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Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1972-04-24
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n
Notice du catalogue : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n/date
Type : texte
Type : publication en série imprimée
Langue : français
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Description : 24 avril 1972
Description : 1972/04/24 (SERA-B,T274,N17).
Droits : Consultable en ligne
Droits : Public domain
Identifiant : ark:/12148/bpt6k5619116q
Source : Archives de l'Académie des sciences
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 01/12/2010
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C. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (24 avril 1972) Série A — 1317
COROLLAIRE 1. — La variété Spec k [G]" admet une unique orbite affine si et seulement si H est maximal dans l'isotropie L de l'unique orbite fermée.
Supposons que Spec k [G]" admette une unique orbite affine (l'orbite fermée). Soit A une sous-algèbre de k [L]" de type fini, L-invariante et admettant k (L)" comme corps des quotients. Le sous-groupe L agit dans Spec A avec une orbite ouverte et une unique orbite fermée L (z). L'opération de G dans Spec k [G]" se restreint en une action de L compatible avec l'inclusion Spec Spec k [G]". Le sous-groupe L contenant toutes les isotropies des points de Spec k [G]" sous l'action de G, on a en particulier L3 = G3. La L-isotropie L3 étant réductive, la G-isotropie G3 l'est aussi et, par Matsushima, G (z) est une orbite affine. L'hypothèse montre que G (z) est nécessairement la G-orbite fermée de Spec k [G]" et L3 = G3 = L. Le théorème nous assure alors que H est maximal dans L. Réciproquement, L contient toutes les G-isotropies des points de Spec A [G]". Si l'une de ces isotropies est réductive, elle est égale à L par maximalité de H, et le point correspondant appartient à l'orbite fermée de Spec k [G]" [c.f. (3)]
COROLLAIRE 2. — L'algèbre k [G]" est une algèbre de polynômes si et seulement si H est maximal dans G et Spec A [G]" est lisse.
Si k [G]" est une algèbre de polynômes, Spec k [G]" est un espace vectoriel où G agit linéairement. L'origine est donc un point fixe et le théorème ci-dessus montre que H est maximal dans G. Réciproquement, Spec k [G]" étant lisse, il s'écrit Spec A [G]" ~ GXK V d'après un résultat de D. Luna [cf. (2)]. En fait, K est l'isotropie de l'orbite fermée de Spec A [G]" et V est un K-module avec orbite ouverte. Par le théorème précédent, K = G et donc Spec A [G]" est un espace vectoriel.
3. APPLICATION AUX REPRÉSENTATIONS D'UN GROUPE SEMI-SIMPLE ADMETTANT UNE ORBITE DENSE. — Dans cette partie, on suppose que G est un groupe semi-simple et irréductible. Soient une représentation rationnelle admettant une orbite dense et H l'isotropie d'un point x de cette orbite.
On montre que codim (V — G (x)) > 1 et, par suite, que H est non réductive, que A [G]" est de type fini et que Spec A [G]" s'identifie à V. Cette circonstance permet d'appliquer les résultats précédents. Désignons par l'ensemble des sous-groupes maximaux connexes de G tel que A [G]" soit de type fini et Spec A [G]" soit lisse, pour tout H dans
COROLLAIRE 3. — Pour toute représentation de G avec une orbite dense, il existe H dans tel que se réalise dans Spec A [G]".
Il suffit d'appliquer le théorème ci-dessus et le corollaire 2.
COROLLAIRE 4. — Soit une représentation admettant une orbite dense; { 0 } est la seule orbite affine. Il suffit d'appliquer le corollaire 1. [c.f, (4)]