad totamtit FA—f FG-adJF A. Hoc eft, (duCta A* redsFG paralleta,) \ab A <* diftat, f F C ir: f D: Tantundem, fciltcet quantum fupra invenimijs (^^.^abAF diiiare. Adeoque fumptis tuffl A <P, tum A f, t=: f C F, duStifque ^ A , r y, (rectis AF,FC, parallelis,-) fe decuffantibus in|D, erit D cehtrum grayitatis curval C A F fig. 8. v

16. Sinporro, ptp,re£tis omnibus ZY & Zv fig. 10. fubftituantur aliae qusad has fint ut perciphetia circuli ad eju.fdem.radium; adeoque pro 2 R — ff-RP; habetur fuperficies quae ex converfione curvae CAfig. 8. circa G F defcribkur. ^quatitaqueduoquadratabafis.integrae cycloidis (hoc eft, peripherise circuli genitoris) minusa/ geni- . toris drculi.-Adeoque(cum, per ■«* 5, fuperficies ejufdem convferfione circa A F defcripta fit J_f genkoris circuli) fupefficies _ duas abeadem curva C Afig. 8. deferiptae, (altera circa A F, altera tirca C V}) fimul fumpta;, sequant prascife duo.quadrata bafisintegraecycloidisfiveperipheriasgenitoris tirculi. Puta, fi, ucin fig. 12. incra femiffem quadrati cujus latus intelligatur ,p?P, defcribatur femiparabola aequealta, hafinhabens 2 <D; dkimetur feini quadratum illud in duas partes, quarum altera • uni, altera feliquae, fuperficierum illafum curVarum a:quatur. Sin converti intelligatur, iilic tota A C D, femicycloidis A C dttpla; hic vero ejufdem item dupla, riempe AC infra bafin concinuata donee produ£te C F occurrat; pfo femiparabola & femiquadracojincegraprodibunc parabola & quadratum.

17. Completo autem parallelografflmo F afig. 8. Qua: CA <* curva-j circa A * conversa, defcribkur fuperficies, eft aequalis ei quffi ah eadem circa A F conversa defcribitur; (propter A J* =3 Ax:) Quas autem ab.eadem circa C * converfa defcribkur,.eft dimidia illius quae defcribitur converftone cirea A F; (proptec V r duplam re£t« D y.) Et univerfaliter fupeF^cies qus a curva

\ " CA

Sttperfieies

converflone

cina C F

'. defcripta.

Fig. ift.

<D ecrtLoi<DE.

C A cifca-quamvis re£tam fquae ipfam non.fecef) cbnyerfa defcribkur', eam.rationemhabec ad harurn quamlibec, > vel quamyis aliam fic defcriptam, quam inter fe habent diftantiae piin£ti D ,ab illis re£tis. Etquidem (nam & hoc adjungere non etit forfan incommodum) fi circa reitam quse ipfam fecer. convertatur eadem C A curva; Differentia fuperfitierum, quam ea pars curvae quas exuno re£tasfecantis latere fitae-ft defcribk, & quam (vel quas, fibinis pun£tis fecetj) defcribk illius curvae refiduum;ex aitero fecantis laterepofitum, eam habet rationem ad fuperfi.- ciem circa fuperius menwatarum reitarum quamvis defcriptam, (puta quae circa AF',) quam habec diftantia iftius. re£tse ad diftantiam hujus a centro gravitatis D. Quodque de fuperficiebus tota cufva defcriptis dictum eft, fuperficiebus ipfius partequa-r visdefcriptis fimilker accommodabkur, invento ptius(per jam tradka) iftius parcis cehtro gravkatis.

. iS. Abfoluto jamopere degravkatis cehtro,'tum curvae femtcycloidis G A fig. 8. tum partiutri ejus, inquirendo; deque fuperfieiebtts iftius converfione, tum circa. A E, tumcirca B F, defcriptis : De fuperficierttm harum centris gravitatis inquiren-^ ■ dum. Ineipiemus autem ab ea fuperficie quae converfione circa re£tam AF defcribkur. Peripherias autem hanc complentes, adeoque & femiperipherias cofflplentes iltius femiffem, afingulis curvae.pun£tis defcriptas, proportionales effe dixlmus^ 3.) femipararabola: j:e£tis ZXfig. ^.diametroparallelis. Earundem autem fetnipheriarum Momenca refpectu re£t# AF, cutriex ratione tutn magnkudinum tum diftantiafum centrprum gravitatis dependeant, funtque har ipfse centrorura diftantiaealo AF re£ta ipfarum peripheriarum radiis,..adeQque & magnkudinibus, proportionales; erUnt ea momenta in radiorum ratione duplicata; hoc eft, in duplicata rarione re£tarum Z X fig. 9. .feraiparabola; diametroparallelarum; hqe eft,_ in rayone circulorum radiis illis defcriptorum. Adeoque ea omnia monienta, ad totidem maximo aequalia; hoc eft, momefitum fuperficiei qus hac curvae C A cofi* verfione defcribitur, in fuo fitu, ad momencum fuperficiei Cylindricae ex sequalisre£tae in dift&ntia FC converfione, eftutfolidum ex converfione femiparabolae.tirca bafin fuaifi , ad cylindrum ex converfione circumfcripti parallelogrammi circa eandem bafin, defcripxum; Hoc eft, ut 8 ad 15 (per prop. iig. Aritbm. "/*■' P 3 Infin..):

„ Stiperficiei, , femiconver-f _ jtone ctrca x A FflaBsr

centrttn* _. quantum ab \ A F diftat,<

i Fig.9.;;

<D e -C rC L0 IDE.

tfifihO fuperfitierumautemmagfikudoad magnitudinemeftut " xvadis; (j?ef %3-) ■'%'%<*>pfopcer:f) h'(1-,, centroruffl gravltatisdift.incia addiftantiamut 4;ad 5. Dlltentiaigkur eentrigravicacis, demptacurvaturafemidrculari, effet f Jfld— f D. Sed, propcer iiiam curvaturam, fuifiendum adhuc /ut femiperipheria

ai. diametrum, five ut- f P ad D, • fic fD ad quartam , ~~y

quaeitaque eft diftantia centrtgravkatis fuperfitiei ex feffliconverfione-eurva? C A circaA F, ab A F; nempe ea pars rectae F C fig.8. quareft ad tot?m, ;ic 8 F C adf^F A. fEtquidefflfiraili proceffu facileefleG idem itidieare in aliis integrae converfionis datis partibus; puta non mbdo in "femi converfione, five f converfipnisiritegrse,ifed;etiaminf,i, j, &c.velf, f,•£; &c.integrae - eonverfionis-.Nempefumptaretts fFC.eapartequsfit adipfam |FC, ut chorda ad arcum converfionis.) \ "

19. -llcaiicem ejufdem cencri diftantia are£ta FC,{fig.8.) habeatur; componendae funt rationes rectarum ZXfig. 9. atque ' Vvfig.io. (quarum quidem illsnotant diftanciar pun&orum Z'fig, 8. a. re&a. F A, hae vero eorundem ab F C diftantias.^ Hoceft, propter V uis? Z V.t Z v,_ componendae fuiu rationes; illae ZX, tumcumZ V, cumetiam cum Zv; quaeque emergunc binae raciones compofitae, funt conjungendae;earumque aggregara, funt rationes momentorum peripheriarum , vel femipenpheriarum, pun£tis Zfig.8. ctrca F A defcriptarum, refpe£tu re6tee

FC. -"■. "^ ■;■ -

, Dz- >-* a?

ao. Rationes autem re£larum Z X, hoc eft -~—^.cum ra.

ra. „ ., r. a>J-T)*~-a*\ - . (t,.D^^.a*

tionibus Zv> hoc eft compofitse, funt ut —=rj—-

x V: D* •— **.: frtempe, utre£tangula ex du£tu re£tae Z Xifig.-jsj. in Z v fig, 10.) Quaj Qfflttiaad P* toties fumptum, hoc eft (propter AC !=: a'iD) ad 2D': func uc 1 ad j; (quod feorfum prob.ibitury<* 5 2 & feqq.) Adeoque folidutn ex Bilineo ACo fig. 1 o. in alckudines refpeitivas Z X fig. 9. eft f D*:.

21. R^tionesverore£tar,um; ZXfig. o.cumrationibus ZV fig.io.compofitaeifunt ratibhesre£tangulof,umre£tis ZVZX' ■;,'•'-" •'"- -' . D* w a*

• contehtorum; hoc eft reiaarum Z V in—-^- refpeaive

\ dudarum

: Fig,8.

Quantum

tdiftataCP,

;-Fig,9.ie...

. DE CrCLOjPE.

....... ' .: • ■ a.* '" ■' -.-'..: *. .

-,du£larum;,fiVein,0'H-^J». i: i.; ".;' ';'

„ 22. Omnes. autem Z VlnJVhoceft,ttilifieum C:Z AF in _ D; hoceft fper ■** 10) Z>p__ <s &»in2>; eft, iD*P^ 2 Ds.

.Unde fi.auferamus omnes Z V in A-, hpc eftif D* P',- f D* (ut

ideinreps^oftendetur;^;^ &feqq.) mai-euc f P*P t, n££>*; quod itaque eft foiidum ex Trilineo CZAF fig. 10. m alcicudines refpe£tivas "L X fig. 9. ciu£tp.. - •. . . ; v

23. Huic igitur foltdo , II addacur folidum exiBiliheo C.Aiv

in eafdiem refpeitivas altitudinesdu£:o'j nempe f D' (per-^

20;) aggregacum f G* ?*- S&.v 3 t f p* P f P* Pw|t^,iefi

, folidum ex Trilifieo C v A F. fig. 10. in al titudihes Z.X _fig. 9.

refpe£tive du£to; fiveexomnibus.Vu fig. 10. in/efpeftivais.ZiX

fig.,9. fiveex.omnibus Z Y in ZX fig. 8-.refpe£tiVe. i

; 24. Quun autem rationem habet hoc folidum (ex oirinibus

Z X fig. 9. in V v fig. 1 o. refpe£tive,) ad folidtim ex femiparaboU

F A C (hoc eft, omnibus,-Z.X) fig. .9 in AF fig. 8.. libique

duaa, hoceft,ad"%D*P: (riampropter A C t= 2D,;&GF E=:0J

adeoque re£tanguium . A C F c= 2 D *," erk ea ; femiparabola

■ * D*, quippe f re£tanguli; quse femiparabola, du£ta in F A ;E=f-P,

datf .'£>.* P ffiagnitudinem folidi, five prifmatis parabotiei:) Eam

habet momentum fuperficiei, in fub fitu, quae fit ea.femiconverfione

ea.femiconverfione C Z A fig.;8. circa A F, refpeetu re£tse G F, (hoc

eft, factum ea femiperipheriis, ipfis ZX propoitionalibus, iin

diftantiasV u, hoc eftZ, Y, refpedive,) ad momentumejufdem

fuperficiei ex punito A" fufpenfse, (hoc eft, ad factum ex iifdem

femiperipheriisin diftantiam A.F ubiqiie.) Et confequencer,eiadem

confequencer,eiadem fatio diftantia; centri gravitatis- ejufdem fuperfteiei a

rectaFG, addiftantiain F A.Nefflpeut P n-ff D adP, .•';"/; i

25. Qjiodautemomnes Z.V in g"» fit f D*; F'i;* p»,; fic.

pedetentim oftendetur. ■ Omnes Z V fig. 10. i.n 4'■<»*, hoc "eft (propter C A = a D) in refpe£tiva quadracadiftaiukrum C Z; ad eafdem omnes in quadratum C A; funt.ut toomentufn ;(..reTpe£tu re£tae c C) portionis prifmatis: in fuofitu, obliqhe plano fe£ti, fuper trilineo C ZAF ere£ts;,,.aitkudinem, habentis.in punfto C nuii^inVatfuper A.F re£ta Equalem re£lx C A; ad /' momen■

momen■ ..

Fig.io.

/ ■ j>e crcLoiDE.

, moihentum (refpe£ta ejufdem c C) incegri prifmatis fuper ea.

ea. ba.fe, aickudinerri habencis re£fcae A C sequalem, ex pun£tb

A fufpenfi. (Omnes enirri. Z V* du£tae cum irt C Z = 2 a propter

diftantiam j tum iterum in eandem CZsa a pfopter altkudinemdiftantisesequalem,

altkudinemdiftantisesequalem, eft acque in 4«-*: &fimiiiter,

&fimiiiter, du£tae tum in altitudinem maximam, tum icerumin

icerumin diftantiam, tantundem eft atque in quadratum

ACvduSi) Hoceft, (propter binaruffl figurarum parallelas

rectaSproportionales,) ut momentum ejufmodi portionts prifmatisfupercrilineo

prifmatisfupercrilineo fig.7, -infuofitu, admomentumfimilis

prifmatis integri ex pun£to C fufpenfi, refpedtu re£tas B b. Quam

rationem fie inveftigamus: . .

26, Diftantia Centri gravkatis Triliniti BbC fig. 7. & confeqUenter

confeqUenter B, c C, arecta Bb, fic colligitur. Quadrantis

V - % iB*

G b C fig. 1. vel 8, centrum gravitatis a recta G b diftac —p-,

(quantum fcilicet a centro circuli diftat centrum gravitatis femi'■■'■■-■.

femi'■■'■■-■. 23* ■'

circuli;) a recta igkur A F diftat, — p- f £ D; quae diftancia in

■ •''■'.. •.■'.■ .3 ■*• ■ ..'_•■,

ejufdem. quadrancis magnitudinem r^D P ducta,dac & D* 4 ^ Da P, momentumquadrantis Gb C refpeccu rectae A F; cuifi addacur raomentum trianguli G b F, (factuin, ubique ex magnitudine in diftantiam centrt gravkatis ) a\ DJ r: f R* x f R; ha. beturrAD 3 t^D^P momentum fectoris F bG refpectuAF lects. :" ■■.!.■■■

v' i-j. Ett;aut«mmomentumquadrilineiB$ F C fig. 1. admomencum dicti fectoris F b G (refpectu ejufdem A F rectae) ut ^ ad 2 fper § 26;)\ Adeoque' momentum quinquilinei B/3 F b C fig. 1. hoc eft quadrilinei B /3 F Cfig. 7. ad idem fectoris momentum, ut 3 ada; adeoquef D3 + ^D* P. .

28. Unde fi auferatur momentum parallelogrammi BF,- nempe | D P x % D s= /a D* T, manebk \Vl + b% D* T momentum trilmei B b G (fig. 1. vel 7.) refpeccu recr? A F.

29. Hoc autem momentum, per trilinei hujus magnkudinem "<Rxt=i i D* divifum, dat f T> t r<> P diftantiam centri gcavitacis di£titrilinei Bb C ab AF.recta; Adeoque •&-P ejufdemdiftantiam

ejufdemdiftantiam Bb: Et confequenter % *D * x ,| p _= fc C* p momentum ^dicdttiUfieiBbCrefpecturectjeB.b, ■.',..... 30,

%.7«

De crcLQiDe. .-

"3.0/ Qjiod qtiidetri,momehtum,6i4l D*P/fi exPafaltetogrammi B G momento £Z>P x t^> ~ A B*P auferatur;fnanebit ^ W mofflenrumtrilinei B eG refpeccu ejufdem Bb. (Idemucique acque mbmetttum trilinei B;bC refpectu ejufdem B b.)

31.; QuoddeniquetfHineiBi.cC momentum, perejufdertt

magfikudinem f D P<—% D* divlfiuri Vdat V^^-^T?» ^V'

ftanciam cencri gravkatis dicci B c C crilinei a reda B b. Qtias - icaque eft ea pars rectae b C != f 7>, qus eft ad totam f E, ut 2 P ad8P- iV©, five f Tad 2PV-i^IX; hoceftjUt AF ad _ 4 A F H- 4 F C. Quodi^^d propbfulmus inqulrenduiri,: -

- 32. Habita vero diftantia ceHcrI.gfavkatis; crilinei BcG;a B b; adeoque porcionis altkiid ine ftiper Idem gravkacis eencrum,. (quippe diftantiae quseifti ajqualis eft, propter altitudinc maxiina • squaleitt maximae diftantiae, adeoque & reliquasreliquis, utpoce ,

D <p ' ' ■""''''

proportionales;) nempe _ ■"". ^; Si h«c altkudo- in bafis

magnitudinem, fD F^i D* dttcatur; habecur •_& 'D* P di£tse portionisprifmatis (triiineoB c C infiftentis^ magnicudoifcqualis quidem momento fupra invento.)

3 3. Ejufdem veroportionis prifiriatis (trilineo B c C infiftenr tisj Momentumi his paifibus inveftigamus.Si fuper femitirculum F b G fig. 1. erigatur femicylindri portio, qualis FcCVz fig. 5. altkudinemhabensinF nullair,. itiGvero CcEsGF: Semicirculus bafis eft f D <P; hic in alritudinem fuper centro gravitatis plani, hpc eft in f D, du£tus, dac r6 D* P .magnkudinemexpofitse portionis Semicylindri.

34. Hujus vero porWiis Semicylindri, centrum gravitatls diftacaplanoin F cangehre, re£ta F g = f D (ucfupra § 57;) quae diftantia inmagnkudinem ix6b*<P du£ta , dac j|yP*-P motnentum expofitae portionis Semicylindri refpe£tu tangentis ~ in F, hoc eft F A fig. i._ _ ....

35. I"x hac vero SemicyUndriportioiie,auferamus prifflb eam iftius partem quse quadranti F Yz fig. 5. infiftk, (hoc eft, quadranti FG bfig. 1. vel 7.) ctijus magnkudinem priifib, deinde momentuffljftcinveftigamus. . ;. i

36. Quadrancis F Yz'fig. 5. cencrum.gravicatis,a re£ta Yz,

-. H . diftac

V v

■ >'•'■

%S-

5P DE: CrCLoiDe.

irD* ■...-■ ".'•':-.'"aD'*' - -

.diftac _---—. '.^deoque at> F A diftabit i;J5 ^ ^p-jqute diftaiitia

diftaiitia fic alckudirii fuper iderrt gravkatis - centrum aequalfs) du6ta'inbafis triagnkudinerny & DP,dac pOrtionis huic. qua.;

qua.; magnkudinem^DV—^tRVvel -^i—^1—

kDap\;;r-:X]iy:.;\''."';".;.;_'; '"■■. ;': .: ' v ■" _ ..■'.;'; f:: 37;:§iautefflintelligatiir hascvportio (qiiadranri; F Y z fig. 5 • ififiiiens) plano Y z £ v abfcindi, _& fie fuper reliquaffl partem repUcarijUt cumea CotnpleacCyiihdrum quadrantalem: Fa£tahaec ■rep.lieati6rie.:,i.taritq';ultra.;Y' .conftituetur iftiusfepiicats partis centrum grivkack^quanto"prlus ckraconftkiitumerat: uf pa"

pa" PT*'7:::\--,\ .:."::..'.;". "'.■'■::.;.; --: . .

' -38. Mbmentum vefb hujus Gylindti.quadrant.alts, fichabetur;:Centrum gravkatis quadrantisi YzCfig.5. diftatab AF,

•%:rD*' ":" ■ ' v ..:■■• ; ..-• •"■■.-

zpp- 'f-jD, fqubd modo''bftenfumeft <« 26;) quaeitaque eft

diftantiaeentri gravitatis, quadrantalis Cyiihdri (fuper YzC eonftkuti) a ptano y F ■ A: Qyx quidem diftantia iri quadrantalis cylindri magnitudinem 4 D* P dufta, dat.& D*.+ .& D\ P.ejufdem momentum refpe£tu re&a; F A.

.39. ^inc ve'ro fi auferafflus moinentuffl' portionis ante fepli... . '-'' :catione'm' fa£taffl ,::, f, V1 P (ut fupra *=-, 34.) manebit 4 D*

•»-< iti D} P, five * T* 3 D* ^augmentum momenti ob promotum

promotum centrum partis replicatae.Quod quide mbmen3

mbmen3 ■ ... • • j- -

ti augfflentum, per ——^ — D*rephcacaepartismagiutudine,

divifum, dac X2 p ^ *6D D,menfuram promotioms centn.gravkacisV

centn.gravkacisV itaquefemims jfj^frfp D eft celUri gra' "VkaciS parcis replicacaj diftancia a medlb: Qua». quidem fi ex fD auferacur, quod reftat •> „—^-^Dvel "-TT5-—rT~

_*;•.. ' ^ 24F^32D 3P—4D

x ■&. eft ejufdem centri diftantia a plan<s> > F A, Atque haec de"""

de""" mum

. De crcLOiDs, "" ,tT

■ , . 5 f

mum diftahtia, in -—~^— D* magnitudinem du&ay^&jj

I "i P ►— 32 D '

~^~^~(/£-r~^Pl->five['*ffeD'P■ — t±D4,expoficKporcionisquadranti

t±D4,expoficKporcionisquadranti Y T infiftentis momentum, refpe£tu re£tae FiA. Qupd v?. 3 5 proponitutinquirenduffl.' rt..

. 46. Hocigknrinomentum^ex;,^ "

tionis {em.kylindri,;ablatum, refinquk; tf 6 P*, P t^ D*,; por-.. tionis refiduae z Yi'v,cC,qaadranc.i-z Y C infiftentis, momentum.;.

momentum.;. ■;,.. .:\\ \::';':,"r\ ■■.. - :.'-': '■'"■' '■-■'■

.41. Deifide , pofthoc .atblathfia , reftituendum eft quahtum triafiguloquadranti-F Yz infcifipto (hbe eft, .triangujo.F G b figv I.) infiftit: Nempe Pyramis, bafin habens Yi/(^f |I)*, altkudinem FY —f D, quaeiin bafimdu£ta dat f D*,. cujus triens ^, D3 eft pyramidis rfiagnkudo; atquehaeciri f/D,.di- - ftanciamfui.cefitri gravkatisaplano p F A,dii£ta, dat ^ -D* py- , ramidis momentum refpe£tu F Are£t^:;C^d:quidemmoinenF tum, momento reliquae partis ^ Ds T t f± P* addifum, dafe Af6; D} P t.^_DA' momencumlftiusomhis quod:fe£toriF:b: C fig. 1.Tnfiftit, refpe£tu re£tse A F.

42. Cognico aUtem momento Portionis fic fecti prifmatis Se&oii C F b infiftentis ; cogtfofckur etiam, mbmentumpbrtionis prifmatis Qtiadrilineo C F/3 B.fig. 1. ihfifteritis,'eodem pIanofe£ti, (refpectu ejusdem'AFredae:)'Eft utique ad illud, . uc 7 ad 3 (per $ 45:) Adeoque illius quod Quinquilineo CbFgD fig. 1. hoc eft Quadrilineo C F /3 B fig. 7. (utpote quod ad idetn momentum eft 4 ad 3;) nempe.', fz P' Pf _£& D*.

43. Undefiauferaturmomentum iftittsquoa Parallelogrammo F B fig. 7. infiftit, (hoc.eft , prifmatis bafem habentk triangularem, femiflem utique quadrati F b, adeoque -f D-*, altitudinem vero B b == % <P, cujus itaqtie magnkudo eft 3i CD* <Py qua: in f V b == f D diftuuiam centri gravkatis a pLind re£ta? F A-inlifteiue du£ta, dat r6 'D}Pprifmatis mqmetuum refpe£tu F A .rect«;)manebk jf-4,D*'P"t 4^D*mopaentitm iftius omnis quod trilineo G B-b infiftk, f efpe£iure£tae AF.

44. Quod aucetn Trilineo'huic jam Infiftit, (altitudinem jain fisftum in p'4n£to b asqtialem ipfi F b s= f <D, & deinceps eontinue crefcentetn,) conftat ex prifmate fupefilla bafe, altitudinis

■ H 2 i.D,

sax " - DE frCLOfDe.

*> D, & sequalis trifuperprifmatis portione oblique fe£ti. (Eodem .plane fflodo quo fuper YzC quadrante fig. 5. infiftic tum szYi/xC Cylindrus quadrantalis^tum ejufiriodi Gylindri Pbrcio

obliquasfe£ti ^VCK.) " ''■'.' r. ~

45:■ Huius veio Prifmatis fflofflentum refpe£tu re£te AF, eft

,xfc'2>* + ,f,2)'-''T. (Momentum enim trilinei JibC repertuffleft-^i28

repertuffleft-^i28 ff.D*t;x* *?* A quod InPrifrnacis altkudir

■ nem f, & duftum, dat tnomentum prifmatis di£tum.j Q^odquidemex

Q^odquidemex D* Pt #+ D* (^,43) ftibdu£tum, reliriquk A, P>yP

.."+.,■» D* mornentumportionis priffflatis oblique fecti trilineo

B b C Infifteritis, refpectu AF rectae. (Adeoque centri gravitatisab.AF

gravitatisab.AF + —-yj & momentiim rcfpectu

Bb/dD*.)

46. Acverointegri parallelcpipedi a;que alti parallelogramnio

parallelogramnio 7. infilteiuis, eodemplanofecti,portio, nempe/_.

D* P, in fui centrigravkatis a plario re£tje FA inliftente diftantiam,

diftantiam, b + f b C ts f Dt f D■ == £ P, du&a, dat ,f „

P} P momencumiftius prifmacis, fiveportionis parallelepipedi,

refpe£tu iftius AF. Unde fiauferamus .fs-D' Pi 7-t D* mo-'

lnencuin porcionis trilineo B,b C infiftencis, ^ pratced. inventUm

inventUm 3f*D 3 P*-£i"D* momencum porcionis crilineo

BcC infiftentis refpe£tu re£ts A F.

- - 47' Q"od quidein momencum, per foiidi magnitudinem ftx+

8 D* D*P(^ 3 z invencam) divifum, dat i Di——^ cencri gravitatisab

gravitatisab diftantiam; adeoque f D >- 2-i±- ejufdem diftantiam

diftantiam quatin magnitudinera ^'^ du£ta, dac /«, •P* P — x» £>* expoficae porcionis momencum crilineo B c C inliftentis, refpectu Bb re£tae. (Veletiam, ex prifmatis parallelogrammo B C infiftentis momento refpe£tu B b, nempe ,~ £>*Pxf DE= ±. P» i>, fubdu£to ,xa D* moinenco portionis

infiftentis triiineo B b C, reftat ?\D 3 P_ ^D* momentum portionis BcC trilineo infiflenris refpe£tu Bb, ut prius.) Qitod «»3 3 proponitur inveftigandum.

48'

DE CrCLOlDE.

48;. Integri vero Ptifmatis, eidem B c-C trllineo infiftentis, ex punifto-C fufpenfi, mpmentum refpeau ejufdem B reaaei, fic kabetur. Prifinaris hujus bafis eft ipfum trilineum B c Cz-XDP — f D* (per '•*"' i.o);quae in altitudirtem f D du£taydac hD*P *-* fD 3 prifmatis nijgnitudinem^qua: in diftantiam b CrrfP du£ta,, dat 4 DIP — 4^* prifrfiatis exipun£to G fufpenfi momenttim refpeitu re£t$ bb, '■''. -,. ■:.., :

49. Ratib igitur fnomeiui: Portionis pfifmatis ktjuo fitu., ad fflomenrum prifrnaris integri ex; pun£to C fufpenfi, fefpe£tuejufdemBbre&ie,eftfper ^,47,48,) ut,iD'P^^P*ad ?fD'P —xi»* ; hoceft,ut 3 P—4D ad 9 P—18 D. Q^a? ratio ••*> 2 5 ■ propoiiitur inveftigandii. i

_ .5.0. Hancautem rationem.fic inventam,:eandemefie atquefationem omnium Z.V fig.icin 4^ * refpe£tivedu£torum, ad eafdemomnesZ.V in quidratum rectsGA ; jam fupra oftenfUtn eft s^ 25. At omnes Z. V, hoc eft trilineum C Z A F, hoc eft D P £*P'. ( per ^ 10) in CA==2;D du£te, dant 2 D*P~ 4Z>* prifmatis magnkudinem ; quae kerum in 2D diftantiaffldu£ta , dat 4 DlP—> 8 D4 moifientum. di£ti prifmatis incegri crilineo C Z A F fig. 10. infiftentis, ex puncto A fufpenfi,refpe£tu re£tae Cc. '.."..--■

51. Adeoque ( propter rationem 3 P— 4<Z) ad 9 F— 18-D"■> *»

49 inventam ) erit 3 ^ i8Din 4-D' ^-8.D* , hoc eft

I? v-'1- jD* momefitumexpofitaepbrtionis prifmatis trilineo

C Z A F infiftentis, in fuo fitu , refp6£tu C c reftae; hoc eft, faau ex omnibus Z V in 4 ** refpeaive: Ec confequenter (dividendoper4

(dividendoper4 *~J*- ^*,hocefti<Z>*P~£Dyaau ex eifdem omnibus Z Vin aD refpeaive duais. Qjiod •<* 22,

■* ■

2,5. fufcepimus oftendendum.

52. Quod autem omfies -^f*- ^: D*-»*•' fintad2)*

toties fumptum, uc 1 ad 5, (quod ^20 probandum fufccpimus,) fic oftendituri ex prmcipiis noftr» AritbmeHcA hftmwm. ln/

ln/

\ - '

/ ■ '-

*£>e CTCLO-IDE.

fifiita feriesPrimariorum, fiye Arithirietice proportionalium, ut

a,( vel eadem feries in I du£ta,)eft ;ad convenienferniferiem Mqualium,

Mqualium, I ad 2. Eadem PrtinanorUm feries iniferiem Refiduorum

Refiduorum <** .(hpe.eftiri ferietn ^qualium muiaacam feriefeCHndanoriiffl,

feriefeCHndanoriiffl, nempeaD^^a 1, eft adferiemjEquaiium, ut

f *-£ad i, five.uciad^.; Eadetn. feries; Primanorutri in Refiduorum

Refiduorum eft, iri D*v.-j a*-D*<~a&, nempe» D*_.

■ia:* I)a+^radferidrijEqualium,, eftutf—|tf ad i"_,- five

ut i ad 6. Eadem primaiiorum feries in Gubos Kefiduorum hoc

eft, ihD6i-i 34*iDA43«*J3a pV , nempe aVb _3^ D^-/^D*

^«»,,ad fefiem /&qualium.,'.etVutf;^4 + |_,f ad i 3 fi've:ut i

ad 8. Ec fic deinceps, ( ut figillatim probabimr ex prop. 6A.

Afithtn;- Ihfin.) Nempe feries-Ptimanorv.m , refpedive duaiaitt

duaiaitt : ...,

ferie, o.Unk."Refid:.Qi^Itefid.Cub.-Refid.Biquad.RefiduOru,&c. dat ra-x A .,. v A » -^;..___. ^,^ x A A :&- ^... ^

tiones ■"•' *•' .*"'** <■'* •* + *. AT*T«"~5- *•—':*+ 6'*-&'+.j.a» &c»-

Hoceftf- f • ,i :••. i. i." ;•■ f ... .. ,,x9 • :.'■''■.■"'&.c. " 53. Sin hi loci pro paribus habeantur, & fiat congrua ifitefr polatio pro lods imparibus, (juxta progreffionis attalogiam, ) prodibk ea qus fequkur racionum feries.: Nempe feries Primariorum a refpeaive du£ta in

Recipr:Unica-VReft-Refi- VqCub.Quadr:V:Surfol.: Cub: "' ' ' VRefid- cum. duorfi.duoru. Refid. Kefid. Refid. Eeftd. -

• .1 »**»'* ^ ■' 6 • ■ 7 • ■ ■§■ «<■•■.

54. Adeoque feries ^V^*—<<3* (nempe feries Primanorum

in Radices Qaadratioas Refiduorum,)erk ad feriem iEqualium,

hoc eft, ad totidem p*, ut 1 ad 3; (quod etiam fupeiius demonftravimus

demonftravimus '•«*• 12,' 13.)Et feriesa<D? *-a? in V:.D* .—<**-: fivc

a V?© 6 —3 a^D^i^ <s*2)*-—« 6: (nempe feries Primanoriun in

feriem Radicum Qiiadraticarum Cuboruin ex RefidiusT»* — a*fl\

sd feriem vEqualitim , ,hpc:eft, adtotidem jD^.eft ut i-ad 5.. Ap<D*

Ap<D* a'

deoque & feries^-j^— »J-'D*\~a * : ad toj.idem 2)*, erit i-.

cem uc 1 ad.5. Quod demonfthndum fufcepimus «*. 20, A'deoque abfolvimus omnidqusad centrumgravi{.atisfuperfitiei

feriem o,

dacra,- ciones v

DE CTCLOIDE.

;ex femicqriverfibne curyaeiA C;(ifig.i.vel 8) ckca AF jidefigriari* •'dum fequlrurituri ; ;■ -;' v ■[■'"■-'-■- '-:■■■■-;:; • ■'■;■<)'!ir:r; ::; ;u .■■ r: ^ •:- 55. Supereft,ut ceritrumgfavkatisfuperficiei,'qnae-femicdri-j verfione ejufdem C A curvae eirea' C F cortverfae defcribitur, 1 'inveftigemus. Qupd>quidem jaffl.partimperaauffl eft.-Quum < ;enim(prpptef binarum..,quaiut'ta.t;u'mreeiprocationes5 .ut,a.l,tqii.o- < ties dtttumefi , ) iderrifit, refpeau redcx"AF, mpmentutrifu- j perficiei quae converfiorieG A :curvse tirca. G F defcf ibitur ; atque, refpe£tu rea« C F, momentum fuperficiei qv.x ejufdem circa A F cbnverfione defcribkur: Sitque hoe fiiperiusihventurn •^2:3..:,....Eriam,illud:fimiikerinventufflerk. _• ,..;;-,, ■-.. "56. Invenimus urique ( v^ 2.3 ) ftaa ex omnibiis"2. X iriZY •fig. 8.refpeaive-dua.Is ( curvaG Ainpun£tis'Z arqil^ikef divir fa, ) effefDEP-|f D'. Adeoque ( pro Radiis reftkuendo ubiique Peiipherias, hoc eft, dividendo per f D & multiplicarido per P,) erit f DPa:_ i|f DZP momentuffl circulorum p"ffl.nium' pun£tis Z defcriptoriim,five radiisZXin diftantiis ZY:fii:fpenfo.rum,'fiye radiis Z Y in diftantiis Z X fufpenforum ; hoc eft , fuperficiei converfione C A curvae circa A F defcriptae, refpeau rectx C F; vei, converfione circa CF, refpeau redtx A F.

57. Hoc itaque fuperfieiei momentum converfione circaCF defcripts, fi per ejufdem magiritudinem ? hoc eft , per. 2 P*.-

•J-/ RP (ut fupra ^16,) yel 2 P* ,_.f DP, dividatur ; habebkur

—■^— V^-rfD diftantia centri gravitatis fuperficiei cenver45 P _6oD .

fione ( vel femiconverfione^) curv^ G A circa C P defcripts, ab

AFre£ta. i , ..;■ .;.'.'

58. Q;iantumautemidemgrayitatis centrum ( fuperficiei ex , femiconverfione G A curva: circa F C defcriptae) ab F C diftat;, fic inquirifflus. Semiperipheriarum punais Z fig. 8. circa FG defcriptarum, tum magnitudines, tum & earundem centrorum gravkatis ab F C diftantiae, ftuu re£tis Z Y prOpbrtioriales. Ergo fingularumfflomentarefpe£tu ejufdem iF C,funtut quadrata reaarum Z Y fig. 8. hoc eft ("per *o. 8) reaarum V'v fig. 10. Adeoque omriium momenta func ad fflomenta totidem radio F A defcriptarum; Hoc.eft, niomentum fupetficieiquae femicohverfiphe curyaejC Afi.g.,8... cir.ca-]?.C detctibitur _, ad momentum

"Ji.;i' - ■•...".<..-!..<..,■•;-< , - fnpefficiet

•• Snperflciei > '•' flemiconver"

■ flone circa CFfaaa\

1 centrum;

■ cjuantum di■

di■ ah AJ 7.

Fig, 8. t

r •

Quantunt ' diflat k CF\

-1

l Fig.8,10.

<DB CrCLOIDE. \

fuperficiei femicylindricaereaaCA jequali deferiptsc, diftantiam a converfionis axe habentis ipfi FA arqualem • uc omniia quadraca Yu fig. ip. adtotidemquadrata A F; hoc eft, ucoinnia VZq + 2VZxZt/4.Z«/qyadtotidemAFq; i / ;

5g.Qu.am autem habeiu racioriem oinnia^Zuq; ad omnia AFq,fic

«V:Di>—<i* .cpliigitur.Eft reaa Z v~ —-^ ——•-^ per ^ 1r,) ergo Zuqd:

^y^fltL .Sedornnia^^ad totidem £*, funtut 1 ad 3 ;&

omnia a* ad totideffl D*,ut I ad 5: Ergo omtiia «*'fi* _-,* 4 ad totidem-D+,utf

totidem-D+,utf f ad 1,fiveut 2 ad 15. Adeoq; offlnk." ~~a

ad totide 23* , hoc eft ( propter CAs 2<DJad 22>5,uc 2 ad 15. Ideoque.&D* aggregacum omnium Zyq.

6o.Deinde omnia VZq ad cotidem AFq,funt ut omnes circuli radiorum Zy ad tbtidem circulos radiorum A F.- hoc eft, ut foiidum converfione criiinei CZAF circa CA defcriptum, adfoiidum defcriptum fimili converfione circumfcripti Parallelograrnjni; hoc eft, ut lnomentum ejufdem Ttilinei ad momenti ci-rcumfcripti Pairallelogramrai , refpcau ejufdem C A re&x; hoc eft, ut momentum Trilinei B c C fig.7. ad momentum B C parallelogrammLfibicircumfcripti, refpe£tu reaaecB; fioceft,ut P* —8.D* ad P£. Nam trilinei CBb magnkudo eft f D*-; ejufque centri gravkatis a c B diftantia, ( eadem utique cum diftantta centri gravicatis trilinei CBF ab eadem cB,) eft f o, ( per f 99;) Adeoque fflomentum ^D*iDz%D 3: Quod quidem momenrum fi exParallelograrami CB momento , k%DP*ZpDPx fP, auferatur; relinquit b-± DP* ,-f D*-, momentum trilinei BcC refpeau B c reStx. Qjjod itaque ad e\DP* momentum C B parallelogrammi,eft ut P*_* 8D* ad I*, five uc FAq .—2FCq ad F/ q.

6\. Quod ipfum ftc etiam probamus alias. Si duci intelligatur, in fig.7. re^a CA ( quam per B tranfituram certum ei\) Triangulum rectilineum C A F aequale fiet Trilineo C Z A F miftilineo: Qupd quidem miftilineum a rectilineo in hoc tantum differr, quod fegmencum illud B A curva & recra comprehenfum, a fitu B A ln fitum BC transfercur. Ex hac aucem dicci fegmeati trar.flacione, quod oritur difctimen hoc eft-: Solidum ex converfione trilinei mifti cifcaFC ortum, eft (per § 83^ \P*y— % Rz-P, five f P*,- \p*?i Sblidum feu Coniiis ex fimili converfione

converfione

Fig.io. Fig.7.

DE CrCLOIDE.

•fione trianguli re£tilinei eft ,X: T* , (nam circulus radii RettjRP ; ergo circulus radii f P y . utpote in radiorum ralP

ralP .'■■■-'■': ' itione

itione , eft - p* vel—^ P*; qui circulus,, Cum fit

coni bafis,vduaus in f D trientem altkudinis ,^dat .i.PVmagmtudinetri coni:) Horum folidorum idifferentia, nefflpe exceffus coni fupra reliquutn folidum, eft fD*P ,-J-&Px.-. Sin ucrobique , pro cireulorum petipheriis fubftituamus radios , (faaa divifibne" per P,& multipltcatione per~.D}) kabebimus planorum momenta refpeau reita; CF;nempetllic xaDPa_|Ds, hic verosiDP*; adeoque momentorum dirferentiam 5 D1 *-^j DP-*. Haec vero differentia per fegmenti maghkudinem divifa,hoc. eft per %D * —' A °P , ( eft enim trilineum mifttjm BbC—12>*■.,'" unde fi auferatur criangulum fibi infcriptum , quod eft circumfctipti p.aralleIbgrammi dimidium, adeoque t\DP, manebit, JD * — ±%DP magnitudo fegmenti BA.vel BCreaa & curvf comprehenfi;) i2X):,'~T* . *

dat—jrzr<v~ n^niuKKri profflotionis centri gravkacis, di-ai

fegfflenti tfanflocati, verfus F C reaam: Cujus itaque feffliffis

12 D^F3- .''■.'

- ■ <p__5<p eft ejufdem centti diftantia a re^a cB(3: Qiiaequtv

Qiiaequtv diftantia, in fegmenti magnitudinem s2>* —»XDP duaa,dac ^D^—r/DP*- ejufdem momentum refpeau c.B/3 fe£t£e. Momentum autetn trianguli reailinei BcC refpeau ejufdeitt cBfea« eftT?f DP* = ,f DP x xf P. Unde fi auferatur fegmenci di£ti momencum fD3_ 9f <DP* ;manebic -jflDP* ^f D3 momentum trilineimiftiBcC refpectureaae c B. Eft autetntotius BCParallelogrammi, refpeau ejufdem CB, momentum s\DP*-~ f DPxf P. (Unde obiter liquet, refidui B C b trilinei momeiuum effefD 3; adeoque, propter ipfius magnkudineffl f D* , diftantiam fui cencri gr.avkatis a c B effe f'D ; & confequenter,a bG erit f »- *D* ad ^DP^ •• five, ucP*-8D* adP*:utprius. '

62. Vel denique , fie etiam eadem ratio inveftigabkur. Mosinentum trilinei mifti CZAF fig.7. refpeau re&ae G F, eft (ut fupra) ,^ D<p*■ ^D'.Momentura autem ^qualisparalielogram' I mt#

DEC^CLOIDe.

"miG#,..reipeau ejufdem. CF, ;eft 3xDP*rxDPxfP. Horummomentoruin differentia ■'.& DB*-^%DS ( icurn ex fola tnlinei B/2 A in. fttum B c C tranftatione oriatur ) fi per fDP^.jD''- (trilinei B c C magnkudinem ) dividatuf ; prodibit

prodibit menfura.promotionis centri gravkatis ctilinei -4 P—8D D

p2- 825 £ ■B'/S Ainficum BcC tranflati. Hujus igkur femiifis—- ""i 6 ~

erk ejufdem centri a cB dtftantia: Quae in f DP —Jox magnicudinem:

magnicudinem: ; dat ^. DP-—] o * ejufdem b c C trilinei mo.mentum

mo.mentum c B ie£tje. Vei, quod eodem recidit, differentise.momentorUm

differentise.momentorUm ,\ DP~—<ADS femiflis ^Dp*..-

jflD}, eft trilinei tranflocati momentum qujefitum. f-Nam Quotientis

Quotientis , ih Diviforem duaum, reftkuic Dividui femiffem.)

femiffem.) eadem quae prius oritur ratio & D<p* -40* ad

•z+PB 1) &VZ P* —_8D^ ad. <P*; qus -^- 60 quaerebatur.

• " (53«Hac itaque ratione inventa, fic procedimus. Quadrattim

AF fig- 10V efti <p- quod du£tum ifi C A= 2 D , datfCP*

aggregatuffl omnium AFq. Si fiat itaque fpropter rationem modo

modo ut iF* ad P* -, 8D*, fic f DP* ad quartum ; eric

illud ^DP*-, 4 D* aggregatum omnium ZVq.

, _. 6\. Supereft ut inqukafflus , qttam ad eademomriia AFq, rationem

rationem , omnia bina reaangula 2 V Z x Z i/fig. 10. (^

;58,memorata;,) hpc eft, offlnes VZ in 2Z", hoceft fper & 11 )

\r rt■■ 2 a J: D& _.a\ rr ~ ,,„ ■ V:Da--#a

omnes V Zm D ■ » Hoceft,omnes VZ m-^ -• :

in 2<». .Qiiam rationem bis paffibus iiiveftigamus.

65. Reaae ZV trilinei CZAF fig. 1 o. funt reats VZ triiinei BVcC fig?7. proportionales': Item reaae CZ^2/J fig.io. reais

BVfig.7. ,Et——jP~ • reais zY quadrantem CbG complentibus

complentibus Omnes igitur VZ in ^^—-rfune

ut omnia reaangula VZxzY fig.7. Qyae kerum in 2 a dudta:, funt ut horum re£tangulorum momenta refpeauf eaae Eb fig. 7. Quantum autem fit "horum omnium momentum fic colligimus.

66. Intelligatur primb ftrper planum trilinei CZAF fig.7. erigi femicircuium C b iF ad angulos re£tos; ita quidem ut C F

* ' . , v diaX

diaX

Fig.io. Fig.7.

Df_ CrCLDlDe. . r '/fr'' -

diameter femicirculi, congruat C F lateri trilinei. ■ Deifide fu- . peridempianum, moyeriiniielligaturidem fearickculusiriVatiato anguip, a CF aci C j8 ,& fic deinceps ufque ad A ;";hoc mofudefcribensSemieylindrum: Quem Semicyiindruiri fii fecet planum rectae A C perperidicul^riter infiitens3abftiridicur Se-' mi.cyli.ndri Pbrtio (fuper GAF triangulo jacerts) ex irifiriitis Parallelogrammis cpnflana , quorufflbafesfnrelligantur ordinatim- r applicatae in bafis Sefflicylindricae iemicirculo , akkudittes arttih- ' metice-propoitionales ttiangulumGAF complentes. -Stn eun-. dem femicylindrum fecet fuperfieies eurvata perperidicuiafker- - infftens curvx CZ A, abfeindetur Seinicylindri Fragmehcum (fie eniffl libet,diftinaioniseaufa, voeare)fuperC Z AE ttilineo .

'mifto jacens, ex Parallelogrammis item infinitis conftatum yqiibfum bafes iritelligatttur eaedem zY ordinatim-appiieatsirifemi'- circulo, altkudines vero Zz ttilineum CZAF complentesv : ; . 67. Hsec autemduo folida, nefflpePortiofemicyliridri, plano abftiffa , & femieylindri Fragmentum, abfciffum fiiperftciecurvata, funt quoad fflagnitudinem inrer fe aequafia. (Propter, turn binas quafvis reaas zYin bafe , utrinque a medio aequalkef remotas 'i_. Inviceffl jequales; tum binas ubique his bafiumreais c.ongruentes aickudines, five in crilineo mifto, five ifi triariguip reailineo, fimul fequales rea* AF.) Ucrumvis fiquidem Semi-: cylindro ejufdembafis,femialto, sequale.: -• :'. •-

68. Sunt autem eadem duo folida,-<^toad-inomencum:refpeati' A F reaas, inaequalia: Propter franflarum id totum quod inaljero infiftk bilineo BA ; ad fititm BC in reliquo.

69. i & auteffl Portionis, .triangulo . reailineo incumbenris, momentum refpeau A F rea* ,xu25£P4-,i2>P*.f2). ( Eft enim femicir.culus) F b C i=| <DP, & femiakitudo \AF !=iP, adeoque portionis magnitudo i\DP-; quaein |D diftantiam centri gravitatis ab AF (per § .57J du^a , -dat f}? D*p*- portipnis momentum. ) Fragmenti vero; trilineo mifto infiftentis■■■■> momeritum refpectu ejufdem AF rect£,eft(per §105) xs R*P*-: — f R^gJD-F*- -^ D*i t;?nd„e fi auferatur Pbrtionis tnomen^ tu*f6'D*P*-, haberur £j?*P*.~'xiD*.mo-Q.ent6m differentia.

70. Et confequenter (-cum.hsc momeiuorum dtfferentia "riori

aliunde proveniat quam ex fegmenti bilineo BA infiftentis in

fitum B C tpahflacione,) fi i-lla momencorum differentia intelli-

intelli- f Ia gatur

<D€ CrCLOlDE.

«atur pef magnttudinem tranflocatae partis divifa, unde habeatur' menfura promotionis centrt gravitatis quantum ad A F rectain; hujufque iemiilis, diftantia utique ejufdem centri a-Bb, in eandem fflagnitudinem iteruffl multiplicata ; prodibk Dividuife.miffis, riempe 5T_JDS PA ,~,\D^, momentum- iflius tranflocatas partis, bilineo BC infiftentis, refpeau reax B b.

71. Deinde, fuper triangulo G B b re£tilineo , incumbit cylindri quadrantalis portio, cujus bafis CbG quadrans circnli, altkudo.Bb—|T ; momentumvero ejufdem refpeau rea^Bb, eft ^DXtP-< siiD^P*-. Quod eodem modo colligitur quo fupra ( ^-35 & feqq.) colligitur momeiuum ejufmodi portionis FYu£z fig.'5. Cum enimillic^ 39 habetur 4D*,-1fs&3T momentiauginentum ( ob dkt? portionisibidem tranflationem) ■ ' refpeau reaaeF A (fi nempe intelligatur Y F A planumhorizonti parallelum) vel reaaeF 9 (fifcilicet planum Y F 9 horizonti parallelumintelligatiif:) Adeoqueejufdemfemiffis df D& —< if jy*. P , portioitis di£ts momentum refpeah reaae Y z vel Yu fprout hasc velillaiiuelligaturhorizontipafailela,)pofita quidemi( quod illic fupponitur) f egmenti - altkudine Y tof D: Unde, fipofitafuiffetYu:=£P(prout jam in cafu fimilifupporiitnus fuper aequalem bafem portionis altkudinem Bbra^P) fuiffet ejufdem momentum refpeau reaae Yz vel Yu, ^bDlP . — $faD*P* :Quod igitur eft momentum portionis Cylindri quadrantalis, triangulo C B b incumbentis , refpeau reitae Lb 'fig/7.. . - ...

72. Totius autem Cylindri quadrantalis, parallelogrammo BC incumbentis,momentu refpe£tu ejufdemBb reas,eft^D3p

c:/4DP*x-—^-."Undefi auferatur tttm inomentum folidibilineo

folidibilineo infiftentis, $-J, D^P*^^ D* (^7©;) tum /62)3P,~ ,f AD*P* ( ^71 ) momentum portionis femieylindri triangulo GBbincumberitis ; hoc eft, £-bD*P—, ,^D4momencumfolidi totius triline© mifto CBb incumbenti.S; manebit ,\D*mofflentum (refpeau ejufdem B b reaae^foijdi infiftentis trilineo,.mifto BcC fig.7.nempe folidi ex omnibus VZxzY fig.7. Qiiodtx 6$ proponitur inquirendum. 5, 73. Hochabko; propter tum AF fig.io. duplam reaaecC fig.7. adeoque & ZV fig.io,duplas reaarum VZ fig^. tum V:DS'Fig-7.1.0.

V:DS'Fig-7.1.0. fij

De crcLoiDe. <#

-i«s ( propter D dtiplam reitse GC fig. 7.) duplas reaafum z Y fig.7. adeoque fingula V:D*--.,**: inZVfig.io. quadrupla fingulorum BVxZV fig. 7.Et (propter alritudinem CA fig.ib. quadruplam altitudinis cBfig.^.^) otrinia bmnium'fedecupla ( eft eriim 4x4=516:) Et denique(propter eandem AC—1 4 c B) diftantiam centri gravkatis a cC fig. 1 o. quadruplam liftaiuke a B b fig.7. erit'(propcer 16x4^64) momentum ad momentum ut 64 . ^ » ad 1. Adeoq; omnes VZfig.\o.in V:D*—. az: in 2^,3 f Di*;(nem■ pe ad momentum bmnium VZxzYxbV fig. 7. hoceit ^D^per praeced. ut 64 ad i..) Et propterea, faaa applicatione ad D,omnes

D,omnes ( fig. 1-0..) in ~aV: ^* - *-: hoc eft, omnia 2 VZ*Zu

bina reaangula (^. 58 memoraca)f2> 3. Qi'od ^ 64 proponkur ,

inqukendum. :i

jj4„ Cuffl igttur fiiu omnia Zuq ( per ^59) iyD 3 , & omnia

ZVq(per y*.63;f2)P*-, ^<D~ ,& deniqueomnia 2VZxZi;.(per

f» ^syfD^EruiuofflniaVZq+^VZxZu-IZwqfig.io.lDP*-,-1!!.

2) 3. Omnia vero AFqfuntfDP*=s^^X2D. Eorum igktir ad

hxc ratio conftat ; nempe ut f P * — xff 2) * ad \ P * ,

"five ut 45 Ts —<256Da ad 45 P *. Quam quidem ean- ,

dem effe quam habet momencum fuperficiei ex femtconver.-

■fione cutys C A fig.8. circa CF, ad momentum curvs fernicylindricas

fernicylindricas altitudinisvero22)!=:CA-:refpeaufe£t3e

CF five plani per axem ; jaffl -*> 58 oftenfum eft. Eftautemiflius

Eftautemiflius Qiper^i<5) <P*—, fPT five P*^fDP ; hujus

P* autem F* (quod nempe fit ex altkudine22},in •=? femiperipheriam

femiperipheriam AF t=f P defcriptam: ) adeoque illius ad hanc ratio, ut P -f D ad P, five ut 3 P- 4 D ad 3 P. Ideoque propter

iZ_-;4? -) 45^7*^0* ^4SPa^»sg^L , diftantia3P ./4?** ■ ^45^-^0 2)^

. rum centrorum graykatis ratio eft, ut 4*5 P*—' 256 D* ad 4$ pi — <5o 2)P. Eft aqitem centri gravitatis expofkae curvae femicylindricae a ptano per axem diftantia D, (nempe radii A F t=f P ea. pars quae eft ad totam, uc chorda ad arcum, hoc eft uc D ad .fP 5)

Et po>pterea3-lJ^i_^-2)' diftsntia centri gravitatisfu- ' ~ ""' ' ' perftciei

J7<* mS CTCLOtDE. ...

perficiei»exfemiconveffione;curvae_GAci'rca CF ab eddem plano '. fiveiaGF.teaai-Q^diferarulcimbinquirendum.' ,■' ,■. ■ . . s ;■. ■ r" ■ .;., - . :

; :':::\A PPENV IX.

Cum ex Wrenflii noftri Demonfiruis de Cycloidibus(qu3e fub . irittium Juliyfcti :i.^58;amieis quibufdam.oftendk)Semic.ycloidis ' .» # cUrvamAxt^fiplam efle ■^iaflumpferim: Ifiius demonfiratione prouteamabeoSem.D. ChriliopberoWren, SocioCoilegiiOmniutiAnimamnt diai, Oxonise, & in Coliegio Grefhamenfi, Londint, Afttonomiae Profeflore, aeceperitn , vifum eft hic fubjun£tam exhibere. . .'''"'■'■

TJereBaTangenteCycloidem primariam.

'"■--. ;.- Lcmma.

SI fit Circulus A o D, Diamecer A D, tangens VD,& o V fiibterifae cuivis Do ad re£tos angulos. Dico Tangentem effe ArcU op D rmjorem.Ducatur Tangem o T. Qyoniiam anguli TODJTDO funt aequales,ergb anguli ToV, TVo func aequales.Krgo VTD jequalis eft OT,TD fimul fumptis.Sed ip& oT,T D fuperant arcum opD. Ergo VD major eft Arcu OpD. . II. Iifdem ppfitis.fi ducatur u r p e(vel v ?' «•«) tangenti VD parallela: dico .fegmentu externum u p, effe arcu p o,(vei v w arcu■-«r,«.)-m'ajus : fegmentum vero internum pe effearcupo (vel'm'<t ar.cu «■a>) minus. Ducatur fubtenfa p o.'(veI p ») & p m (;\re\<zr (*) fubtenfae ad re£tos angulos. Anguius igitur o p u vel acutuseft, velobtufusut anrv. --,-. . .__

Sit primo obtufus. Quoniam anguli VDc, ? a> D funt a;quales,.& v* parallelaipfi VD,ergo Ifofceles eft ? a> 'e, ergo v f, ? « - funt etiam «quales, & quoniam s> <sr§ cft obtufus ergo a> (i minor eft v ?, &adhucifiinor ipfa v<n ; fed cum» /*fitiangens, & m fx fubtenfae ad reaos angulos,ergo demonftratum eft a> _u, inajorem effe.arcu air, ergo v tr majpr eft arcu a tr. i / Sic fecundb angulus upo acucus, ergo.in rriangulo omp, angullis omp eft aequalis reao minus angulo mop; & in criangulo rpm, angulus r p rri, eft aequaiis re£to •minus angijlb up o;: fetl angulus. up o eft major angulo ■u c o, vel angulo m o D: & ang. m o p eft minor angulo m o D,

ergo

%-i^. :

DE CTCLOIDE.

ergo complemencuffl attguli u p b fcilicecr p m, eft minuscomplemento anguli m o p, fcilicet angulo o ra p; ergoin "tfiangulo r p m latus r m,eftminus latere-r piSedu r,r oaequales effe jam demonftrantur, ergo u p majof eftipfa o m , & o m tnajor arcu op-ergo upeftmajor arcu op. - "

Dko pottremo fegraentum incernum pe effe minus «ircu op. Quoniam enifflangulir oe, reo furit squales, ergovrninor: eft : anguluspoe Hngulopeo, ergoin triangulo poelafus peminus eft latere p 0 ; reaa autem p o minor eft arcu p o ; ergb pe fiitnor eftarcu po. Simiiiterdemonftratuf.dew e.

Problema,-

Ad datum punCtum t inCy.clbide, s t a d Tangerifem ducerei

Ducatur t o bafi parallela, & per punaum o Genkoris ducatur fubtenfa a o u, cui parallela ducatut xty, dicoreaam xy . tangere in punao. t. Nam fi rion tangat, ergo fecat in t, ergo cadit intra eurvam aut verfus bafim, aut verftisyerticem.,

Cadat primo fi fieripofiitverfus Bafim & fit punaum aliqubd x intra curvam : & ducatur bafi parallela x u p, & produaa fecec curvam"in g -, & producacur fubcenfa ad u. Qupniam ergo alibi dempnftratur e primis Cycloidis prbpfietatibus effe quod Parallela bafi iiuer Cycloidem &Genitorem terniinats, ftnt arcubus Gehitoris ad verticem abfciflis tcquales: ergo g_p eft aequalis arcui p o p a, & t o arcui o p a , efgo t o plusarcu o p aequalis eftipfi g p: fed x.u aequalis eft ipfi io, & fegmentuffl externum up eftfflajus arcu op ; ergox up major elt ipiis c o , o p fimul fufflpcis : ergo p x major eft ipfa p g • ergo. cadit extra punaum g curvae, ergo idem punaum eft intra & excra curvam,quod eftabfurdum .• ergb noneft intra.Gadatjam infra curvam verfus verticem ; & fit punautn aliquod ;y rea« t y. intra -curvam. Ducatur bafi parallela y $e, & produaafecec Cycloidem in h.Qiioniairi ergoye eftsqualis ipfi tp, &h p pluS arcup'oarqualis ipfi r'o , & p/e fegmentum interrium eft minus arcu p'o; ergo h p e minor eft ipfis h j/ $6 fifflul fumptis, ergo minor eft ipfa t o ergo e y major eft ipfa e h. Ergo punaum yeftexcra & incracurvamqttodeftabfurdum-;ergo noheftiricra. Similker demonftracur null.um punaum reaae x y effe incra curvam, ergo non fecac cnrvam in punao c; ergo du&a eft c y taiigens Cycloidem in dato puhao c; quod erat faciendum.

FIg.14.

DE CYCLOlDe.

'fLvSvanltCiirViS iima Cjclvidis primaria fecmdtif» methodum . .'.'•;.■ z/£ntiqnorum demonflrattts.

Deflnitio. ' %JL Agnkudirt.es tninfihkum decrefcentes funt quarum non da***tur tniniina. . *

. ■;-. Problema,. ,-,. '-.

In dato Sefflicirculo AD'D fubtenfas quotcUnque AD in data. ratione continua. difponere. Sic Ratio A M' ad A D. Ducatur circulus;AM"M'; tangens in.A; & fiat ubique A D (i fubtenfa majoris circuli) aequaiis ipft ;AM (antecedenti fubtenfe minoris circuli.J Dicoipfas A D effein conrinuarationeipfius AD ad AM\ : Junais M"M', & D'D, vel M'" M" / & D"D', .& fic ubivis; quoniamMM, DDfuntparallelse, ob aequales irifimilibus fegmentis Angulos: ergo patet propofitum.

Scholiiim. ,m

Iifdem poftffs dico hane fubtenfarum rationem in.infinitum continuaripoffe. Nam fi non poifit, ergo datur minima Tubcenfa, quo rntnpr duci non poteft: fit ea verbi gratia AD'", fecans minorem ckculum in M"" ;_& ducatur, ut prius A J^ aequalis ipfi AM"" : ergo AJ^ eft minorininima,quodeft abfurdum; ergo non dacur minima, ergo ratio fubtenfarum poteftin ihfinitum cofitinuari. ."'"'.

Lemma. "

Sint tres circuli, tangentes fe invicem in punao A, quorum. diametri AE, A F, AG funt in continua proporfione. Circulos autem fecet reaa AMDC ; itein reaa A^tJV, ita ut AJ^ aptetur ;in medio circulo aequalisipfi A M minimiCyrculi. Perpunaa denique £ & D medii circuli, ducatur tam J1 N 0| diametro perpendicularis,vquamD#ipfiJNparallela. Dico ipfas NM, ft.^ effeaequales: itetn. MD, / *: ketn DC,*, /2. Juiigantur »C; icem #M: icem ME. Qyoniam A^ME eft quadrilaterum circulo infcripcum ;' ergo angulus externus <fyiM aequaliseftoppofito incernb AEM ;fed anguli ANO, AEM ob fimilitudinem mangulorurafunt aequales: ergbanguli JV.M, J*NM funtaequa..;-.'•

funtaequa..;-.'•

i i

]

-■.." <

Fig.iS. -

■ DE CrCLOlDE.

les: «quaiia func ergo Trian^ula AJ^N,,A/*Mi; & qupniam 0D paralielaeftipfi J\N,& K.G ipii /*M-,■ aequalia furitetiam Triarigula A/3D, AC».: squales fun.c igitu.r AN.& Ap.;AM'& A/;. AD & A« ; A.C & Ai$ : quare..demptis:conti-nuo*q'ualibusi3£quales eruntNM&^J\/MD&^;DC&Hi2. ; . ".' .;-

fProblema. Data media triuffl proportionalium, & differentiaextremtru.m,daie.extremas. -. ';..;...' ■, "'.•',:.-..:-;:;;

Sit media data-A D , tique ad reaos ahgulos ponatuf DZ asqualis differentis extremarum ,'&dividatu,r bifariaifiiin S , cehtro autem S & intervallo S D defcribatur ctrculusvp/xjt;,. & per S du£ta A^S»; p.onatur AM KqualisAife, & A*CiaqualtsiA}t.:':iQi!oniam AD tangkeircuium,ergoqUadratumvAiD aequate^ftreaangulo//-Axi ;.ergo AM, AD, AC, funt in continuapfoportiOne, & MC (differeiuia extremarum) cequ.",tis eft ipfi DZ.; :';.'-

Lemtna. -,...: ..:':..-■,-:'■ ' Sifuerint magrtkudines in infinkum decrefcentesvSumma Differentiarum jequatur maxtmo Termino,. -.'•. .v ,i:

" Sint Magnitudines a Z, b, c, d,<^f,ininfinituffl:: dicb ,omnes . earuffl .differentias acquariipfi a Z. Si negetur;nnfc fflajpres,.,:& "fiant a-/3, zy, aJ^, &c. fequales lpfis b, c, d ,-c^c ; erunf efgo Z /3,/2y, y <P,&c,partesipfius aZ;;nonfunt ergomajoresToco. Sint jam minores,quare aequales fint ipfi Z J*, reliquo auteffl aJ^ - aqualis ponatur;d, ipfa etiamd ponatur a t,ininofi; ;'ergoaddka eftalta.differentiaJ^e, quare.Z s eft'squ.a'lis fummseomitiudtfferen:bru,ergo Z J\arqualis eft ipfi Ze, major minori,quod eft.abfur di.fErgo Z a (cumfit neque major nequeminor) aqualis eftfum-, rax omnium in infinitum differentiarum. v .■.-,. Lenrma. ' " , ;

' Binarum magnkudinum differentia, tEquatis^eftdifferentis Intei* fuinmam & duplum utriufvis. Patet addendo utrique magnitudint triinimam, vel utrique m.i"ximam. :■..::.

,i Deflmtio. '■ ,'•'■.'■■'':"■■-

Polygonum Serratum eft- figura conftans alternatim ex lateribus

lateribus invicem parallelis, & hteribus obliquts. Sola autem lat.eranonparallela

lat.eranonparallela fimplicicer.Latera.;, -

Poiygonum Serratum. circulp Circundairi dickur:,. quando

unufquifque angulus internus ekculiim attingit.' Atque idem ctf-

ctf- infefi diciijfr, quando unufquifque angulus externus" circu^

K ' 1'um

; -Fig.*>:.' "■' i.:i Fig.ip.

Fig.17. .

"c ' *De CTCLOIDE.

: lura attingit:, & angulumifiternumpolygoni circundati ad verticerri habec.

• '.■.'. Problema. -

< Polygonum Serratum feffltckciilo dato inferere, cujusfufflma

kterum ik duplo diametri minor; atque aliud etrcundare cujus

fumma laterumfit duplo diametri major; itatamen ucurriuf,,

ucurriuf,, fic datae cuieunque magnkudini aequatis.

_.:■- . Sit femitirculus datus( ADD, cujus-diameter ftt A D;.

m.ignkudo data %. Dataigitur ifiedia proportionalium A D,

fiant A M', AD, AC coritinue iproportion>les ,- ica uc diffe-^

rentia excremarum M'iC, aequalis lic ipfi.X. Difponantur autem

fubcefifae AD ubicjUetrt datai fatione A D ad A M', & conti'

conti' luietuf-ratioin infinkum. Produats-deindefubtenfis, pef unumquodque*D

unumquodque*D parallela: N DB•,'• ad p oximam utiinque

utiinque Patet ex iis quae diaa funt, Polygonum femicirculoinfertumeffe.

femicirculoinfertumeffe. Dico autem infu-

infu- latera Ififerti fimul fumpta ffctlicec omnesin infinitumDN)

deficere a duplo diatnetri defeau D M'; Latera vero circundati.

circundati. bmnes in> infinkum. B D) excedere duplum diametri,

diametri, D.C: differentiairi denique lacerura utriufque

polygoni aequalem effe datae magnitudini X.

Diametris A M' & A C, ducantur circuli rangences etiam inA &fecaiues fubtenfas in M&C ubique.. Quoniam ergO' fubtenfae AD'difporiunturindata ratione ADadA M'-; ergo-A'M''(antecedeiuis fubtenfae) asqualiseft (eonfequenti) A D; ergo M'N' (antecedentis) aequalis eft ipfi D'M" fconfequefi- -tis) & fic iubique: ergodifferentiaipfarum D M', M'N* (ejuf-' dem fubtenfae) acqualis e'l differentise ipfarunT D M', D M" (antecedentis & confequentis:) Ipfae ve?o D M cum- fint magniaadines ininfinkuin decrefcentesdifferentiarum fummam gqualeifii habent maximae DM; ergo fumma. omnium DM minus MN (ejufdem fubtenfae,) sequatur maximae D M. Sed quoniara DM'minus M'N*,aequaliseftdupto DM' minus DN' & fic «bique; & quoniam fumma omnium D M, cum fint differenti^ fubtenfarum in infinkum decrefcentium, aequacur maximae A '£>-- (fcilicec diamecrb:) Ergo duplum fiimma; ipfarum D M f hbc eft -•"-"•''. duplumdumefrijminusfumma Laterum D N, aequalis eft ipfi

D M'. Ergo omnium polygoni Infcrti Latefa deficiunt aduplo diametri defeitu D MV ' Rurfus

:DE CrCLOIDE. #r „«.

■■.-... - , --■ -•■■-• ■■;,:- 1? ,

Rurfusquoniam A-M','A D, A-C funt ineontiriuaprbpbirione ;' ergb G' D' (ancecedentis fubtenfe) ffqualis -eftipfi. S":C (eonfequentisj & fic ubique. Ergo (eodem modoiquofupra.). . ■"'- demonftratur ,• quod duptum fumirixipfarum B C (hbce.idi.- plum fubtenfe AB'-) minus fuififflalaterum B D, aqualis fit m. - xima B'C'; ergoomriiaPolygonicircundati latera-deficiuiua duplofubtenfaeAB!,defeauB'G'.SedAB'squaltseftipfi A C, • ..,'•- &B'G ipfi CD. Ergo omniaPolygoriicircundatilaterafiiperaiu duplum Diamecri exceffu D C.

Addatur demura defectus , & exeeffus quibus,hinc inde poly;gonadifferuntaduplodiaraetri;ergo C M'eit uttiufque differ entia; & asqualis^quidem ponkuriptT X. Ergo femickculo i A D D polygonum ferratuminfercumeft, & fimile eft circundatum, hocmajus, iliudminus dupio dirnetri, utriufque auteiri differentia sequalis eft dataemagnkudini X. Quoderatfaciendum...."

Schelinm. . .

Datockculi fegmento quovis A/D', eodemprorfiis modo polygonum ferratum inferkur & circundatur; & demoiiftratur latera inferti deficere aduplo bafis fegmenti AD', defeau D'M"; Latera vero cifcundati excedere duplum ejufdern , ex* ceffu D'Ci utriufque vero differentiam effc C':M"; quae cum minor fit quam C M', minor eft quam X.-

Lemma.

Si a punao quovis O in Cycloide priinaria S P Q A t>,. ducatur Tangens O V verfus Bafin,-itembafi parallelse NOD, . & VPGfecantesGenitoreminD,C, quibus A jungatur,; & ducatur O E, parallelaipfi A C. Dico tangencem OV mar jorem, ipfain vero O E minorem effe porcione Curvas" inter parallelasintercepcae OP. ■•....

* Ducacur PTN ipfi O E parallela/tenyfubtenfa portionis P O. Qjionianrangulus PE O eft obtufus (icum fit aequalis ipfi PG K) ergb EO minor eft re£ta P O, ergo minor etiaim cutva P.O. ■ «.-'.'

Rurfus quoniam-PN parailela eft ipfi AC, ergo tangit

Cycloideminpunao P, &quoniara angulus VPT eftobtu-i

fus,ergo TP minoreftipfa TV, ergo OTV majoreftipfis

O T, T P, finiul fumptis, ergomajor eft portione O P. _;

< K 2 Deftmtio*

'?&t crcLoiDE, "' ,,..■;

■.". ; ■':■■.- " -■"■ Deflnitio. ■ <■ - .-.-..__

Polygonum ferracum Gyctoidi ctrcumfcfibi dieitur quando unufquifque angulus iriternus Cyelbtdem coiuingit, atqueidem inferi dickur quando unufquifque externus attingit.

■'.-■;•. Theorema'.

,. Gurva linea Cycloidis primariae eft quadrupia dia.metri Genitoris." 1 v :,;■;■."' ■ •;• ■■■ ■ ' ;;- .

' —. 5k;Curvafenrucycloidis o o A, cujus Bafis ftt o D, Diametcr AD' tam Cycloidis quam Genkoris AVD'D. Dico curvam.ob A effe duplam ipfius AD. Sinegetur fif Curva vel rmjor vei minor dupto AD*Ecfic -five exceffus, fiye defeaus;x.'

defeaus;x.' - - ; . ".' ,

r Gehicoiipotygonum ferratuminferatur, atqueaiiud circundetur,ka ut differeutia fummae laterum utriufque fit seqiialis ipfi

- X. EcproducaiuurparallelaPolygbnbrumlatera NDB utfecent curvamTn. oo. Et.duais tangentibus ou, ou ckcumfcri.

ckcumfcri. ^ycloidi polygpnum ferratum }nfinitum.i Et ab iifdem punais o duais o e, o e',ita ut quaeque parallela fit ei fubtenfe AD■. quae in.eandem. e D parallelam lncidk, inferatur Cyeloidipolygonum ferratuminfinitum. Quoniamtgkuripfe o u tangunt Cycloidem, ergo parallelae func & aquales ipfis D B fingulje fingulis; & quoniam ipfae o e parallelae funt, .&.."aequales ipfis N D, ergo latera polygoni Cycloidi circumfcripci xqualia funt lateribus polygonitqudd'Circulo circundatur, & lat.era polygpni cycioidiinferti , ejus quod circulo inferkur. Quarel.atera pblygoni circumferipci fimul omnia excedunt duplum diametri excefiu DC, fcilicet minore quam X, & curva quidemadhuc minor eft .• & latera polygoni Cycloidi inferti deficiunc a duplo

■ diamecri defeau D M', fcilicet minore quam X, & curva quidem adhuc major eft. Atque idem demonftratur dato quoyis der fe^u vel exceflit X, Ergo Ciirva femieycloidis nbn.eft major neque mifiordupio diametri. Ergo curva Cycloidis primarise eft quadrupla Diametri Genitoris. Quod erat demonftrandum.

Corollarium. . : Eodemprorfus.modo defflpnftiatur , portionemquamcunque cutvse, a vertice abfciffatn,uc o' o A, duplam effe fubtenfae AD', fcilicet qusafeaioneBiifisporcionis, & genkoris ducicur.

5 ' .. ^e

FIg,i8.

DB~ crcLOyipe. ':'■■

De DimenSone Cyetpldu.in Xoiuraaarum & iProtraaarum. ... " v'., ;\.:.Prapr.i^ates-:q^a4^'Q^fo'idum.. ",,;.: .

^■UperfeandemBMimGMcpriftkuanturtfes Cyeloides geriere t3dirfefentes.,.fcilice"t.GaM% Primarla, cujus. gerikof eft, AHD: F: G 0 O M Cyclots:.qifedamGbhtraaa,Cujusgenkqr eft 0;F;p:& Ge;E M, Gyclois quaedam Pfbtraaa, eujus genkor:eft,E.K:::E>. /'■: Pjiirib, quonlamvgyelpis cujuiyis gqnetis fit ex;mpt_u: aequiabtti in p'eriphefia genitbris', jduiriinrerirri genkdr motu;aequabiii transfertur, fuper datambafiiri , donec pun£tumigerieransckculuin abfolvetit, a punao contaauslnefpiens & ad idem fedietts: Ergo utrique Motus," tain cireutaris quam reaus,erunt ubtquetn eadeffl ratione. Quareinomni Cyelpide,ifi diicatur Bafr;paralMa aGenitore ad curvam, ut EX,. vel H>Y;>*vel K-Z; ..-Sfk uc motus in arcu O F, ad moturri iri femicirculo O F D,. ka -mbtus reauis F X, ad femiffem totius motus re£ti, fcilicec femibafim- DM.i Si.milker ut arcus AH. ad femidkeulum fuum AHD,. ica HY ad femibafinfldem dicitufdearcu EK & reaa-KZ.- ■"■ ."V; - i; . ;-,.. x

; Qijare pofitis In direaump.unais DKHP, quoniarri arcus O F, A.H, E K funt in eadem ratione ad femicirculos fuosi erurit re£tae FX^ H Y, KZ. ln eadem ratione adcqminunem bafim DM; func ergosquaies ,'_;& pun£ta Cycloidum X Y Z in direaum pofita funt; reas..igttur X Y ZN, F HKD, func aequales, & fimiliter fe£tac & pofitae: fed ifj D & O D fimilker feitaefunt: ergo retia X Y ZN, OAED ftmiiiter feBaftunt a. Curvi-s Cycloidum. ' ■' ' '

Secundb, qubniam angulus O D F eft ad reaum, uc arcus O.F ad femkirculum fuum, feu uc • F X vel DN ad D M; <sxgo,ut MN ad DM, iiaangulus MNX ad ReBum. .

Tertio, jungantur H A, eiqiieparalleladucatur Y Q^Qupniam demonftratum eft Y Q^tangere Cyclpidem ptimariam in Y: ergo N Y cadit normaliter inCurvamprimari<s.

''■'■■; Theorema.

Curva Cjcloidis prim^riaeft': quadrupla <Diametri: & portioni ctiivk.ajfignatm• rella.&qualis..

Slt femibafis G-D divifa in partes aequales mmindefinite miaimas; & apunais m' intidant ubique in primariam nor' " c ' K 3 ' malker

Fig. 20. •' ■ • '

7s' ' ■ BE CTCLOIDS.

snallter re£b:, m a, & in proxhne majorem m-a refts mu: ducanmr, Dn (fubtenfa genitoris) & mz, parallelae ipfi m'a'; item An, a'z,.a"s parallelae: qiiarea'z■ tangic Cydoidemtn a, & paraliela & aequalis eft ipfi m" u\ Q^onkm igkur ipfs. m a (quum . fint aequales & parallelae fubtenfis genkoris) fiyu finus angulorum fuorttm a m G ad Radium A D; & in Triangulis reaangulis mu m, latera mu finus eorundem angulorum ad Radium m m; ergo eft ut AD ad tn 11 m', ira m'a' ad ,.m"u'i vel a'z. Etquoniam. anguli amG aequalker fefe excedunt,ergo i.n Triangulis fimilibus ADn, a"m"s, eftutAD ad An ita m"a" ad a"s, & (quum An fit indefinke minirria, &'propterea aequalis srcui An, fiveipfi m"m') eft ut A D ad;m"m', ita. m"a" ad a"s; erat autem ut AD ad _rif'm', ita m'a'ada'z; quareeft uc m'a' ad m" a" , ica a'z ad a"s, fed differentia inter a'm' & a"m" eft ada'm\data . quavis f atione minot, ergo a' z, a" s funt aequales,& fimul fumptce pprtioni curvae a"a' asquales. Eftergo portio a" a1 duplum ipfius rfi" u'.- atque idem ubique demonftratur. Omnesigitur aa func. duplaeomnium mu. Et fi abfcindatur a vertiee portio quaelibet . — A a", ea.dupla eft omnium fflu qusefunc inter D&m": Sed omnes mu fquumipfi mu fintfinis complementi, quorum finus reai funt u m) funt aequales omnibus u m : omnes autem u.m (quum fint differentiaeipfarum m a) funt aequales maxima ma, hoceftipft AD. Ergo femicurva A a g dupla est diametri A D. Et quoniam omnes u m iiuer G & m", funt aequales ma- - ximo finui fcilicet m" a";ergo omnes m u inter G & m'' funt ae-. quailes finui complementi ipfius m" a". Quare Portio quaelibet ut A Y (cujus normalis NY eftfinus reaus anguli Y N M ad radium A.D) dupla eft finus complementi A H.

Curvis Cycloidum,<ProtraBarum & (/tntraBarum ajfigtfantur ftemiettpfes aquales.

IN Cycloide contraaa GoOM, demittancur ubiqueo g perpendiculares in proxime majorem o m, cuiparallela ducatur a''y & junaisoqinfcribaturpolygonum. Quoniameftut AD a t A O, ita m" a" ad a" o",& in Triangulis fimilibus m" z"f s, a"o"y, eftutm^a^ada^o^kaa^s a'do'1 y;ergoeftuc AD ad A O, ita a»• s ad o" y, 8c converfe ut 2 A D,ad 2 A D + A O, -'.'.'".'"" "■■ ' ita

. pe crCLoiDt.

itaa a"sad2a"sto'fy,fed 2 a,J s eft curvae.forcio a"a', & aa'Jsf,o"y eft O 1' g':. eft ergo uc: 2 AD: ad z ADtA.O, lcaportiba'! a> ad o" g'. Quareomnes o g fimtil fumptae funt aequales duplo A D f.A O & unaquaeque o g eit tn eadeffl ratione ad portionem fuain a a; & omnis a.0,|adfuaai m a priinari$,hoc eft, fmu "Ao ut finus refti angulorum fuorum G mo adRadium A.O. Quare fi ponuur reaa PT aqualisduplo A Dpliis A O, . eique ad reaos angulosP Qjequalis ipfi A O, & fianr P*,,P:<*:,i|, Ve.'", finus complementlsqualium anguloruffl ad Radium P T, & ducantur tam * ■»-, eorundem finus reai ad Radium PQ, quam y a ipfi PT ubique parallet.^ & i jungaiuur w s>; patet exits quae diaa funtipfas y a aqualeis effeipfis ^pnguiae fing-ulisi & ipfasa »ipfis a o, quare iptse etiam y a aequales eruntipfis g b, & TrianpAtla reaangv.la a a y .trianeulis reaan°ulis bog. BxAmlgaribus.autemElhgfeos pnncipiis pacet Eiguram T» Q.P elte . poiygonum quadrantiElltpfeos infcriptum; ergoPolygonum Laterum indefmke minimorum quadrar.ti Ellipfeos- ipfcriptum, sequale eft Polygono Semicyeloidi contraaa; trifcriptum: Etgo C.ycloidis cwtratl&, curva G o O M, aqualiseft femieltipft ctijUs Axis tranfvtrfmeft duplum-A D ptns A Q,'& Axisminor A Q. Eodem mododuita e" x paraTlelaipfis tri" s, demortflratur ut a A D ad iAD *- AE, itaeffe 2-a" sad 2 a 11 s —a"'x (five ad e" d) quare procedendout fupra dembnftratur curvamCycloidis Protractaeacquaiemeffefemiellipfi cujus Axls tranfyerfus eft duplurji AD minus AE, &-Axisminor AE. i .

Scholium.

PAtet Figuram G o X M Y a, Curvis Primariae & Contraa« _ terminatam, effe meram femiellipfin in arcutn flexam ita ut Axis tranfverfus applicetur Gycloidi Primariae aparte eonvexar & Figuram G a Y M Z e, Curvis Primariae & Protra£ts terminatam, efle femiellipfin, cujus Axis tranfverfus applicatuf, Primariaeaparte Concava ; fcujus autern axis proportiorialker prcPtrahituf, manente Curvae Elltpticae dimenfione licet recurvetur,. lllius autemproportionaliter contrahiturmanente Curva , licet • magis curvetur. Patet etiam ipfas 0 a, & a e effe meras Ellipfean ordinatas. Quare non eftper accidens, Ut"Clariffimo Detonvilio placuk*,quod Curva Priinaris fit reaae 3fqualis,exeo quod Curvae ©bliquarum fint Ellipfibus ^qualesi. fed econtra Curvae Obliquarum

Obliquarum

0 epift. ad

x Httgen.

n. °

' DE CrCLOipe, . *

rum Cycloidum funtEllipfibus aequaiesper accidenSj ex eo quod, earuin Axes applicerttur ejufmodi Guryae-, qnae ex nitura fua fit iEuthyfmipatiens;qiiodde;nulla-CurS4,haaerius.nprape/quidem ' affumpta Circult QuadraturaJ pritis demonftratum fuit,qu.un ego hac de Cyctoide Primariaj -.-a.micis■■ communicaverammifi quod : IUuftris Juvenis Gultelmus Nelius , Curvam quandam ka conftruendam.utfifEuthyfmi capax, fummacum laudeinvenerit. ...-•■;■'•;■.-.:..'■•■; ;'

De problemate Kepleriano per Cycloidem ftlvendo.

'' A 'ffetuit Keplaj|feex caufis p$'ffi'cis,plarie£as. ica ferri circa foXjLlem in OrbkjMiilptica, utvelocita? planetxfitubique diftaritiae ejufdem a Sole reciproce propQrtionalis; unde fequentem . Hypothefin ingeniofp commentus eft. Secat fcilicet aream Hlipfeos Pianetariae lineis a fole duais in infinka TriangulaMixtllinea aequalia; unde fit ut Curva Ellipfeos diyidatur in portionesiriarquales, -minores quidem circa Apheliuin , ma;'o".es circa .Penhelium: per has autem pbrtiones ppnit -Planetam aequalibus remporjjbus ferri. Quareex Medio motu Anomaliam eQxquatam ut indkgaret, fecanda eftfemiellipfis pef Focumindata ratione; vel (quod perinde effe ab ebdem demonftraturj> fecandus eft Semicirculus per quodvis punaum Diametri iri dataratione. Mirum e"ft quantuni in hoc problemate fudaverit Keplerus, Orbitas

fitas :—; -volvens nitenda neque proficit hitum. Tandem

anhelus, Geometraruin opem implo.rar; interim veritus ne propter arcuum & finuum, %-n'es^vn<tx inveniatur Problemainexplicabile. Quod nihiiomiiuis bpe Cycloidis protraaa: nos olim fic exhibuimus. - •

Problema. . • .

*■■■ Semicirculum per datutn^punBum<Diamctri

tndathrationefecare.

Slt Semieireulus AKB, cujus.Centrum D. Ptm£tum dntuffl C. Ratio dat^R ad S.FiantDC,DB,D/3 contihue propbrtion.iles; & centro Ddefcribatur «K/2, cui squalis ppnatur reaa E'M; data aute bafi BM,&Genicore AKBjdefcribatur fefflicydois Protraaa

MAB;

Fig. 21.

.< ' ''. DE CTCLOIDE,

UAB; fiatdeinde BG ad BMut R adS, & ducacur G P ad angulbs. .reaos fecans Cycloidem in P, icem PF Bafi parallela fe cans Genitoremin E. Jungantur denique EC. Dico mixtiltneum A E C effe ad femicirculum uc R ad S. Ducatur radius D E e; & demittatur e <p; & juhgantur E B. ' . •

Qupniam fegmenta a «.?, A E F funt fimilia, ergo ut arcus> e" ad t <p, ka arcus A. E ad E F; & quoniam arcus A. h du.aus in femiradium aequalis eft fe£tori A E D, & femiffis bafis D B five femtradius du£tus in altitudinem E F squalis eft Triangulo D'E.B: ergo ut A E ad k F, ita feaor A E D ad Triangulum D E B; & ut a, e.ad e <p ita A ED, ad D £ E: fed ut e <p ad E F, ka Triangulum DE B ad Tiiangulum D§C(qula ftmtut Bafes DB^DC:) eric igitur ex aequo ut a e ad E F, ka feaor A E D, ad T rtangulum D E C, & cbnverfe fimul & inverfe eric, nt «e plus E F, ad «6«, ita AED plus DEG, adAED; fed<*eeftadfemiperipheriam* Kg, ucfe£tor AEDadfemicirculum.AKB; eritigicur ex sequo ut & e plus E F ad femiperipherijm, ita A-ED pli.S ' DEG ad femicirculum: fed;exiis'q02dempi3i^ca.^\rf^fi-_G'y7 • c.loide, qubniam EP eftadBafiri'BMitic':angfiitisi;A'iB^^df-- i aum, five arctis a i ad femiperipheriam & % /Siqtta: quldem aequ.:- lis ett ipfi B M; ergo & e plus E F aequatis eft ipfi F P: eft ergo ut F P (vel B G) ad B M (ftve ut R ad S,) ita Mixtiiineum A E C ad femicireulum A K B. Quare feffltctrciilus A K B per punauin dattiffl C ita fecatur a linea CE ut parstk ad totumin dataratione R ad S. Quod erat faciendum. ■ . -" •

Sebo/ia.

Qitod fi punaum Cfit in ipfa extfemkate Diametri, puriaa C, B, /3, cointident & Bafis B M cequalis eft peripheriae Gerikoris; Quare Cyclois eft Primaria, & du£tis G P, P F eodeffl modo perfickur Problema, & facilius demonftratur..

Qitod fipunaum C fitextra ctrculum produaa Diametro,' Cyclois erit contraaa , & Mixtilineum A E C, non folum aifignatur femicirculo minor in data ratione, fed poteft etiam major effevelaequalis.

Demonftratur a Keplero ex data feaione femkirculi a punao Diametri, poffe femiellipfin quoque apun£to 'Axis tranfverfi in data ratione fecari; fed idem etiam perfickur a pun£to cujufvis Axiso ...

, C Hinc

r. ' T>e CrCLOIDE.

'•'■■ Hinc patet ex contemplacione Cyeloidum ad eundem modum.

innumera alia problemaca perfi.ci pcffe de fegmentis , Triangulis

rnixtilineis, & Lunulis, iive componantur ex portiofiibus circuTaribus,

circuTaribus, indicaffefuffrci-at.

■ . Veruntamen, cumCycloisfit Linea Mechariicanon'Geometrica

Mechariicanon'Geometrica non vere folvuntur problemata, fed Mechanice perficiun';

perficiun'; - . tur, non enim magnkudfhe datur Linea G P; unde interfeaio P

non datur-Geometrice. Fatendum eft enim nullas Interfeaiones

. -,' Gesinetrlce ddfi-pmerquam Reaarum , & Interfeaionem

Rease & Curvse (uc quando Re£tafecat Circulum au.t feaionem

Gbntcam) non dari quatenus talis,;eft> fed. quatenus eft communis

incerfeaio binarum Reaarum inipfa Curva,' ica ut ■■_(ex<niicu.ra ■

- Citrvae) uniformem quandam ad invicem habeant Ubique Relationem,qu3effiquationealiquapoiTitexprimi.

Relationem,qu3effiquationealiquapoiTitexprimi. Cycloide, vefo

Relatio iiuer P G & P F,five iiuer Arcum majoris circuIiSinumque

circuIiSinumque fimul fumpcos, & finum Verfum, perpecuo varia eft

& difforfflis. Pofico aucem punaum Pdari,"non deeft eontemplatibfii

eontemplatibfii &pulchritudb Geometrica. .:

. Quicquid perficitur hoc modp per reaam fecantem Gycloidem,

Gycloidem, etiaffl fi circulus fecet Evolutae curvafn. Evolutam

. ' autem appetlamus fuperficiem Unguls Cylindriacae. Sunt nliseetiam

nliseetiam tanrundum pr«ftanc,quarum etiam incerfeaio'

incerfeaio' " nes Geomecrice nbn dancur.

Non inutiiis eft contemplatio Cycloidum qu# generantur ex circulo fuper Bafim circulareitt revoluto, hujus generis vocentur Epicycloides , talesenimcurvasPlanetae ittEpicyclis veaidefcribunt. Qjiafdam habent proprietaces Cycloidutn proprietatibus non abfimiies, quafdam diverfas & magis perplexas, praecipiie Epicycioides.Planetariae,in quibtts motus non funt sequales, Verum haec omnia profequi npn eftpracfencis Inftituti»

' flNIS.

DE CrCLOIDE.

Nobilijjimo DoBijJimoque Viror D. G H'R-1 S TI A N O H u:;G E N I O»;

Conft. F.

JOHANNBS- V V A Llil S \ ."

;. .'-&■': ■-"■■;

U-M ea quse ciim his accipies, Vir Nobiliffime, diu? tinas preli moras.exfpe&abant,Uteras Tuas 9°Junii datas, poft menfem circker ac.ciplebam. Quaeparcim promiffa mea, de liifce cibi commiiiucandis pridem faaa, memorant; parcirn iibros aliquoc a Decconvilio

Decconvilio Pafcalio edicos,>.quos lllufinffimus Careavtus diftribuendos miferat, huc deferendos eurant; quos ego ftatim acque accepi, cum officiofa Carcavii falucacione, uc imperatum erat, diftribuebam. ■ .

Promiffi mei fidem quod attinet", "habes eam his fcriptis libe- I racam. Derconvillii vero Tra£tatum,(de quo & fencentiam meam u five Tuo five & Carcavii nomine petisj tum arripiebam avidus,- tum eodem pofteroque die evolvebam; & atuminisplenuminve-v riio.Eumque itinere eb mktus impedko aut inofterifo pede pervolabam,quia nec a noflrisplane diffenrientem reperi, nec rfiuttum abfimtli mechodo incedentera. : quod poftquam fua cum noftris coiuuleris, ckbdeprehendes. .

Cum autem Vir Clariffimus jamdudumde hbc.negoriomulta medicatus fuerk , (quod Gallos jam a viginri vel etiam qtiadraginta annis occupavit;) iilaqtie ipfe propofuerk pioblemata, (num fibi tum temporis penitus perfpe&a nec ne, mihi nondum xonL

xonL ftat;

Dettonvilii, traBatust ...

1 ,:

<De CrCLOlDE.

ftat'; at magnam falcem eorum partem fibijam perfpc&am effe,

non dubkandum, credb:) omniumque undecunque ex eo tempore

tempore hoe negotio fcripca, «atque hac occalione ad D. Carca-.

vium (utdefiderabatur) tranfmiffa, evolvendi naaus oppOrcunitatem,indequequodad

oppOrcunitatem,indequequodad tranfumendt, vel ad fua

• faltemTenfa perfiicienda anfas rion leves arripiendi: noiv diffiteor,

-accuratiora longe ab rpfo forfan expe£tanda; quam a me, qui foliis

& rudis huc acceffi. Pfoeter enirn. eaquae apudTorkellium ex-,

ftant, qiiaeque apud Schoteiiium in fuis ad Cartefium annotationibu?,

annotationibu?, an & quae apud Tacquetum,) riorimeminfirie,

anteexpolka hac problemaca vei legiffe de Gycloide quicquam,

vei medkatum effe. At interim. non piget, ea quae & nobis in

hoc negotio obvcneruiu palam facere, nec (fpero) Iftarum rerum

perttis difplicebk. ,. ..

, Verum orandus erk vir.Boaiifimus,. ne plagti nos infimulare

vetit, (quod de Torieeilio infinuatum video; quam jufte, hefeio,

faltem pa.rum candide poftquam per coc annos fuerit demorcuus:)

fi force eadem & fibf & nobis non faro occurrernnc, (praefertim

cum ipfemeaprius infpexeritquamego fua:) neque etiam ut jnvenris

jnvenris derogatum ire veiit, ti forte horum n.o/inulla vel

ipfe vel Robervailius (quem pro conjunaa perfona habeo,) prius

invenerit. Dummodoenim ipfi fuaapud fepremunf inventa, nec

publici jurisfaciunt, mtquum plane effet ni & alios patiantur ea -

quafeipficelantitideminvenire , atqueinteriminveniendi (fiqua

fit) gloriam reportare. Sienimnobis, verbigratia, (irit.er alia)

proponacur inveftigandum(&quidetn fubpraemio) tanquam res

ardua & difficultatis plena & quae mercedem meteatur ; Quanta

Quanta Cycloidis circabafem converftone magmttsdo : Non

npbis id obeffe debuic autfamae noftrae, fi Robervallius aliquando

(ance aliquoc forfan annos,) clam nobis,id etiam invenerit; neque

fitumego, tum & alii, idipfum proprio marte inveniamus

(nec interim alius alium inciifamus plagii,) minus propterea inveniffe

inveniffe fumus, quam ipfe Bobervailius: (eadem enim in

ebdem aperto naturae campo avvariis inveniri nihil prohibet.)

Quam quidem inveniendi laudetn fi prseripuiffe velienc;oporcuic

id nobis uc jam invennim exhibuiffe, non uc nunc inveftigandum

proponere. Qyod & de reiiqiiisutrinqueinventisparkeraiaumj,

efto.

£e'

DS crcLoins;

Et quideffl maluiffem, vel hoc nomine, ut abftinuiffet Autho:r Hiftoriolae de la %pulette,- faltem eis quae in TdrricetHum diaa furit; (in Torricelliuffl, inquam; nam de Latouera minusfuin folicitus, ut quifuperftes adhuc eft'in fui Apologiam;) quamuc meritiifimum virum,- jaffl per multos annos demortLium, fuggil- , larer. Torricellium utiqueex fcriptis novimus cuffl virum do-, aum efle & Mathematicum, tum de Mathematicis optime mericum; credo, &ingenuum. Necyideo quid apud ilium adiriffum fit, quod Ctartifuno Vi.rO., vel Roberviallio etiam, cujvs partesiagit, bitem moveret. Edidit Torricellius, -anrio 1-64:4, inter .alia , demonftrationes fuas de Cycloidis area circuii genttoris tripla: quod quidem cur ipfi non liceret, non video. ■ Demonftrationesillas, fuas effe, nonnegant; nee caufaritur ittum Robervailii quicquampro fuo vendkafle. Non dixiu quidem, (nefciebat enim, vel ipfis id fatentibus,) fed nec negavit, Roberyallium hoc etiamdemonftraffe. Qirod jam cUmvel;publke notum erat, vel hon; Si fic, Robervallio id irijurium effe non poteft', fi poffillum alius idem folvac prdblema, magis quam Archimedi quod poft illumidem Torricellius demonftraveric qtiadraturamparabolae; Siminus, falcemTorricelliofuecenfendum noriericqitodipfenefcivericquid vel irifcriniisfuis-apud fepremerec Robervallius , vel etiam amicis fuis communicarer. Nos faltem Torricellio plus debemus, qui demonftfationes fuasjain palam fa^as vulgavit? quam, qui fuas adhuc fuppr iinit jiRobervallio. Ecquideminiquumplarie judicamus,.uc, fifuas nolkRobervallius cypis mandare, nonigicur liceac Torricellio fuas. At Galilaeo,inquiunc, id affcribic Torricellius quod Merfenno debecur, &,quodRobervallio,,ftbi. Ac bona verba,.quaefo: Siquidem ego neucrum horum video. Erat.utique fuarum foiutionum Author Robervallius, & Torricelllus fuafum non minus. Sinfua intereffe pucaverit Robervalliusuc fciacorbis priores fuas effe, ut uc id nefciveric Torricellius; liberum id illifuic , hoc indicaffe, nec erac ad hoc neceffeucTorriceiiium,hujus nefcium,fuggillet, aut iritquisfufpicionibusoneret. Ef quiderh tantumabeft ut,in derogarionem Robervallii, fe pfoblematis hujus folutionem inveniffe primum; aflirmaverk, ut ne quidem fe inveniffe dicat: Sed fotummodo propofitionis ;veritatem profeffus , fufs eam demonftrationibus confirmat, Quodquidni impuneptjifit, nonvideo.

L 3 K%

,DE CTCLOlDe,

At fiefi poffit,ut inter Galilaei fchediafmaca,Beaugi'Andi fcriptuih viderit, quo demOnftratiotteitt Rbbervallii, celato nomine , ad - Galilaeummiferat; unde anfairifuisartipuiffeipoffit. Nempehoc .fufpicantur: Num autem pro,comper$p habeant, ignbfp; nec nifi hoe faflus fuerit ipfe, quod nori affir:iriant, unde id fibi cpnftare poliit non^locent. Sed, ut. ut fit; vfipfi furrepcas inde demonftrationescaufantur ipfuraprofuis.iyeridkaffe, necnegaiu fuas effe - qua.s exhibec' Quodnaffl igkur fit, c,ujus Infitnulent.,. criminis,. plane non inteiligo: nec , praeter finiftras fufpiciones, quicquam , quqidconftet afferartt. Iino vero, inquiunt., (quod palmaritfm eft apud eos argumentum,) iiteras ipfius fflanu fcriptas habent-, quas ut K&!WIKIOI? quoddam in hunc diem confervant, (quafiquidem res ipfa tanti effet, ) quibus- Robervallib priraas concedk itt hujus Problematis folurione. Nempe Vir ingenuus, cumtandem intellexerit, quod dum librum ederet nefciebat ,Robervalli«m eciaffl (clam ipfoj "ho.c idem demonftraffe, utitt typis illud , non vulgaverk, (quod necdum, credo, fecit,) non aegre faffus iiluderac. Verumhoc fibi cuminnotuiffe cum librumederet, nec illum eonfeffum dicunt, nec affirmanc ipfi ; imo concrarium docent. Qyid itaque culpent nefcio, nifi nefas effe velint, ut quifquam vel inveniat alius,vel in publicum emittat, quod fibi forte clam cognkum, apud fe premk Robervallius, vel fuis folis notum malir. Merfennum vero quod fpeaet, cui derOgatum infinuant quod Galilaeo cribuituf: vel nuilo quidem , vei perexiguo, . mihi vifum eft ftindarnento nici. Efto enim quod voiunc ipfi, Merfenntfm faltem arinb.161.5 hanc confideraffecurvam, la Rouiette fibi diaam; atque de hac tum temporis Geometras interrogafle: fi tamen & verum fit,quod prodk Torricelliiis(quod quidni fic, nott video , necdiciintiili,)hanc.ipfamiineam^GW/- Uojamftupra45 annum,(adeoque annofaitern 159Q,prodiitenitn liber ille arinb i 644,) Cycloidem vocatam Ecquid, qusefo, Merfenno derogatum i.tur, dum hoc dicituf? Nec quidem aiiud de . Galilso diaum,qubd huc fpeaet, apud illum quicquam.reperio: de MerferinOjiiihil. Etquamquamnolim fibt fuum reponete , ce futMnJujetkerireenErance; at nos certe, qui minus forte fumus quarri Galli fui ad-fifum prbclives, miramur falcem (dutn Torri■cellii verba cttm hac hiftoriola.comparamus,) quid illud tanti fit, qiiod tantis hifce queftibus fubilt fundamentum, (Qjrafi quidem

Nelius

D S. CrCLOIDS. 79

Nelius noftef.Heuratiumveftrumejufdeminfimularec criminis^ qui id ipfum fe primtun proferre putat,quod jam ultra duos annos, apud noftrbs paffim innotuk, fe tamen infcio, & a pluribus demonftratum.) Sed nimius forte videar in aiieno negotio. Ignofcenr, interim Glariifi.rni Viri (quos ego veneror, & Merfennumfuum) fi;parciusiftadiaamalim,quibusin doaiffimi Virj, &bene olimmerki, fairiam, riulla neceflkateirivolatiir. Cptaffempotius , uo, fiquid apnd fe tanti habenc , quod fibiab aliis pr^reptum; nollent, quo tuin id fibi fecurius afferant, tuffl in ufus pubiicos magis conducat, divulgent ipfi; ut non fit opus ea fibi tandemexpoftliminio veridicandi. Salcem, "fi, duffl hoc:ipii ■- negliguntj idaliialiundedifcant, vel tumfibi fieri injuriaffl nori caufentur, vel fibi a fe faaam irttelligant. Sed his.miflis;adDet- :;:;; -;-■' tonvilium noftrum redeo. : ; ... :;;;'.; ■;'';" ., y .

Qyam autera fuapleraque, aliis licec Verbis, in mets etiam'

excent, erat quidem mihi aliquando in attimo, coltatislocis, di- =■ '

gito indicare, acque in eum finerfi jam ante accuratius perlegiffe,

(vixenim aliter, quam, quod aiunt, tanquamcanis ad Niluinj

inrra biduum illud quod diximus, fftmffla quaeque delibando perlegimus;)

perlegimus;) cum per otium hf£it$hus non ticuerk, id c-ibi tamen

tamen ucrumquie perlegeris faciie patebit. Quae tafflen non eo

animo diaa yeiim inteliigas, quafi Clatiffimi Virl meritis dero■

dero■ velfiniftrarquiequamfufpicionisialere ; fed falfeiti

ot reipfa conftet, quam in rebus hujttfmodi mirum non fit, varios,

varios, longe diifitos, nec ab invicem edoaos, dum eafdem

verfanc res Geofflecricas, in eafdem irem fpecuiaciones incidere}

adeoque non cemere alius alium infimulare plagli, (inhocpraefercim,

(inhocpraefercim, feraci feculo,) vel eciam aliis, qubdipfe

prior inveneric, vanusinfultare. Nam Invemjfe^ quidem Acuminis

Acuminis ac, primum invenijfe, Forcuns: neque enim minore vet

fubtilkate vel acumitte pofterior idem non faro inyenit, quod

alius (fe nefcio) invenerac primus.

Cur aucena exiftimem Cl. Viro, haec omnia fua problemata non fibi tunc perfpeaa effe, cum ea propofueric; riec antequam - aliorum hac de re fcripca ■, ad D. Carcavium miffa, infpexerk, qua» perpoliendis & perficiendis invenris fuis adjumento effe poffint: multafunc quae fuadent. Sufcepit ucique viti Cl. jamab Initio cum fua primum expofuit Prpbleiriata 3 nbri quidem fe iila

."'",'"■ " poffe ' * •

3o DE CrcLOipe.t

pofle.ofnnla abfoivere; fed faltem, nifi quis aliiis interea folvetic, 1 fe,ea qm invenerh ipfe ,nonaliis invifurum,unde majorajam inventis ■hanctfcantur: Quae quaffl caute dieta funt, vides.Fallor etiam,vel ipfius fol.uttbnes (quaiitum ex levi infpeaione coliigo) depen- -. dent.excognkioneiongkudittisCycloidalts lineae,ejufque in data ratiorie divifione, (nequeenim, ekrahaec,illius.figurajr.3* ad .praefefites cafus:omfiesaceommodabkur;)quarumeuminventio-' i nem NVrefinio nbftro attribuat,-npn afiteinfpe£tas Wrennii literas cognbyiffe cenfendus erir. Et quainyis hocinVentuin Wrenniiexcenuatumirefatagat, Gallofque fuos innuaciftius, cum innotu.it, detnbnftrarionem fuppeditare poffe: rion tamen affirmare fuftiiiet, veiid fibi prius infiotuiffe, vel Gallorusn fuorum quempiaifij ne privatim quidem, cuiquam innuiffe perfpe£tam fibi effe iftius lineaevel longkudinem vel in dara ratione divifionem. (Ac Interim candoreforte defideremus, cum videp exceronl inventa,, quae apud D.Carcavium clam reponenda videbantur,cu Gallis fuis etiam ante indiaum dieni ftatim communieata; quo^fi nonaliasj faltem ex his infpe£tis valeant quscfita folvere.) Addoinfuper, Pofteriora quaefita, quae tandem ipfa proponit Hiftoriola , quae ex iftius curvae in data ratione divifione dependent, indicio funt illius longitudinem, & partium fuarum, ignoracam prius effe, Neque alia apparet ratio, cur non eadem una cumprioribus proponerentur. Sin mea mehac inre fefellit conjectura, eaque fibi omnia pridem perfpeaa dixerit, Pafcalius dicam ? an Detton: yitlius; noncoritendo: necinvidebo fibi , fed gratulor Invenfa ' fua.:,.;.' ■■■.". ;. ;■'■. ■

. Defingulis autemfententiamfigillatimferre, obcaufaffljam

memoratain,hondum valepiNon yideo tamen quin,quae aliquatenusperpendi

aliquatenusperpendi & rire demonftrara. Atque ea fpeciatim

(dequibusinterrogas) delineae Parabolicae &Spiralisaequalkace.

Q_iiarayis'eniraift.ius demonftrationein nonduraperlegerimjcum

tamen propofitioilla verafit; eamque fic effe, uc alias, ficexde\

ficexde\ per'infcriptiones & circumfcriptiones figurarum,

ipfe antehac perfpexeritn: non pronus fum ut fufpicer Cl.

Virum demonftrando lapfum effe. Quod eo liberius pronuncio,

pronuncio, F.obervallium antehac conqueftum intelligo, mepropofttiontm

mepropofttiontm ejfe temere affirmajfe : quam quidem ego nequetemere

nequetemere omnino repudiaveram, fed demonftraticnem

tantum-

DE CISSOIDE. ■.■■■■

r ■ v ...» .■ ■ .--.

tantufflfflodo ut abHobbioprolatam, uf ififuffieientemimpfbba-i ' bara: Propofitionemipfam,ubiiUainexaminaveram,. ve.ram:de-i:' prehendt. . .:. rr: ; v •_' ;i ,.v;.- ■ „ ;■;' ;■_:.'".

v Caltuluffl , quemiiie totumomittic ,. fundameiua tradkliffe' contentus,nosiiuegruiri'exhibuimus,ufquead cafuniiflum-qi/em. ipfe ex omnibus felegerat, nempe decentro gravitatis femifbiidi . femicoriverftone femicycloidis. circa bafin deietipri.j (& qujdettt; foltdi iiuegriiejufdem converfione cirea:axemfa£ti;); Putayerami; etiam::.adre,liqup.s kem cafus (prius iquamreni:ppepK abfotvef int);' calculumperduxiflei.; eum falcemqui ex § 65, 66, coiiarisfup- , plenduseft. Sed cum intereatemports. prodieric' Dettohvilti" tra.aatus, nihil deinceps addendum cenfui; rieipfiusyitula.araffe'' ' videar: Adeoque prout Menfe Martio. cpnfcriptus e-fat,: atque ad Honoratiff. Vicecoffl.^w^r.ftatirh tranfmifftiS:, eodeiriptaiie ftatu in publicu jam.emiffum traaatumhabes. Potilifferiiqiiiaeth" proiixius fflulto,& tnagis ad pompam,hoc totum opus perduxiffe, quod & tyronibus fotfan & rebus'hifce minus exierekatis fuiffet oratius, fi per DefinitionumjLemmatum,ProblematumiTlieofe, matuffl , Scholiorufflfolennitatesiincedere, & Iongcapparatu' lineares ubique demonftrationes iadornare.vellem.' Sed tibi,credo, non minus pkcebic coneinna brevkas, & in paucis mulca; qui, vel digito ad fontes intento monitus , demonftrationis viffl f^- cinae tradkaffl non mirius affequeris,quam fi cantaeffecfoleiini-; cate in longum protracta. Sicubi vero in mtiltiplici calcul6.(qu6d:' offlninb eft poffibile)! numerufflpro numeropofituffl deprehehdes, id indicare non grayaberis & condonare, Atque-haec funt' * quse tum de-llliin tum de Noiko tra.aacu moniifie yifumerat. :: Sed,,piiufquam Cycloide.mpenitus dimittam ; noningracum tibi fore credb fi magriaiffl iliius cuffl Ciffoide conveniehtiam oftendam. ; . ;" .. "... ■■'.:.- ^ ■; ..

•;Prppofuiftinonkaptidem , de Ciffoidepfopdfitionempere-i. lagantern; .NempeiriexpbfitalineaCiffotde,;.Q Zi Z,- cujushsie; mtura eft, ut reaam . Z. z adC tendentem, ciflbide & femicir- 1 ouii C z z peripheria incerceptam-, bifariara fecet G H re£ta. ■ di.uneno 'F.G perpendiculatiterinljrens incentro G: Spatium F.C Z AF longitudiheywfinitum', C:Z-Z. cijfoidi eh-FA circttlum tar,genti.interjeBum,femicircidi. F;% G, ,txiyplum'efte: aflierisi, Petis sulein , Nuiri, \xx.'JJyperhoidInftnitM (de quibus cum D. *''." ' ' M Fermatio

- DeCiJfoidc

De c{ssoiDe.

Fermatio paulo ante differueram) fic & fpatium hoc Cijfoidale ex noftra Inftniterum Arithmetica fuppeditare poffem. ■'■ Id icaque ftatinji*qui fieri polfit, fequenti demonftratione indicabam; quam non pigebk hic repetere. .

Sfducatuur tura z G K diameter, cum re£ts K C, & K Z. (diametro GF in L occurrens:) oftendk Pappus 1. 3.p. 5.propter tum Z z bifeaam in H, tum z K in G, reaairi K Z re£tae GH parallelam effc: Adeoquc tum zCK angulumin femtckculo,tum angulosad L, reaoseffe.- Etconfequenterreaas LF,L'K,LC,L Z, continue proportionales. Quod quidem non minus valet de pun£to Z quovis in Ciffbidis continua- . tioneextra femicirculum , quam (quiPappi cafuseft) ubi intra femicireulurn contingit.

Ponamus jam reaam FC diametrum inaequales partesnumero infinitas infinkis pun£tis L dividi. Eruntitaque offlnes G L, ut i,.a, 3, &c.. arkhmetice proportionales , quae fucceffivedicaiuur, a; quarum maxima C F dkatur <D. Eritque L K, (quippe media proportionalis inter CL&LF, hoceft, inter *r& D v- af) *J-.aD*- a*. Cumque fit ut L K ad L C, fic L G

adLZ.;erk LZs ■. _—-,,•• hoc eft ~rrz~r~n—- ^ ■ tJ:aD^a!li V ar. V :U ~- a

- ,0f. A- %" five -/J? —„ vel V ^r—• Hoceft, omnia quay:D_<r y:D_<« u^a ^

drata L Z, funt feries Tertianorum, per. feriem Ptitnanorum in. verfe pofitorum, refpe£tive divifa: ipfxque L Z re£tae, ih hofum quadracorum ratione fubduplicaca.

Qjiod autem omnes V ry—~A h°c eft, omnes L Z fpatium

F Q.Z A F complences, ad omnes *J:aD+~ az: vel *J a% Vt *D — *?: hoc eft, ad omnes L K complentes femicirculum, finu in ratione tripla; exprincipiis orfrithmetica Lfinitorumfic colligimus.

Si feries fubfeeundanorum five V <*, in feriem primanorum a inverfam (hoc eft, inD *- a) refpeaive ducatur,fiet feries D «J a -*a*J <f five D*J' a*-.*]a 1; quae eft ad feriem jfiqualiu five totidem

totidem £ <D vel V 'D'» utf ^-f ad i, fiveut 4 ad 15. (per

■ prop.

-, Fig. 12.'

DE 'CISS0IDE. «3

brop. 64 tt 73 Arithm. Inftn.) Eodem modo firefpeaive duca^ tur eadem.feries *J -<«,in feriem «* inverfam, hoe eft in feriem Q^ p _ <*:vel D*'_ 2 <* D t «*, fiec feries D* V* -< 2. P <«V <*t«V<?, vel 23* -/'<* — 2, 2> yf ,«l1V <* 5, quse eft ad feriem jEqualium, five totidem Dx *J D vel *J D 5, ut f. _ f t f ad i, five ut 16 ad 105. Etfimilker, fi'eadem_feries *J arefpeaiveducacurin alks feries inverfas", prodibunt hx rationes fubjeaae. Nempe fi feries '•y a ducacur iriverfe in

feiies. 1. *. a*. «3.- «*• &c prodibunc

■ . ' • . 2 4 16 96 768 o, '" -

«Wj.. fr ib?':; ^•^5..;^ ■ -. ;■

' .„' 4 ■• 1X2. 2X2x4 4X2X4x6 4x4x4x6x8■ "■; ■

hoceft — -• -^-* 3.___T_,_ x^__. &c.

3 3x5 3x5x7 3x5x7x9 3x5x7x9x11

Si vero hi loci proparibus habeancur, & fuppleanruriincefjeai loci impares; ponendo , in ioco cercio, (incer 1 & <*,) pro ferie V a in V <* inverfe duai, ratibnem 1 ad 2 □ (perprop. 167* Arith. Infitt.) Sicut ratio lociquarti multiplieat rationemfeeundi per f, &Tiaiic ratiofexti per t? c^t. manifeftum eft (ex confecutione feriei j> rationem quinti muiciplicare racioriem cercii p^r^; & fimilker in reliquis. Nempe feries V * duaa inverfe in

• fenes ,7-. 1. *Ja. a,- <J;.a%. a*. >Jay. &c. dabk

V a •

. i\ I; z 1 2x2 i-i „3 2x2x4 I 3 5 „ rationes- \-±,—•—;<•—*-p;x;,'—„ • -^r * •■> * si&c; 4-^2 Hl 3 2Q 3x520 6 3x5x7213 6 8»

• tlnde,in prasfens negotium hoc faltem feligehdum eft,feries \Ja & */ a*- invieem mverfe duaas, ad feriem aequaiium, fiye ad

2)* t=: V 2>* toties fumptumj ut-n-x-^ ad i;fiye uc !• ad ^b.

Deinde, ut feriem */ a jam perpendimus, perpendamus fiffliliter feriem *J a'. Eanempedu^ainferiem-*inverfam,hoceft, in D_ a d.atfer.iem D *J a% _ a *J ^",vel D-■/>*'*-. */ as cui tonvenk ratio f _ f ad 1, five .4 ad^.' It fimiliterin retiquis.

M 4 . " ' ' Nempe -

7i4". •"■'--■ rDe CISSOIDC.

iivi^empe^fei^s.^ ;';■ '^ ";,:":; '

. ;;;; fferiesi r:'yi::'ya. .v.v^::/;- «-i "^-""4^ :&c.-Ldabit'" "J

■ , • „_ii-"i- :2 •'■".■-4''"•■■■ 16 "^ £6 768 ■"". i

•rationes- ~~m, ,——__,.;;——.; —./~-, gcC.. ■ , ^. ;::.:•■. - S^; : 3 5* ; ;3 ^ 5* 34^5 \ 45^H

•: ' hoceft '-\ ?f?.' ^y:^: ^^^^, >^4^i?_,. &c, '■ -';;; :; "-:5 5*7: ;5*7*9 jx^c^xii";.::s;?^.^?jc-i-.K?3 : '•■' ;

;:.'■"-vSfoiiilotipro;patibus:habeirirur, &,{vipj::ie^nrurifoctifflpa-;.

res, ponendo (peririquifitipnem moiofa£tairi)';io:o.re'rtiq.(i:iuer.'

_:* &^, xaripriem ^: Ut ratio lociqharti ffiiiitiplfcat facionem

,fecundi per f; &iitam ratip fexfi peir J; iiic farionemioa tertii

. '".'-';_ i ^"^ipficabltraciovloelqflifitLper |y-r&tio fertii fstionemiprimi

pef f; v&.de ireliquis.fimiliter. Nempevferies .V &h inverfedu£^airi;>.

inverfedu£^airi;>. :'::;;vi :v;;. i ;i;;i. i; :5;'i'■ .■*';. ::'■"","; -

r • " I ' ?:

■;v ^ieries. '^~- 1. >/ ar ar.: -r*/ya, 3. ; <*.*.• V^^&cidat fatioiae<!-\

fatioiae<!-\ "4; -i. «-^xx:;.,,!;.: ■ 3:2x2x4:- ,1 , 2... . <_■ . u. ■:: 6/'4^rjf4^

: Cumigkurferies V «' inferiem -~- inverfe duaa; hoc

'';'•*;»:■, A/ a. ■ -;•

eft feries */ alxyer feriem */ a inverfe divifa, hoceft divifaper •i^:?;^-~:^) fic ad fertein ajquaiium-^. five D toriesfumptuiri y ut

■ *S 1 ■■•■'•

7J jT'a': ad i,hoceftjuc6ad4:Q,vei3 ad a"p ;Ertiritomnes

\ f ■■■.■■ ._■

■ , ' Vr^~—% hoceftomnes LZ, hoceft FCZAF fpatium, ad ■ D _<3*

D rbcies fuinptum, hoc eft ad D% ut 3 ad 2 a . Sed fper prop,

, 16^7; Arkh.;Infinv?i omnes V^^-^^rhoceft LK,\-hoc'eft Cz Ffemicirculus,eft ad'D*,ut-i"adIQ. Ergo Spattumillud eft ' TriplumSemicireuli., Qupderatoftendendum. v

Sed &exabiindantioftendebatfi , Diai fpatii lineam centri

oravitatis.rea*., F, A paralielam ab eadern diftare fexwpartedia"

fexwpartedia" nietri: item, fpiiduiriT^tumex converfionedi6tifpatiicirca FA

ut axera j;«qualemeftefolidp-exconverfibne P% C femicirculi

" ' circa

. DE cissoir^e. J

circa eandem FA rangentemjhoc eft, fcmicylindro cujus bafis fit

idem femicirculus, & altitudo tequaiis totkts circuli peripheria;:

Item , folidumex ejufdem converfione circa i£iam C a. folidi

piiorisqtintiiplum: Solidumvcro ejtfdem converfione circa CF, /

imgnkudine infinkum: Centrum cenique gravkntis nufquam

effe. Nempe hoe modo.

Pof.ta linea Kquilibrii C<s:, erunt momenta re&arum LZ,

/j3- ' feries cornpofita cx fctie magnititdinum L Z, hoc eftVr, —

D _#

& uifkntiarum CL hor eft a; adeoque ferics moir.encorum a*J

a~ a' ■

W' * vel'/ _." --, Cujusratio ad fcriemarqualium, hoceft

ad momentum qi.odr.iri diamecri cx pttnttoF fufpenfi, fic coliigitur. Seiies *J a' inverfe dufta in

feries i." a. a*. a*. «*. &c. dabk

rationes \ A a*2X4. _^«4^ ;"_^^?_. &<v ■ 7 7*9 7X9*XI 7x9x11x13 7x9x1I>I3x15

Adeoque cum feries *Ja in feriem V <*s inveife diraa, rationem

exhibeat (fupra inventam) * \ * % ad 1. hoc eft 5 ad 3 2 D;

L y 2D 6 8 J

fupplebimus interjeaa loca vi analogiae, ad hanc formam, Nempe feries *J as inverfe du^a in .

feries -7—« 1. *J a. a. *J «**...• ax. *J-'d'.. &c. dabk ratioV

ratioV ;•■'■•'■•■■" '"■": '•-.•..

*V'? 25 2X4 '5 3: 2x2*4: '5. :■:-■ ';2i,":vi;5;;;ov, , nes„-)——„-,—>—.—.—i-.x -^.■-.■■■:' -;;%<■ A-x t3-x -?-;&c. 8^32 p 7 310*7x9 32 D io-7><9Xii .32^ ; ip. .14:';,,i

Momentakaquepmnium L Z,(hoceftfparii F CiitiAF)in;:fiiqfuu, ad mbffleiuum totidem. C F, five D, hoeeftjp*, indiftan- '

tia maxima, hoc eft ex punao F fufpenfi, ut ~J -^- - -' adi -;fiye

vtt 5 ad 4 p: Adeoque (propter magnitudinem fetriicircuii a4 : * dlametti quadratum , v\t 1 ad 2 D) admoiriehtum femicireuii « ibidemfufpenfi, uc,5ad;»-..$•.velfufpehfiexG.centrbjhoceft>ifi;

"".','. M 3 ' fu»

DE-CISSOlDe.

fuofuu,ut 5 ad i. SpatiumigkurFCZAF iufuoficu, aquipondefac quintupio femicircuiiinfitu fuo, five in diftantia C G fu-. fpenfo-; adeoque femicirculo in diftantis CG quincupla. Ec confequeriter (propter diftantias magnkudinibus recipfoce propbrtibriales): cUm fpatium fitfemicirculi criplum, erkdiftantia diftantise fubtripla,"hoc eft £ G G, vel.£C F, nempea re^a C <*.: Adeoque-t C G vel %C F a re6ta F A. Tanttindem itaque diftac iftius fpacii iinea cencri gravitatis (&, fiquod eft, ipfum gravitatis;;centrum);a reats illis G <t, F A. Quod erat oHendendum. Idemeodem modocolligkur, fumpta abinitio ,■-aequilibrii

linea F A. "Nefflpe cumfefies magnkudinum L Z fic V D—

& diftantiarurn D _.^; Eft exutrifque compofita feries momentorum

momentorum r> „ ifi -D '*-' a: hoc eft */ a~ in '</: D _ a: hoc eft u _ a

feries.*/a' in-feriein */■ a inverfeduaa ; euiconverik (ut fttpra)

ratio i ad 4 p. Mometuum itaque d'kti fpatii iriifiio fitu (refpeau

(refpeau A reas) eft ad motnentum quadrati F C in diftantia F C

. fufpenfi, uo 1 ad 4 D; adeoque ad momentuffl femicirculific fufpenfr,

fufpenfr, 1 ad 2: Hoc eft, aequiponderat femicirculo fufpenfO in

diftantia i F C, hoceft expunao G centro, hoSeft in fuo fitu.

Cum igicur fpacium illud Ciffoidale in fuo ficu arquipoiidefac Semlctfculoinfuo,

Semlctfculoinfuo, reaae F A;)fitque fpatiumilludSemitireuii

fpatiumilludSemitireuii Eric diftantia diftantiae fubtripla ; hoc eft

j- F G, vel'i F C, nempe a re^a FA; Adeoque i F G, vel i FC,

; a reaa C;i«. ut prius. .,

■Atquehincftatimeqlligimus; Solidumex converfione diai

fpatii Ciffoidalisj ad folidu ex converfione femicirculi, circa ean;demreaain

ean;demreaain effeuc^ad 1, (nempeucplanorummomenca

' refpectu ejiifdem G* reaae:) Ckca reaam atttem F.A (propter aejqualiaplariofumomentarefpeau

aejqualiaplariofumomentarefpeau reaa;) sequalia effe folida.

. Stquis aurem quaerat, de folidorum hujufmodi femiconverf0nefictorum,centrigravkatislinea,fiveejufdemab

femiconverf0nefictorum,centrigravkatislinea,fiveejufdemab A vel Ca.

" diftantia: Id eodem plane modo iriveftigabkur. Qui ppe cum femicyliridricsifuperficies

femicyliridricsifuperficies LZ femiconverfiorie faaarurn,

' fihcreaarumillarum.motnencis proporcionales, hoc eft(fefpeau

*■'■■'" t A

rea« CA) ut v n" 5 fuorumque centrorurftab eademreaa,

Fig.21.

T>E cissoiD e:

In ratione radiorum C L, hbc eft a; :erunc omnia momenta fuperficierum

fuperficierum femicylindncarum, feries a */ *__, Vel

■■" D'■'_ arK '■

^DZ^," Cu)UVferieiratioad^

Series y<** inveffeduaain ;'".;'.-

feries '■■ «. a. .:**.- '<*»:.. •',■■„*.■■■ &c. dabic '■■■''

rationes-* **? ,^^4_. _«**££_.. _^4^1_ .&c9.9x11 9x11x13.9x11x13x15^ 9x11x13x15x17 ^ 1'

Adeoque cumferies V ,* i" ferieffl *J a[ inverfedubta (ucex -

inquificione primum fabta coHigicur) fic ut -— '<* £"'x -5 x 32

32 6 8 10 advi; hoeeftiic 7 ad 64 <-,• fupplebimusincerjeaa loca ad hanc formam. NempeferiesVa\inverfeduaaliv ' ■.--;.; •• ;.

feries -j-.. 1. *J a. a. r<J ay-. a*. <Ja>. &c. dabit ratioI

ratioI 7 2-- 7 2x2 7 "3 2x2x4 7 4 <

•npc 1 '—_.^_____-—- ^-—-■ .-■—- v —'• .—-— x ' X '.

lo^^^D 7.640*9x11 64 o 14.9x11x13 640 ia 14 &c Momencutn igitur fuperficierum omnium ex reaafutri L Z circa C <* femiconverfione faaarum,in fuo fitu; hoc eft,fplidi ex fetniconverfioije fpatii Ciffoidalis circa C<* momeiuumih fuo fitu, refpeau C« feaae; eft,ad totidem i£qUalia,nempe mpmenta totidem fuperficierum, reitis CF aequalibus in diftanciis C F femiconverfis faitarum, ih diftancia maxima fufpenfarum, uc

•—7 -i— ad 1, fiveut 3 c ad q a «-..■ Eftaucemmagnkudo ad

io*' 64D ' J} ■ u '■.,'■'

magnicudinem, ut 5 ad^p, (momencis ucique planomm proportionales:) Ergo diftanciaad diftanciauc 7 ad 8:Nempef iftius diftancis quamhabec cencrum gravkacis femitirculi radio CE deferipci ab ipfo C: quae quidem non eft coca CF reaa, fed (prdpcercurvaruramfemicircularern)illaejusp'ars quae eftadtoram . uc Diatnerer ad Semiferipheriam.

Similker, faaaconverfione circa F A, femicyiindticse fuperfities reais L Z defcripcaefunc uc *Ja~- in V: D ►- a-. (quippe . momentis reaarum proporcionales;) dittantiae vero cenrrorum fuperficierum illarum funt uc radii converfionis, five diftantia: 1 £>*-(*; Ergo fuperficierum illarum momenra funt uc <J a}, in D^a. in */:D _ a. five ut P *J a* *- </ AS in *J:D _<*.

Eft

$$:: - . VDE cissoiDe.

Eft aureiri (per fupra demonftraca) feries <D *J a%. in V: D _ a: five feries D *J a^ in feriem *J a iriverfe, ad feriern squaliuiis

u't i ad 4 tj" iEt -i/a"- in A/ <« inverfe, ut 5%ad 3 2 S; £rgp JDV <**

^V^in^Wihveriejut ~g-- :^D ad i; hoe eft , ut 3 ad

32D. At;feries magnitudinutn.adiEqualium feriem , inventa eft

u.c i\ad.^.t3.;. Bfgo, propter —: J ;——^ T |, diftantia, ad dfftantiam,ut

dfftantiam,ut ad 8. Diftanciaitaqueline«cencrigravitatishu;iis femi.folidi circa F A, ab ipfa F A, iifttus rea^e qua? eft ad. F C-' iit.dialneter adferniperipheri.amcirculi. :. Denique , Si fpatium illud Cifibidale .F C Z A F converti in.- ... telligamus circarectam C F: Circuliradiofuffl L Z,(quippein

radiorumrationeduplicata)eruritfefies-p—-. quse ad feriem

sequaiiiuri'',nefflpeto.ticiemcircuips radioru.ni Z> MJ! CF,-ratio-•' riem h.abent iiifinitam; adeoqueieft infinkse magnitudinis. Quod

fic colligimr. Series^finverfeduaain "'.'.-,

. fer-ies,; 1. a. a*. -juV .- ■ «*• .&c dabk

: :.f I 1X1 IXIX2 1X1X2X3 1X1X2X2X4

. . ratidnes, -. — . >. -—-H- 7^-5 • ,&c«

'4 4x5 4x5x6, 4x5x6x7' 4.X5X6X7X8 .

Cum igitur raciones continuentur (uf patet) multiplicandpi proximepracedences perf,|^,&c. barum prima fflultiplifare debet prsecedentem per % qu§ igkur eftet |) £ (*. AdeoqueTefies

AdeoqueTefies 3 inverfe duaa in feriem --, >\hoc eft,feries _ Y

a , & _ ay

rationem habercc ad feriem sequalium 4 ad ,0: quce eft infinica. Ipfumque..folidum.proptere3effet magiiitudinisinfinic». Quod' icem oftendendum erac. . - ".. ■■ '..^:

. Sed. & pfopcerea, mOfflentUm plani Ciifoidalis F C Z A F refpeau F G re-aaej-effecad momentutn quadrati F C, vel D*,- ut 4 ad o,. (propterplanorummOffleiuafolidiseoiiverfionefaaisproportionalia,,) hoceft infinitum.- Et confequenter, cum fpatium fic magnicudinis finits ,'diftantia centri graykacis effec ..■"■•-•'■••'..■■..'. ..',. ;,.,..:,.■.' . i-..; : ;.:..;: ;;;infinit^

t> e G I s S O ID E. g ■

infinita: quod igitur nufquam eft. Qupd ulcimo fufcepimus oftendendurn. ^ ..-.'■.

Sin de folidorum hujufmodi femiconverfione"circa FC centro gravkatis inquiratur. Cum femiclrculorum radiis LZ defctiptorummomenca refpeau ejufdem F C rease, fintin radio..'"'-

radio..'"'- . . ■ .'■ a.k aK

mm racione cnplicaca-.- erunc lgicur uc Senes £-~_ j _— - . '■"■-.,-■.. D _ a-~*' Di-a*

' aiz ' -■ ■

fiveucferies */ —, —TK.T:—-8 ^, m,' hoc eft uc feries

P* _ 3 ^ £>* T 3 «3* £J^# 5

V^ 47 ittferiemT7;«J inverfeduaa. Series aucem■ */a^ 1 inverfe duaa in ; "

feries' "i. a. .'■ \a*. ;<**..."■,.'-. ^.;&c.dabk

raciones-. aXa » axax^ * 2x2x4x6 2x2x4x6x8; :

29*29x31 29x31x33 29x31x33x35 •29x31x33x35x37»^°*

Cumigkur, (uc ex prima inquificione continuata; patebk,) , feries */ a*" 1 & *J\a inve-rfe.multiplicatae racioneffl exhibeant

1 3 Sxf^7 9 IX J3 x5 17 19' iaii.23 2 a 6 8 *io 12 14 16 18 20 "aa... 2.4 ,26,,

'* ^l x - 7, quse (fugplendo loca intermedia) iriterponendaeric • ■...-■' inter 1 & a; eadem racio-per --: divifa convenic feriei■*/• *" in■'■'■

. j— inverfe dua«, acque httc icerum per -^V divifa conveniret

«1

feriei momentorum expofits, nempe, feriei V <** 7 m ^—

inverfe duaae, fiveper V<* 1 inverfe divifa. Ex qua denique ratione

ratione eximatur item ratio magnkudinum ^ modo reperta,

prodibk^ * ■~i-x —V-j* * i * |x&e.«ftw* ^x^iif /»/>**; e o 28 ~\o/z& 6 8 30

. N . ' vel. .

'Curvarumtv^iivmfy'

vel °*' —X|-X-~V8JC qus etiam adhuc (propter_:i

■ 4 ,_ i . *i ,4;D, : , ,. - •,■■■' ■

quanckacem negativam) erlc racio Infinka; (netnpe uC o ad numerutn negacivum; quse non mirius eft racio infinka quam uc numerus pofitivus ad o:) Adeoque centrum gravkatis nufquam.

,Vides.itaque quofflodo e'x Irfinitoruym ^4rithmet.ica. Expofi-' cam;prPpbficionerri(cumlucro)abfolvimus. Atquehse fere funt ,qu$ difeaa methodo hac de re jam (anno fuperiori i6 5.8J ad te fcfipferam. : ; ■ *^-; ....'•-. ■;■''.■

. .Hsec.auteifihic repetendiafifamdedk , qucfrfecutis literis & ipfe mones; Nempe non modo totum illud fpafium F C Z A F, tbtius F C z femicirculi triptum effe; fed & particulatim fegmentuiri;:F':G'Z F (ciffoidafi C'Z & reais F C;'""'%F compre- - henfum). fefpeaivi fegmenti eircularis Fz F, ubique triplum ieffe. . Nos autem..- jaffl fupra. demonftravimus 5 22, fimilis fegmenti eirculatis F z F fig-. 1 vel 8, triplum effe fegmentum Cycloidalb: £; Z:A. ld ipfum tcaqueprasftat infpatioCiflbidali FZ, atqueifi Cytioidali£Z; utraquefiquidein fegmehtum abfcindk fegraenti ekcularis Fz corr.efpondentis criplum. Mirum igitur vides-, fed qtii non difplicebiC, figurarum caffl diffimiti'iim';c'onfenfuffl. Atque de Cifioide quideffl ha6tenus. Tempus eft ut ad ea.redeamquainoviirirnaruafuggetitEpiftola. . ; Heuratit veftti, quod memoras, nuperum inventum, (fub initium praefentis anni., vel prscedentis finem, quod extuis literis, cbrijitioy exeogkatum,) qub curvam mdtie. squalem invenic; con- "' firmacidquod fuperius infinuavknus; Nempe, plurium non rarb, in iifdemrebus inveniendis <wii<p<ivwv: Ecfimui, ucde curvafum 'E.vSvvni dicam? ari'Ev,^o^f, paucadifferam, anfam fubminiftrac. ...,...■.'

; Tradideram ego jampridem, in Scholioprop. ^W.Arith. Infiniterum, mechodum curvas cum rectis comparandi;Nempe,coK?tttuasfubtenfas infcribendo quarumquadrata, quadratis dijferentiaru ordinatim-.applicataru^cjuddratis invicem aqualibiis auUis,&quenttir: Et fpeciatim in Parabola (propter ordinatim-applicatas in parabolae complemento , ut.numeros quadraticos, , adeoque illarum differentias-ut 1, 3, 5,7, &c. arichtheticepropofcionales,)fubtenfas illas effe uc V:^(*Ji. '/•.A^fp. VjA* f 25. dx

hoc

Curvartm

EofyvVMi

Fig. 26.

:^i:UKam!T(iii^r . -7 :' .^:f ■

hoc eft, ut ejuadratorUm <tqualium3 quadratis arithmetice-proportiovalium autiorum, radices quadraticas: fQuas effe ur ordinatimapplicatas ad conjugatum axern hyperbolae, prius demonftraveramprop. 3 5, & t\\,Con.Secii) In Paraboloidibus autem Cubicalibus, Biquadraticalibus, &c. ut radicesquadratieas quddratorum txquatium auciorum quadratis differentiarum Cuborum , Biquadratorum, &c. Quarum quidem fubtenfarum omnium aggregatum tum perpetub minus fit ipsa curva, fed ad eam ita propius femper accedat ut differentia, data quavis minore, candem deficiat.- Bt Tangentium pariter ope haberi fimili modo poifit reaarum fumma qua: differetuia, data. quavis minore, eandem curvam excedat: Poffe hinc cerminos-veris quancumvis proximos invenki intraquos curvae longitudo vera caderet: (Adeoqtte ininftnitum procedendo, ipfam curvamexhibitumiri:) docuimus.

Ec quidem, quum fcholium illud ibidem inferebam , currente prelo, (unde in Propofitionum cenfum non erat redaaum,) animum habebam fpeculationem illam, cumper otium liceret, refumendi & perficiendi. (Animadvertebam enim jam tum, fectas ad curvas effe, ut Figuras congruas ad figurarum quafi Truncos: fed, ut quas figuras ad quos truncos, prout cujufque curvoe natura poftulet;ut&, quaenam ex figuris illis cum truncis refpondentibus nocam racionem fubeant; confiderandum adhuc reftabar.J Sed (uc clavus, quod aiunt, clayum pellic,) aliis fe fubinde incerporientibus.fpecttlatioriibus , ptiofeiri illlm refumere negligebitm, dOnecprasvercensNeliusnbfterffleexekaVk. ;

Selegic autem D.Gulieimus Netius i, Equitis <Eatf!i ffituSj , '

(num ex noftris anfam naaus, nefcio,) {Curvam eam quae brdina- ; i

tim-appiieatarum differentias habeac ordiriatim-applicatis in parabola prpporcionales; quarum; icaque quadraca quadratis SEquali^ bus auaa, erunt item arirhmetiee^proporcionalta, eorumque i> dices uc ordinatim-applicats in parahola; trunco; & propterea, ut parabolte truncus adparabolamjficcurva illaad reaam. Neliurri fecucus Wrenniusitem , & poft ilittm Illuft. RroHnkerus id ipfuijidemonftrarunc, & candemego; neftiq an & alir. Qyp primum ceifipore invenk Nelius , noncertus fcio: vulgavic.aucein fub Julii velfaltem Augufti menfemAnni 1657, prifflUs (credb) omnium qui uUi eurvse xqualem.reaam affignayk. „•:"•'"

VertenceAnno, menfe julio-i654P,Curvam CycloidiS, axis -; ...-...:-:. ' . jq 2 fui

Cawdrtim EuSi^J iiiiquadruplam, demonftravic Cl. V.Chr.Tfra?j Q^odpoftillurti ab aliis. iceffl demonftratuin eft.Ec t.iridem, quod prius Nelius-nolleryHeurdtiusitemvetier(nefcius,puto,idnpftris paffirnpriusin notuiffe) invenic denuo, quod Schotenius yefter fcripcis fuis hoc anno edkis inferuk. . '.. .

Neliidemonftratio,quam (uc diaum eft) arite duos annos Vulgavit,.:hsc. erat.; . . - - " •_'■ _..;-

. ,:Sh;'K b C D parabola reUa; cts)us\ axis- A D dividatur in <tqualespartesmimmas ee; atqstt•;adpunUa e.ordinatimapplicentur g',£ r.etla, pfi.rabotis Aeo proportionales. Et fiat D-S.I rec~tangutumy adparabolam A D C, ut.A T)ad D G. Deniqtseftt eh ubique aqtialis potentia utrifquee s5;eb.

Dicoprimoy eanaem effe inter fie proportionem figura. AD HI, r<?- :Bangitli:j)I3:¶bola: A D C, qu<c eftiinearum ASC curva,

.&:rt5}arum\AtyDC; :

';; "-a.p. ReBas eh ejfeordinatimappticatasinParabola.

Sunt enim fecla e f, f * r cqnftrnBioneta, parabotis Ae b />w. pqrtionales ; &proptereareBarum dijferentia, commode repmfen-taptu.r per reBangula. e e b. ReBangula. ee-s funt £qudlia..:.. (eoWmque omziium fumma, adfummamomnium eeb, ut.Ajy ad PCj) repx&fentant itaque• reBas ee. ifo#<e ff funt <equales poittma tumreBis e e tum: reBarum e f differentiis. Et reciangula p eh funt ubiqtse in cademproportione ad quantitatum illarum.re-* 'frafentativat. Conft.atitaque.fropefttionisparsprior.

Quadrata feBarum eo funt artthmetice prqportionaHa. Quadrata feilarum ee fttmt aqualia, ^rgo & quadrata e h funt Arithmetieeproportionalia;ipJitque EH reBa quadratorum arithwetice proportionalium latera;. adeoque funt ut feries ordinatim-apflicatarumin parabola:

Et confequenter; Exhtberi poterit linea reSa sequalis curwe

■'A-FC. ...: ''/:,'

Hanc D. Nelii demonftrationem ubi confpexerat Irluftriff. Bronkerusjfuam ille ftatim, quae fequkur,non abfimile concinnayit, & impertivit mihi, quam jam ultra duos annos apud mehabui; Et.parum abfuk quin eam Commercio Epistolico ame non ita pridem edito inferuerim ; (eodem fiquidem cempore accepi primb, quo incer iios & D D. Fermacium, Frenicliumque, alter* liabahtur ill« licers.) Sed^cum ipfius Nelii (qui primusinvenk)

, demonftraCurva

demonftraCurva Varaboloidts. Semicubicalis.

Semicubicalis. ; ' Fig. aj. j

., :'€t rrAetwjr^;

defflonftratibnem noridum yideram ;"non commpdum videbatur,'. iipfiusintermifsa, aliorum defflonftratiottes edere; fed veifibi permittendum ut fuaffl ipfe edat Nelius, vel aliam falcem expe. aandamopportunkateffl. Hscautemerat.' .

Sit ABC parabolareBa;cujusdiameter A B fcs: a, iafts BG

.— byfttque B E ts c; &fiat ubique, utparabola A B C ad pafaboiam

pafaboiam a e, ftc B E ad, a e; (num autem coincidant necne punBa

,CE, jerindZtft.) <Dico reBamv.A -B ad A e.E curvam fejfe ut ■2-] a c~ ad 4. a* + 9 c*, in *J: 4 a* + 9 cz, minus8ah "■

Cum inimftnt ubique ui AacrAac, paraboU; ftc' aeiae, re&e: ermt etiam pe, p errcBarum differentia; ittk ec a, a e'c a, differenti<e parabolarum:; hoc effi, ffumptis aa inftnite exigtds,) tttzcy ac,'reBa; ftve ut aae, ^c,feBangittar ;;i■-■'.;-.;; ;';;

Fiaiautem,ut ABado&^('ftv'e-iti a adc;)jic BK. reBwgklum t£quea!tum,adA~2>Gparabo[am.

Ducantur s.hreB/3 quautrifque ak, a c, stque pofttnt; (<?«<* ■proptereaparaboUfegmentumcomplenti) Eritque—--'- _=s ee.

#f igitur omnes ak, hoc eft reBangulum BK; adomnes afo^ fcec eftparaboUfegmentum A K H.B: y»c ow»w a a, fcoc <?/? AB reBa,adomnes ee, hoc eft AeE curvam. ■-.,

Eft.autem BK reBangulum,adfegmentumparabola AKHB,' «f 27 <* cf, ^ 4 <J* -J- 9 c*,»»./: 4 #* + 9 c*:. z»/««j 8 <**• ^<»j' ftc oftendiwr. " '

farabola A B C <_/? f <*£. Ideoque B K reBangulum eft-^-^-

Fig. 24,'

i Curmmm^mm^ .-_ ' ■ v 't/j ^/^.:sW«^'iife;'B:'H-qy: "^^^■k^q-iif'^,^,"''^' .^*"-*-'5i!^^?.?

GC* '.»

■ ■"■' IAVJ*^ '■■■■'■•'■'''■'"■' ■■'■:^-'- - ; /.- " ■■-'■""

"■ " ai*"1* fm>M9e* t;4'*% ^4«*>;#BH{=:■ i V- 9c*

■-. -.■ "^/r •'■; -■■(.. 3C ■

*4^^; A ^W-y^-^-^^y:-g ^+4 «\

y^mtem;NiH (~ $£_;AM):e^l^ ^•+i*«;

■;^^jMW* M;^H ^A;M: (J&<*># «; 9.<?*■■ ^ "^yjut

%Uftve.;-B:Afe^;MiA-F:m* AF ss-.^£* r, p R _ - ..:■.,.... ,v ■■'; ■ ■■."'..:..' 9 c* - ■ .. - a »—

''--'^■',C^i-a'*'4«V ' ■■..■,.;- ':;■'.'■>:,,:-_,'. -.-:- ;'|'/?<j*'A --'■ /■ '

,^0^m Adeoejueparabqla VAJK fe;l|£ *;; £* .fW^

W-BUw^^^+^f ,;,, .■'.■. _."' . y-D"— -■■-"- gl,,g| *J:9C 1*4ai. IdedqueparaboUfegi.

■mentum AKHB-S= '—-—* ——„-—,———-^—*———~m

.".:■■- " '6ICV

r Z I ■*"■-..

]E/? autemreUangulum B K & ———^ JE?go "KgBangulumBK,

adparabpU fegmentum A K H B; adeoquefut fupraprobatum eft) ' AB reBa,adcurvam AeE; *« 'zjac^aidp c*A' ^atfin*/; <ac* f 4a^.minusSaK Qttoderatdemohftrandum.

Meam deniqiie hanc habe. ; Efto A-DP parabola re&a; cujus lattis -redttim dicatur £. Adeoque, futnpris diametris Ad, A d, &c, arkhrnerice proportionalibus,qtiaefigiiiatimdieantur rf; ipfaque, AD, P:Erunt ordinatim-applicatK d^ ^ */dL; ipfaque DPK VDL: Et parabols abfciffe Adpc:;*^ V dL; adeoque adktvicem, ut d */ d,vel*/S: iEt/ddp re&angula (qua^, fumptis dd particulis infinite exiguis, qua: dicantiir A,. parabolarum differentiis aequipollent) A */ d L;c\uq kaque funt ad invicem, ut */ d, (fiveutipfa? d p' ordinatim-appiicacae;) acquead parabolas fuas, uc./f ad f d. JDucatur deinde curva A e E (parabofoe in P occurrens,) ea

lege

f i& *>

'Et^i^rvtT/Jst 'ip$.

legeutfingulasidere6tje,;fint Adp parabolisproportionales^

adeoqueut d*J d, five */ d 3. Quam igkur curvam, exPara-/ boioidum genere effe eonftac ; quarn Semicubicalem appellefflus: , utpote cujus Ordinatim-appticatseDiametrbrum,fiponatur AiD diamerer; vel, Diametri Ordinatim-applicatarum, fi.pqnatur dia- " ffletur A.A-; funtin rarione/^M^/^ta^ -

Cum igicur fint d e ad Invicem, v.f-d*J d;fitque D^iEis^ifriiP'

sa<J D L: Erunt d.e 1= ~ V^Nempe,utDj_D^jd/^D§

ad ~f)V\dL. .:;'".''„■ •'"/;'■■. .;;'•.■,■,:..-""'

Cumque fint d e,. paraboiis A d p proportionales; - <sp^:8t differentie. differentiis propdrtionales: 'Adeoque ditFereritiae ,f e, tuminter fe^ tutnadiintegrasde; eafdem habebuhtratibneSy . / quas parabolarurndifferentke-,: tuminterfe, tumad^asparabplas: .Nempe illic, ut */ dzd V d; hic,,ut A adif:d. Adepque

nantur «quales; "d.c erk'".iA.-D.-C parabola r cuju^htusre^tum.

<9 Ax L ■■ •■' ■ i—

i— i quod nerape in diametros d d u<£tumi, quadratis ordi^

natimrapplicatarum dc sequabitur. . Earundem vero-fe quadrata ^^ar> qu^dratisddhoceft:'

!J4* addita, exhibent reflarura ee quadrata A*■$ : ;DA;- *"

Qyorum quidetn quadratorum augmenta fupra A* cumfintipfig d proportionalia; fi re£tis e e ponantur sequales d b, erit AbEiD

" n A~' L

truncus. parabola?, cujus latus re&um eft idem ^TpiT» or(^na_" tim-applicataminima dbtiA\ adeoquealtitudo abfciifa AV;

g$ Curvdrum-tv^ffiti

^^(Nempe^>^^0 Quamquidemal,

tkudinis defignatibneffl cum A quantkas neutiquam ingrediatur; eademplane futuraeft, quantulacunque ponatur As= d d diaffletri partteula. . i .

iJDenique, propter tum fei=:;dc,: tum ee_-db; erit, ut j^DC.^parabolai ad ADBb truncuffl; hoe;eft (propterridem ut.robiqueilatus reitum) ut VdA cubAd 4 d V cuk <-. \/AV cub:(nt latus quadraticumcubi d Ai,;ad;latus quadraticum cubi d V: minus latere quadratico cubi-AV:)fic omnes f e,hoc eft d e re£ta; ad omhes e e, hoc eft curvam A e e. Qyod erat inveftigandum.

v Exefflpli grati^. Si ponatur AD-S'4, 8tiDEis^; erit

mmi;i&A:efei™^-i^,; ■''■ ".'" -'■' ■

- . - ;/-v//:ti. i...'.";,: - ■ :3 .'//'■; / .' ; ./ / '..'"

- : Q&dquedehaCEaraboloidiscurvademouftratufflqft,id alils

npnpaucisicurvarufflgeneribus,quateniisresferetymutatisrautandis aecomtaod^bitur,

Vides itaique quod Heuratius vefter, id ipfum noftri demonftrarunt; & quidempribres. Eadefflehimeft iineaquamNelius nofter, vefterque Heuratius cQnfiderarunc, (qiiod tibi, ubi animadverteri?, ignotum effe tton potefti).Id maximeinteieft, quod perTangentesvefter, noftriper Infcriptas demonftraruttt. Fun-

Fun- utriufquemethbdi> fiosifidiito fcholib ..prop. 38/ Arkh.In.fih. tradideramus. i

Quafflquaffl' autem hon fflihbre forfan jure licuiffec_iir6£tarum hanc curvis aequatiuminvefitionemexpoftliminiomihimetafcri-. bere ; quam qtto alios yideo eoriim avide fibi affcribentes inven'< tioneni iquorum ipfi fundamenta fe jeciffe putaverint; prseferrim

fi familiarium aliquibus hac fundamenta patefecerint, .ut.uc fcripto edko nondum diyulgaverint; faltem fi fufpicio aliqua effe poifithsecfuafundamentainventbribusillis perfpeita fuiffe , aut iltos indeanfam naftos: Nolim tainen, quum in ipfa praxi me praeverti video, hanc fuatn Neiio noftro &tvjttv inyidere; neqaidem:ficonftaret(quodnoneft impoffibile) ex noltris tradkis aiifain accepifie;: Neque enim.ali.ofine,noftra edimus , quainut. aliis ufui'''effe- pioffint, Quafitillum autem inde abfuerim, ex di&isvides,:- '•'

Hoc

Et U>\Arjruii. .

Hoc iiiterim addamus : Eadem opera haberi etiam convexam ,< Conoidisfupcrfieie.mjcbnv.erfione cur-vs AeE circa axim fuum < A <y defcriptam. •Cum enira reita: dc,rdb, ipfisf e reftartim dlfferenciis, & e e fuhteiilis, hoc eft, (prpceflu in ihfinitiiin continuato,) liirvae partkulis, proporrionales jatque in iifdera abAA diftintik: t rio ut folidum ex A c D" paraboia, adfpli.dumex AbD trunco, ekea b A &i cohverfo f ;,£tum: ficfuperficies ex ojnnibusf e in fuis diftantiis (qq.32 eft ut feries a'<J:a) five '%. (tres qiitntae) fuperficiei Cyllndriesqusdef ribitur re„&a; D F, (hoc eftjOmnibus f 6 ih maxima diftanria,quse kiqueeftiut feries fjji-;) ad fupefficien.convexamquseab AeE curvafie convcrfa defcribkur. Eft autemfolidorumeorumratio(exnolfrae Arkhmeticae Infir.korum principiis) nota: (cQgnkk enitn tum magni-r jtudinibus, rum mofflentis.,adeoque.,& centris grav>kat.is,parab:oiafum A D C, ,V A b, V D B, adeoque & trunci A.b. D, folidbrum converfione £a£toriim maguitudo pariter innocefcec:) -f rgq .fcvharumfuperficierum.

De ipfius trilinei A e d fflagnkudine, aut centro gravitatis, .autfplidis.iftiusconverfionefafitis,nibit adjicio:no.tauciquefiiHt ea omnia;- 9c exprineipiisinnoftra Jnfinitorum Arithmetica ,& aiibi traditis facile deducuntur.

Sed ad Parabolam reverto; quaffl (ut di£ium<eft) in memoraco .< fcholib" prop. 38. Arith. Inrifi. Spgciatim conhderavimus. Re- , fumpta igitur q*a: ibidem ,eft figura; oftendimus, propter d d vel 4S s (revftarum o t in parabolse cofflpleipenro ordinatim applkatarumdifferenrias):ut 1,3, 5, &t. fubcenfas o oelfe tic *J: A* t-1: V: <sA*% 9. */:A*\2^. c^c.hoceltjUtordiniiimapplicacas ad Hyperbpla: conjugatum axiin : ipfas aucem .0 s vel d d, ut ordinatiifi applicatas in Ttiangulo pfie, notius eft quam.ut di&u opus fir, . ■• . • - ' ". ;

, Sin qwjeratur ad.hu e,,qujenam cuique parabolse eonvcniant Triangulum & Hypeibola: quamqifm ea'm;llius difficultatis res fit: paucis tam expedia^flnteiiigar.tHr K L, L m, ad angulos r«£t;. s conftkutae; omnefqjie f. m,Lm, &c. ut 1", 3, 5,^7, &c. differenriis d d vel o s«quaies, vei fakeffl proporrio».iies;' ut & K L ipfittvel^: Eruntomnes K m, fubtentis oofimitkeraequales vel p-oportionales ; illisnempe fin.gulsequse cum ordimtira applicacis

applicacis 0" angulQsrfETuiirrefpe^tivis m K L an^ulis arquales;

r,_\- ;;•'•' -y .'•' v^, f-\ ■ 1 '

' /rrr v:v- ■•;■:-/ O hoc

1 Superficies 1 Cqttoidis.

1 -Fig- a-5» t

Curva Tarabole. Fig. 26.

: Fig. »7. s

CurvaruwlLvQuvctf, "y

liodeft, fumptis 11 infinke-exiguSs, curycepartieuiis quarum ve.l, fubtettfa vet tangentes angulos faciuntiifdem m-K;L vel n"K L sequales.Si fiatigitur NKL triangulum re£tanguiuffl,:fimile triah-gtilo F (5 D (fig.26.)iquod feifiiparabolae eircumfcribltur: Eritut offines Km.»adomnes Lm;ficpmnes 00 fubtenfae,hoc eft AO curva,ad offlhes os vel dd difFerenrias, hoceft A Ddiametruffl,. Hoceft:, (fumptis .paraltelis;mn"E= mK,-& m X£=m:L,)-Ut oinnes m* (hyperbola ;K», ejufque conjugatoaxeLNinterceptae): com;pien.tes;LN*Kquadriiki'eu.mjad':omnes'mL «rianguiiiffly.five, utquadrilineuifiiitud,adhoe trhngulum ; fie expotitas parabolas curva A O, ad A D diametruin^ Et cofifequenter,Data parabolicse lineae iongicudrpe,dabitur quadratura hyperboise-; & vice. verfa.; Qiiod & tu aliunde obfervaiti.

Vet fic ettamj (\it uno fchemate totum icbfflple&ar,.) fiifiat ttt -F D^ ad D Q, & O F^fic p O vel TA,. ad A,K;& t^K/T: & de.fcribatur K r. hyberbola, -'yertlcein habetts K, centrum A: &, fufflpta TA^TA, fiat A T;> trianguluffl : Erit, ut A'T\ trianguluffl, ad A T *.K quadrilineum ;;fic axis A.D, ad, A O Curvam parabolae.: Addb, Et partes parribui reipeitive iumpris. prbpoitionales effe: ut ex demonftratis patety f.Habfet autem:f\sc Hyperbola iattts reftum lateri tranfverfO'Aquale , & utrumvis lateri refto Parabols sequale, dupluffl;autem reStx A K: Eftque A,. hyperbolae centrura; K, vertex; A 1[, axis conjugatus ; A A.,. Afytntota; K ^,/ixisinterceptus; & £ »!=: AT ordinatimapplicata bafis-) Atqueh.iitenus deParabolas curvai -' ■"

Sed & eadera opera, deiconoidis'Parabolici fuperficie judican/ dum erit. Ctiffl enim finguiae reitarum t o difterentiae, adrefpe-: ftivas curvs particulas, fint uc t A ad t *, fintquein iifdem ab axe dlftantiis: Erit ut folidum exconverfione AT* trianguli, ad folidumex.converfione AT»K quadrilinei,circa AK reftamjfic; fuperficiesexomniuffl curvarum to differentiisficconVerfis, ad. conoi.disfuperficiemex converfis curvsepart.iculis.QjLtKautemex differentiariim iilarum,arithmetice propbrtibnalium,in diflatttiis: kem arithffleticeproportionalibu3,converfione defctibkur; ad fuperficiem earunde arkhmecic<?proportionalium, in diftantiamaxima,converfione defcripcam,(feries Secundansru ad feriein Primanorum;) hoceft, ad eurvam Cylindri circumfcripti; eft, ut*:. &d j^ErgOjUtfoliduifiexATAtrianguliconyerfione2adfolidunv

'■'..■ '" ' ' •' (1%;

"; .^ig? 2?«. ' '

Conoidis ■Parabolici fuperficies; -

€t TlhAlV<T[ZOi. '

'€* converfibiie A T % K quadrilirki, circa A K/defcripturn; fic f fuperficiei curvsCylindrieireumfcripti, ad curvaffl conoidis parabotici fuperficiem. Eftautemquod fitexilia trianguli conyerfiofie, f Gylindtl.altkudkiis'"T \: Quod autem ex quadritineo fic converfo efficitur/eftCylittdrus (ejufdem bafis) aitk.udinis T.*, demptoConoideHyperbolico. Eft autem Conoidesillud Hyperboticum (per prop. ii63, 164. Arkh.'Xhfiii.) ad.eirr .cumfcriptum Cylindrum, ut 5 Tf f D ad-Tf D, (femiflis lateris tranfverfi una cu.m trlente diametri.interce.pta?, ad eju.fd_e.ixi ■lateris tranfverfi & diametri aggregatum:) Hoc eft,ut A K + f. K^ad A.K.t T »-: Adeoque cytindrus fic-hyperbolice excayatus, ad euttdem pl.entim; ut - Tf f V ad Tf D, five ut A K + ? K & ad A K * T ». Ergb (propter «quales omnium bafes,); Ut/ f "F*; .

adT^-mittus: ,-^.^-K^veladAKt -^p^ y

K tP: fic f fuperficiel curvse cylindri circumfcripti,,,■■■.adckrvam'

conoidis parabolici fuperficiem: Et (multiplieatis ante.cedenciAK+^-TC

ante.cedenciAK+^-TC '■•■-■ busin£,)ittT x,ad.e;indeffl ;A K*i-z-jr^f--"K>; ficcylin:

dri ckcumfcripci fuperficies ciirva, ad curvam Conoidis parabo- . lici fuperficieffl. Qjia? num inventis tuis confentiant,:vid.e fis.; : Quain vero eadeto par.ibols cttrva cirea AT cofiverfa fuperfi'eiemdefcribk/proptertum differentiarumreitarfimto.jtumparr tkularum curvae, ab AT diftanriamtq,in/earunderh?b A.K.diftantia: ratione duplicata,) erit ea fuperfieiesicurya, ad circuhim feinidiaffietri AD; non quidemutipfa fotida modO di£ta.,.(ex converfione quadrilinei A K » T, & trilinei A. X T, circia A K,) -fed ut femifolidorum horum mornenta refpe.£tu A'K, v reftce; vel fitoinnes c» adomnes t hfm refpeitivarufflkiaikniiabiAiiK diftantiarum quadrata. Quse quidetn ratio ,~nori magisiexplicabilis eft, quamipfa Quadrilineiad Trilineum ratio.', _

Veruffl (ut a.d alia etiam, extra Parabploidum genera, traiifeam\is:) Perpendamus c.urvam A'B C fig. 7. quam Ellfpftn exp0fam diciinus. QifadrataparticularCilnhujus^/iyelqiiruh tenfarum, funt ut quadrata differentktitmifihiiitm verforum (incipiendo alr A vel C,) five. dif^rehriarum/^huuin reStorum. (ncrinque aB pi'ocedendo,)qiiadratis sequalibusai!£ti'.(Q£od ex

O % ^ ipfo

eUipfts.cv^.: panfa. Fig- 7?/,

Curvarttm Eufiviw,■ ipfo Sv.hem.itisinfp.qytu patet.) Quam igicttr racipnem habent eorundem quadr,ito:um fic au£torum latera. quadratiea, vel ad quadracorum aequalium latera, vei ad omnes illas finuum ditferentias, eam habet A B C curva, vei ad A F vel ad F C. (Quod &. de partibus refpeiiivis iiiteliigendum eft.) Qua: tanien ratio non ixugis explicabiiis eft, quamperimetri Ellipfeos, ad perpheriam. Circuli, vel.hujus diamecruffli Quae enim enint in fig. i.FzC, F£r, Circuli & E-llipfeos femiperimetri infuperhcie Cylin-. drica; eaedem funt in eadem expanfa,.fig. 7.. A F re£ta, & A B G eurva. l]t igitur A F re£la, ad A B C curvam;fic femiperiffletei' Girculi, ad femiperimetrum Eiiipfeos , cujus fflinor axis squalis fit diametro circuli; majpr, ejufdem duplura poffit. Uti & , in fig. ioi/ F A, & F C, funt uc quadratts perimetri circularis, ad qtiadrantem Ellipfeos, cujus major Axis minoris poffet quintuplumii Etinaliisfimiliter,variata curvacurasmenfura, provaria cohjugacorum axium ratione, •

';■ Eftque hase,ni fallor,.ea re£ta quastiCycloidisComitem velSociam - (laCompagne de laRouiette) appeilatAiithor Hiflori'ola.',utut aliter apud ipfum atque me generata. Quam enim ille dimidiam duBtt, eircini infuperficie Qiiudri reBi, defcriptam dicit; nos f roplicius feBione Cylindri plano faBa , totam defcribimits. Nefcivitfe fiquidem videtur, curvarn A B C fig. 7. non aliam effe quatrf Ellipfin F £ r fig. i. ifi planuto expenfam. Si autem- centro C, diftantia £ F, in; fuperfice cylindri fig. 2.. ckeini du£iu defcri-. batur jinea, non. erk Ula F£F- Iliipfis , (communi plani & Cylihdri fe^tioiie fa£ta,) fed alia curva, communi Spha?rx & cyfihdri feftlone fafta , quae inplanum expanfa omnino fimilis eritcurva: BCfig.'7. prioris femifii. Si enimintelligatur, (in fig.2.) F£rcirci'niduftu,defcripta,adeoque C£ re£ta,ubique ipfi CFasqualis, undedefhiffa (z infuperficie cylindri occurrat bafiin 2: Qyia tum Cz & zF fubtenfe, tum Cz & z£, «que poffifit ipfi C£ reSix, hoc eft CF; erit zF fubtenfa a:qualk ipfi z£; Adeoque . omnes z £ (divifa FzC in partes sequales in pun&is quotlibet z)eruntut chbrdsc arcuurh in.femicirculoarkhmetice proporriqnalium,hoceft,utfinusre£tiinquadrante, hoceft, ut je&ae trilifieu 3BbCfig.7..complentes,ipfi Bb ordinatim applicatae. ,

Adeoque fiihcelligacur femicylindro FzC r.fig. 2. fimilis alius cujus bafis diamecer fit femiffi bujus F C squalis; Curv,a ■ /■-'•' •" .• " . «eCjfcloidis

«eCjfcloidis \

Jig. a.

et TTMWtT(rto'f:

. ut F■ £ r eircini du£tu defcripta in fuperficie minorisj & femiflis F £-F-femi'ellipfeos i'n fuperfrcie majoris, fi inplanum utraque expandatur, congruent.

' iPorrofiintetligatur, nonjam F A utiivfig»7:,hbeeft; FzC fig.2. fed F C uc in figv'■&. five C r, vel C'F reifta, vel etiamFiyfig.aa. dividi aequaiker J adeoque; F A fig. yg. hoceft FzC fig.^j. dividipro rationeatcuuifi'/qrdinatim applicatis five finubttsTeitis sequaliter dittantibus 'refppndentium: Erunt (in partibus infiiike exiguis)■■ quadrata:;partieuiaru;m AB;C eurvsr, -huicdiviiioni refpondenrium;■ ut. quadrata differentiarum horum arcuum , quadratis squaltbus au£ta. (QrorumoTinium radices, ad pmnes iltas vel differeritias , vei dlametrt pamculas aquales, funt, ut ABC curvaad reltaffl AF, veiad F C: quibusquidem aggregatis propofriofiales/fu^erficies planas, faciie eft/concipere; fed non ita facile ratibnenota explicare, magis quara rationem curva/EIlipfeos, ad circuli vel peripheikm , vef diametrum.) -Suht autem illae arcuum differentise (propter arcttum infinite exiguorum & chprdarumquafi-coincidentiam, adepque & centrorumgravitatis, utpote quge arcui & chordce interje^aeffe

' R Adebentjut:—- hoc eft fa£tum ex R radlb & diametrii Sli'

Sli' S 3

qupta parte exiigua A, per finum re£tum s divifum : (iQiiQd ex Archimedis & aliofum demonftratis, qui ftiperfideruffljSpba:- ricae & circumfcripts Cylindrics , fegmenta, paratlelis planis abfciffa, xqualiaeffeoftenderunt, facilecolligkur: nempe RA v=! s c, fa£tum ex Radioin A, aequale effe fa£to ex s ejufdem diftantia a diametro, in c correfppndentem curvae particulam:)

- *7?*' Jf' m\ "•

Adeoque illarum quadrata ,_— J qu® quadracis Kqualibus

. _ - J2* A%

A*y (propter FCi=Cr). au£ia, exhihenc —,- + a//*,quadraca

a//*,quadraca curvs ABC; eorumque omniufii radiccs, curvam ipfam: Hoceft, (propter J ^ V • ^>-«*: fumPtis ^*

ucrinque a medio, ut 1,2,3,&c, fucceifive,)-^i—jj*.t*?

..."■■ Oj =*■

^ Curva €l.

^fliypfeos.

." Fig. 29. &

13 3ot "■

Curvdrum t8fovot<r,

rs rn*—z ipfa quadrata; eorumque radices A *J<

*V'»— a

-zRLi-a*- ; ' . / ."- y _ . R\A

—£7——r~* Ipixaucemareuum circtuarium difterenciae ■ ■■ ' -

ic*. i—« ■ / , s - ■

Rk *% ' '

zz A </ f| — fc* Adeoque ut iilce omnes, ad omnes$Ps;"fic El:

El: / . ' ' VT " '"'"

lipfeosexpoficae penmecer, F£r, vel ABC, adperipheriam

cireuii Fz G, vet AF. (Quod &valiis Ellipfiura fpeciebus facileaccommpdabitur^ utmoxdocebkur.) ;

Deinde , Si intelligantur tum EUipfeos ilise, tum hce perimc-tri circularis particulce , in iifdem refpe6i!ve a fuis ax.ibus diftantiis converti; unde ftat iltic , Sphsroidis oblongi; hic, Spha^ra: fuperficies: Erk fuperficies itla ad haiic ; ut otnnes A V: 2 /j* ^,a*: ad totidem AR; five, utomnes *J: % R* _ a%-. adtotidemR: HQC eft, ;(ft intelligatur in parallelogramino'(fig. 31.) A B _== .RV^, & A Rc ^, adeoque a rts #, reliqtiaque' ut in fchetnate;conflrii£ta,) ut RCB A quadranris eireuli fegmentuni, ad quadratum A R' minbris ; fefflidiametri. Sunc enira .omnia brb re£tangula, hoc eft R<J-z + a in R*Jz _-<*, hoc eft, 2 &*—<**; utreftarum rc quadrata.- adeoque omnes re

"re£tx,ut-V,: 2vt4i- a*. Quod etiam ex prop. i24Arkh. Infin, fufius patebit.

Eodem mbdo, adaliasEllipfiumfpecies resaccomfflbdabitur. Si hoc faitem advercacur;Inpraefenti eafu,propter FC tsCrfi^.2. vel 2f).aliquotas partes tum re£tae FC tum re£ti Gr,eodem fyfflbolo A defignari. Sin re£ta Cr (quae poteft exceffum quadrari axis longioris fuprabrevioris quadratum) vel longior effet velbrevior quam FC (fcirculidiameter, velEllipfeosaxisminor, Jputauc Jfad R; pofita A aliquoca parte diametri circularis (ut prius,)

JJ - R* Az

etit -„ A eadein pars re£tae C r: Adeoque pro ^■-—■■Z~\-A%

Rx-A~- H* furae.ndumeric..^,, .,'.,, f „■ i* Adeoque Sphsroidisiila fuperficies,

fuperficies, erit;utomnes *J:Hs + JJ:i ^

Sphttroidis . oblongifU' . ferfkies,

Hg. 31.-

Et rifteMWjwV/

-—£—: a<^ cocidemii. Ideoqiieppnendumerit/fig.^t, A.B E? V: R* t #s: & ARpff (femilfi reaaj G r fig.i 29,; quare

&;a f tr -?&-» Eritque,. ut prius, U t A B C R qtiadrantis ,circularis

,circularis ad toridem R, hoc eft ad 11% R: fic fuperficies illa Sphsfoidica ad Spha-ricam. (Et partes partihitS/refpe£tiVe prpportibnaies.) Eft autetn, ut patet, A B,- ellipfcos femiax-is maior; R C, feffliaxis minor; A R, diftnhtia fbci a cehtto, fwe r'e£taqua3 poreftdifferentiamquadratorttm.fefiiiaxiitin.i'

X/ico igituri Stin circuli quadrante eujus radius• A/B- ewpjeri femiaxis maior, ordinatim>appKcetuf: R :Crfem'aximinori:-dqit,aIis-i & compleamr h RC reBangutum: efifui■Wfj:B^A4^UadfiM r,eumaad A R C reWdngfulum'-'; ftc:Sph<ir«idis::oktbn^ fuferficiesy rxd[fuprftciem-irifcripra Sph&a'.- '■■■". :'-.;"; 'i:;//;;:'; //; .;Inteltigatur jamCylindrus ;••F r C z fig; *9-, obliqttusefte, Cu-; j%bafis F(Tc.irculus; & 'Fz C EHipiisi, axire£t;aji cujuslniilibiaxis FC. Cum igitiiry'diyif^;'Fr:CirculI:;dianiec tes sequales" numero infinkas,; quorum quselibet dlcatur A, &

" " '" R ft •'" 'RA

particuls-peripherije (uc prius oftenfum eft) —_- ve\-f^—r^.

& harum particnlarum quadrata -rr»-^ ,;. i ttfide fi auferantur quadrata aquallum . parricularum' re£tse; Cir, puta

J-Ji. '• " "v '-■ :■' -

-^ Az (fumptofcilicet, uc Cr ad F r, fic /Jad^erunt

R't al II'' **' ""***'. v ig-,—^s"" ^*. -A* quadrata partleularum Eliipfeos. F z C»

eorumqtte radtces */: p»5^.—'-^" ^- ipf» partlcula./Qjia:

quidem utrxque particulse ftumPertpherise, tum IHipfeos,)fi in fuas eafdem a fuis axlbus refpe£tivas dlftancias J.t? */:R* — a*: ducancur: Fa£ta(fuperficiebus hafuifi converfibne circafuosaxes ■ . ■ a% JJZ

proporciomlia) func, iWicRA; hic, A<J:cRt^.Hi'i-J-~z-1

s' . * Adeoquc

*:Sph&roidi$ r lati fuperft- cies. tFig.29.30.

CurVdmmf$§vt<nit

.Adebque Spiijeroidis latt fuperficies (cpnverfione Ellipfeoicirca minofeffl axera defcripti) adfuperficiem Sphaerae circumfcripta;,

ut offlnes */: R> _. W + _^4-. ad torideirt:^ Hoe eft, uc

quadrilinenm A T»Kfig. 28. hypefbola? fuoque axi conjugcito interjcciura (cujus femilatiK tranfverfurn A K— V:/^ — H*: & ATzzJJ,T K,ZZ'R;) ad A TA re£tanguliim.;; .;; ,

Hoc efl, Si,abHyperbolactt]us<fem'latu.s tttm reBumtutn iranfverfum A K, Eltipfeos femiaxi minori&-\]ueiiir;ad:c.on]tigatiimaxcm erdinatim applicetnr » T femiaxi Ellipfeos ma ori aqualis; & compleatur A T « reBangulum: Erit, vt. A ~~ » K quadriiipettms ad A T » rcBangulum; Jic fnpcrficies Sph&rqidisiatiyMd circtt^ fcripta Sphara fuperficiem. .•/.-; -.

Vel/ic,eiegnnciuspattlo, larumquefimul-efferarhus..\,Sintellipfeos axes con,ugati, A C E maior, B GHtfiinor, & B D fparalteta C E) circumficripticirculiquadranti E K occurr.cnsin. ii)„• (£" compleatur CBDF reBangtilum. Sumatur^tn DF fwft» iWrffrf, F G aqualis C E. Denique centro C vertice H, fcribaiur HG hyperbola ; & compleatnr CM,G\reBanguJum-.JtiteUigatur a&tem tum axe A E fpharoides oblongum, tum axe B H j_p/3<ermdes latum, ellipfeos converfione defcribi. Erit, ttt C F D K ^rfdrilineum,adinfcriptum reBangulum CF.DB; fic Sphctroidisoblongifuperficies, ad\uperficieminfcr}pt£, Sph<tra:Atque,j «tCFGH quadrilineum,ad reBangulum eircumfcriptum CEGI; ftc fuferfme* fph<zroidisfati,adcircumfcript.<&fph<tra, fuperficiem. • Addp erinifi, <ff partespartibusfefpeBive fumptis propmtionaies effe, \.ttim & d,e partibitsetiam proeedk; demonfiratioi^Hoc eft, fi in eaderriratione,ordinarim applicatis;.fe£ta inteliigatur re£ta j C F, qua fphsrdideos & comparatae Sphxrsi Axes fecantur plano. Data vero ratione quam habet Sphsrotdeos ad Sphxras fuperficiem, vel eti.im iftyispartesadpattes hujus;rationemkemad circulipianumdari nemohefck. Sed dehis ha£tenus.

.' Accedoad Spiralem, quam & mesriorato toro(Schoi, prpp.38. Arkh. infitti.) -conftderavimus. Intelligaruf, intra fpiraiem lineam infcribi,'rifigura ex fimilibus feCtoiibus eonfhta. Horura. -arcus,propteraequalia radiorum augmenta (ut C A.tr. A) arithmetice proportionales effc oftendimus: Adeoque & arcuuffl ho■■■

ho■■■

Fig. 28,

" "'' s

V j,

■ ' . c

,- f

.."••' . ■ . *

"■' ' t.

r. d L

: § P

n r< ti

LinettSpi- . ralis longi- * tudo. h

¥'%• 13' ~*

£t TlhAmefMf.

rtvm "(qtiippc fimiliiim^) tum chordas (S Cs c,) tum finus re£tos

re£tos V cs s) & verfos (V C ^v) arkhmetice item proporcibmlesetfe:

proporcibmlesetfe: propterea Subtenfarum Spiralis quadrata, S Aqcs

SV q + V A q .fe= ** + «* i: 2 1/ vl-'+ ^* s= c* + 2 v A fA\ uc

quadrata jEqualia, tum quadracis arithmeticeproportibniiium,

tumplanis arkhmetice proporfionalibus, ?.u£ta: (Quodibidem

fufius oftenfumeft.) Hoceft, ut quadrata ordinarim-applicatarum

in hyperbola, quadratis arqualibus au£ta.' Adeoque , dumtr.odo

detenfiiiiatus eft numefus;Se£torum, unde& angulusad centrurn

deterfflinatx mngriitudinis, manifefium eft hasfpiraits fubcehfas

ftibtenfis inparabola fupraineffloratis (quatum utiqiie quadrata,'

quadratis aequalium quadratis^ arithrhetice-proportionalium five

ordinariffl-applicatarum in triangulo au£tis, arqualia fupra diximus,)

diximus,) convehireiQuoniam vero,in minoiribusakguiis ra-i

tio finus verfi ad re£tum;minor eft,eaque fetfipef pfoutinihiiiirituf

anguli diminuitiir, adeo ut eo taride peryettiatur uc dat&^ualibet

minor fic; unde in angulis infinice exiguis, propcef ratibnem fimis.

verfiad re<Stum infiniteexiguain,evanefcereintelligenduseft VC

finus veffus (coincidentibus quafi tumarcu tum chordafum finu

re£to;quod quidemIritelligeridum erit,ubi SA fubtenf&pro fpiraife

fpiraife quantitas■■»,'&• pfopferba ivAr

prp nulla reputanda: Erit, hoccafu,. c* + 2 v A \ A' tahttindem

tahttindem <•* \A%; Adeoque particulae Spkalis ,; non minus

quam Parabols , erunt, ut quadfatorum aequalium , qiiadratis

Arithmetice-propbrtionalium au£torum, latera, fiye ut re£t$, t *

fig. 28. unde linearum Spkaiis & Parabolics acqtialkatemniani-.

feftain effe coriftatv ■■'-; i ; ;-.:. _ ■■• :;.;-- :;;.

Qiiae quideminventio, num Hobbio, an Robervallio,debeatur,

(uterque enim vendicat,) non determino; an inter utrumque diyidenda.

diyidenda. eft, Merfennum . Robervallio tribuere: conrendk

conrendk ffobbkis fe primutn inveniffe, prakendk ufique

-(quam fuam prastenfionem cum Elenchum ffleiim fcripfi rion audiverem);fe;Kobervalliprem

audiverem);fe;Kobervalliprem , ;eumautemy

;eumautemy anfa data* pbftride demonftratioheih fuam.adbrnaffe.

Qyicquid fit", cuffl res fa£tifit, nolOego mearbitrum 1'nrerponere.

1'nrerponere. autem, cujufcuhque demum fit, veram effe,

-comprob.it hxc noftra defflonftratio.; ' ' i / ' •

i Hanc autem:demonftratiofiemn'o[iram,'.figurarum infcriptibne

.. . • P fc

l l

>; '■

s'-/ "' ,

' Lir.earum r Spiratis & } Farabolic» ., Aqudita».

CurvarumrE.vQvvotSy -

& circtifflfefip.tione ad morem veterum., fufiiis tradi poffe, no» opus efttt.egp.te mpneam.;. qui probe 'noris quam/faeile hujuf-. modi ,deiTtonftr.atipnes cpntraCt? ,,--ad operofasiltas vererum re-_ r dtici pbffiht, modpquisidtanti effeputaverk., Atque haetenus; deSptrali Archimedea.-,. :'..:,. . , - _ ._" :.;/>: int.eliigamus'jam'ali_usgeneris Spiratem.defcribi;inqua, verbi. gr.atia , radiorum incrementa, C A npn fint'arqualia^ fed eadem; fationeiconrinuecrefeant qua crefeunt atcu.s _SC,xvel M^Sradii;.: Id.aufera fiet; :fi tnietiigafflys,.. ye,l,: manentecTOimdu£is/reaae. .- MA.inotu «qu:abili,'pun£t.Lvm;iineans ifioyeri.ab M.ad-,Aiiriptii-3equaikef iacceteirato;ve}.,manc;nte/pun£ti':linesn_tis ab MadA motu aequ.abili, recfam ■■Mi/A circumduclmofu ffquabilker retardato,, nempekt quo longius a medio recetferit pun£tuin lineans eo tar-. diuleifcumferatur ,re£ta; (iunde cpnfequetur.pun£ti lineantis, in. v ipfa.cuf$;def^ /:

/Refic coiiftru£la?' m.ittifeftumeftj tuffl omiiia fimitium fe£to:. ; fiimtriangula S V C inter feeffe fimilia,- tuin omnia' S V A, , vel S C Ajitrianguia rejtitinea vel mifliiinea, tum oninia_S M A irem.interfe fimilia.. Unde & angulus ad A, (quera vel S A curva, yeli ejufde.m itibtenfa; .S. A,,.. vel ..eoi atn tangens,, cuffl M A faeiat,) tuffliquivis effe poteft(pro vari;, motutun incer fe racipne) tum ublque Ide_m,erki : /v/, . ;/: '/..•

Erunt autem oranes S A. re£tas, hoc,'eft (in partibus cxiguls) omnesSAcurvaeadomnes A V,;hocelt (inpartituv-exiguis^ ad offlnes AC, hoceft ad A M re£tam, ut A S ad A V; five ut HyL pothenufaad Bafin Triangulire£tanguii, angujumhabentis ad • bafiri, atigulo A sequaiem; illi nempe, qiiem curyse Tangens cttffl Radiisconftkuic. v: ;Z ;■: ... ' ■•. .■/ ■'/. . '.-■'•;..

'; Cbnftruecur auceifi hujufmodi Spiralis ; fi fumptis, (ut in fi<*i 3 5* 34;,) re£t,is M A, Mi, Mi,M^&c. conrinue proporripnalibusj radiis bifee defcribanfur totidem. fe£tores fimiles, ei fque circumIcribatur, A. 1 io, '3 'x%fy curva. -. ■ : ■:;;;;.:./-

Si.fiat.autem,,ut.fig..,35,fuper aequali M:^ bafiytrtangulum reiftangulu M AS, angulum A. Squale babens: Erunt. curvae A1,. 12, 'a,3,;^j in fpirali,re£ti,s A 1,1 2,2 ^,&c,: intrianguli hypote* ; nufa,fingitlae-fingulis refpe£tive ec[uaies,& omnes pm'nibus:Adeor que A 1 23 dvcurva, re£tK,ASsqiial:is.SpatiaverptriiInea:Spiraiiadjacenti^: ,.;A.M:?y, ..j-lyt-r?»...- 2;.M33;^;*V;trapeziorumrinitri,:• r, angulg

Spiralis alia. ?.

Fig. 33- xf

■: ;:'i "" c

. < ;■ i

::': ■-■-y -■ i

Fig.34j3S.

Et.. Jlhtiiw-(to{*' ■■ j'07

.an^ulo fubdupla. Totumque triangulurn., totiusTparii Spiralis duplum;. fi.nempe intelligantur convoiuridnes interiores "toties repeti quoties novis circulationibus iterato defcribuntur.

N.im reveta; uti Spiralis Archimedea, lmvaliudefiquam Parabola convoluta ; autetiamCirculusvelCirculi SecTpr, convolutum Paralleiogrammum, (quodprop. i<5. Aritb. lufin. piten-dimus:J Sicfpiralis hoec, fig. 34ynon"aluicl0eft quam ifjfurn ■.■■'-'

M AS triangulum (fig. 35.) conyolutum; contrselaine-mpein .p.un&um recH S M'j adeoque paralletogrammis (fiye infcriptis • iive circumfcriptis hum'ero-infiniris)to^

,;.-sl^tandum,autem ■

ML-Z» &C- (vel :re&arum'm; trianguip, his ;fe%ojadentium^ cpntinue ptopprtipn,aiiuim;proccjif|u:m.m

eriam propter eundem^ubique Tangencis' arigujum cum te|ta-eir^ cundufta failum, '(tinde,:, citcuendp^. adpunftum M .mediutn, >■-,' nuriq^am perveniri pptert^^^

trorftim(nonininus quamextrprijumj) ejffeinterminabilgmi .Ne- \y

que-enim ab A pet::t.2.3^^,iqi|ptcunquedemwra-citculatipm-, jbus peraftis^ad mediumunquaperyenietur, magis qua.m, fumptis A 1, 1 2, 2 3, &c. proportionalibus, exbaurietur unquam. A S re&a. Ut autem hx pmnes in infiniium continuata;, .fie A \~i 3 &c. continuata^ intrprfum in i nfintturri,.! squabit '. re£tam.' A S. Habes itaqiiectirvam iritirmirinbiltih te¥wtriat<ereBa.:'a^dlerri.. '

Sed & fatendum erit,.Tangeritern {piralis ihujiis^ i^pn mrgis duci poffe Gepmerrice , quam fpiralis Avcbiir.edex, ■(ii.t quKex quadraturacircuii dependeat, ut & Spiralium omnium Tangentes;), adedque nec arigulum. A gePmetrice aflTgnari..' Linea tameninte.rminabilistermina^^ npn minus (ine hoc

aflignabitur: Sinempe, furiiacur tHanguIum,-npn.rei^riguium, ut AS V'fig. 33. fed triangulo A SC fimile'; iit enim A,C ai A S, fic omnes A C hoc eft A M reitaad omnes A S re£tas arcubus AS numeroirifinitis iufcripta.%

Hanc ipfam curvam , alia occafione j oontemplatus item eft Wrennius nofter. Nec tantum curvas IbngituQiirem, pa.rtiumc.ue ipfius, & magnitudinem ad jacentis plani: fed &, ipfius ope, Li-' macum & Corichiliorum dcmunculos metitur. Exiftimat utique, magna verifimiiitudirie, domunculos hofce rion alios.' efl*e quam Pyramides convolutas; qiuirum Axis fit, iftiutnodi Spiralis; non 1

P 2 quidem

Cttrvarum Eufii/re»*,

iquidem in plano jacens , fed fenfim in conyoiutione. (circa ere£tum axim.) afiurgens :< pro variis autefa curvae, five ad reitam i i.Mimduftim, five ad fubjacens planum, angulis; varis ConchtliorumFormasehafcantur. Atque, hic hypochefi, menfurataPyramide, metitur etiam ea conchiiidrum fpatia. Et quidem de hae fpiralfhaftenu.s.-' ■ ■■'■'■ ' ' ■ ,

Putaram hiPaliam Spiralis fpeciem tradidiffe; eamnempe

qwe ex convbiut-a Paraboloide Semicubicali ortum duceret.Cuju:s

itaque curva quum Paraboloidis illius curva? aequetur, quam ae■qualem.effe

ae■qualem.effe jam oftendimus'; criam Ciirva Spiralis indeo;riund*,

indeo;riund*, reStst: oftendereturi. Sufficiet autem univerfim

dixiffe, Splrales orriric gerius,exhiriufoiodi planis .(-five triariguh

-fint^ fivetrapezia,- vel parailelogramma,:five Parabblae, aut paraboloides,

paraboloides, eriam hyperbolae, aliaEve yel re&ilineae vel lriifttlineae

lriifttlineae fic convolurisoriimdas, curvas habere curvatis planorumfic

planorumfic A S, jequaies; & quidem,

oppofito latere^ iit A M, iripuri&umcbritra&ov fpatiumHTpirali

adjacens, figurs npndurri convoluta;feiniffem. V ■ .

Atque ha'£tenus fpecimina tradidiilws methodi noflrx, fubteri-i farum.ope, rcitificandi curVas, ",',.'.: . Quoniam verp, .Tangentium ope (in memoratpSchplio prop '38 Arlth. Infifi.) i'd ctiamfieripp^infiriuayimus: libet & h it etnaliquot fpecimin.aexhjbcre., . ; .- v; ,

Atque a Parabola initiurri defuriiam, id ipfum Tangentium Ope "demonftraturus, quod fupra ger Infcriptas oftendimus. Intelligatur itaque in fig.. 36. A T, parabolam reftam in vertice tangens, in punftis* t quoriibet «qiialiter divifa; adeoque A t,, five d 0, "•arithmerice proportionales, qiiae dicantur p earurrique <ommunisexceffus bos 11dicatur' A: Eritautem otsrdA

~2>* adeoquc (propter ts ^ £/>) tangens os t= V: *>*•*;

JJ* ^ JX ^1 ^* * 4/>'* Pccurrat autemquadibet o t, proximar tangenti 0 s, in c. Eritque ut s 11= \ />,ad s o; fic b o tn c t !=: -^, ad 0 .c t= L- V: LA f 4 p*. Sive A L} ad A 4} Z.* + 4^*: vet

1 L>

Sfirales

%. 35»"

•Curva TartthoU.

TartthoU.

Fig-3'^

■ Et H^ctTu^oV.

i, ad \A: L* + 4 pa: aut iX ad V= i L2 + /> 2. Adeoque ut om-" nes' yVi-k*+ f*: adtoridem ~L;fic.omnes oir tangentesjhdc eft, (in pa.ribus exigiiisj oo curvae, hoc ett AO curva, ad om» nes 11/ hoc eft reitam A,T vel D O. Hoc ett, fi"fig. 28. ponatur A K fc= £ L femilatus tum rcftum tum tranfverfum hyperbplae K x.; .& A T ut iii parabola: Erit, ut. TA.'K k reftangu-lum, ad TAK* quadriUneum: fic AT tangens, ve} bafis D O, ad A Qcutvam parabola?. Etpartes partib.us refpeclive propdrtiomles. Quod quidem fupra inventis convenit, ubi axemAD ac) AO cufvameffedftendimusj, ut T A A. triangulrm,ad idem T AK K quad-riliiiei:up...;"'--N,amvut\Tri-Angclum'---T A AP fd ^,ad;re(StangulumT;AK^;s^-i/y d: £;hoc eft,ut d ad\dLi iicAT>:ad AT, "•; -. ; ";>; ';■:■■;;'-;.;: '■.:''■'■;_'

Sed & hincfimili modoatque fupra , inyeniemus fnperficiem ( convexam conoidis parabolici. Nempe (ob eafdem parricularum 1 11 gt jt'x. diftanrias ab AK,) Eritut Cy.lindrus ex conyerhoney T Kparallelogrammi, ad Cylindrurn ex fimili converfion.e'p.arallelogrammi T^ mirius conoide hyperbolico ex converfione K £*. hyperbolar, (circa earidem A,/ reclam;) fic circulus radio A T defcriptus ,-■ ?.d conoidis fuperficiem converfione "A Q curvaedefcriptam. Quod & fupra traditis etiam convenit. Nam: ea"dem eft ratio circuli radio A T deferipti, ad duastertias fuperficieicylindricae re£ta T O defcriptce, quaeeft folidi ex coriverfione T A K reitanguli, ad folidum ex eonverfione trianguli T"A X, circa eandem A K. Quare & eadem fuperficies Corioidis utrovis rnodo proveniet.

Sedinrelligamus jam (rion A T, fed) A Dinpuriftisd atqualiter divifam:. adeoque d A cr^ arithmetice proporrionales, & d d 't= A aequales , & d 0 fc= V d L, & (propter d f duplam reftaed A) tangentes o f fc= V: 4 d*'t d L. Item (continuatis d o donec proxima: quaeque tangenti o f occurrat in"i)v.t -d:f s= id\

^c r AA— A J -w. A v/: 4 d*+ d L. Ax':d*iidL ad fo:fic ddfc=^f, ad ois -. n , ; ^ ..... ,*— »

Adeoque fi ad eundem AD axem conftruatur tum A D A trir

angulum ifofceles re6tangulum,tum ADH hyperbole (cujiis tum

: latus re£tum tum tranfverfum fit %L,) atque ADE .re&angulurn

.re&angulurn latitudims, (adeoque fingulas e d fingulis A

PS ~ " yel

v Fig. 28.

?-'■ ■

>•"'.-

re ' ■

m Conoidis m Parabolicl ne [kperficijef* il- ' "

T: .;

e;ni

ieine '

ia- C«rv<3 T'48crfiboU. m Fig. 36.- fo

CttrvAwm EvSur«f, yel cequales vel faltem propottionales;) Et fiat, ubique, ut d J* t= d,sA d.e.fc=" A; fic d hrfc= V: d* H dL: ad d g: erit ut ADE reibrigulum, ad ADGg. quadrilineum (iiuerminabile quidem, fed magnitudinc finitum;) fic axis A D, ad A O ciuvamparabolae. Et parres partibus refpeitive proportiomles.

Porro, fi ducantur omnes tum d d, tum i o, infuas cafdenia vertice refpeitivas difi.,nrias d: reperiuiuur momenta (lefpeitu A T rects) reitarum d d, ad momenta reihmm o i, hoc eft (in partibus eviguis) cii!varum o o; UL d A ad A s 1: d* + 5 d L: five ut d ad V:d*fzdL: Koc eft ut d f ad d h. Cir.nium igitur ob, hoc efi d d, hoceft A D reitae, momenta , ad momeiua omnium oi, hoc eft 00, hoc eft AO'curva:; (refpeitu ejufdem A T;)efl,uttriangulum AD A, ad A D H hyperbolam: Et confequenter (utpote momentis proportionalium ) eademeftratio Circuli radio AD defcripti, ad curvam conoidis fuperficiem (convexo-concavam) curvc A O circa A T converfione defcriptam.

Deniqite, Q^onia.n 0 b f reitar..m t o differentise) & 0 o, in iifdem reputandce funt ab A D difhnriis; adeoque & fuperficies earundem refpeitive circa A T converfionc defiripta:, iniifdem" kemdiftintiis, nempe d o == V d L; fintque fupeificies illar, ad has, (quo J modo oftenfum efi-,) ut d f c= «i,ad d h =: \l:dl + \.iL: Duitis utrifqueineande-n \/ d L diftaiuiam; rcperiturfuperficierum omnium reitis illis ob, ad fuperficierum oinniiun curvis 00, ficdefcriptarum,momenta, utomnes d*\/ d L, ad omnes 4: d^ ^dL-.xVdL; hoc eft ut, \/ d> L, ad v: d* L + i d> L%: hoceft ut d*J dL,z<\ d <J:d L\\ Lz:Hoc eft, ut momentum parabolxqualis ADC fig.25.admoment.u1n irunci,qualis ADtb, refpeitu ejufdem Ab reitar.-(Si nempe intelligatur AV altitudo abfcifia fig. 25. aequare % L quadrantem reiti lateris para-bolae exppfitae fig. z£. Etaxis-.A.D utrdbique sequa.li?: & latusreitum L.) Manifeftum utique eft, omnes \/d L efle ut ordinatim-applicat-asinparabbla, &omnes *J:dL + \L*utcdinatimapplicatas inparabolas trutico: qua*. utracque in d duits: exhibeiit r.atio;ies'mdniencorum: QIIUB qiridem tatib, (propter cognitas: ttim magnitudiives, turri centra gravitatis, porabols: &rrunci,), cognita eft. Habetur, autem momenturn planorum reitis obj tirca AT coaverfis defcriptorum; eftutique(propcerplanaii.fi

"-' squalibus

Fig. 36. r c

Omoldis fuperfcies. ^

■-■■'■' (

-■■-■■ i

■ ' ; . , ■]

■■•'.■'. ]

-. '* ■.'.- 1

Ctntrum •

jjrravitatis.

sequalibus reitis ob indiftantiis ab AT arithmeticepropprtionalibus converfis defcripta ', arithmerice propbrtiprialia; eo'rumque'diftantias ab- A D in.illarum rarionefubduplicata; adeoqueipfortim mornenta iit 'feties a V d: eo.rundem.vero planoruin in diftantiis rhaximae'xquaTibus., hoc eftcirculi radio T O d.efcripti, momentum , ■utleries ai) ad mpmeritum eirculi radio T O delcripti, refpeitu; A D; :reits:;ut feries.tf, v/ yr, .adferiem 'a: adeoqueutf, ad^V five. ut 4,;.ad: 5,. ,Et propterea, datafuperficiei mijgnitudinei dabitu,r;ejufdem centrum grayitaris... -,/:: ■ i0

' Cuin ■aurem (ut videsj Ari demonftraripnibus,,arfumpferirn, nuirc oc, nunc oi, tacigentium^atticulas, in diyifipnibusmiguis ipfi o o curva?par.ticu.lis coincidete: nehsfites tamerinum "hoc temerefecerim ; idtutbiaitum. iiitclligas, mpdo.animadvertas reitas. oi, oc,;angulo contaitus fr.bcenfas, prodimir ■nutibne 0 c, o i,. tangentium,:ita rninui, ut;illae ad has, ratipnerri tarideinfubearicdataquavis mino.reiri,.f fectis eni'm, angulusrectilirieus affignari ppffet'angulocontaetus minor^.ideoqueevanefceiitibus b i, 0 c, tarigenti 3c cufvs interjeitis,' coiricident, tum .o:c>.tmn 'pJi,'t-ari'g.encis:paiticula;,;pafticu:lis.curvje 66. .' "■ ■ InPdrdboloide■ femicubicA/i, .quainfuprameinoraviinus, -fimi"- liter atque in Paiabola.,. per. Tangentes,itefti'-id ipfum expediri peffe,' quod per fiibtenfas fuperius abfoivimus, paucis oftendam.

. Inteiligmir iraque A O fig. 36. (npn jam Parabola , fed^ Parabolbides fsmicubicalis: cujus neinpe ofdinatim-applicataB d o c= A t, fint in diamecrorum d A . ratione. fubtriplicatA duplU tata-:(ncjeoque d.A diametrijriipfarurn Ati'vai'i.oviefubdup!icau trip/icata:) Ft propterea d f ad d A, ut'3'ad. 2;.& t s. ad t A, ut 2 ad 3.. Sumptis itaque A t, A t,. arithmerice-proportibrtalibus, quas dicantur />, earumque communis exceffus '^k,s=tt,

...... . ,....■• ■ ..'.-, : ■ - ' p> . . . .■■■ ■'"■■ '■ -. ■''

'diameterverp d A t=^fc= :4..T: Erit .tangens os t=. \/: %'$*■*

~- ^pV4 '"^:, Icem :.ut t s fc= f p,- ad.o s; fic b p fc= tt fc= Ay ad o c

■fz\:A*l'}%y.£'"c=^V; —-^?« Ergo, utomnes A, adom";:

adom";: . " '•■'''"' '"nes

i Parabo/oi:i des femiem bica/ist

)

i1-

Curvarutn EoSvi-'»?,

ries A\/ ~~ *■ ™. hoc eft, ut omnes V £, ad ornnes V": L +| p.

lioceft, utomnes X/, adomnes V:'i* + i/>£: fic AT reita, ad curvam A Q. Hoc eft> ut parallelogrammum cujus lacitudo Ly altitudo P fc= A T: ad triineum■pa.rabola: aequealtum , cujus -latus reitum i L, ordinatim-applieata minima L, adeoque al-titudoabfciffa

al-titudoabfciffa L. Q^xquidem cum fupratraditis convenire, quiexaminaverit, deprehendet. (Notandurhincerim L quo-hic .defignuur latus reitum parabbloidis Semicubicalis., illicdefi^-

" riari, larus reitiim Parabol«, unde Parabbloides illa originem du* -eit.i): Atque hinc eriam conoidis fuperficies fimili modo collipitur>atqueillie;utiVDnfitopus repetere.-; ■.'.*!'"'.'

; Tdem .fimilitef in aliis non paucis PafaboIoidLirri generibus: obtiriebitur, Verbi gratia. Suritd Prdiriatim-applicara d-o - •s=-A'-tj-'in' diametroaun ratione fiibqmnttiplicat& cjuadruplicata.

'* Et propterea df "ad d A, Ut 5 ad'4:. & t's ad c A,ut 4^,5-» 'Sumptis A-t,. A t, arithmetice proportionalibusT qusc dicantur

. ft, earumque commtvnis exceffus■ Af& tt, diameter-d A =3 d

■ == v* \ "f^^Erittangensosi^v^f^r+^^^V: h%t Vy* Item , ut tsfc=f p, ad.bs: fic bofc= ttt= ^, ad "o c fc= A'\f: 111* V f» Ergo, utomnes A> ad omnes A vVi

+ \\ \l h\ hoc eft, ut totidem £, ad. tocidein \/; L* + f| L \ft

p.L: fic A T reita, ad curvam A 0. Nempe, ut Parallelogram'inu.m, ad figurae truncum, cujus brdinatiin-applicatx fint y: Lz t^eLVpL. Similiter: Sieffent ordinatim-applicata? india: jnetrorum ratione fubfeptup/icaufcxtuplicata, aut fubnoniuplicat» oBup/icata, &c. in infinitum : Quas omnes pariter e08tu';r>«s capaces reite aflerit Heuratius.CHse autem omnes, a Paraboloide Biquadraticali, Bicubicali, Tric|uadraticali, coeterifque quarum foteftates i numero pari denominancur, eodem planc mode derivantur,

derivantur,

' Pardbo/oi- , durn- aita- ., rumCnrvA'

■.-•*£$■ ■■ilhaioitf&s*

•rlvMttif^^ubllupf a, ;ab;ipta!Parab6Va,^SerriituDi'calis: • Si enim in£elligai;ur:.A^.-Pfig.2 5.:: Parabolpides; ;Biquadraticalis ,. ye-hBir cubicaiisj ^c^adebquVd"p,<ut y1* dTJ, V6 d ■JLi', &c;evitdet

«itA V* d•■£»■£dW*: d-m &c-Ut<&, ut V* ^,- s/^i&c

'. ■ .'■■-. ;.:>■■ ■■JJJr;'.. -, ,: JS■:.■; ■

;: E*8a5(rt«j'auteria:e'asxapaces,(rie grarisidictum videatur) paucis <pffendemus. Ponamus%tieni £qul^

^meriirn-p>teftat^^qiietnvis^ ^.fc=*;+4,r,fc=.«-r-^^ifc=|*. 8t i^ "'.&:)'.., 'Efip autetn etjrva reitijficanda: A Q) (fig», 2:8, xsl; jfei) inaraboia yel /parabpiptdes qu&vis^ae-it^scbnftituatui;>ut, dio velyAiit^fit ,^>}=i-:V^^^t^a6ebque\A;td <v$ 'txx, ^s= "^n

'?^'^H;$^i<fr..i3^ ad ^fic:XaK£, ^

GeiiiSnftrgVte .

iie" aoV^ilC*^ fig,;py8j,-A;K*:^,

«:tV|;|:J|:*t,vrJ; ^^^'^'YUV. Ifu^ ,jt;^e^guiiunii^: ; ad. 5T A '&',»7qnadi;iV|^iLrri ,;;ific jkka.,A, T£,, ad,,A. O .. «ufeyam,:; As.que hocqui|fem^ uni^r^iiter,,fiye.!(ic: «.numerus, par^fiyeirnpar, ^fiyeeriarriffaittis. ' '-■''"■";.', -:.' .■..■■., , ',;"'..:#. :/■ -;;;'Q£pri&aat£m^

que'; T A & «- quadriiineuin,)quadrari pbffe, (adeoque.& ,-A ;Q •recBficaii^fiebl^ridiifruLS^ ':5^T '''.,;;;' :'-J''u.-:;';'';.; "'','• -;; ■:""■},■'''' :• oP^namus &&■.^udriifet.^u^i.ter;c ^icantuf a:'(quafum;ffiMrri^St ^|vquibtis're;fp6rideant toridern ^iA^rilineufri K%^'^inpl^n^-''-lE-ffilateern'' jtM.x&Wmt)

>'••■■•-■■• "■/ -,v>. t -i«- ;;H»'^-iM,v'rj»WlitiVl»>|i"" "tfW^^^t^W P1*!)'*''1'' '0;-C

/B-^ .*f^.''|' ,+;X 4 K^^&r/°<£f;5d& #?4 .M.^"»'^'^ Mf Cujus a.quatioriis utraque' parsmulriplicata feciindum exigentiaiSi

.potejjtaris ^dat. ^'ti^ jK:,fc=f JE.y, jadebque .:' •*- '..■, •%?>■)>"

7-5-3."; ^: t±^A t ,B=;- y^ qtia- brnii|!s 'eomplent, K; K^; ' ttilinmul: cjiiod

• 4*a^uef qyarit^rique W

'^uadafi pbterit. Ergo &.c, ' *

, Q. Exemplt

214 - \C#r&4?'tiw--gVbvpttf, ■

Exempli graria. Si 5 =r % (quadratum defignans) adeoque »2S

4,;« 3, & IC ■= t L: eric ^il+^ ^^4^+4^;

AdeoqueTriiineumad circumfciiptum Parallelogrammum j ut

i^,ia°X 4 A* IC*

f^+ 4L»-* 1 Vi>"' ad A'T~V'Z>Z^ five, ut

* ^*+ AJ IC + f Ae 2C*, ad L% * D L\

i i 5=3, noeoaue » = 6, & i = 5, & K t= * L: Frit 5; «• + 3 rf JC; s= «* + 6 *5 /C + 12 «♦ ;C* + S ^* JK»: Arleoqiie Tiilinei-mad ciicumfcriptum Parallelop 1 mmumut -f A* + A* IC+^a A* IC*_+ x A4 IC 3, id V \/'"D IA Et in rehqi K f,mil'ter.

Sin »:=2,, ideoque tum <S, tum /, == \, potefiatem primatn defignans, multiplicatione opus"non ent; (cumi^faquantitasexpoiita , ejufque potefias prima tamundem funrf, funt itaqueomnes f ftriluieum,:omplente<;,) omnibus a* + zaK figilluim proportionales,hoc efi^ut qmdrata ordinatim-applicatamin in hyperbola; fivej ut ipfae re£te fdiametroparallela:) in complerricnto -trunci parabolici, (quod nempe cum i^fo trmiLO comj^iet circumfcriptumpaiallelogrnmmum,)qua?quidem recla?," quadiatis orfiiTtim-applicatarum in hypeibola funt proportiomles.

Q^oties ve;o »efi munerus impar;adcoq; s nnmero integ,o no

• affigi)abihs:Pro ~ •<-^fiftcndum ent 111-7-1- —

'==/>*. Qjcecafu, licet K»^ quadraturae capax non fit, adeoque nec A O iv^wjc^ac li\ tamenConoides,jftius converfone circa K $, magnitudinis norac; adeoque. & cornplanari poterit fuperficies curvi conoidisquaejeS:^Ap circa AD defctibitur.j Sed non&exinde , propterea ,|exhibeb(itureriam femifupemciel ( onoidica* momenturn refpecYu axis. Qroties vero n e riumeruspar;potemnt eaomniaexhiberi. Atquedehisha£tenus.

Penique, ut totum hoc de panbo'oidibus ncgotium fimul 8c

:femel abfolvam.ifSit »lutrneriis quilibet, n>'\± tt± x,i••=: h -i-i #,

,• :litque; . Vrr;•?..•*? & a "°^,*" h- defignet a^tppiipfius-» ad m refpeV&us,

refpeV&us, gfias djumetri qupt^ o|dinacim ■appl.ieatae ppt efiatt

""'"!"":: ""'. ": ;.,.: proppr-

, 'Et VlKttwrpio^. '■"'■'..

^r-bporripnaltsfit; Babebkut &^l^d^i ;==; -"^ 'Adepqae--

aggregatumomiliuiri -^.exhibefi;:ppterit;; ut;&pmniumppte-^ fiatum ipfius f, qus denominanrur a nUineri & liiulripiici. Si;vero° infupef n & % numeri, communem aliquern diviforem; admittarit, • puta f;•■■fitque^ AT-(5, & /)xfr."' Hxhibebitur etiain omnium £<" aggregatum, ut &'pp'tefi^'t'U.mUpfius f quce a.nu^eTi^multiplp; deiiprninaiitur, 'Atquehinc dijudicaiidum erit, qustenus velipfa A O curva, ;vefconoidis fiiperficies ab.hac defcripta,,. aut hujuSj femifuperficiei momentum refpectu axis j aliave hitjufmodi, ex~ hib.eri-ppffint:vel: ncni.poftinti, Arque: de.PafabGloidibu-s h?$ej«.is.

Tandem, Cororiidis vloco, ipfam Cycloidis curvanVad exa-^ .inenrev6eablmus.:N^

Circuli-Genitoris* zC,:parallelas:eMe, & sqiiaies; Adfepqiie & earum particulas: 21, ipfis z s. Quae quidem tangentium parriculae; (inpartibusexiguis)ipfis %% eycloidispartic.ulis, (obrariones; firprainfinuacas^. cpinoidere eenfendae ftmt/ Divifa aufein GF" in paftes;$quales quotlibet iii pundlis Y, quae dicantur A t=. YY; ufide fiant; G^arithinettce-proportipriales, qux dicaritur d,xo' taque OF =s 2>: Eruat ubique z G £= *J d D. Iterri, ut CK^Aj

ai'xCrzzVdV; fic Y Y vel A,~ ad zs\~Z%l^i^0i

~A ii/ -^, Adepquej pmnes tiA, ad! omnes A-i/ fVvel ikUf-^ s d " ■ ■ » ■ y d •»•■

■ •■■ ..... ^. ^. ;:':.; , .",■■■.. :•',•:. ...j

hbceft, CF feaa, adcurvam C Z.A; ut feries iEquJlium3 ad feriem ;F.ecip;oi:amfubfec:undariorum. Hocefi fpefprop. 87. & feqq. Arith.lnfm.) ut.CF B re&angulum:, ad congruam figuram interminahilem C F B g £ C: f & partes partibiis refpecMvd prb-; i portiqnales,°) Hoceft(per prop. ioa.Aruh.Tnfin,) ut;a;ad-:i: Et. propterea C % A ft?rnicycloidis ciifva, diametrieeHitoris circuli CF,dupla. . ... ■"■■"■

'(Habentur autem ipfas Y/3, fi intelligantur tum femiparaboia (c.ujus vertex C, axis C F, & bafis axi a:qualis,"ldeoque .&. ■kteri'' re£lo,) tum huiccircumferiptum quadratum;8c fiat, ut ve&x m: parabola, adreaasin.quadwto;.(hpc.eitj.ut ddl),,adJD:) fic;/ - U"' ." QsJ* ' -; "F^,-

{')Curva Cy[*~floidis.

Cy[*~floidis. '£ v

|y.Flgr37..

_££, Cnrvamm. EuWw*,

■^^d^^quartfnijreritea^j ~.: ^^ "== ^M j.-..- Vetetiam,..

Vetetiam,.. eadern.,pa.w

habens F,;axern, bafin,. &.latUsre^umr,^o-)g£ frimauur:UtordinatimTapplicata iri femicirculo,.. ad ordinarim^applieatamin pa-rabola; Ah'oceffiit;y:;^£>r^ ;<**: acL^ip^ ^h-D^V-P* — d &

fieF#M.^ad^^

-".:..: '.'-■:■:■- ■-■■:■■)■■-: ■;■■ ■•■.■■ \*-*d'-j>&'d«::y-*;'*:'■ '; ;;'

ffi^dPeadeinprodibit T'0"veBa.)) ... ". ..,"';

. /;^orro|^u^is^atm ipfis- V^;.tum- ^L? iri d^CY', (di~

:,',•....::.::. ,s..'■-'' - ■:'■*'; .«. , .V -.<*- :■£,-.■.,.-. '; ;,-■■■ .•,;..

. ■ >''' ;:. fhntiam-ia-vcrtic^

,■'■ ;•;••; "G:;;t' tangentisiq. yerticCi; neinpeiuti omnes; i'^,,.;ad' toriderit • ; ^ : Jt*l d;iD; ;ferips;p;ri cll.Cper.p^

dem^ ?%;&rario'CirGuli radi0rC,F;:defcripri,vadvfi:pern4ern;? ctmra ..(;:°i Aocircaj-CT deffirigtom> ;:-.-':;;:'•;:; ..'^" ^j-^x u.i ...E^fldp^r.Qpte^^^^^ . ^'.'2^-;&-.mpment^ut;;5.ad%;; Erk^uiwopterr^lirii'•^iftMtfia^ tentrprum gravintis a C "j J ut 3 ad.a; adeoque cuiva? centfumr gpvitatis-.di;. atf ■■Fadiiyhoc- efi':f, diamerri^ <3.T;adeoque :f\imityi "vel|-!diametriabF'A. ..

—ktc.pnfequenter; (propter centroriiin.diftantkstic y-Mfa.HC-, njagnitudinesliritarvimut f ad a|):circulus raclib F C defc.riptiFt ad ftiperficiem curva CZ.A circa A F defcrig.tam,vut 3,ad8,.,

^Qj^.ipfum,fimiliter:eolligitur, dutStis-tum Ai,-tuiw-' A4- j^/

p'; P'-—^•difiaritiara -»b,E A.-Erunfeutiqtie mementa j.uri AD^dA^. yA'J;-0 '■'. i''> :'.' j. ... A'Ki/D'-~Asdy-D-■■>■■■*: A-DJ<D ad:-V^r»lP-^Vel- V<*" ' ■"• veI•—:T~/

— A \/ dD: Adeoque,nt i —f, ad'2 — f; Hoe eft, ut 3 ad 8» Smiliter de.centris: gr.witatiim femifuperficierum tnm circa CT,tuincwc^t ■ F- A,confiabitilJnftisnempefuperficiebus, tunr• rectis Y Y.,tu'n>curyis::Z' Z,,defcriprisyindifiantiasfuas; fiveat» $£". T, five.abuAEf habetur- wtioraomenri femrfupeiftdei. ctu vas,

• ' . ad

•Br ifk*rt>9*/it#{ *• ■

, adifflPrrrengtini -femicif culii Refiquaque fMliug qUaiff utr iiis Ppug" fitinfiitere. ■ :,:.■■•;: ,. :-''; ;

vNempe,;ducfts;tum'-;^^v.to ftsperitufinomentWMi(ff;efpecftu'reScie'C

ftsperitufinomentWMi(ff;efpecftu'reScie'C adinpmfenf uttTfemi?* ftperficisf°curva? eireasearidem'"CT.f UrfefiesId^A^-ad^rienV'

zA d Vd D; hoc eflj ut -f ad f, fiveuf 51 ad S; '..■_ . L ;

. Ttem,d«aia,tum^f° <*-d)Arturn.££*£&■ «&#. \ftil&

■ ■,'. ..;-.-• V '■■■■ v" ■' ■ - ■■-■.■:■■-■■ ,;*J. &..,., ■■■.,... ;;.;,..,

iri D. — d. Habetur fatib moinenti (refpe&u reci x A F) femtdrcu1'i,,ad mbmentnm-femifuperficiet cuW^ ci;rca eariderri A F ■• ut

fcries Al*~2 d.AcD + d*- A,adieriem-^i^^^^I^

: .. .. "...-.V-v ■•• ■■. ; ■'.' ,.::....■ ...-,:,.., \4- d'-:; ' '-':':"'

dV^ Ad\!dD, Koc efi, ut 1 -f + f, ad 2, -f *|. iHopeft,. utjadicT. .'• v '-:-.."";•;-■■■,.}

, Habiris autem, tum inagnitudinum ,- tiim momentorjivm ,r.aripIUBUS, St tmi.us ceritiogravitatis-; diftantia cehtri gravitatis alterius-npnlpebit. ■■; v ;; .... ;, ;; ..,■ :.; /7 ;; v,.;.-,:;.';;.:::

: Sed & de partibus fimiliter infiituetur judicitim. Divifo utiqi. qU3d!i;iine0;interininabili..in rat'ioHerdata(qModi5je''r;no:.'':.. -JAfUhf} Infin.hc\\e fiet,) dividitur & CZA curva in eadetn raribne.Nem-": pe,fumpca C Y ad CF, in ratione />*: ad /^".-eriPnrm-C Y &}$■

ad C F B /3 </*, tuin C Z ad C Z A, in fatione p ad P. (i t confequeritev,

confequeritev, C Y, G Yj'&'c: qubtlrbef j iri^plr e;it*fatione;ferithmetite'propPiti6n^liufn;;; 'eVuntcprrefi^ri^efltgs.;©'^^' G Z-, (^t-,-arithirierice proportionales,-ipfoqiicC-^-A. j-in iqtiftleS'' partesiirpuniMs';Z -divifa;) ©iftat autem a' TGJr-ftStfcv^f-ri»' cisyfive G Y^figuriE, five' C-Z.earvaj^cerittum^ravrfatisyf'- (parte tertia) reite C Y: •'perregulam generalem qt&rri'-Bfj^) ftoiie 16<CrommerciiSfifioilci fubjetferius.^:'• lindefeiiqua'''fiteiie invefiigawtuf^. ■ . " ' ;; ■■-■''■' " ■ ■"■■ .:::' ;-::: v. :■' ;":;;

V ides; itaque quam facile .n'uant;h'orurn; r/bfeletftadm^folutiO'. tiesi, .',; '.,'.;. ..,;,.;(:'-; •.",.'.' )'<■."[ ['}.'.;},)},■'/)

fiveroad. Cycloides f totr.a£tasaut .Co.npracvtas:iiBeat;prt)ce-' dere.;.; etiam fic re-s-non' infeii-citef fuccedet." Eifto-enife^.. epdfent' Cz F circulo genkoie,iemicyclois, five contrac-ta, fiveprotf;:'';l:,i,J . R.3 .•CG

^Cyclo'deS

fectindttrtttt >

II8 Curvdrttm 'tvQvpcjt,

&X C ; cu jusbafis * F xquet femiperipheriam $ *, (rmjorem liiV. I -pfotra&a, minorem in ebntra&a;) ducantur F z, ? z,re£tae.,-.eifque. adr.e&qs angulos zG, zt, Hisautem parallelas efle % i, £/, Cycloidum tangentes; ex Iforriceliio, Schotenio, aliifque notum; el^, Adeoque fprotraiia proxima, Yz per punfta s, (r,"I, %,)> critnt' Z, I, ^/, ipfis z s, z 6-.j aequales. , ,.t

. Divifajam,ut prius, CF in partes quotlibet arquales in pun&is Y> ;pofirifque CFziD, .FJsBWfei!; eritYzc:

-■-■ . . \/;flD — .<**: quce dicatur s: &c propter F Y, ad Y.z, ut Y z ad,

t C,erit Y C.= ~; ^tdeoque 2 C'=V:4 * ''■ = V^-^>

■ ■ ■■ ." ■ - ■ - # ■■". ^1 ■'■■■•' <j* <?*

=3- V: *** «V Item,ut YC, adz C; fic Y Y -= c^,acTzs ':=

v*" ■ - . . . ■ ■ ■.

Ayi)s*t'a*> ":" '■ ^-■■■■''■ *'"■ - ••' ""'■■•- '' '■"'

'■ '■ '■-':. *\ * ' ''..;-' -;"' .. ' ''

, ' Ponairiusdeinde,>Yrr«. Adeoquejpropter pzt angulurri,,

■' , ■■'■■"•-■■•• \ •'.-'' -'•■: ' \ .$*.

re&una, ut ? Y\— «, ad Y z = J-; fic Y z, ad Y t = -•' & z t ^ i/i;

-^;t *?: ri V:*a + »\ Item, ut Y t.ad z t, fic Y Y™ #, ad' * »• ■ -

' 2ys ^•ii^*-•'

. Et confequenter, ut V: •"* + aS ad </:?* + **: (hoc eft, ut E z ad ip z;) fingulse z s vel Z. I, ad fingulas z <r yel £ /. Et, fi fic fiat; _' .ubique, Y^ ad:aliam; erit, ut CFB re<$tangulum ad figutam \ fic conftru£t.atn, fie C F adcurvam femicycloidis fecunaariaej, (i~ive protraiTts five contrails;) & partes parribus refpe&ive pro- ', portionales. _

, Fatendum interitn eft,. figuram , fic conftruilam, non magisquadraturae capacem effe, quam eft ellipfis curva capax eufiuukwf. ■

, Sin >libeat..paulo; a.dhuc explicatius rem efferre ; ponamus F ip "Z B\adeoque * ± a +; iS, & «• — <?* i a A B'+ 5*; Ideoque.. /propters..~ V:<*^ ■-**•) erit ia t a*~ a.^D% % a B t B*;&

■^'t^AW^tdifati "'" m.

.•■.■■ - —-——r—— V——~-f\—"i-—■ i unt autem omnes a\D

• ..--■,.- . - ■ . J^

'"■' £t'tiK*TV&(AjS{. :^ti

^ia B-i B*- quadrata ordinatim applicatarum in paraBol# trunco

^cujus altitudo Z>r:F C: latus reftumpirabolae, D £, «fcp»; ordinatim

ordinatim &minima, B; adeoque altitudo abfciffa

B* yr^. —T, Siigitur fiat ubique, ut Y z Z V: a T> —<**: ordinatim-applicata

ordinatim-applicata femicirculo, ad \/:aD3z raB\B*-. ordinacim-applicatam in hbc truiuo paDbola 1; fic A vel F ii,ad quar

ta, qua- itaq; eft A V *-5-* * ~J~* Ql& ex hifce quartis

conllatur figura', ea eft quam diximus ad C F B parallelogram"inum

parallelogram"inum effe , ut eft cv.rva femicyclbidis yiiotiv&ra' contra&azve

ad C F circuli genitoris diametrum ; & partes partibus refpe•

refpe• p roportionales,

Hoc igitur intereft iriter curvam Cycloidis piimariap, & fecundaris; quod faciendum efi, Utordinatim-apL-licatain feral.circulo; ad ordinaiim-applicatasj illic, in parabolaj- hic, inparabolx rrunco:fic data teita; ad quartas.

• *ri vero libeu cttrvae cydoidis fecuridariar particulas comparare, nonadaxis CF pattes 3equnles,fed ad a;quales parres cuivs

"cycloictis pririii.ria:: dividendaerit G Z. A ciirva iiv partesquot-■libef.arqu-ales inpunclisZ; adeoque C F •■inajqualiterin puncW ©:;Yj;putaJ|fiun'ptis p^ithmetiee-prppo . .

Ixima P::==I>,j,CY^r;L^ Et Y Y, ut i, ..:>,.;, &c arithinetice

arithinetice qi;ae ormies aequentipfam CF, dicantur

'auterri/. Pofitis igiturubique eL> —Vj> Pt,b<*== P~.^~'£,Y;. •

:\':; .'•■: -v.\- '■ "■ "■■ \\; •■. ^'^} . iaDZi.aBtB*

&/, prp.4;(& congrua redu£iioiie fafta:)Pro.^V-r^j—-•».-;»

'prodibit 2:B'\!i-1J£-::r + ^^B^\ fejufdem planb fof. f D* —p* B*

•'"'•' Jffk '" jf* : f''".-'.)'

'mscumAi/: £*~_"ga'" 4" ^qua^uadra^is EIU

carutnve fubtenfas, jequalibus femiaxis longioris partibus refpon? ,-,'v ' \ . dentes»

:XAO ;Cffry4r0itv%?Qvmi,

,«ilent.es,_defj^

.c.y.cloidis,feeMn:dari«.par:ticulas.:, .primariavparti.bus .{equalibus re-■ Tfponderites, -e:ffe,ut -papticulas curvs.quadranris ■Ellipfeos-.refp.on» dentes ioiigiorifeiniaxispartibusa2qi'.aiibus;EllipfeoSjinqiiam

; cujus femiaxis minor, eil I>—C F; & I>V ■ ^^- : ' di>

..:•■ .'■■ :■-■•: ■ ■:■ ■:•■"■■ ••:..:'-.. ..;;-.....'.-: -r :■ ,,- B ■. : ;:- ..: .

..itanri^fociaje^ ris additumj dat^ '~r~Wr~'®

J^i3X*strna|pr;,^

-|;:£;,^..^.)advq^

^pf^fr^iipatep.,.?:^r''j;?^-s^"-'v^;^; r-^-.c^'v'i';*v'^ivl -f "' "-:• • - . : ^Hujusautemq^^ ' ■ - Jas.femicy.cloidis fecundari« dixunus-.propprripnales^noii.tameii

visgua||£:$ickp^ . ifurajiitlque-aeiil-ias,;

ifurajiitlque-aeiil-ias,; e^,:ad^:^^tem'aliquotarii'ip&

. ■n'A'-''': ■'■■'""'■'' '"'■"' '"•'.';''' '■'■""' .

'■•■'£ra#Eis^at«t:Ho'c:'eft>ut•-—- >Bad Ay (eftenim:/ad js,"ut i.tA

\ad,P,:qu.P,dfmox,o3endetur::) fivey.t 2'.B.:adI>. Adeoquefifiac pqgadraiis; eilipfeps -c-ujus conju.gati-axes , iad.axes conjugatos elik^feps;-rnpd^^^

fit "iBtz a F.p; maioral**; 2 B t=f> C + <p»:) Erkquadrans~Mle,':Curv«;feiri;icyclpidis feeundariav«qualis; St pirtes paftiBiis

refpe£tiva% Quffi Wrenniiiioftri traditis coinparata, invenio con» '"Veiiir-e.*.' • ■ •" 'f ■'■• ■'■■'■ "

-.. .«"""Ujod autejm^ 'tur. Orrines p (tof ritirrieroquouiri^DfuppPnuntur partesxquale5^),funt-fe,riesarithmetice

partesxquale5^),funt-fe,riesarithmetice quam maxima "0; «cu jus feininis:(proptef terininiim miiiiniuifffinke^exiguurri): du"" - ■ D px>

ilus.innumemmterminorum x-j:exhibet'-i—3« omnium ;fum .

*>■■'' V .■', .:.:.,:,':-■.■.:-": ,A ■ "'" ,.. 2 ^ '■■ ■ ', ■ ■'■■-.

mam. Sunt aiitem omnes y arkhnietice proportionales, &qiu*' ■d^in^tpri4e.rn.:nv^ item tepminus primus .eftk^finke

exiguus; omriiurri, vero furrima eft ipfi D. Adebque (cum utraque■^pogtieifip-Mk&^^ in&bpata^ er.untaiai

,-', *'■ \ " ' '- . omnes-

•• • Et nxttry^V. J2I

^ ;■••■. •■•■•.. ' • ■..' ;.■':. ■■.,. J'-:"- v ,. ■;■.; ■

ornnes y;idomnes ■*/>, tumad.finguiasfingute,, ut-.IHd-r—->,

hajceft, ut';2./4ad;°D.'Q^ /'.v

, Atque har. funt,; Vir N^ Curvas;& \" -

reclas comparandi,(adeoque'tum'Lineas ReUifcandi,t\xviY}Cemfl%' nandv' Siiperficies C«r^,)-'aliquot;fpecjmina|ciyus:j: utyideSj exsmini, tum tuofum qusedarri;, tuiri,&«ii;oruin'.nupera:iriycinta

. fi}bjeei.::Puf aram'ali9ql^dam.acMW

Epiifela-jprofpkieiiditm:efii.;.';\ "/•■//■:: :;;.)))■:,)):)}}.).,.:■;,■ ; ■ ■■ Metkodum ,, quam lriemprrtSj %MaximU. & nmimti, ejufque - ad Tangerites urilkate^ iitutnpminis

ignaroSjilWus^paifiroVexfi-erit fpveciffi

i^.:)i2:^p..z6.^9:k6:^0i&C'.-xnm ' ■

e\v&ii&:;):i\£Operis::Ariih?Ke^ ■ '

• CiJirocl autem tu dehacf^cotnmerifivs^es,' fi piaceaf prorerre,.rion dubi.tp quin .Matiiematicis gracuin fitfuturuin, ut tua foleiit effe omnia.';- ;" ; }'■■■ ;•;;: , •;".. ■''■:'-; \v

* Item Ukmehtd" C°n'ea f?orfem}aX°ti6>.^^,riosetiam;.t.radidimiiS;,: uti nbfti^0iriirieb 0i?;'Co»;c'^ ^S/o^/^ wac^atu, pafte';fakem 'pofierioriv .Sedrion eo.minus gratiim erit,' iD. KdeWjit,.qnodvp.emoras prbditiitum opus. '-"■'.',■ ";"'\;. ■';'. ;:}■■}: ').}.} "" "\;"

■, Horoiogiuraxmivcim feliaffimiun93:£ Saturni.

facieSyftetria, (de qiiibus antehacadtefcripfiirius;J;.irita&ajam. -,

prcetereo. ■■•>-■■■:■');' •.-..- : ''.)• ' . ' '• , "'.'- :' \

Supereft,'i:ttidiojquote hac^enus'derintii;, .fandem.liberem» :};.:_::,. Val'ea's;iriterim,';br6jnobifque faveas,- & affiare jr.ergas. ,,,;a

F l/K;/vSR

l/K;/vSR

ADDEN t> A.' ^ Tag. aj>/.20..§,68. ^_/?fubjicitintur, ^i# Et quidenij fuppofita circuli quadratura, quas hic fupporiitur, quadrablw* Figura quslibet in fuperficie Spbsera; circulorufn quorumvis (five lttaximorum five minorum) arcubiH.terminata. Quod quamvis nOii fit hujus ioci Fufius profequi', paucis tattten oitendam. Nam i.Poflefiguramharicquamcunqiie in Trilinea Sphsricacirculoruinperipheriisdirimi, maiiifeftuineft. 2.Triiinea hxc fi fintvera Sphsnca Triangula (eirculoruin lnaximorum arcribus terminata) data funt: Quippe, ut Exceffus quo angulorum inTrianguloSphsricoaggregatumfuperat duos re£to.s, ad dups veSios ; fic Trianguium.illudj ad Circulutn in Sphsera maximum. - 3. Siquod vero Trilineorum non fit tale Triangulum Spharicum; n.abecuf tamen iilius a Sphamco Tfiangulp, iifdem .puricVis angu- ; laribus tef.riiriatOjdifferentia,habitis Biiineis qus circulorum ma* ximi Sk miribris afcubusconterrninis interjiciuntur. 4. Habetur atite hujufmoii Bilineu, fi intelligantur ab extretriis arcus circuli aninorisad polu:n fuum ducidLtos arcuscirculi maximi:Qui,cum arcu illo.circuli minoris, continebiuit Trilineum Ifofceles, cujus iri.igiikudiiiem hic ('§ 68.;) exhibemus;lidemquejcum contermino arcu circuli m.ixirni, conrinent Trianguium .Sphsricum; Quo:um difrcreritia, eft Bilineum qua:fitum. Adeoque, Snffojita circu/i ejuadraturJi, cjuadrabiturfgura qu&iibet infuferficie Sphara circulortim quorumvU arc.ubus termi.nata ; non.minus quam, inPlanoy Figura reUilitiea. Quod rios, ni fillor, primi dpcemus. . Pag. 90./.20. poft haii:eiuis,. Adde, •'■ , - Ift autettt & magna, inter Conchoidem & Cycloidem, conveaientia. Refumptaeriim, qiire eft Epift.^9. Commercii Epifto/iciy f.\6q, figura; Manifeftumefl, reftam MD, Sinum elTe anguli M C D, adradium C A; &recTam MO, hoceft (propterparallelas) CH, ejufdem anguli Tangehtem, ad radium PC. Ut igitur Ordinatiin-applicata in Cycloide, eft Swus & Arcks, ejufdcmdnguli, Aggregatum , (ejufdem circuli, in Primaria ; fed, in Seciindariis, diverforum.-) Sic, in Concboide, Ordinatim-applicata ei\ Aggregatum Simis & Targentis, ejufdem anguli; (Stquidem ejufdem circuli in Primaria, vix,. ubi PC := CA; fed diverforum in aliis:) Qyod nos, quod fciam, priirii detegimus.

Hinc aute porro cOlligimus, utut Conchoidis Planutn OACH, infinite continuatum, infinita; fit magnkudinisy eile tamen Sofidnm

Sofidnm

Eitfur&in fuperficie c. Sfb&rica, $

•r

r c

■. i

i 1

. V 3

' ■"

( 1 I

Concboides. :; ^ig-38. •

' Cot.choidis Solidum,

dumhujus converfione circaaxem CH genkuin, lnagnitudinis firikae. ■ Qupdutiquefic coriverfo quadrante A.RC defcribitur, hemifphserium effe liquet. Quod autem reliquo R A O infinito defcribitur, requatur Qylindro, cujus bafis A R C quadrahs, altkudo sqitalis peripheike radio C P defcripta'. Quodfic probamus. Quoniam eft ut C D ad D M, fic PCadGH hoceft MO; eritubique DMxPCizCDxMO; Hoc eft, Fa&urri ex D M in p C vel peripheriam hoc radio defcripram, ffquale fa£to ex MO in CD feu peripheriam ho- radio defcriptam: Ergo & omnia omnibus acqualia; hoc eft , dijSlus Cylindrus , difto folido converfione fafto. Quod nos, credo, primi demonftramusi

Plani vero centrum gravitatis, iiLifquam eft: utpote cujus diftatitiaa CA intelligenda erit infinita, &a CH infinite exigua., Sed neque Solidi aut Semiiolidi. Diftat utique Semifolidi Centrum gravkatis, a C H,diftantia fiftita, & facileaffignabili; fed, a C A, diftantia infinka. Hseautem , & hifce gemina , fufius profequi, lTon eft hujus loci.

SRRATA

Preli admiffa, quas obfervavimus 9 alicujus momenti; partim calamo emeiidandacuravimus, partim fic emendet Leftor, St fiqua; alia deprehendet ipfe.

PAg. 2. I. 5. Si fuper.p. 6.1. 1 5. centro. p. 11.1. 16. utravis* p. 14.I. 30.ducatur-p.15.I.7. Z,Y. p.i8.1. 34. funtut.p_.34* 1. 16. gravitatis illud. p. 27.1.11. radio. p. 41.1. 18, Trilinei. p. 43.1. 25. tum. p. 44.1.14. peripheria. p. 45.1. 24. femiparabolae. 1. 25. femiperipheriarum. 1. 27. fintque. 1. 3 3, 3 5. femiconverfione. p. 47. 1. 23. ex. p. 48.1. i.refpe&u. 1. 13. trilinei. 1. 20. utique. p. 52.1. 4. oblique.p. 57. & quindecim fequentes, ntuneris non fuis notantur. p. (67. vel) 7 5.1.24. (marg.) Fig. 18. p. {69. vel) 77.I. 5. GaAM. p. (71. vel) 79. 1. ult. (bis) reliquarum.p. 106.1. 2. moneam. p. 113.1.11. fra&iones.l. 30, Erilineum.

FIGJiRiE Ita funt ad calcem fuffigeridjej rit^uurn explicantur, totje ex-| sra libri oram confpiciantur,. '% ,., 'v.-.s

. Centrum i.gravitatis,