idée qu'Abel avait conçue dans sa première année d'étudiant,
savoir, l'inversion des intégrales elliptiques elles-mêmes, après
que le domaine ultraelliptique correspondant, par une marche
ascendante du procédé analytique, eut été l'objet de ses tentatives
de description. Durant une longue suite d'années, ces mêmes
intégrales avaient été, dans les directions les plus variées, le
sujet des recherches de Legendre, sans que l'esprit du vieux
maître eût pu accueillir une idée comme celle de rattacher leurs
combinaisons fondamentales, provenant d'une inversion, à celles
des fonctions trigonométriques et exponentielles, ou, en d'autres
termes, avec les transcendantes les plus élémentaires de la
science mathématique.
Un problème d'un grand intérêt historique, appartenant à ces
recherches spéciales sur les intégrales, et dont la généralisation
et la solution sous la forme ainsi généralisée devait jouer un rôle
prépondérant dans la future théorie des fonctions elliptiques, avait
été posé dans le siècle précédent par Landen. Plus tard ce pro-
blème fut discuté avec grand soin par Legendre et Lagrange.
C'était donc le problème, depuis longtemps élaboré, de la transfor-
mation elliptique, ayant pour objet de ramener les intégrales
correspondantes à d'autres semblables, mais de modacles différents.
Sur ce point aussi, malgré tout le travail qui s'y était dépensé,
on était loin d'une méthode rationnelle de solution adaptée à la
nature du sujet, et d'une conception du problème lui-même, plus
idéale et se rattachant à la question. On n'avait pu résoudre
jusque-là qu'un petit nombre de cas particuliers; le point de
vue était étroit, et les efforts tendaient plutôt, suivant les idées
d'autrefois, à faciliter le calcul numérique à l'aide d'échelles mo-
dulaires et de tables, qu'à instituer une étude des propriétés
caractéristiques, avec ou sans égard à toutes les conséquences
pratiques.
Pour opérer en pleine conformité avec l'esprit abélien, il
fallait s'élever au-dessus de ces considérations étroites et poser
le problème de la transformation dans sa plus vaste généralité.
Naturellement cette intégrale était traitée sous une des formes