complète sur son cahier. Rappelons-nous, du reste, que le jour
même de l'achat de ce cahier, il commença par adresser à Crelle
une courte communication relative au même sujet et à la
prezn.iëre application qu'il comptait en faire.
Dans sa lettre, il expose en peu de mots — comme nous l'apprend
un extrait publié dans les « Œuvres complètes »—(1)son théorème
d'addition.
« Une propriété générale », dit-il, « des fonctions dont la
différentielle est algébrique consiste en ce que la somme d'un
nombre quelconque de fonctions peut être exprimée par un
nombre déterminé des mêmes fonctions. Savoir, etc. »
La formule qu'il écrit est maintenant composée comme il suit.
On s'imagine formée des fonctions ϕ dont il s'agit une somme
de u fonctions semblables, chacune correspondant à sa propre
variable indépendante. On se figure aussi une somme formée de
aa fonctions, chacune correspondant à sa propre variable dépen-
dante et ces ? dernières variables doivent dépendre des premiè-
res µ suivant icrze certaine Loz algébrique. Alors, quand on ajoute
Les deux somarzes partielles de fonctions transcendantes, on aura
pour résultat une fonction algébriques et logarithmique,.
Abel remarque ensuite que « n est un nombre déteryrziné, indé-
pendant de p.. Si, par exemple, o est une fonction elliptique, on
a, comme on sait, rz = i. Si la fonction n'est pas elliptique, on
n'en connaît jusqu'à présent aucune propriété. Comme un des cas
les plus remarquables, je vais rapporter le suivant. »
Ici la fonction ϕ, qu'il prend, est l'intégrale hllperelliptique la
plus simple c'est-à-dire—en adoptant les notations du chapitre
précédent- qu'elle correspond à une fonction R (sous le radical)
dont le degré est égal à 6; et, quant à la fonction numérateur, P,
elle est choisie comme une fonction linéaire.
Cela posé, la dite fonction algébrique et logarithmique v se
réduit à une constante. Et, pour pouvoir passer à la formule
la plus générale, il suffit de montrer comment une somme de
(1) Ancienne édition, p. 253-254. Nouvelle édition, p. 267.